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Full text of "Lehrbuch der Algebra"

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92 7 



LEHRBUCH 



DBB 



ALGEBRA 



ZWEITER BAND 



LEHRBUCH 



DBB 



ALGEBRA 



ZWEITER BAND 



LEHRBUCH 



DER 



A L G E B R A 






VON 

HEINRICH WEBER 

PEOFE550K DIE MATHEMATIK ▲ X DER UNIVERSITÄT STRASSBURO 



ZWEITE AUFLAGE 



■ «WM-TE-ß. BAND 



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BRAUNSCHWEIG 

DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN 

1899 



•£ NEW YORK 

PUBLIC LIBRARY 

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19'. 3 



Alle Rechte, namentlich dasjenige der Uebersetzung in fremde Sprachen 

vorbehalten. 



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VORWORT 

ZUfi 

ERSTEN AUFLAGE DES ZWEITEN BANDES. 



Der in dem Vorworte zum ersten Bande angekündigten 
Absicht gemäss kann ich heute den zweiten Band meines Lehr- 
buches der Algebra der Oeffentlichkeit übergeben. Der dort auf- 
gestellte Plan ist in den wesentlichen Punkten durchgeführt. 
Bei den Anwendungen bin ich bemüht gewesen, solche Probleme 
auszuwählen, die bereits in anderen Gebieten, der Geometrie oder 
Functionentheorie, ein selbständiges Interesse gewonnen haben, 
und die zugleich die Hauptpunkte der algebraischen Theorie 
möglichst vielseitig zur Anschauung bringen. 

Die Anwendung der Theorie der algebraischen Zahlen ist 
bis zur Theorie der Kreistheilungszahlen durchgeführt. Wenn 
lieben und Arbeitskraft vorhalten, hoffe ich, in einer Fortsetzung 
meines Werkes die weiteren Anwendungen auf das Gebiet der 
elliptischen Functionen darzustellen, die nur zum Theil in 
meinem Buche „Elliptische Functionen und algebraische Zahlen" 
entlialten sind. 

Auch während der Ausarbeitung und des Druckes des 
zweiten Bandes hat mir die Hülfe und der Rath der Freunde 
zur Seite gestanden, die ich schon in der Vorrede zur ersten 
Auflage genannt habe.. Aber auch manchen neuen Freund hat 
sich der erste Baaß bereits erworben, der meine Arbeit durch 
Winke und Rathschläge; geordert hat. Ihnen allen spreche ich 
an dieser Stelle meinen- Dank aus, und füge die Bitte hinzu, 
dass sie dem Werke ; auch weiterhin ihr Interesse bewahren 



mögen- 



Strassburg, im Juli 1896. 



Der Verfasser. 



VORWORT 

ZÜB 

ZWEITEN AUFLAGE DES ZWEITEN BANDES, 



jDei der Bearbeitung der zweiten Auflage des zweiten Bandes 
waren es hauptsächlich zwei Erscheinungen der mathematischen 
Literatur, die eine eingehende Berücksichtigung finden mussten, 
weil sie für die Fortschritte der Algebra von entscheidender Be- 
deutung zu werden versprechen. Es sind-das einmal die Arbeiten 
von Frobenius über die allgemeine Gruppentheorie, die in den 
Sitzungsberichten der Berliner Akademie erschienen sind, und 
sodann 4 in der Theorie der algebraischen Zahlen die Unter- 
suchungen von Hubert, die, soweit sie hier in; Betracht kommen, 
in dem IV. ^Jahresbericht der Deutschen Mathematischen Ver- 
einigung (1894/95) niedergelegt sind. Dieser Bericht über „die 
Theorie der algebraischen Zahlkörper" enthält weit mehr, als 
man nach dem bescheidenen Titel erwarten sollte, insofern er 
nicht bloss ein Bild des damaligen Standes der Frage, sondern 
einen wesentlichen Fortschritt der Theorie giebt. Hiernach hat 
besonders der siebzehnte Abschnitt eine wesentliche Erweiterung 
erfahren. Ich habe geschwankt, ob ich nicht meine Theorie der 
Abel'schen Zahlkörper ^ die iin\23. und 24» Abschnitt enthalten 
ist, durch die auf andeför Grundlage* ruhende Hilbert'sche er- 
setzen sollte, bin aber schliesslich clocä bei; meiner ursprünglichen 
Darstellung stehen geblieben, Weil einK sehr wesentliche Abkürzung 
bei hinlänglich ausf ührlicherV : Dars^Htffig . ; doch nicht erreicht 
worden wäre, und weil dann die an sich interessanten und lehr- 
reichen Anwendungen der Classenzahl- Theorie weggefallen wären« 

Indessen bin ich bemüht gewesen, diesen Theil des Buches 
durch Vereinfachungen in der Darstellung und übersichtlichere 
Anordnung noch durchsichtiger und verständlicher zu gestalten, 



Vorwort zur zweiten Auflage des zweiten Bandes. VII 

wobei die Untersuchungen von Minkowski über die „Geometrie 
der Zahlen" gute Dienste leisteten. 

Um bei diesen Bereicherungen des Inhaltes den Umfang des 
Bandes nicht über Gebühr anwachsen zu lassen, habe ich den 
Abschnitt, der die Anwendung auf die quadratischen Körper 
enthält, unterdrückt Ich habe mich dazu um so eher entschlossen, 
als die Theorie der quadratischen Körper in der in der Vorrede 
zur ersten Auflage in Aussicht gestellten und wenn auch zurück- 
gestellten, doch noch nicht aufgegebenen Fortsetzung des Werkes 
eine eingehende Darstellung finden muss. 

Es bleibt mir noch übrig, Herrn Dr. Wellstein für seine 
yerständnissvolle, sorgfältige und sachkundige Hülfe bei der Correc- 
tur an dieser Stelle meinen Dank zu sagen. 

Strassburg, im Januar 1899. 

Der Verfasser. 



INHALT DES ZWEITEN BANDES. 



Erstes Buch. 

Gruppen. 

Erster Abschnitt. 
Allgemeine G-ruppentheorie. 

Seite 

§. 1. Definition der Gruppen 3 

§. 2. Die Theiler einer Gruppe 7 

$. 3. Normal theiler einer Gruppe 11 

§. 4. Composition der Theile 13 

§. 5. Mehrstufiger Isomorphismus 17 

§. 6. Beziehung der allgemeinen Gruppen zu den Permutations- 
gruppen 19 

§. 7. Zerlegung einer Gruppe nach zwei Theilern 21 

§. 8. Die Compositionsreibe und der Satz von C. Jordan 23 

§. 9. Weitere Sätze über die Compositionsreihen 30 

§. 10. Metacyklische Gruppen 33 

Zweiter Abschnitt. 
Abel'sche Gruppen. 

§. 11. Darstellung Abel'scher Gruppen durch eine Basis 38 

§. 12. Die Invarianten der Abel' sehen Gruppen 45 

§. 13. Gruppencharaktere 49 

$. 14. Divisoren einer Abel 'sehen Gruppe. Reciproke Gruppen ... 54 

§. 15. Die zweiseitigen Elemente einer Abel' sehen Gruppe 58 

§. 16. Indices nach einer ungeraden Primzahlpotenz als Modul .... 60 

§. 17. Indices für eine Potenz von 2 als Modul 64 

§. 18. Die Gruppe der Zahlclassen nach einem zusammengesetzten 

Modul 66 

Dritter Abschnitt. 
Die Gruppe der Kreistheilungskörper. 

§. 19. Die Resolventen der Kreistbeilungstheorie 69 

$. 20. Kreistheilungskörper 73 

§. 21. Primäre und nicht primäre Theiler der Gruppe 9t 79 

§. 22. Die Kreistheilungsperioden 81 



X Inhalt des zweiten Bandes. 

Seit« 

§. 23. Kreistheilungskörper von gegebener Gruppe 86 

§. 24. Bestimmung der Gruppe 91 99 

Vierter Abschnitt. 
Cubisohe und biquadratische Abel'sche Körper. 

§. 25. Cubisohe Kreistheilungskörper 101 

§. 26. Biquadratische Kreistheilungskörper 108 

§. 27. Cubische Abel'sche Gleichungen 114 

§. 28. Biquadratische Abel' sehe Gleichungen 117 

Fünfter Abschnitt. 
Constitution der allgemeinen Gruppen. 

§. 29. Bildung von Gruppen nach Cayley 121 

§. 30. Die Quaternionengruppe 125 

§. 31. Hamilton'sche Gruppen 128 

§. 32. Die Classen conjugirter Elemente einer Gruppe und die Com- 

mutatorgruppe 131 

§. 33. Der erste Sylow'sche Satz 135 

§. 34. Der zweite Sylow'sche Satz 136 

§. 35. Gruppen vom Grade p a 139 

§. 36. Satz von Frobenius 140 

§. 37. Gruppen vom Grade p a q 145 

§. 38. Einfache Gruppen 148 

§. 39. Gruppen vom Grade pq 152 

§. 40. Grenzen des Index eines Theilers der symmetrischen Permu- 
tationsgruppe 154 

Zweites Buch. 

Lineare Gruppen. 

Sechster Abschnitt. 
Gruppen linearer Substitutionen. 

§. 41. Lineare Substitutionen und ihre Zusammensetzung 163 

§. 42. Normalform linearer Substitutionen 171 

§. 43. Vertauschbare Matrices 176 

§. 44. Die Gleichungen von Dedekind und Weierstrass 180 

§. 45. Normalform in endlichen Gruppen linearer Substitutionen . . 184 

§. 46. Collineationen 187 

§. 47. Permutationen als lineare Substitutionen 191 

Siebenter Abschnitt. 
Gruppeninvarianten. 

§. 48. Die allgemeinen Charaktere einer Gruppe 193 

§. 49. Bestimmung der Charaktere 197 

§. 50. Die Charaktere ersten Grades 203 



Inhalt des zweiten Bandes. XI 

Seite 

§. 51. Beispiele für die Gruppencharaktere 205 

§. 52. Die Gruppendeterminante 207 

§. 53. Die spezielle Gruppendeterminante 211 

§. 54. Beziehung der Gruppenmatrix zu den Gruppen linearer Substi- 
tutionen 214 

§. 55. Die Invarianten von endlichen Gruppen linearer Substitutionen 218 

§. 56. Der Satz von Hubert 222 

§. 57. Endlichkeit des Invariantensystems einer endlichen linearen 

Substitutionsgruppe 225 

§. 58. Das Formenproblem 228 

§. 59. Gruppen linearer Substitutionen und Collineationen 233 

§.60. Klein' s Erweiterung des algebraischen Grundproblems ... 235 

§. 61. Einfluss relativer Invarianten . . . 238 

$. 62. Der erweiterte Invariantenbegriff 239 

§. 63. Normalformen '. 241 

Achter Abschnitt. 
t Gruppen binärer linearer Substitutionen. 

§. 64. Ternäre orthogonale Substitutionen 244 

§. 65. Lineare gebrochene Substitutionen 249 

§. 66. Realitätsbedingungen 253 

§. 67. Endliche Gruppen linearer gebrochener Substitutionen. Pole 

der Gruppen 255 

§. 68. Die verschiedenen Arten möglicher Gruppen 259 

§. 69. Transformation der Substitutionen von G auf einfache Formen 264 

§. 70. Die Grundformen 265 

Neunter Abschnitt. 
Die Polyedergruppen. 



§.71. Die cykli sehen Gruppen und die Diedergruppen 269 

§. 72. Die Tetraedergruppe 272 

$. 73. Die Octaedergruppe 276 

§. 74. Die Ikosaedergruppe 280 

§. 75. Die Theiler der Ikosaedergruppe 288 

g. 76. Die Grundformen der Ikosaedergruppe 291 

{f. 77. Die Invarianten des Ikosaeders 293 

§. 78. Polyedergruppen der zweiten Art. Krystallographische Gruppen 295 

Zehnter Abschnitt. 
Congruenzgruppen. 

$. 79. Functionen - Congruenzen 302 

§. 80. Congruenzkörper 305 

§. 81. Congruenzgruppen im Körper (* 310 

§. 82. Einfachheit der Gruppe E 314 

§. 83. Congruenzkörper zweiten Grades 320 

§. 84. Die reelle lineare Congruenzgruppe L p 322 



XII Inhalt des zweiten Bandes. 

Seit« 

§. 85. Imaginäre Form der Gruppe Lp 32] 

§. 86. Divisoren der Gruppe Lp, deren Grad durch p theilbar ist . . 33' 

§. 87. Divisoren der Gruppe L Py deren Grad nicht durch p theilbar ist 331 

§. 88. Constitution der Gruppe L 7 vom Grade 168 34-1 

Drittes Buch. 

Anwendungen der Qruppentheorie. 

Elfter Abschnitt. 
Allgemeine Theorie der metacyklischen Gleichungen. 

§. 89. Die Resolventen der Compositionsreihe 35] 

§. 90. Metacyklische Gleichungen 354 

§. 91. Metacyklische Gleichungen, deren Grad eine Primzahlpotenz ist 3bi 

§. 92. Darstellung der Abel' sehen Gruppe Q 36C 

§. 93. Analytische Darstellung der Permutationen 36] 

§. 94. Darstellung der metacyklischen Gruppe P 36J 

§. 95. Ternäre lineare Congruenzgruppe für den Modul 2 36£ 

§. 96. Reduction der allgemeinen Gleichung achten Grades auf ein 

Formenproblem 37J 

§. 97. Resolventen der Gleichung achten Grades 371 

§. 98. Tripelsysteme der Resolventen 37S 

§. 99. Anwendung auf Gleichungen achten Grades 382 

§. 100. Metacyklische Gleichungen achten Grades 38J 

§. 101. Bi quadratische Gleichungen • 3K3 

Zwölfter Abschnitt. 
Die Wendepunkte einer Curve dritter Ordnung. 

§. 102. Ternäre Formen und algebraische Curven 39( 

§. 103. Singulare Punkte. Wendepunkte. Doppeltangenten 392 

§. 104. Fundamentale Co Varianten einer ternären Form 39C 

§. 105. Die Hesse'sche Curve 39* 

§. 106. Inflexionspunkte einer Curve dritter Ordnung 891 

§. 107. Transformation der cubischen Form auf die canonische Form 401 
§. 106. Die Invarianten der Curve dritter Ordnung und die biqua- 
dratische Gleichung 401 

§. 109. Tripelgleichungen 41( 

§. HO. Die Gruppe der Tripelgleichungen 412 

§. 111. RealitätsverhältniBse der Tripelgleichungen AVt 

Dreizehnter Abschnitt. 
Doppeltangenten einer Curve vierter Ordnung. 

§. 112. Anzahl der Doppeltangenten einer Curve vierter Ordnung . . 41£ 

§. 113. Die Stein er 'sehen Complexe 42£ 

§. 114. Complexpaare und Complextripel 4SI 



Inhalt de 8 zweiten Bandes. XIII 

Seite 

$.115. Die Aronhold' sehen Siebener -Systeme 434 

§.116. Die Hesse -Cayley 'sehe Bezeichnung der Doppeltangenten . 437 
§. 117. Rationale Bestimmung der Gurve aus einem vollständigen 

Siebener -System 442 

$. 118. Die Galois'sche Gruppe des Doppeltangentenproblems .... 447 

§. 119. Darstellung der Gruppe 451 

§. 120. Einfachheit der Gruppe des Doppeltangentenproblems .... 454 

§. 121. Realität der Doppeltangenten .....' 458 

§. 122. Beweis der Existenz der vier Fälle 466 

Vierzehnter Abschnitt. 
Allgemeine Theorie der Gleichung fünften Grades. 

§.123. Fragestellung 470 

§.124. Satz von Lüroth 472 

§. 125. Resolventen mit einem Parameter 475 

§. 126. Gruppe der Resolventen mit einem Parameter 477 

§. 127. Die Ikosaedergleichung 482 

§. 128. Die Resolventen der Ikosaedergleichung 486 

§. 129. Die Hauptresolvente fünften Grades 480-' 

§. 130. Resolventen sechsten Grades 4U3 

• 

Fünfzehnter Abschnitt. 
Gruppen linearer ternärer Substitutionen. 

§. 131. Ternäre lineare Substitutionsgruppe vom 168 8ten Grade . . . 497 

J. 132. Pole und Axen der ternären Gruppen 502 

y 133. Anwendung auf die Gruppe Gies- Siebeuzählige Pole .... 507 

i 134. Die Hauptaxen 508 

§. 135. Die drei- und sechszähligen Pole 512 

§. 136. Die Configuration der Gruppe Gies 515 

j. 137. Invariantencurven der Gruppe 6ri68 517 

$. 138. Die erste Invariante der Gruppe Gies und die Grundcurve . 518 

§. 139. Die höheren Invarianten 523 

jf. 140. Das volle Invariantensystem 525 

Sechzehnter Abschnitt. 

Das Formenproblem der Gruppe Gies und die Theorie 
der Gleichungen siebenten Grades. 

§. 141. Die Resolventen des Formenproblems 530 

§. 142. Reduction der allgemeinen Resolvente siebenten Grades auf 

die Bpecielle 535 

§. 143. Permutationsgruppe von sieben Ziffern vom Grade 168 . . . 537 

§. 144. Gleichungen siebenten Grades mit einer Gruppe 168» ten Grades 540 

§. 145. Contragrediente Gruppen 542 

§. 146. Losung der Gleichung siebenten Grades mit der Gruppe Pie& 

durch das Formenproblem der Gruppe Gies 545 

§. 147. Möglichkeit der Bestimmung der Functionen Xi, A'2, A'3 . . 548 



XIV Inhalt des zweiten Bandes. 

Viertes Buch. 

Algebraische Zahlen. 

Siebzehnter Abschnitt. 
Zahlen und Funetionale eines algebraischen Körpers. 

Seite 

§. 148. Definition der algebraischen Zahlen 553 

§. 149. Ganze algebraische Zahlen 554 

§. 150. Algebraische Körper 557 

§. 151. Ganze Functionen in einem algebraischen Körper 560 

§. 152. Zerlegung ganzer Functionen in irreducible Factoren .... 563 
§. 153. Die Funetionale eines algebraischen Körpers Sl und der er- 
weiterte Körper Sl 568 

§. 154. Ganze Funetionale 573 

§. 155. Theilbarkeit. Associirte Funetionale. Einheiten 578 

§. 156. Grösster gemeinschaftlicher Theiler 581 

§. 157. Primfunctionale im Körper Sl 584 

§. 158. Zerlegung der ganzen und gebrochenen Funetionale in Prim- 

factoren 585 

§. 159. Ganze Functionen im Körper Sl . 589 

"§. 160. Die Primfactoren der Zahlen des Körpers Sl 592 

Achtzehnter Abschnitt. 
Theorie der algebraischen Körper. 



§• 

§• 
§• 

§• 

8- 
§• 
§• 
8- 



61. Basis eines algebraischen Zahlkörpers. Discriminanten . . . 59t> 

62. Die Minimalbasis und die Körperdiscriminante 598 

63. Die Basen der Funetionale 602 

64. Die absoluten Normen der Funetionale 605 

65. Volles Restsystem nach einem Modul 608 

66. Congruenzen 611 

67. Der Fermat'sche Satz 615 

68. Anzahl der zu einem Modul theilerfremden Zahlclassen . . . 618 

69. Die Dedekind'schen Ideale . . . . • 620 

70. Aequivalenz • 624 

71. Die Classenzahl des Körpers Sl 626 

72. Die Gruppe der Idealclassen 629 

73. Primfactoren der natürlichen Primzahlen 630 

74. Dedekind's Satz über die Körperdiscriminante 638 

Neunzehnter Abschnitt. 

Beziehungen eines Körpers zu seinen Theilern. 

§. 175. Relativnormen 643 

§. 176. Primitivwurzeln der Primideale 646 

$. 177. Relativdiscriminanten 648 

§ 178. Primideale im relativ normalen Körper 653 

§. 179. Die Ideale in den Theilern des Körpers Sl 657 

§. 180. Die zu einem Prim ideal gehörigen Theilkörper 661 



Inhalt des zweiten Bandes. XV 

Seite 

§. 181. Die Yerzweigungsgruppe 664 

§. 182. Die höheren Verzweigungskörper 668 

§. 183. Zerlegung des Grundideals 670 

1 Zwanzigster Abschnitt. 

[ Das Punktgitter. 

I §. 184. Hülfssatz aus der Integralrechnung 672 

§. 185. Volumenbestimmung 678 

§.186. Strahldistanzen 681 

§. 187. Erstes Beispiel 685 

§. 188. Zweites Beispiel , 687 

§. 189. Anwendung auf algebraische Körper 689 

I Einundzwanzigster Abschnitt. 

Classenzahlen. 



( 

jj. 190. Der Dirichlet'sche Satz über die Einheiten 692 

§. 191. Systeme unabhängiger Einheiten und Exponenten Systeme der 

Einheiten 699 

§. 192. Fund amental Systeme von Einheiten 703 

J. 193. Reducirte Zahlen 708 

§. 194. Grenzen der Anzahl der durch ein Ideal theilbaren ganzen 

Zahlen des Körpers Si 710 

§. 195. Bestimmung des Volumens 714 

§. 196. Sätze der Reihenlehre 716 

$. 197. Anwendung auf die Bestimmung der Classenzahl 724 

$. 198. Die Irreducibilität der Kreistheilungsgleichung und die in 

einer Linearform enthaltenen Primzahlen 728 

Zweiundzwanzigster Abschnitt. 
Kreistheilungskörper. 

jf. 199. Zerlegung der Primzahl q in Factoren im Kreistheilungs- 
körper £l q * 736 

i 200. Minimalbasis des Körpers & m 739 

I. 201. Die Primideale des Körpers Sl m 741 

. 202. Darstellung der Primfactoren von p 743 

. 2U3. Das Kuminer'scbe Theorem 748 

. 204. Die Einheitswurzeln im Körper Sl m 754 

206. Der iu Sl m enthaltene reelle Körper H m 755 

206. Die Primideale im Körper Hm 757 

207. Die Einheiten des Körpers Hm 759 

Dreiundzwanzigster Abschnitt. 
Abel'ache Körper und Kreistheilungskjörper. 

2ü8. Zerlegung AbeTscher Körper 762 

, 209. Die Resolventen 765 

. 210. Vorbereitung zum Beweis 768 



XVI Inhalt des zweiten Bandes. 

Seite 

§. 211. Beweis des ersten Hülfssatzes für ein ungerades m 773 

§. 212. Beweis des zweiten Hülfssatzes für ein ungerades m 780 

§. 213. Vorläufiges über den Fall eines geraden m 781 

VierundzwanzigBter Abschnitt. 
Classenzahl der Kreistheilungskörper. 

§. 214. Classenzahldarstellung im Kreistheilungskörper Sl m 784 

§. 215. Bestimmung der Summen X 787 

§. 216. Ueber die Classenzahl in dem in Sl m enthaltenen reellen Körper 790 

§. 217. Classenzahl im Körper der achten Einheitswurzeln 794 

§. 218. Recurrente Berechnung der Classenzahl im Körper ßm, wenn m 

eine Potenz von 2 ist 796 

§. 219. Der Classenzahlfactor A 799 

§. 220. Der Classenzahlfactor B 803 

§. 221. Normaleinheiten in H m 805 

§. 222. Fundamentalsystem von Einheiten des Körpers Hm 812 

§. 223. Positive Einheiten 819 

Fünfundzwanzigster Abschnitt. 
Transoendente Zahlen. 

§. 224. Abzählbare Mengen 822 

§. 225. Unzählbare Mengen 825 

§. 226. Transcendenz der Zahl e 828 

§. 227. Transcendenz der Zahl n 833 

§. 228. Der allgemeine Satz von Lindemann über die Exponential- 

function 837 



ERSTES BUCH. 



GRUPPEN. 



W«b«r, Algebra. TL 



Erster Abschnitt 
Allgemeine Gruppentlieorie. 



§. 1. 
Definition der Gruppen. 

Wir haben im ersten Bande bei den Permutationen den 
Begriff einer Gruppe kennen gelernt und wichtige algebraische 
towendungen von ihm gemacht. Es muss nun unsere nächste 
Aufgabe sein, diesen in der ganzen neueren Mathematik so 
heraus wichtigen Begriff allgemeiner zu fassen und die dabei 
errschenden Gesetze kennen zu lernen. Wir stellen folgende 
Definition an die Spitze: 

Ein System P von Dingen (Elementen) irgend welcher Art 
ird zur Gruppe, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind: 

1. Es ist eine Vorschrift gegeben, nach der aus 
einem ersten und einem zweiten Elemente des 
Systems ein ganz bestimmtes drittes Element 
desselben Systems abgeleitet wird. 

Man schreibt symbolisch, wenn a das erste, b das zweite, 
das dritte Element ist: 

ab = c, c = a&, 
nd nennt c aus a und b componirt und a und b die Com- 
onenten von c. 

Bei dieser Composition wird im Allgemeinen nicht das 
jmmutative Gesetz vorausgesetzt, d. h. es kann ab von ba ver- 
mieden sein, dagegen wird 

2. das associative Gesetz vorausgesetzt, 

L wenn a, 6, c irgend drei Elemente aus P sind, so ist 

(ab)c = a(6c), 
d hieraus folgt durch die Schlussweise der vollständigen 
luction, dass man immer zu demselben Resultate kommt, wenn 

l* 



4 Erster Abschnitt. §. 1. 

man in einer beliebigen Reihe von Elementen aus P in end- 
licher Anzahl, a, 6, c, d . . . zuerst zwei benachbarte Elemente 
componirt, dann wieder zwei benachbarte u. s. w., bis die ganze 
Reihe auf ein Element reducirt ist, das mit ab cd . . . be- 
zeichnet wird. So ist z. B.: 

abcd = (ab)cd = [(ab)c]d = (ab)(cd) 
= a(bc)d = [a(bc)]d = a[(bc)d] 
= ab(cd) = (ab)(cd) = a[b(cd)] *). 

3. Es wird vorausgesetzt, dass, wenn ab = ab' 
oder ab = a'6 ist, nothwendig im ersten Falle 
b = 6', im zweiten a = a' sein muss. 

Wenn P eine endliche Anzahl von Elementen umfasst, so 
heisst die Gruppe eine endliche und die Anzahl ihrer Ele- 
mente ihr Grad. 

Für endliche Gruppen ergiebt sich aus 1., 2., 3. die 
Folgerung: 

4. Wenn von den drei Elementen a, 6, c aus P 
zwei beliebig gegeben sind, so kann man das 
dritte immer und nur auf eine Weise so be- t* 
stimmen, dass * 

ab = c 
ist. 

Sind nämlich a, b die gegebenen Elemente, so fallt die 
Behauptung 4. mit 1. zusammen. Ist aber a und c. gegeben, so 
lasse man in dem Compositum ab die zweite Componente b ~' 
das ganze System P durchlaufen , dessen Grad = n sei. Dann 
erhält man nach 1. und 3. in ab lauter verschiedene Elemente 
von P, und da ihre Anzahl = n ist, so müssen alle Elemente 
von P, also auch c, darunter vorkommen. Ebenso schliesst man/ r 
wenn b und c gegeben sind, indem man a das ganze System P 
durchlaufen lässt. 

Für unendliche Gruppen kann nicht mehr so geschlossen 
werden 2 ). Für unendliche Gruppen wird also noch die 
Eigenschaft 4. als Forderung in die Begriffsbestim» 
mung mit aufgenommen. 



*) Vgl. Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, §. 2. 

c ) So genügt z. B. das System aller ganzen positiven Zahlen, bei der 
Composition durch wirkliche Multiplication, den Forderungen 1., 2., 3., aber 
nicht dem Satze 4. 



§.1. Definition der Grup.pen. 5 

Bei den im ersten Bande betrachteten Permutationsgruppen 
wird man leicht die Merkmale des allgemeinen Gruppenbegriffes 
erkennen. 

Wir ziehen nun aus dieser Definition zunächst einige ganz 
allgemeine Folgerungen. 

Nach 4. giebt es für jedes gegebene b ein Element e in P, 
das der Bedingung 

(1) eb = b 

genügt, und dies e ist von b unabhängig; denn aus (1) folgt 

für jedes e 

ebc = bc, 
and be kann nach 4. jedes Element in P bedeuten. Ebenso 
giebt es ein Element e\ das für jedes b der Bedingung 

(2) bJ = b 

genügt Dies Element e' ist aber von e nicht verschieden; denn 
setzen wir b = e' in (1) und b = e in (2), so folgt 

also 

e = &. 

Das Element e ändert nichts, wenn es mit irgend welchen 
Elementen aus P componirt wird, und wird die Einheit der 
Gruppe genannt 

In vielen Fällen kann es ohne Missverständniss geradezu 
mit „l a bezeichnet werden. 

Zu jedem Element a giebt es nach 4. ein bestimmtes Ele- 
ment ar\ das der Bedingung 

(3) a~ x a = e 
genügt. Aus (3), (1) und (2) folgt 

ar x aar 1 = ear 1 = ar 1 = a _1 c, 
und folglich nach 3. 

(4) aa~ l = e. 

Die beiden Elemente a, ar 1 heissen zu einander entgegen- 
gesetzt oder reciprok. Sind a, b zwei Elemente der Gruppe und 

(5) c = ab, 
so ist 

(6) cri = b-ia-\ 

Id besonderen Fällen kann bei der Composition der Ele- 
mente einer Gruppe P auch das commutative Gesetz gelten, 
i h. es kann für je zwei Elemente a, b der Gruppe 

ab = ba 
sein. 



Erster Abschnitt. 



diese Eigenschaft haben, heissen 
Gruppen oder auch Abel'sche 



5. Gruppen, di 

commutativ 
Gruppen. 
Wenn sich die Elemente zweier Gruppen 
«, b, c,d ... 



und 

a\ 6', c', d' . . . 
in der Weise gegenseitig eindeutig entsprechen, dass immer, wenr 
ab s c ist, auch a'b' = d wird, so heissen die Grupper 
isomorph, und es gilt der evidente Satz, dass zwei mit eine] 
dritten isomorphe Gruppen unter einander isomorph sind. Mai 
kann hiernach alle unter einander isomorphe Gruppen zu einei 
Classe von Gruppen zusammenfassen, die selbst wieder ein« 
Gruppe ist, deren Elemente die Gattungsbegriife sind, die mar 
erhält, wenn man die entsprechenden Elemente der einzelnen 
isomorphen Gruppen zu einem Allgemeinbegrift' zusammenfasst 
Die einzelnen unter einander isomorphen Gruppen sind dann als 
verschiedene Repräsentanten eines Gattungsbegriffes aufzufassen. 

Die Eigenschaften der Gruppen, die in Betracht kommen 
können, sind von verschiedener Art. Sie können nämlich ent- 
weder den besonderen Gruppen anhaften und aus der Natur der 
Elemente abgeleitet sein, aus denen die Gruppe besteht, oder 
auch aus der Natur des Compositionsgesetzes. Oder sie können 
den Gruppen als solchen anhaften und müssen sich dann ledig- 
lich aus der Definition des Gruppenbegriffes ableiten lassen. 
Die letzteren Eigenschaften kommen allen isomorphen Gruppen 
gemeinsam zu und können als invariante Eigenschaften der 
Gruppe bezeichnet werden. Wenn ein Vergleich gestattet ist, so 
könnte man an den Unterschied zwischen den metrischen und 
projectiven Eigenschaften in der Geometrie erinnern. 

Zu der ersten Art der Eigenschaften, die aus der besonderen 
Natur der Elemente abgeleitet werden, gehören z. B. bei den 
Permutationsgruppen die Eigenschaften der Transitivität und 
Intransitivität , der Primitivität und Imprimitivität ; zu den 
invarianten Eigenschaften gehören die Vertauschbarkeit oder 
Nicb t vertäu sc hbarkeit, der Grad, die Divisoren und ihr Index, die 
Normaltheiler. Mit diesen invariauten Eigenschaften, bei denen 
es gleichgültig ist, aus welchem Repräsentanten einer Classe 
isomorpher Gruppen sie abgeleitet sind, habeu wir uns zunächst 
zu beschäftigen. 



§.2. Theiler einer Gruppe. 7 

§.2. 
Die Theiler einer Gruppe. 

Es ist, wie wir schon im ersten Bande gesehen haben, eine 
besonders wichtige Frage, ob ein Theil Q der Elemente einer 
Gruppe P selbst wieder eine Gruppe ist. Dazu ist nothwendig, 
dass je zwei Elemente aus Q bei der Zusammensetzung wieder 
ein dem System Q angehöriges Element ergeben. Für ein end- 
liches System Q ist diese Bedingung auch ausreichend. Bei un- 
endlichen Systemen muss noch die Forderung §. 1, 4. erfüllt sein, 
die wir auch so aussprechen können, dass zu jedem in Q ent- 
haltenen Element auch das reciproke Element in Q vorkommen 
muss. Diese kleinere Gruppe heisst dann ein Theiler oder 
Dirisor 1 ) der ganzen Gruppe. Das Einheitselement „l u bildet 
in jeder Gruppe für sich eine Gruppe, ist also in jeder Gruppe 
ein Divisor. 

Es sei nun P irgend eine endliche oder unendliche Gruppe 
und 

Q = 1, a x , a 2 . . . 

sei ein Theiler von P. Giebt es in P ausser den Elementen 
Ton Q noch andere Elemente, so nennen wir Q einen echten 
Theiler von P. Ist dann also b ein nicht in Q enthaltenes 
Element von P, so sind die Elemente 

Q l = 6, a x 6, Oa b . . . 

alle von einander verschieden (§. 1, 3.) und alle nicht in Q ent- 
halten; denn wenn etwa o, b in Q enthalten wäre, so müsste 
auch, da Q eine Gruppe ist, ar 1 <hb=b in Q enthalten sein, 
gegen die Voraussetzung. 

Ist mit Q und Q x die ganze Gruppe P noch nicht erschöpft, 
so nehmen wir eines der noch übrigen Elemente, das wir mit c 
bezeichnen können, und bilden 

V'i =r £? ^i £? Ot^c • • . , 
und überzeugen uns leicht, dass die Elemente von Q 2 alle nicht 
nur von einander, sondern auch von den Elementen von Q und 
Qi verschieden sind. Denn wäre etwa a x c = a 2 b, so würde 
folgen, dass c = ar 1 <hb sein müsste; es ist aber ar 1 ^ in Q 
enthalten , also mit einem der Elemente 1, a 1? a 3 . . . identisch, 

*) Auch Untergruppe genannt. 



■ 



und es wäre also c gegen die Voraussetzung in Q t enthalten. 
So fahren wir fort, die Systeme Q, Q lt Q 2 , . . . zu bildet. 

Diese Systeme Q u Q t , . . . nennen wir, wie in dem speciellen 
Falle der Permutationsgruppen, die zu Q gehörigen Neben- 
gruppen und bezeichnen sie durch 

Q, = Qh, & = Qe, ., . 

Es sind nun zwei Fälle möglich: entweder die Bildung der 
Nebengruppen Q t , ^» a , Q$, . . , geht ohne Ende weiter, oder es ist 
nach einer endlichen Zahl von Bildungen dieser Art die ganze 
Gruppe P erschöpft. Der letzte Fall, der uus hier hauptsächlich 
beschäftigt, tritt dann immer ein, wenn P eine endliche Gruppe 
ist. Wir nehmen jetzt eine endliche Zahl von Nebengruppen 
an und bezeichnen die letzte von ihnen mit 

a-i = es, 

so dass wir auch symbolisch 

(1) P = </ + Q, + ft + • ■ • + ft_, 
setzen können. 

Bisweilen werden wir auch das ganze System Q, Q u Q 3 , . . . 
(Q selbst eingeschlossen) als ein System von Nebengruppen be- 
zeichnen, und also die Darstellung (1) die Zerlegung von P 
in ein System von Nebengruppen nennen. 

Ist die Anzahl der Nebengruppen zu Q endlich, so heisst 
ihre Anzahl, also die Zahl j, der Index des Theilera Q von P, 
und Q ein Theiler von P von endlichem Index. Dieser Index 
wird (nach Dedekind) durch das Symbol 

(2) i = (P. 8) 

bezeichnet. 

Wühlt man aus jeder der Nebengruppen Q, Q u . . . Qj~\ ein 
Element a, b, . . ., g beliebig aus, so erhält man ein volles Re- 
präsentantensystem der Gruppe P nach ty, und man kann 
setzen 

P = Qa+Qb+ Qc + --.+ <jg. 

Aus der Bildungsweise der Nebengruppen folgt noch, dass, 
wenn b, c irgend zwei Elemente aus P sind, die beiden Systeme 
Qb und Qc entweder ganz identisch sind oder kein gemein- 
sames Element enthalten. Denn ist a, b = a t c, worin a,,/^ 
zwei Elemente aus Q sind, so ist auch für jedes andere Element 
a aus Q: 

a o, b = aa t c, 



§.2, Theiler einer Gruppe. 9 

und wenn a die ganze Gruppe Q durchläuft, so durchläuft, wie 
schon in §. 1 bemerkt, auch jedes der beiden aa^ und ao, die 
ganze Gruppe Q\ folglich sind Qb und Qc identisch. 

Ist also e irgend ein Element aus P, so ist das System 
^cmit einer der Nebengruppen Qa, Qb, . . . Qg identisch. 
Wenn zwei Nebengruppen Qb und Qc kein gemeinschaftliches 
Element enthalten, so enthalten die beiden Systeme b~ l Q und 
<r l Q, die wir gleichfalls Nebengruppen nennen, kein 
gemeinschaftliches Element. Denn ist fc -1 ^ = cr 1 ^ ein gemein- 
schaftliches Element der beiden letzten Systeme, so ist [§. 1, (6)] 
öf^ = at l c ein gemeinschaftliches Element von Qb und Qc. 
Die Nebengruppe b" 1 Q ist der Inbegriff der zu den Elementen von 
Qb reciproken Elemente von P, u^d hieraus ergeben sich, wenn 
Q einen endlichen Index hat, die beiden gleichzeitig bestehenden 
Zerlegungen von P in j Nebengruppen (Bd. I, §. 161): 

. a) P= Q + Qb+Qc + .--+Qg 

[) p = Q + b -iQ + cr-iQ + ...-)-g-iQ. 

Ist R ein Theiler von P von endlichem Index, und Q ein 
anderer Theiler von P, der seinerseits R als Theiler enthält, so 
wird eine der Nebengruppen R 1 von R entweder ganz in Q ent- 
halten sein, oder kein Element mit Q gemein haben. Es ist 
daher auch R ein Theiler von Q von endlichem Index (Q, R) 
= fe. Ist ferner U 1 eine Nebengruppe zu R, und Q t eine Neben- 
grappe zu Q, so wird Ri entweder ganz in Q 1 enthalten sein, 
oder kein einziges Element von Q l ist in R x enthalten. Es zer- 
fallt also jede Nebengruppe Q x in eine endliche Zahl Neben- 
grappen üj und die Anzahl (P, Q) der Q 1 ist also gleichfalls 
endlich. Ist die Zerlegung von Q in die Nebengruppen nach R 

Q = R -|- jRj -|- • • • + Rk-u 

so erhält man irgend eine der Nebengruppen Q t , wenn man ein 
Element a aus P passend auswählt, in der Form 

Qi = Ra + Ri a "h • • • H~ A— iä, 
worin die Nebengruppen Ra, U x a, . . . -R^-ia alle von einander 
verschieden sind. Es zerfällt daher jedes Q L in gleichviel Neben- 
grappen nach R, und wir erhalten den Satz 

(4) (P, R) = (P, Q) (Q, R). 

Wenn P eine endliche Gruppe vom Grade n ist, so können 
wir für R die aus dem einzigen Elemente 1 bestehende Gruppe 



10 Erster Abschnitt, §. 1 

nehmen, und dann wird (P, R) gleich dem Grade H von P 

Ebenso wird (Q, E) gleich dem Grade m von Q, und wenn wii 

den Index des Theilers Q von P mit j bezeichnen, so geht (4' 

in die Form üher: 

(5) « = j vi , 

und wir erbalten den Satz: 

1. Der Grad einer endlichen Gruppe ist durch dei 
Grad eines jeden seiner Theiler theilbar, und de 
Quotient beider Zahlen ist der Index des Theilen 

Die Nebengruppen haben nicht die Merkmale einer Gruppt 
Denn damit zwei Kiemente ans Q x bei der Zusammensetzung 
wieder ein Element von Q, ergeben, müsste etwa 

a, b oj b = Ogb, 
also «,&«., = « 3 , b = ar^a^a^ 1 sein. Es wäre also b der Voraus- 
setzung entgegen in Q enthalten. Die Benennung Nebengruppe 
ist also nur unei gentlich zu verstehen. 

Zwei Theiler Q, Q' von P haben immer das Element 1 mit 
einander gemein. Sie können aber auch noch andere Elemente 
gemeinschaftlich haben, und diese gemeinschaftlichen Elemente 
bilden eine Gruppe. Denn gehören die Elemente a und b sowohl 
zu Q als zu Q\ so gilt wegen des Gruppencharakters von Q 
und Q' dasselbe von dem Compositum ab. Und wenn a in Q und 
in Q' vorkommt, so ist auch tf* in beiden enthalten. Diest 
gemeinschaftliche Gruppe nennen wir den grössten gemein- 
schaftlichen Theiler von Q und Q' oder auch, nach einem 
Vorschlage von Study, mit einem geometrischen Anklänge, der 
Durchschnitt von Q und Q 1 . Ebenso folgt, dass die Elemente 
die irgend einer Anzahl von Theilern von P gemeinsam sind, eint 
Gruppe bilden, die wir ebenso als den grössten gemeinschaftlicher 
Theiler oder den Durchschnitt aller dieser Gruppen bezeichnen 

In jeder Gruppe können wir nach folgendem Verfahret 
Theiler bilden. 

Ein Theiler ist immer das Einheitsei cment für sich. 

Bezeichnen wir die wiederholte Zusammensetzung eines Ele> 
mentes mit sich selbst durch Potenzen, mit a" das EinheitS' 
element, und mit a~ T die r K Potenz des Elementes a~\ oder dai 
mit a T reciproke Element, so bildet die Reihe der Elemente 

. . . a~\ «-', 1, a, a\ a s . . ., 
die alle der Gruppe P angehören, eine Gruppe. Ist die Gruppe J 






§.3. Normaltheiler einer Gruppe. 11 

endlich, so kann diese Reihe nicht lauter verschiedene Elemente 
enthalten« Ist also ein Element, das zum zweiten Male wieder- 
kehrt, 

a a = a a+ö , 

so folgt, dass a a = 1 sein muss, und wir nehmen an, dass a die 
kleinste positive Zahl ist, die dieser Bedingung genügt. Es ist 
dann, wenn m = qa ein beliebiges Vielfaches von a ist, a m = 1, 
und umgekehrt: so oft a m = 1 ist, muss m durch a theilbar sein; 
denn sonst könnte man m = q a -\- a' setzen, worin a' positiv und 
kleiner als a ist, und es wäre a a ' = 1, gegen die Voraussetzung. 
Es ist immer und nur dann 

a u = a u \ 
wenn p = ft' (mod a). 

Die Reihe 

A = 1, a, a 2 . . . a"- 1 

enthalt dann a von einander verschiedene Elemente von P, wobei 
alle Potenzen von a vertreten sind. Die Elemente A bilden 
aber offenbar eine Gruppe vom Grade «, weil sich die Expo- 
nenten bei der Zusammensetzung einfach addiren. Diese Gruppe 
ist ein Theiler von P und also ist a ein Theiler von «. Es 
ist also für jedes Element a n = 1. 

Die Gruppe A heisst die Periode des Elementes a 
und a wird auch der Grad des Elementes a genannt. 

§. 3. 
Normaltheiler einer Gruppe. 

Ist P wie oben eine Gruppe, und Q ein Divisor von P mit 
den Elementen 1, a u a 2 , . . ., ferner b ein nicht in Q enthaltenes 
Element von P, so ist die Nebengruppe Qb keine Gruppe. Da- 
gegen bildet das System b" 1 Qb sicher eine Gruppe, weil 

6~ 1 a 1 6 . b- x a 2 b = b~~ 1 a l a 2 b 

ist, und diese Gruppe ist mit Q isomorph. Die Gruppe b~ l Qb 
heisst die durch b aus Q transformirte Gruppe. Gehört b 
selbst zu (), so ist b" 1 Qb mit Q identisch. Nimmt man für b die 
verschiedenen Elemente von P, so erhält man eine ganze Schaar 
solcher Gruppen, die wir die zu Q conjugirten Theiler von 
P oder auch kurz conjugirte Gruppen nennen. Ersetzt man 
b durch ein Element b x = ab der Neben gruppe Qb, so ist 




Krater Abschnitt. §. 3. 

mit b~ x Qb identisch. Wenn also Q ein Theiler von 
P von endlichem Index ist, so ist die Anzahl der ver- 
schiedenen zu Q conjugirten Theiler jedenfalls endlich. 

Es kann vorkommen, dass alle conjugirten Theiler mit ein- 
ander identisch sind. Wir haben schon bei den Permutations- 
gruppen gesehen, dass dieser Fall von besonderer Wichtigkeit 
ist, und führen also nun allgemein folgende Definition ein: 

1. Wenn Q ein Theiler von P ist, der mit seinen 
sämmtlichen conjugirten Theilern identisch ist, 
so heisst Q ein Normaltheiler von P 1 ). 

Die aus dem einzigen Element 1 gebildete Gruppe ist ein 
Normaltheiler von jeder Gruppe. Wir erhalten ferner einen 
Normaltheiler in dem grössten gemeinschaftlichen Theiler li der 
sämmtlichen mit irgend einem Theiler Q von P conjugirten Theiler. 

Denn es ist schon oben bewiesen, dass R als der Durch- 
schnitt mehrerer Theiler von P eine Gruppe ist. 

Sind nun 

(i) e. «', «" . . ■ 

die zu Q conjugirten Theiler von P, und b irgend ein Element 
von P, dann ist das System der Gruppen 

(2) b-tQb, b'iqb, b-*Q"b... 
von dem System (1) nicht verschieden. Wenn aber R der 
Durchschnitt der Gruppen (1) ist, so ist b~*Rb der Durchschnitt 
von (2), und folglich ist R mit b~ l Rb identisch, d. h. R ist ein 
Normaltheiler von P. 

Ist N ein Normaltheiler irgend einer Gruppe P, und b ein 
beliebiges Element in P, so ist 

(3) b~*Nb aa N oder Nb = bK 

Ist der Index (P, X) endlich und gleich (t, so können wir 
die ft Elemente 1, i, . . . ft^_i so wählen, dass die Zerleguug von 
P in die Nebengruppen 

P = Jt + Nbi + Nb a H 1- Nbp-i 

= N+b 1 N+b i N-\ h^-i-y 

ergiebt. Es ist also 

(4) S, Äia= JTÄjaaSjJ^ jV a = Nb, = b 3 N . . 

iV p _, = Nba-i^ba-.N 

das System der Nebengruppen. 



') Anch ausgezeichnete oder invariante Untergruppe genannt. 



§. 4. Composition der Theile. 13 

Wir erwähnen noch folgenden Satz, dessen Richtigkeit sich 
anmittelbar ans dem Isomorphismus transformirter Gruppen 
ergiebt: 

2. Ist Q ein Theiler von P y R ein Theiler von Q, so 
ist, wenn Q' und R f aus Q und R durch dasselbe 
Element von P transformirt sind, auch R' ein 
Theiler von Qf, und wenn R Normaltheiler von 
Q ist, so ist auch R 1 Normaltheiler von Q'. 

Es gilt ferner noch folgender Satz. 

3. Ist Q ein Theiler von P, N ein Theiler von Q, und 
zugleich Normaltheiler von P, so ist N auch 
Normaltheiler von Q. 

Das ist selbstverständlich, weil die den Normaltheiler von N 

definirende Relation 

ar l Na = N 

f&r jedes Element a von P, also auch für jedes Element von Q gilt. 

Man darf aber nicht umgekehrt schliessen, dass 
ein Normaltheiler von Q auch immer Normaltheiler 
von P sein müsse. 

Jede Gruppe hat sich selbst und das Einheitselement zu 
Xormaltheilern. 

4. Eine Gruppe, die ausser diesen beiden keinen 
anderen Normaltheiler hat, heisst einfach. 

Composition der Theile. 

Es sei jetzt P eine endliche oder unendliche Gruppe, und 
i, B irgend zwei Reihen von Elementen aus P (Gruppen oder 
nicht). Wir verstehen unter dem symbolischen Producte AB 
den Inbegriff aller Elemente, die man erhält, wenn man je ein 
Element a von A mit je einem Element b von B nach der in P 
geltenden Vorschrift zu a b componirt. Diese Art der Zusammen- 
setzung von A und B zu AB wollen wir die Composition 
der Theile (von P) nennen. Wir unterscheiden hier zwischen 
einem Theil und einem Theiler von P, so dass ein Theiler 
immer eine Gruppe sein soll, was bei einem Theil nicht noth- 
wendig ist. 



Man kann ebenso drei und mehr Theile A, B, C . . . von P 
componiren, und es gilt bei der Composition der Theile das 
associative Gesetz, wie unmittelbar daraus folgt, dass dieses 
Gesetz in P gilt. Danach ist die Bedeutung eines CompoBitums 
ABC . . ■ eindeutig bestimmt. 

In der Zusammensetzung AB kann einer der Theile A, B 
auch aus einem einzigen Elemente bestehen, und dann stimmt 
die Bezeichnung AB mit der oben für die Nebengruppen ge- 
hrauchten Bezeichnung überein. 

Bei der Composition der Theile gelten folgende Sätze : 

1. Wenn A eine Gruppe ist, so ist 
AA = A. 

Ist A ein endlicher Theil von P, so ist die Be- 
dingung (1) auch hinreichend, um auszudrücken, 
dass A eine Gruppe ist. 
Denn wenn A eine Gruppe ist, und a, u' zwei Elemente aus 
A sind, so ist auch aa' in A enthalten. Da A als Gruppe auch 
das Einheitselement enthält, so ist auch jedes Element a iu A 
gleich l.a, also in AA enthalten. Dass bei einem endlichen 
System A die Bedingung (1) auch hinreicht, um die Gruppen- 
natur zu erweisen, ergiebt sich aus §. 1. 

2. Ist A ein Normaltheiler von P, bo besteht für 
jeden beliebigen Theil B von P die Gleichung 

(2) AB = BA. 

Denn ist b irgend ein Element aus B (also auch aus P), bo 
ist für einen Normaltheiler A von P nach §. 3 Ab = bA, woraus 
sich (2) ergiebt. 

Bei einer endlichen Gruppe P drücken die beiden Bedin- 
gungen fl) und (2) vollständig aus, dass A eine Gruppe und 
zwar ein Normaltheiler von P ist. 

3. Ist die Gruppe A ein Theiler von P, und B ein 
Theil von A, so sind auch AB und BA Theile 
von A. Ist auch B eine Gruppe, so ist 

(3) AB = A, BA = A. 

Denn wenn B eine Gruppe und ein Theiler der Gruppe A 
ist, und wenn a in A, b in B und also auch in A enthalten ist, 
so ist auch ab in A enthalten. A enthält also jedes Element 
von AB. 



§.4. Gruppe der Nebengruppen. 15 



\ Weil aber zweitens B als Gruppe auch das Element 1 ent- 
) hält, so enthält AB auch jedes Element von A, und also ist 
AB mit A identisch. Ebenso sieht man, dass BA mit A iden- 
tisch ist 

Andererseits folgt aus jeder der Gleichungen (3), da A als 
Gruppe das Einheitselement enthält, dass jedes Element von B 
in 1 enthalten, also B ein Theiler von A ist. 

4. Bei der Composition der Theile bildet das 
System der Nebengruppen zu einem Normal- 
theiler von P selbst eine Gruppe, in der der 
Normaltheiler N die Einheit bildet, und 

Nb, Nb- 1 
entgegengesetzte Elemente sind. 

Denn ist N ein Normaltheiler von P und 

(4) N, JV 2 = Nb u N 2 = Nb 2 , . . . 
das System der Nebengruppen, so ist 

N h N k = Nb h Nb k . 

Wegen der Eigenschaft der Normaltheiler ist aber N mit 
jedem b vertauschbar, also b h N = Nb h , und folglich 

(5) ' N h N k = NNb h b k . 

Weil b h b k in P enthalten ist, so ist Nb h b k mit einer der 
Xebengruppen (5) identisch, und da NN=N gesetzt werden 
kann (nach 1.), so folgt, wenn wir Nbhb k = Ni setzen, 

(6) N h N k = N l . 

Damit ist die Eigenschaft §. 1, 1. der Gruppen für die 
Composition der Nebengruppen nachgewiesen. Dass auch §. 1, 2., 
nämlich das associative Gesetz gilt, haben wir schon hervor- 
gehoben. Es ist also noch §. 1, 3. nachzuweisen, nämlich dass 
i wenn 
(') N h N i = N k N l 

gesetzt wird, und Nh = N k ist, auch Ni = Ni, und wenn 
3 r , = N t ist, auch Nh = N k sein muss. 

Nach der Darstellung (5) können wir aber (7) in der dop- 
pelten Weise darstellen: 

, Ä . Nb h b i = Nb k b l 

w b h b i N=b k b l N. 






16 Erstsr Abschnitt. §. 4. 

Ist nun Ni sa Ki, so können wir auch ö,- — bi annehmen, 
und erhalten aus (9) durch Composition mit bT l 

Nb,,= Nb k ; 
und wenn Nbi, = Nb k ist, so nehmen wir b,, = b k an und er- 
halten aus (8) durch Composition mit &jT' 

biN=b,N, 
also auch Ni = N t . 

Endlich folgt noch daraus, dass man aus der Gleichung 
b h b k = bi eines der drei Elemente 6*, b k , b t durch die beiden 
anderen bestimmen kann, die gleiche Eigenschaft für die 
Gleichung (6), so dass also auch §. 1, A. für das System der Äj 
befriedigt ist. 

Damit ist also erwiesen, dass das System der Nebengruppen 
durch die Composition der Theile zu einer Gruppe wird; dass 
in dieser Gruppe der Normaltheiler N das Einheitselement ist, 
folgt unmittelbar aus 1., weil danach 

NN k = NNb k = N k 
ist. Und weil N^Nb^ 1 = Nl^b^ 1 = N ist, so sind Nb k und 
NbT' entgegengesetzte Elemente. 

Die Gruppe der Grössen N k , deren Existenz also hiermit 
nachgewiesen ist, nennen wir die Gruppe der Nebengruppen 
oder die zu N complenientäre Gruppe in Bezug auf P, Wir 
bezeichnen sie nach dem Vorgange von Holder 1 ) mit P/N. Hat 
N einen endlichen Index (P, N) in Bezug auf P, so ist dia 
Gruppe P/N endlich, auch wenn P selbst nicht endlich ist, und 
der Grad von P/N ist gleich dem Index (P, N). 

Sind A und B Gruppen in P, so ist, wie schon im §. 2 I 
gezeigt ist, ihr Durchschnitt D gleichfalls eine Gruppe. Das 
System AB wird aber nicht immer eine Gruppe sein. Wenn 
die Gruppen A, B und folglich D endlich sind, und von den 
Graden a, ß, Ö, so ist AB gleichfalls endlich und vom Grade 
aß : 3. Dann sind a, a, Elemente in A und b, b y Elemente in 
B, so ist dann und nur dann 

ab — «i &j , 
wenn 



') Mathematische Aonalen, Ud. 34. Das Zeichen erinnert an einen 
Quotienten, mit dem ja die comp lern entäre Gruppe eine gewisse Ana- 






§. 5. Mehrstufiger Isomorphismus. 17 

in D enthalten ist. Dann ist aber 

a x = adT , b t = db. 

Wenn wir also a die Elemente von A, b die Elemente von 
B durchlaufen lassen, so wird in der Form ab jedes Element 
von AB, und jedes genau tfmal dargestellt Die Zahl der in 
AB enthaltenen verschiedenen Elemente ist also aß : d. Hieraus 
leiten wir folgenden Satz ab: 

5. Sind A, B endliche Qruppen in P, so ist AB dann 
und nur dann eine Gruppe, wenn 

(9) AB = BA 

ist 

Damit nämlich AB eine Gruppe sei, ist nothwendig und 
hinreichend, dass zu je zwei Elementenpaaren a, b; a x , b x aus 
Ay B sich ein drittes Elementenpaar o,, b 9 bestimmen lässt, so 
dass 

(10) aba x b x = a 2 b 2 

ist Daraus folgt aber 

ba^ = a~ a^bibT , 

d. h. es muss ba v in AB enthalten sein. Da b und a Y in ihrer 
Gruppe beliebig sind, so ist BA ein Theil von AB. Da aber 
die Grade AB und BA übereinstimmend = aß : 8 sind, so 
folgt, dass AB mit BA identisch ist Ist umgekehrt die Bedin- 
gung (9) erfüllt, so kann jedes ba in die Form ab gesetzt werden, 
woraus sich die Relation (10) ergiebt Damit ist also das Theorem 
5. bewiesen. 

§. 5. 
Mehrstufiger Isomorphismus. 

Wir beschäftigen uns zunächst fast ausschliesslich mit end- 
lichen Gruppen. Wenn P eine solche Gruppe vom Grade n 
ist, und N ein Normaltheiler von P vom Grade v und Index ^, 

so ist [§. 2, (4)] 

n = ftv, 

und die complementäre Gruppe P/N ist vom Grade ^. Wir 
wollen diese oder eine damit isomorphe Gruppe mit Q bezeichnen 
und ihre Elemente, die den Nebengruppen N, Nb x , Nb 2 . . . ent- 
sprechen, mit A y B, C . . . Jedem dieser Elemente entsprechen 
vElemente der Gruppe P, etwa 

Weber, Algebra. IL 2 












dem Elemente A die Elemente a, «, . . . o y _i 
dem Elemente B die Elemente b, ö, . . . &,_, 

Dies Entsprechen ist dann derart, dass jedes zusammen- 
gesetzte Element ab dem zusammengesetzten Elemente AB ent- 
spricht. Denn die Elemente A und B entsprechen den Neben- 
gruppen Na und Nb, und es ist, weil N ein Normaltheiler ist, 
NaNb = Nab. 

Es gilt also liier bei der Zusammensetzung der A, B . . . 
einerseits und der a, b . . . andererseits dasselbe Gesetz, wie bei 
den isomorphen Gruppen (§. 1), nur mit dem Unterschiede, dass 
jedem Elemente A nicht bloss ein Element a, sondern mehrere 
entsprechen. Diese Thatsache giebt Anlass, den Begriff des 
Isomorphismus zu erweitern, wie es durch folgende Definition 
geschieht : 

Man nennt eiue endlicheGruppePmitden Elementen 
a, b, c . . . (mehrstufig) isomorph mit einer Gruppe Q mit 
den Elementen A, B, C . . ., wenn beide Gruppen so auf 
einander bezogen werden können, dass jedem der Ele- 
mente A,B,C . . . ein oder mehrere der Elemente a,b % c . . . 
entsprechen, und zwar so, dass jede3 der Elemente von 
Q einem und nur einem der Elemente von P entspricht, 
und dass, wenn a und A, b und B einander entsprechen, 
ab dem Elemente AB entspricht. 

Es lässt sich zunächst beweisen, dass jedem der Elemente 
A, B, C . . . eine gleiche Zahl von Elementen a,b, c . . . ent- 
spricht und dass also der Grad von Q ein Theiler des 
Grades von P ist. Denn es sei A das Einheitselement in Q, 
dem die Elemente a, n, . . . a r —i in P entsprechen mögen. DieBe 
letzteren Elemente müssen dann eine Gruppe vom Grade v 
bilden, die wir mit N bezeichnen wollen, weil nach der Detinition 
des Isomorphismus das Element aai dem Elemente AA = A 
entsprechen muss. Ist dann b ein dem Elemente B entsprechendes 
Element von P, so müssen wiederum alle Elemente Nb dem- 
selben Elemente B aus Q entsprechen. Denn jedes ab muss dem 
Elemente AB = B entsprechen. Sind b u b zwei dem Elemente 1 
entsprechende Elemente, so entspricht 6,6 _1 = « dem Elemente 
A, und ist also in N enthalten, also ist b : = ab in Nb ent- 
halten. Durch Nb sind also alle Elemente, die dem Elemente B 






§. 6. Allgemeine Gruppen und Permutationsgruppen. 19 

entsprechen, erschöpft, und jedem Elemente von Q entsprechen 
v Elemente von P. Der Isomorphismus heisst v-stufig. Jedes 
Element b~ 1 ab entspricht aber gleichfalls dem Einheitselemente 
A und also ist b~~ x Nb = N, d. h. N ist Normaltheüer von P, 
and Q ist einstufig isomorph mit P/N. 

Wir sehen also, dass es einen anderen mehrstufigen Iso- 
morphismus als den zwischen der complementären Gruppe eines 
Normaltheilers und der Gesammtgruppe nicht giebt. Man könnte 
aber den Begriff des Isomorphismus noch dahin erweitern, dass 
man zwei Gruppen, die zu einer dritten Gruppe p- und v-stufig 
isomorph sind, ft-v- stufig isomorph zu einander nennt. Bei 
Weitem der wichtigste ist der einstufige Isomorphismus, den wir 
daher als Isomorphismus schlechtweg bezeichnen, während ein 
mehrstufiger Isomorphismus immer durch einen Zusatz kenntlich 
gemacht werden soll 1 ). 

§. 6. 
Beziehung der allgemeinen Gruppen zu den 

Permutationsgruppen. 

Die Gruppen, die wir bisher am meisten angewandt haben, 
sind die Permutationsgruppen; diese Art von Gruppen gewinnen 
eine erhöhte Bedeutung auch für die allgemeine Gruppentheorie 
durch die folgenden Betrachtungen. 

Es sei 

(1) P = a , a u a,, . . ., a n ^ v 

eine beliebige Gruppe vom Grade n. Greifen wir aus P irgend 
ein Element b heraus, so ist der Complex Pb mit P völlig 
identisch. Es können sich also die beiden Reihen 

A. = a , cii , g&2, . . ., #*— i 
Ab = a 6, Oxi, Oji, . . ., a n _ \b 

nur durch die Anordnung von einander unterscheiden. Der 
Uebergang von A zu Ab ist also eine Permutation von n Ziffern 
Q, 1, 2 . . . w — 1, und jedem Elemente b von P entspricht eine 
solche Permutation, die wir mit n h bezeichnen wollen. Zwei ver- 



*) Vgl. C. Jordan, Traite des substitntions. Netto, Substitutionen - 
tfccorie. Die Bezeichnung „/i-stufig" rührt von Netto her. Nach Jordan 
fceitft der einstufige Isomorphismus „holoedrischer tt , der mehrstufige 
„meroedrucher" Isomorphismus. Der einstufige Isomorphismus wird bis- 
weilen auch als Aequivalenz bezeichnet. 

2* 



20 Erster Abschnitt % & 

schiedenen Elementen b, c entsprechen immer zwei verschiedene 
Permutationen #„, je,., und dem Einheitsclemcnte entspricht die 
identische Permutation, Setzen wir 

9, = (A,Ab) t a„ = (A, A c), 
so können wir a c auch mit {Ab, Abc) bezeichnen, und daraus 
ergiebt Bich 

(2) jr,,jr r = n b€ , 

d. h. die Permutationen je bilden eine mit P isomorphe Permu- 
tationsgruppe je. Diese Perniutationsgruppe ist transitiv, da z. B. 
das Element a in jedes beliebige andere Element von P über- 
gehen kann. Also habeu wir den Satz: 

1. Jede Gruppe vom Grade n ist isomorph mit einer 
transitiven Permutationsgruppe von «Ziffern. 

Es giebt natürlich noch andere mit einer gegebenen Gruppe 
isomorphe Permutationsgruppen, und es wäre von besonderem 
Interesse, eine solche Gruppe mit möglichst geringer Ziffernzahl 
zu bilden. Diese Aufgabe kaun bis jetzt nicht allgemein gelöst 
werden. Wir müssen uns hier mit wenigen Sätzen begnügen. 

Wir nehmen an, es sei JR irgend ein Divisor von P vom 
Index j-, und bezeichnen die Elemente von li mit c, setzen ferner, 
indem wir P in ein System von Nebengruppen zerlegen, 

(3) P = R + Rb, -j- Rb t H h E h-\- 

Ist dann a irgend ein Element von P, so werden die beiden 
Systeme 

B = R, Rb^ Rb, Rbj-t 

Ba = fio, Rb,a, Rb^u, . . ., Rbj^a, 
von der Reihenfolge abgesehen, übereinstimmen, und es ent- 
spricht also jedem Element a eine bestimmte Pernnitation tt., der 
j Ziffern 0, I . . .j — 1, die wir mit 

(5) *, = (B, Ba) 
bezeichnen können. Auch hier gilt das Gesetz 

(6) Ä a JT„. S= »an', 

wenn a' gleichfalls irgend ein Element aus P ißt und diese 
Permutationen bilden also auch eine Gruppe IT B . Es ist noch 
die Frage, ob verschiedene Elemente a dieselbe Pernnitation x 
hervorrufen können. Wenn jt„ = a a - ist, so folgt aus (fi): 

jr u . n -i = 1, 
und wenn wir also mit (tt, alle der Bedingung 



§. 7. Zerlegung einer Oruppe nach zwei Theilern. 21 

genügenden Elemente bezeichnen, so ist a' = a a, und es kommt 
darauf an, die Gesammtheit der Elemente a zu ermitteln. 
Wenn aber 
(8) Rba = Rb 

sein soll, so muss 

ba = cb 
oder 

a = b~~ l cb 

sein, & h. a muss der Gruppe b~ x Rb angehören, und dies ist 
auch hinreichend für das Bestehen von (8). 

Daraus ergiebt sich, dass die der Bedingung (7) genügenden 
Elemente a^ die ganze Gruppe Rq erfüllen, die der Durchschnitt 
aller mit R conjugirten Theiler von P: 

R, bT Rbi, 62" -ß&2i • • -i &J— l-R&y— 11 
und, wie wir früher nachgewiesen haben, ein Normaltheiler 
▼on P ist 

Daraus ergiebt sich für den Fall, dass ü = 1 ist, der Satz: 
2. Hat eine Gruppe P einen Theiler vom Index j, 
der mit seinen conjugirten Theilern ausser dem 
Einheitselemente kein Element gemein hat, so ist 
P (einstufig) isomorph mit einer transitiven 
Permutationsgruppe von j Ziffern. 
Dass die Permutationsgruppe transitiv ist, sieht man aus (4), 
wo für a jedes der Elemente b u b 2 , . . ., 6/_i gesetzt werden kann. 
Der Satz 2. findet immer statt, wennP eine einfache Gruppe 
und jR ein echter Theiler von P ist, weil dann J^, als Normal- 
theiler von P, sich auf die Einheitsgruppe reduciren muss x ). 

Der andere extreme Fall ist der, dass R Normaltheiler von 
P ist. In diesem Falle ist P mehrstufig isomorph mit der 
Permutationsgruppe TI B ; dagegen ist in diesem Falle die Per- 
mutationsgruppe TI B einstufig isomorph mit der Gruppe P/R. 

§•7. 
Zerlegung einer Gruppe nach zwei Theilern. 

Es seien jetzt Q und R irgend zwei Theiler einer endlichen 
Gruppe P. Die Elemente von P sollen mit a, die von Q mit b 
und die von R mit c bezeichnet sein, so dass sowohl die b als 
die c unter den a enthalten sind. 



l ) Holder, Mathematische Annalen, Bd. 40, S. 57. 



Wir zerlegen zunächst, indem wir 
(P,K)=J 
setzen, und die Elemente »i, Oj, . . ., o,- passend aus P auswählen, 
P in die Nebengruppen nach R: 

(1) P = R + Ra H H ÜO)-i. 

Nun betrachten wir einen (nach der Composition der Theile 
gebildeten) Complex 

(2) P k = Ra„Q, 

und bemerken, dass, wenn in diesem Complex ein Element aus 
einer Nebengruppe Ra vorkommt, zugleich alle Elemente dieser 
Nebengruppe darin enthalten sind. Denn unter dieser Voraus- 
setzung muss a die Form haben 

a = Co» 6, 
und dann ist auch jedes Element c'a in derselben Form enthalten- 
Um die Anzahl der in P* enthaltenen Nebengruppen Ra z» 
ermitteln, betrachten wir zunächst die Elemente e aus Q t die der 



(3) Ra k = Ra k e 

genügen. Diese Gleichung besagt aber, dass a k e in Ra k oder* 
dass e in d k ~ 1 Ra k enthalten ist. Demnach ist die Bedingung (3J 
erfüllt für alle Elemente e, die der Gruppe 

Qu, Durchschnitt von Q mit a k l Ra* 
angehören. Daraus ergiebt sich allgemein, dass zwei Neben— 
gruppen Raub, Ra k b t dann und nur dann einander gleich sind., 
wenn &,&-' in Q k enthalten, also 6, = eb ist, und dass also, wenr* 
man b in Ra k b die ganze Gruppe Q durchlaufen lässt, jede dexr 
Nebengruppen Ra, die überhaupt darunter vorkommt, gleich oft. 
nämlich so oft, als der Grad von Q k beträgt, erzengt wird. 

1. DieAnzahldorinP* vorkommenden Neben gruppen 
Ra ist also gleich dem Index (£,<&), und die An- 
zahl der Elemente, oder der Grad von P t ist, wenn 
r- den Grad von R bedeutet, gleich r(Q>Q k ). 
Ist nun an ein Element in P, so wird das System 
P h = Ra h Q 
nur dann ein Element mit P 6 gemein haben, wenn a* von der I 
Form ca*b ist, und dann ist P h mit P* identisch. Hieraus ergiebt I 
sich, dass man eine bestimmte Anzahl von Elementen 1, a lt <u, , . 
aus P so auswählen kann, dass keine zwei der Systeme 
P, = RQ, P, = Ra l Q, P 1 = Ra t Q,. 




§. 8. Die Compositionsreihe und der Satz von C. Jordan. 23 

ein Element gemein haben, während sie in ihrer Gesammtheit 
alle Elemente von P enthalten, so dass man 

(4) P = JB Q + R<h Q + JBoj Q H 

setzen kann. Man kann die Elemente a u a 3 , . . . aus den in der 
Formel (1) vorkommenden entnehmen. 

Jedes der Systeme P , P u P a , . . . enthält eine zu bestim- 
mende Anzahl von Nebengruppen jßa, und da die Gesammtzahl 
dieser Nebengruppen = (P, JB) ist, so ergiebt sich, wenn Q , 
Qu Qit • • • die Durchschnitte von Q mit den Gruppen 

bedeuten, die für die Folge wichtige Relation 

(5) (P, R) = (<?, Q ) + (<?, Q x ) + (<?, &) + '•• 

in der die Zahlen (Q, Q ), (#, &), (#, (),) Theiler des Grades q 
der Gruppe Q sind. 

Aus der Bemerkung, dass, wenn a^ nicht in Rc^Q vorkommt, 
«T 1 nicht in QdT l R enthalten ist, ergiebt sich, dass neben der 
Zerlegung (4) die folgende Zerlegung besteht: 

(6) P = QR + QaT x R + Qa7 l R -\ i). 



§. 8. 
f Die Compositionsreihe und der Satz von C. Jordan. 

Eine endliche Gruppe P heisst einfach, wenn sie ausser sich 
selbst und der Einheit keinen Normaltheil er hat, zusammen- 
gesetzt, wenn noch andere Normal theiler vorhanden sind. 

Ein Normalth eiler, der keinen anderen Normaltheiler über 

sich hat, der also nicht Theil eines anderen echten Normal- 

theilers von P ist, heisst ein grösster Normaltheiler von 

P '). Ist Pj ein grösster Normaltheiler von P, P 2 ein grösster 

Normaltheiler von P 17 P 3 ein grösster Normaltheiler von P 2 u. s. f., 

so heisst die Reihe von Gruppen 

(1) P, P x , P 2 , P3 . . . 1, 

die nothwendig mit der aus dem Einheitselemente allein ge- 
bildeten Gruppe 1 endigt, eine Compositionsreihe der 
Gruppe P. 



*) Die Zerlegung einer Gruppe P nach zweien ihrer Theiler rührt 
ron Dedekind her. Göttinger Nachrichten 1894. 

*) Ausgezeichnete Maximal - Untergruppe nach anderer Bezeichnung. 






Wir wollen die Grade der Gruppen (1) mit u. h,, u._. n ... 1 
bezeichnen, und die Quotienten n : » 1T n x : «,, n, : n, . . ., also 
die lndices von P, in Bezug auf P, P s in Bezug auf P, u. s. £ 
mit v,, v s , v t . . . Es ist dann nach der in §. '2 eingeführten 
Bezeichnung der lndices 

v, = (p,p,), o, = w.iy, n = (p,.p,), ■ ■ ■ 

uud die Reihe der ganzen Zahlen 

(2) »j, w a , *j, . . . 

nennen wir die Indexreihe der Gruppe P. 

Die grössten Normaltheiler P,, P^, P s . ■ ■ können für eine 
gegebene Gruppe P im Allgemeinen auf mehrere verschiedene 
Arten ausgewählt werden, und danach können auch die Grad- 
zahlen «|, « ä , «s . . . und die lndices i>,, v s , v s . . . verschieden 
ausfallen. Es gilt aber der folgende schöne und wichtige Satz 
von C. Jordan 1 ): 

I. Wie auch die Compositionsreihe einer Gruppe P 
gewählt sein mag, die Indexreihe ist, von der 
Anordnung abgesehen, immer dieselbe. 
Der Beweis beruht auf der Betrachtung der im §. 4 ein- 
geführten complementären Gruppen. 

Es seien Q und Q t Normaltheiler von V und zugleich Q, 
ein Theiler (also nach §. 3, 3. Normaltheiler) von Q. 
Dann gilt der Satz: 

1. Die Gruppe Q/Qi ist ein Normaltheiler der Gruppe 
PiQ u und der Index von Q/Q t in Bezug auf PfQ, 
ist gleich dem Index von Q in Bezug auf P. In 
Zeichen: 
(83 (*/©,. «/&)=»(*,«> 

Um seine Richtigkeit einzusehen , braucht man nur die 
Bildungsweise der einzelnen Gruppen genauer zu betrachten. 
Es seien «, q, fj die Grade von P, Q, Q, und 

H = *£ q = V 1 q 1 , n = (iq 1 , [l=VV l . 
Man zerlegt nun Q in die Nebengruppen zu Q, , d. h. man I 
setzt, wenn i, ,i, ...&,,_, passend bestimmte Elemente in Q sind, 

ffl Q « ft + & h H- - * ■ ft &n-* 

') C. Jordan, Traite dea aubstitutionB , Paria 1870. Netto, Sub- 
stitut! onentheorie , Leipzig 1882. Holder, Zurückführung einer beliebigen 
algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen, Mathematische 
Ana alen, Bd. 34 (188S|. Pierpont, Od tiie invariance of the Factors of 
oomposition. American Journal of Matliematics, Vol. XVIII. 



§. 8. Compoeitionsreihe. 25 

Die Elemente der Gruppe Q/Q x sind 

&) Qu Qi&u • • • QiK-± 

Wenn wir P in die Nebengruppen zu Q x zerlegen, so kom- 
men darunter sicher die Elemente (5) vor, und folglich ist Q/Q x 
ein Theiler von P/Q x . 

Es ist noch nachzuweisen, dass dieser Theiler ein Normal- 
theiler ist 

Bezeichnen wir aber mit a irgend ein Element von P, so 
sind alle Elemente von P/Q x in der Form Q x a enthalten, und 
wir haben also nur zu zeigen, dass, wenn b irgend ein Element 
in Q ist, jedes Element 
(«) Qi*- l QibQia 

in QIQu d. h. in der Form Q x b enthalten ist. 

Dies folgt aber unmittelbar aus 
(7) Qia~ 1 QibQ*a= Q x a~*ba, 

weil zugleich mit b auch ar x ba in Q vorkommt (weil Q ein 
Normaltheiler von P ist). Und dass auch die Bestimmung der 
Indices richtig ist, zeigt die Abzahlung. Denn die Grade von 
P/ft und Q/Q x sind vv x und v u also der Index v. 
Daneben besteht folgender Satz: 

(2. Ist Q x ein Normaltheiler von P vom Grade q x , 
und hat die Gruppe P/Q x selbst einen Theiler M 
vom Grade w, so hat P einen Theiler Q vom 
Grade q = mq x . Zugleich ist Q x ein Normal- 
theiler von Q, und es ist M = Q/Q v Ist M Normal- 
theiler von P/Qi, so ist auch Q Normaltheiler 
von P. 
Es sei (i der Index von Q x in Bezug auf P, und P sei in 
die Nebengruppen zerlegt: 

(S) P = Q x + &*i + Qi*2 h ft^-ii 

so dass «!, e 2 . . . e a -i passend gewählte Elemente in P und 

(^) Vn Qi e if Qi e 2 • • • Qi e n—i 

die Elemente von P/@i sind. Wenn nun in der Gruppe P/Q x 
ein Theiler JLf enthalten ist, so muss dieser aus einem Theile 
der Elemente (9) bestehen, etwa aus 

(10) Qu Q,b u Q x b 2 ... Q x b m - U 

und wenn dies System eine Gruppe bilden soll, so muss für 
irgend zwei Elemente 6„ b k das Product 

(11) Q 1 b i Q 1 b k = Q x bih 



I 







wieder in (10) enthalten, also etwa = Qjb h sein. Wenn also 
das System 1, &,, b t . . . i m _i mit B bezeichnet wird, so lässt 
sich nach der Methode der Compositum der Theile die Rela- 
tion (11) so schreiben: 

(12) Q.BQ.B^Q.B, 
und so besagt sie nach §, 4, 1., dass die in 

(13) « = Q,B 
enthaltenen Elemente von P eine Gruppe bilden, die die Gruppe 

als Theiler enthält und selbst ein Theiler von P ist. Dass Q, 
Normaltheiler von Q ist, folgt aus §. 3, 3., weil Q l als Normal- 
theiler von P vorausgesetzt ist, und aus der Darstellung (10) 
der Gruppe M ergiebt sich, dass M = QlQx ist. 

Es ist noch zu zeigen, dass, wenn M Normaltheiler von 
P/Qi ist, auch Q Normaltheiler von P ist Dies folgt so: 

Ist e irgend ein Element in P und Qjb^ ein Element in M, 
so folgt aus der Annahme, dass M Normaltheiler von P/Q, ist: 

was wir auch nach der Composition der Theile durch die Formel 

(14) Q l e~ l Q l BQ l e=: Q t B 

ausdrücken können. Da nun Q { Normaltheiler von P ist, so 
kann Qi mit jedem der anderen Factoren vertauscht werden, so 
dass aus (14) folgt; 

e-^,5e= Q t B, 
oder 

(15) e->Qe=Q, 

wodurch ausgedrückt ist, dass Q Normaltheiler von P ist. 
Aus dem Theorem 1, und 2. ergiebt sich das Corollar: 
3. Ein Normaltheiler Q von P ist dann und nur 
dann ein grösster Normaltheiler, wenn die com- 
plementüre Gruppe PiQ einfach ist. 
Wenn Q und Q' zwei Normaltheiler von P sind, so ist auch 
das symbolische Product Q Q' ein Normaltheiler. 
Denn es ist, weil Q ein Normaltheiler ist, 

und dies ist nach §. 4, 5. das Kennzeichen, dass Qty eine Gruppe 
ist. Dass es ein Normaltheiler von P ist, ergiebt sich dann 
nach §. 4, 2. aus 

QQB = QBQ' = BQQ\ 
wenn B irgend ein Theil von P ist 



/ 



§. 8. Comp08ition8reihe. 27 

Ist nun Q ein grösster Normaltheiler von P, und Q' 
ein nicht in Q enthaltener Normaltheiler von P, so ist QQf ein 
Normaltheiler von P, der sowohl Q als Q' in sich enthält und 
also von Q verschieden ist Folglich ist, da es über Q keinen 
Normaltheiler von P giebt, ausser P selbst, 

(16) QQ' = P, 

und ebenso muss auch 

(17) QfQ = B 

sein. Diese Sätze gelten, wenn nur eine der beiden Gruppen 
Qi Q? grösster Normaltheiler von P ist. Wir nehmen jetzt an, 
dass sie beide diese Eigenschaft haben, und verstehen unter 12 
den grössten gemeinschaftlichen Theiler von Q und Q*. Diese 
Gruppe B ist dann ein Normaltheiler von P sowohl als von Q 
und Qf. Denn ist a irgend ein Element in P, und c in Q so- 
wohl als in Qf enthalten, so ist auch ar x ca in Q und in #*, 
also auch in B enthalten. Also ist a~ 1 Ra = R, und R ist 
Normaltheiler von P und mithin Normaltheiler von Q und von 
V (§• 3» 3.). Um Q in die Nebengruppen von JB zu zerlegen, 
wählen wir ein passendes System von Elementen 1, b u b % , 6 S . . . 
in Q, so dass jß, Bb u Rb %J Bb z . . . alle von einander verschieden 
werden und setzen 

Q = R + Rb, + Rb 2 + Rb z H , 

was wir auch, wenn wir 

(18) B = 1, b u 6„ b z . . . 
setzen, kurz mit 

(19) Q = BB 

bezeichnen können. Nun ist nach (17) @ Q = P, also auch 

(20) P = Q'BB = Q'B 
oder 

P = Qf + ^6, + <?'6 a + Q>b s . . . 

Die Nebengruppen 

(21) <?, #&„ <?b t , <?&,... 

sind aber alle von einander verschieden. Denn wäre etwa 

Q'b 3 = Q%, 
so würde folgen, da Qf die Einheit enthält, dass es ein Ele- 
ment e in Qf giebt, so dass 

b 2 = eb x 
wäre. Dies Element e ist aber gleich & 2 *i~\ und also, da die b 
in Q enthalten sind, gleichfalls in Q und also auch in 12 ent- 



28 Erster Abschnitt. §. a 

halten. Dann aber wäre auch Rb 2 = Rb^ was gegen die Voraus- 
setzung ist. 

Hiernach können wir die Elemente der zu 12 complemen- 
tären Gruppe in Bezug auf Q und der zu Qf complementären 
Gruppe in Bezug auf P bilden. Wir erhalten diese beiden Gruppen 

/ 99 \ Q/R = JR> R^u Rh, Rh . . . 

V*> P/Q' = Q\ Q/b» Q'b„ Q>b 3 ... 

Daraus aber erkennt man leicht, dass diese Gruppen nicht 
nur von gleichem Grade sind, sondern dass sie isomorph sind. 
Denn es ist gleichzeitig 

Rb l Rb 2 = Rb 1 b 2 
und 

qb l Q'b 2 = Q'hh. 

Ebenso kann man auch schliessen, dass die beiden Gruppen 

Q'/H, P/Q 

isomorph sind. 

Die Gruppen P/Q und P/Q' sind aber, da Q, @ grösste 
Normaltheiler sind, nach 3. einfach, und folglich sind auch die 
damit isomorphen Gruppen Q'/R und Q/R einfach, und folglich 
haben wir den Satz: 

4. Sind Q und Q 1 zwei verschiedene grösste Normal- 
theiler von P, und ist R der Durchschnitt von (► 
und Q 1 , so ist R grösster Normaltheiler sowöhL 
von Q als von #', un ^ für die Indices gilt da» 
Gesetz: 

(Q, B) = (P, <?). 

Damit haben wir die Grundlage gewonnen, um sehr einfach* 
den Satz von der Gonstanz der Indexreihe nachzuweisen. 

Wir schreiben zur besseren Uebersicht die verschiedenen itx 
Vergleich zu ziehenden Compositionsreihen so, dass wir den 
Index eines jeden Gliedes in Bezug auf das vorangehende unter 
das Glied setzen. 

Danach mögen irgend zwei gegebene Compositionsreihen von 
P mit den zugehörigen Indices folgende sein: 

(23) P, Q, &, &, Q 3 . . . 

V, Vi, V 2 , t>s • • • 

(24) P, Q\ Q\, $, ft . . . 

v, vi, vi, v's . . . 



§.8. Compositionsreihe. 29 

Es sei nun 12 der Durchschnitt von Q und Q', und f* und fi' 
seien die Indices von 22 in Bezug auf Q und Q'. Wegen des 
Isomorphismus der Gruppen P(Q und Qf/B ist dann ft' = v, 
und aas dem entsprechenden Grunde ft = i/. Wir bilden eine 
Gompositionsreihe von 22 mit der zugehörigen Indexreihe 

(25) 22, R l% jRj, üs . . . 

und da nun 22 ein grösster Normaltheiler von Q und von ()' 
ist, so können wir daraus zwei neue Gompositionsreihen von P 
bilden, nämlich 

(26) P, Q, 22, 22„ 12,, i2s . . . 

v, V, ft, fei f*s • - • 

(27) P, (y, 22, 22 l7 22j, Jis - . - 

• 

Die beiden Compositionsreihen (26) und (27) von P haben also 
dieselbe Indexreihe. 

Nehmen wir jetzt an, der zu beweisende Satz sei bereits als 
richtig erwiesen, für Gruppen, deren Grad bei der Zerlegung in 
Primfactoren einen Primfactor weniger enthält als n (wenn n den 
Grad von P bedeutet), so folgt, dass alle Indexreihen von Q, dessen 
Grad ja ein echter Theiler von n und also weniger Primfactoren 
als n enthält, mit einander übereinstimmen, dass also die Reihen 

*i, v 2 , v 3 , v 4 . . ., 

von der Anordnung abgesehen, übereinstimmen. Ebenso stimmen 
die Indexreihen von Q' 

v, fn f*2, f*s • • • 
v'u vii vi, v* • • • 
überein. Also stimmen auch die beiden Indexreihen von P 

v, v n v 2 , Vsi v 4 . . . 
v', vi, v 2 , 'vi, vi . . . 

mit einander überein, da die erste mit v, v\ (i u f*. 2> fi 2 • • •* die 
zweite mit v', v, fh, ft s , fts . . . übereinstimmt. 

Für Gruppen, deren Grad eine Primzahl ist, die nur den 
einen Normaltheiler 1 haben, ist aber der Satz evident, und 
also i§t er durch vollständige Induction allgemein bewiesen. 

Wenn in zwei Compositionsreihen von P, die wir mit ihren 
Indexreihen jetzt so darstellen wollen 



P, p„ P„ p a . 

P, Fi, F., Ps . 



.P„. 

- h- 



,1 



ein gemeinschaftliches Glied P r = F, vorkommt, so gilt der 
Satz von der Constanz der Indexreihen auch für die Gruppe 
F r = P'„ und daraus folgt zunächst, dass r = s sein musa, und 
dass die Indexreihen jV + n jr + a ■ • -jV unQl jr+i* jr+* - ■ -Ä. von 
der Ordnung abgesehen, übereinstimmen. Folglich mÜBsen auch 
die vorangehenden Theile der Indexreihen 

k, k ■ ■ ■ k un<1 & k ■ ■ • k 

übereinstimmen. 



§.9. 
:itere Sätze über die Co 



ipoi 



itionsreihen. 



Von den Compositionsreihen gelten noch mannigfaltige Sätze, 
von denen wir hier noch die wichtigsten ableiten. 

II. Ist P, irgend ein Normaltheiler von P, so giebt 
es eine Compositionsreihe von F, in der P r vor- 
kommt. 

Ist P, ein grösster Normaltheiler von P, so können wir 
P, = P i setzen und die Compositionsreihe von da an beliebig 
fortsetzen. Ist aber P r kein grösster Normaltheiler von F, so 
suchen wir einen grossten Normaltheiler über F., den es jeden- 
falls giebt, und den wir mit P t bezeichnen. Dann ist F, ein 
Normaltheiler von F,. Ist es ein grösster, so setzen wir P, = Pj 
und setzen von da die Compositionsreihe beliebig fort, Ist aber 
P v noch kein grösster Normaltheiler von P,, so suchen wir einen 
grossten Normaltheiler von P y über F, und fahren so fort, bis 
wir schliesslich zu P, gelangen, was nach einer endlichen Anzahl 
i Schritten nothwendig eintreten muss. Wenn wir dann eine 
Compositionsreihe von P v anhängen, so haben wir eine Compositions- 
reihe von P, in der P, vorkommt, wie es der Satz IL verlangt. 

In einer Compositionsreihe einer Gruppe P ist, vermöge der 
Definition, jedes Glied ein Normaltheiler jedes vorangehenden. 
Das erste Glied P, und das letzte Glied 1 sind zugleich Normal- 
theiler von P selbst Bei den zwischen liegenden P„ F, . . . wird 
dies im Allgemeinen nicht der Fall sein. In der Compositions- 
reihe giebt es also gewisse ausgezeichnete Glieder, die zugleich 






§.9. Compositionsreihen. 31 

Normaltheiler von P selbst sind, die eine besondere Rolle spielen 1 ). 
Hierüber leiten wir im Folgenden noch einen wichtigen Satz ab. 
Angenommen, es sei Q ein Glied einer Compositionsreihe 
von P, das zugleich Normaltheiler von P ist, während das auf Q 
folgende Glied Q l nicht Normaltheiler von P ist. Dann giebt 
es unter den nach P conjugirten Gruppen ar 1 Q i a mehrere ver- 
schiedene, die wir mit 

(i) Qu Qu Qu Qi' • • • 

bezeichnen wollen. Der grösste gemeinschaftliche Theiler 
ü aller dieser Gruppen ist wieder Normaltheiler von P. 

Nun sind aber alle die Gruppen (1) grösste Normaltheiler 
von Q, wie sich nach §. 3 daraus ergiebt, dass Q, Q x mit 
<r l Qa, ar" 1 Qia isomorph sind, während Q als Normaltheiler 
Ton P mit a" 1 Qa identisch ist Wir können also in der Coin-i 
I positionsreihe auf Q jede der Gruppen (1) folgen lassen, die 
alle denselben Index v haben. 

Ist nun Q t der grösste gemeinschaftliche Theiler von Q u Q[ 
(also von Q x verschieden), so ist Q % nach dem Satze §. 8, 4. ein 
gröester Normaltheiler von Q x und Qf u dessen Index gleichfalls 
v ist Also können wir die Compositionsreihe von Q an auf die 
folgenden beiden Arten fortsetzen: 

(2) & «i, &, Q Qi Q* 

V V V V. 

Das hierin ausgedrückte Gesetz wollen wir nun verallgemeinern 
und durch vollständige Induction beweisen. 

Wenn Q 2 noch nicht gleich JB ist, so fügen wir zu Q u Q x 
eine dritte Gruppe Ql aus der Reihe (1) hinzu, so dass der 
Durchschnitt Q % von Q ly Qf u Q{ ein echter Theiler von Q 2 wird, 
und fahren so fort, bis wir zum grössten gemeinschaftlichen 
Theiler JB aller Gruppen (1) gelangt sind. 

Es sei also: 

Q % der Durchschnitt von Q x , Q' x 

/j\ Qz r> n n Qu Qu Q\ 

Qr n j) n Qu Qi, Qi • • . Qi , 

und die Anordnung der Gruppen Q r , Q x .*. . Q\~~ x) sei so ge- 
wählt, dass von den Gruppen # n #2 • • • Qr jede ein echter 



! ) Sie bilden die sogenannte Hauptreihe von P (Netto). 



32 Erster Abschnitt. §. 9. 

Theiler der vorangehenden ist. Diese Anordnung lässt sich fort- 
setzen, so lange Q r nicht gleich 12 ist. 

Wir wollen beweisen, dass wir die Compositionsreihe von P 
so wählen können, dass darin 

W ft Qu Qf.Qr 

v v v 

vorkommt, und dass die Indices in diesem Theile der Reihe alle 
gleich v sind. 

Die Behauptung ist richtig für r = 2, und wir beweisen sie 
allgemein durch vollständige Induction, unter der Voraussetzung, 
dass sie für r schon als richtig erwiesen sei. 

Ist Q r nicht gleich ü, so wählen wir $ r) so, dass Q r +i der 
Durchschnitt von Q ly Q x % . . ^i r " 1) , #i r) ist, und bezeichnen über- 
dies den Durchschnitt von Q u Q x , . . ($~*\ #i r) mit $, Dann 
ist Q r von Q r verschieden und Q r +i ist der Durchschnitt von m 
Q r und Q r . Nun haben wir nach der Voraussetzung (4) zwei 
entsprechende Stücke der Compositionsreihe mit der constanten 
Indexreihe v 

/c\ Qi Vi t • • Qr-l Qr, 

Q) Vi • • • Vr— 1 Qr\ 

denn die zweite dieser Reihen ist genau wie die erste nach der 
Vorschrift (3) gebildet, nur dass $ r) an Stelle von Qi"^ getretea 
ist. Nach dem Satze §. 8, 4. ist daher Q r +i grösster Normal- 
theiler sowohl von Q r als von (£, und zwar vom Index v, und 
es folgt also, was bewiesen werden sollte, dass die Compositions- 
reihe so fortgesetzt werden kann: 

(6) Q, Qi • . . &-1, Qr. Qr + l, 

und dass der neu hinzugekommene Index gleichfalls v ist. 

Dies können wir nun fortsetzen, bis wir zur Gruppe U ge* 
langt sind, und erhalten ein Stück der Compositionsreihe 

(7) Q, Q»Q*...R, 

V V V 

deren letztes Glied R wieder Normaltheiler von P ist und in 
der alle Indices übereinstimmen. 

Setzen wir von R an die Compositionsreihe fort, so kann 1 
sich der Index ändern; er kann aber von da an wieder gleich 1 
gehalten werden, bis man abermals zu einem Normaltheiler von 
P gelangt. 

Damit ist der folgende Satz bewiesen: 



. 10. Metacyklische Gruppen. 33 

I1L Man kann die Compositionsreihe von P mit ihrer 
Indexreihe 
o\ P» *u *r> m • • • 

Ju 3%i 3z • • • 
so anordnen, dass, so oft eine Aenderung in der 
Indexreihe eintritt, also jV+i von j r verschieden 
ist, P r ein Normaltheiler von P ist 

§. 10. 
Metacyklische Gruppen. 

Wir haben in §. 184 des ersten Bandes bei den Permuta- 
tionsgruppen metacyklische Gruppen definirt und ihre Bedeutung 
für die Auflösung der Gleichungen kennen gelernt. Der Begriff 
ist aber von der besonderen Bedeutung der Gruppenelemente 
unabhängig, und wir definiren daher jetzt allgemein: 

Eine Gruppe, deren Indexreihe aus lauter Prim- 
zahlen besteht, soll eine metacyklische Gruppe heissen. 

Für- diese Gruppen gilt ein für die Anwendungen auf die 
Algebra wichtiger Satz, der aber von diesen Anwendungen un- 
abhängig ist und den wir daher hier noch ableiten. Der Satz 
lautet: 
IV. Eine metacyklische Gruppe hat einen von der 
Einheit 8 gruppe verschiedenen commutativen 
Normaltheiler 1 ). 

Ist P eine metacyklische Gruppe und 

(1) P, Pl, P 2 . . . P|4 — i, 1 

in Ji • • • Jn-u jp 
die Compositionsreihe, deren Indexreihe ji, j % . . . aus lauter 
Primzahlen besteht, so ist P^-i jedenfalls eine commutative 
Gruppe; denn wenn n irgend ein von 1 verschiedenes Element 
aus P M -i ist, so sind die Potenzen 
(2) 1, *, 3t 2 . . . a**"" 1 

[weil jft, eine Primzahl ist) alle von einander verschieden und 
machen also die ganze Gruppe P M _i aus; die cyklische Gruppe (2) 
st aber gewiss commutativ, weil für je zwei Exponenten ä, k 

mmer 

x h 7i k = it k it h = jr Ä + k 



*) C. Jordan, TraitS des substitutions, Livre IV. 

Weber, Algebra. II. 



34 Erster Abachnitt. 5. 10. 

ißt. Zugleich ist, nach der Definition der Compositionsreihe, 
jP m _i Normaltheiler von P M _ S . 

Wir nehmen demnach jetzt an , wir haben einen von der 
Einheit verschiedenen commutativen Normaltheiler Q, irgend 
einer Gruppe P, der Reihe (1) und setzen ausserdem noch vorans, 
wenn es zu P, mehrere Theiler von der Beschaffenheit wie Q, 
giebt, dass einer von möglichst niedrigem Grade für Q r ge- 
nommen ist. 

Wenn wir dann nachweisen, wie man aus Q, einen commu- 
tativen Normaltheiler Q,~i von P r —i über der Einheit ableiten 
kann, so können wir dies Verfahren fortsetzen, bis wir zu einem 
commutativen Normaltheiler Q von P selbst gelangt sind, wie 
ihn unser Satz verlangt. 

Wählen wir irgend ein Element y in der Gruppe P,- u 
welches nicht in P, enthalten ist, so ist, da P, ein Normaltheiler 
von P,-i ist, 

(3) yP, = P y y, 

und wenn daher h der niedrigste Exponent ist, für den y h in 
P, enthalten ist, so ist h grösser als 1 und 

(4) y h P, m P„ 
und die in dem System der Nebengruppen 

(5) Pr,?Py, y % Py ■ ■ y h ~^Py 

enthaltenen Elemente, die alle von einander verschieden sind, 
bilden eine Gruppe, deren Grad, wenn der Grad von P, mit p, 
bezeichnet wird, gleich hp, ist. Die Gruppe (5) ist aber aucb 
ein Tbeiler von P,_, und folglich muss kp, ein Theiler von 
p,—i = j,p, sein, und A ist ein Theiler von j,. Da aber j, eine 
Primzahl ist, so muss A aj, sein, und durch (5) ist die ganze 
Gruppe P r ~i erschöpft: 

(6) P,_, = P, + yP. + y*P, -| y>'- l P,. 

Wir betrachten nun das System der transformirten Gruppen 

(?) r" 1 *?, 

worin y alle Elemente von P r _i durchläuft. 

Diese Gruppen sind alle mit einander isomorph und sind 
also ebenso wie Q, commutativ. Sie sind alle in P, enthalten, 
und sind, da y^P.y — P, ist, nach §. 3 Normaltheiler von JP„ 

Wenn alle Gruppen (7) mit einander identisch sind, so ist 
Q r Normaltheiler von JP,_i, und wir erreichen unseren Zweck 






§. IQ. Metacyklische Gruppen. 35 

der Bestimmung von Q v —i schon dadurch, dass wir Q v selbst 
oder, falls noch ein commutativer Normaltheiler niedrigeren 
Grades von P y _i vorhanden sein sollte, diesen letzteren für Q v ^ x 
nehmen. 

Im anderen Falle wollen wir die von einander verschiedenen 
der Gruppen (7) mit 

(8) &, tf* Qi... 

bezeichnen, und daraus eine Gruppe 

(9) 22 = (Q n <& Qi . . .) 

ableiten, die dadurch definirt sein soll, dass es die kleinste 
Gruppe ist, die jede der Gruppen (8) als Theiler enthält, und 
die wir als das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der 
Gruppen Q n Qh Qi . . . bezeichnen können. 

Dass es eine und nur eine solche Gruppe 22 giebt, und dass 
jede Gruppe, die durch Q*, ($, Qi . . . theilbar ist, auch durch 
jR theilbar sein muss, ist leicht einzusehen. Denn erstens giebt 
es endliche Gruppen , z. B. die Gruppe P„ die alle Gruppen (8) 
als Theiler enthalten, und zweitens, wenn zwei Gruppen 22, 22' 
alle diese Gruppen enthalten, so gilt dasselbe auch von dem 
Durchschnitt von 22 und 22'. Ist daher 22 von möglichst niedrigem 
Grade, so muss dieser Durchschnitt mit 22 identisch sein, und 22 
ist also ein Theiler von 22'. Wenn 22' auch von möglichst 
niedrigem Grade ist, so ist 22' von 22 nicht verschieden. 
Von dieser Gruppe 22 weisen wir nun nach: 

a) dass sie ein Normaltheiler von P,_i ist, 

b) dass sie eine commutative Gruppe ist. 

Wenn wir dies Beides nachgewiesen haben, so sind wir am 
Ziele; denn dann können wir, wenn es nicht noch einen com- 
nratativen Normaltheiler niedrigen Grades von P t -i giebt, 
R selbst für Q t - t wählen. 

Das Erste ist aber ohne Weiteres klar. Denn bedeutet y 
irgend ein Element aus P,_!, so ist 

y-i22y = (y" 1 ^^ Y~ x Q*Vi T X Q*Y • • 
das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Gruppen 

Diese Gruppen aber sind nach der Definition (7) in ihrer 
Gesammtheit von den Gruppen 

Qr, % Qi • • . 

3* 



36 Erster Abschnitt §. 10 

nicht verschieden, und folglich ist 

f-'Ry = B, 
d. h. R ist Normaltheüer von P,_i. 

Um aher nachzuweisen, dass B eine commutative Gruppe 
ist, müssen wir zwei Hülfabetrachtungen voranschicken. 

1) Es ist zu beweisen, dass irgend zwei der Gruppen ' 
Q*, <2'n Q'r ■ • ■ ausser der Einheit keinen gemeinschaftlichen 
Theiler haben. 

Nehmen wir an, es sei T der grösste gemeinschaftliche 
Theiler von irgend zweien der Gruppen (8), etwa von Q v und ($„ 
so ist T gewiss eine commutative Gruppe, weil Q„ Q, solche sind, 
Es ist aher T auch Normaltheüer von P,. Denn Q, und Q', sind 
solche Theiler; und wenn also i ein Element aus T und sr ein 
Element aus F, ist, so ist ic~ x x% sowohl in Q, als in Q,, also 
auch in T enthalten. Folglich ist «-'Tai = T. 

Nun haben wir aber angenommen, dass Q v ein commutativer 
Normaltheüer von P, über der Einheit von möglichst niedrigem 
Grade sei; ferner waren Q, und Q' t von einander verschieden, 
und folglich der Grad von T kleiner als der von Q,. Also kann 
T nur die Einheitsgruppe selbst sein, w. z. b. w. 

2) Um die Gruppe B zu bilden, können wir so verfahren, 
dass wir die Elemente von Q„ Q'„ Qj , . . in beliebiger Reibenfolge 
und Wiederholung so lange mit einander componiren, als noch 
neue Elemente entstehen. Denn alle so gebildeten Zusammen- 
setzungen bilden eine Gruppe C, die in B enthalten ist, weil B 
die einzelnen Elemente von Q„ Q',, 0» • . - enthält. Andererseits 
sind auch die Gruppen Q„ Q'„ ty ... in C enthalten, und folg- 
lich ist B in C enthalten und C ist mit B identisch. 

Um also endlich zu beweisen, dass B eine commutative 
Gruppe ist, bleibt uns nur zu zeigen, dass, wenn a, ß irgend 
zwei Elemente aus Q„ Q'„ Qf,' . . . sind, die Vertauschbarkeit 
(10) *ß = ßa 

besteht 

Wenn nun a, ß beide in dieselbe Gruppe <?, gehören, so l 
ist (10) Folge unserer Annahme, dass Q, commutativ sei; und 
ebenso ist es, wenn beide in einer der anderen Gruppen Q'„ Q", . , . 
vorkommen. 

Sind aber « und ß in zwei verschiedenen Gruppen, etwa in I 
Q t und Q'r enthalten, so schliessen wir so: Weil ß in P, ent- 



§. 10. Metacyklische Gruppen. 37 

halten und Q 9 ein Normaltheiler von P v ist, so ist auch 

(11) ß-*aß = a' 
in Q 9 enthalten. Daraus folgt: 

(12) ßa'ar 1 = aßar 1 = ß\ 

und weil a in P v enthalten und Q, ein Normaltheiler von P v 

ist, so ist mit ß zugleich auch ß' in Qf 9 enthalten. Aus (12) 

aber folgt 

a'ce-i = ß-iß' = *, 

und demnach ist das Element d sowohl in Q v als in Q v ent- 
halten. Es kann also nach dem, was unter 1) bewiesen ist, nur 
das Einheitselement sein, d. h. es ist 

«' = «, ß' = ß, 

und demnach folgt aus (11), dass aß = ßa sein muss, wie be- 
wiesen werden sollte. 



Zweiter Abschnitt 
Abel' sehe Gruppen. 



§. 11. 
Darstellung Abel'scher Gruppen durch eine Basis. 

Wir haben schon in §. 1 solche Gruppen, in denen bei der 
Compositum das commutative Gesetz gilt, commutative oder 
Abel' sehe Gruppen genannt. Bei diesen Gruppen, die in den 
Anwendungen von besonderer Wichtigkeit sind, herrschen viel 
einfachere Gesetze, als in den allgemeinen Gruppen, wie wir 
jetzt sehen werden. Es gelten für die Zusammensetzung der 
Elemente in diesen Gruppen dieselben Regeln, wie bei der Multi- 
plication von Zahlen, und wir nennen demnach die Composüa 
von Elementen einer solchen Gruppe, wie bei der Multiplication, 
Producta und Potenzen. 

Wir betrachten hier nur die endlichen Abel'schen Gruppen. 

Aus der Definition der Abel'schen Gruppen folgt, dass das 
commutative Gesetz auch bei der Gomposition der Theile einer 
solchen Gruppe gilt (§. 4). Jeder Theiler einer Abel 'sehen 
Gruppe ist selbst eine Abel'sche Gruppe, und ist zugleich Normal- 
theiler, so dass wir bei diesen Gruppen den Zusatz „Normal* 
weglassen können. 

Eine Gruppe, die nur aus den Wiederholungen eines Ele- 
mentes besteht, wie 

haben wir schon früher (Bd. I, §. 155) eine cyklische Gruppe 
genannt, und wir behalten diese Bezeichnung hier bei. Wenn a 
die kleinste positive Zahl ist, für die A a = 1 ist, also a der 
Grad der Gruppe, so heisst a auch der Grad des Elementes A. 
Ist m irgend ein Exponent, für den A m = 1 ist, so ist m ein 



§. 11. Basis einer AbePsohen Gruppe. 39 

Vielfaches von a. Das Element 1 hat den Grad 1. Alle cykli- 
scben Gruppen sind commutativ. 

Es gilt nun für jede endliche Abel' sehe Gruppe S der 
Fimdamentalsatz, dass sich immer ein System von Elementen A, 
5, C . . . von den Graden a, 6, c . . . so auswählen lässt, dass 
ach in der Form 

= A"BßCy . . . 

jedes Element von S, und jedes nur einmal, darstellen lässt, 
wenn a ein volles Restsystem nach dem Modul a, ß ein volles 
Restsystem nach dem Modul 6, y ein volles Restsystem nach 
dem Modul c etc. durchläuft. 

Ein System von Elementen, das zu einer solchen Darstellung 
geeignet ist, heisst eine Basis der Gruppe, und wir können 
. den zu beweisenden Satz demnach so aussprechen : 

L Jede AbePsche Gruppe lässt sich durch eine 
Basis darstellen. 

Der Beweis des Satzes gründet sich auf folgende Reihe von 
Schlüssen: 

1. Ist n der Grad der Gruppe S, sind J. x , A^ ... An 
ihre Elemente und 04, Oj . . . a n deren Grade; 
durchlaufen ferner 04, «^ . . . a n volle Restsysteme 
nach den Moduln 04, a 3 . . . a„, so wird in der 
Form 
fl) = AVA? ... Ä^ 

jedes Element von S und jedes gleich oft dar- 
gestellt 

Dass man jedes Element in der Form (1) überhaupt erhält, 
sieht man unmittelbar; denn man erhält z. B. A 1 ^ wenn man 
«i=l, o, = . . . a H = setzt. 

Es ist noch zu beweisen, dass man jedes Element gleich 
oft erhält. 

Wenn aber 
(2) 1 = A$Jj?... Ab 

eine Darstellung des Elementes 1 ist, so ändert sich nicht, 
renn man 04, a. 2 . . . «„ in (1) durch 04 -f- h t1 «3 -f- h 2 . . . «» + h n 
»netzt Es wird also jedes Element durch (1) mindestens so 
)ft dargestellt, als das Element 1 durch (2). 

Geben andererseits die beiden Exponentenreihen Oj, a a . . . a n 
ind «i, ai . . . oj, zwei Darstellungen des Elementes @, so hat man 



40 Zweiter Abschnitt §. IL 

(3) 1 = A?— 1 *?—* . . . A*«-*«, 

also eine Darstellung des Elementes 1. Also können wir nach 
(2) setzen: 

«i = «i + Äj, «2 = «2 -f" *«, . . . aj, = cc n -|- hn* 
Es kann folglich auch nicht mehr verschiedene Darstellungen 
des Elementes geben, als die Anzahl der Darstellungen de* 
Elementes 1 beträgt. Wir bezeichnen die Anzahl dieser Dar- 
stellungen mit h. Im Ganzen ist aber die Anzahl der verschie- 
denen möglichen Bestimmungen der a in (1) gleich dem Pro» 
ducte c^Oj . . . a n , und da n die Anzahl der Elemente von S ist, 
so folgt 

(4) nh = c^Oj . . . a n . 

Aus der Formel (4) ergiebt sich der Satz: 

2. Wenn r eine im Grade n der Gruppe aufgehende 
Primzahl ist, so giebt es in 8 ein Element vom 
Grade r. 

Denn aus (4) sieht man zunächst, dass einer der Gradt 
%, o, . . . a n durch r theilbar ist. Ist also etwa Oj = rfc, so 
ist A\ ein Element vom Grade r. 

3. Sind J., 2? . . . irgend welche Elemente in & voi 
den Graden a, b . . ., so ist auch AB . . . ein Ele- 
ment in S, und der Grad dieses Productes ist 
ein Theiler des kleinsten gemeinschaftlichen 
Vielfachen m von a, b . . . 

Denn es ist 

(AB . . .)** = 4*»#» . . . = 1, 
und folglich m ein Vielfaches des Grades von AB . . . 

4. Ist der Grad n der Gruppe 8 in zwei Faotoren 
n = ab zerlegt, so dass a und b relativ prim 
sind, so giebt es in S genau a Elemente J., deren 
Grad ein Theiler von a ist, und b Elemente D, 
deren Grad ein Theiler von b ist, und in der 

Form 

(5) = AB 

sind sämmtliche Elemente von S und jedes nur 
einmal enthalten. 

Um die Richtigkeit dieses Satzes einzusehen, stellen wir 
folgende Ueberlegung an. Der Inbegriff 51 der Elemente A, deren 



§. 11. Basis einer Abel'sohen Gruppe. 41 

Grad ein Theiler von a ist, ist eine in S enthaltene Gruppe; 
denn sind A, A! zwei solche Elemente, so ist nach 3. der Grad 
toq AA! ein Theiler von a, und AA' ist also auch in 91 ent- 
halten. 

Ebenso ist der Inbegriff 93 der Elemente B, deren Grad ein 
Theiler von b ist, eine Gruppe. Das Element 1 kommt sowohl 
in 8 als in 5) vor, sonst enthalten beide kein gemeinschaftliches 
Element 

Der Grad a' von 91 ist relativ prim zu b. Denn ist r eine 
in o! aufgehende Primzahl, so giebt es nach 2. in 91 ein Element 
Tom Grade r. Da aber der Grad jedes Elementes von 91 ein 
Theiler von a ist, so ist auch r ein Theiler von a und nicht 
von b. 

Ebenso beweist man, dass der Grad V von 33 relativ prim 
zu a ist 

Nun bestimme man (nach Bd. I, §. 126) zwei ganze Zahlen 
x und y, so dass 

(6) ax -\- by = 1 

ist, und nehme irgend ein Element von 8. Dann ist 

(7) = 0°«0*v, 

und nun ist, da (0*v) a = 1 ist, 0*v in 91 und aus dem gleichen 
Grande 0°* in 33 enthalten. Also folgt aus (7): 

(8) = AB. 

Demnach ist jedes Element in der Form AB enthalten. 
Eine solche Darstellung ist aber auch nur auf eine Art möglich. 
Denn sind A\ B 1 zwei Elemente aus 91 und 33, und ist 

AB = A!B\ 

so folgt, wenn man in die Potenz by = 1 — ax erhebt, A = A! 
und folglich auch B = B\ Die Anzahl der verschiedenen Pro- 
ducte der Form AB ist aber = alb\ und daher hat man 

n = ab = a'b', 

und da a relativ prim zu V und b relativ prim zu a 1 ist: 

a f = a, b' = b. 

Damit ist der Satz 4. in allen seinen Theilen bewiesen. 

Wenn nun die beiden Gruppen 91, 33 durch Basen dargestellt 
sind, so folgt aus der Formel (8), dass auch S durch eine Basis 
dargestellt ist, und die Basis von S enthält die Elemente der 
Basen von 91 und 33 und keine anderen. 







Zweiter Abschnitt. §. U. 

Wenn a und b weiter in Factoren zerlegbar sind, die zu 
einander relativ prim sind, so können wir mit den Gruppen $1 
und -B wieder ebenso verfahren, und wir kommen also zu dem 
Resultate, dass unser Theorem I. allgemein bewiesen ist, wenn 
wir es noch für Gruppen nachweisen können, deren Grad eioe 
Potenz einer Primzahl ist. 

Es sei also jetzt der Grad n der Gruppe S eine Potenz 
einer Primzahl p 

(9) n = pK 

Die Grade aller Elemente von S, die ja Divisoren von » 
sind, müssen dann gleichfalls Potenzen von p sein. Es ist 
nachzuweisen, dass eine solche Gruppe durch eine Basis dar- 
stellbar ist 

Man wähle in S ein Element A von möglichst hohem 
Grade a. Dann ist a eine Potenz von p und die Grado aller 
anderen Elemente sind Theiler von a, so dass für jedes Ele- 
ment & von S 

(10) &• = 1 
ist. Die Elemente 

(11) 1, A, A* . . . A"- 1 

sind alle von einander verschieden, und ihre Gesammtheit ist ein 
Tbeiler von S. Ist damit die Gruppe S erschöpft, ist also jedes 
Element von der Form A", so ist S durch eine eingliedrige 
Basis dargestellt, Wenn aber S mit (11) noch nicht erschöpft 
ist, so wird es doch für jedes Element & von S einen gewissen 
Exponenten h geben, so dass & h in der Reihe (II) enthalten ist. 
Gewiss wird das eintreten, wenn h der Grad von ®, also ©* = 1 
ist Unter diesen Zahlen k wird eine die kleinste positive sein, 
die wir mit b bezeichnen wollen. Es giebt also für jedes Ele- 
ment & eine gewisse kleinste positive Zahl b, so dass 

(12) ©<• = A> 
in der Reihe (11) enthalten ist. 

Diese Zahl b ist ein Theiler von a, also auch eine Potenz 
von p und zugleich ein Theiler von X. Denn setzen wir 
a = qb -J- b\ wo ^ b' < b int, so folgt aus (10) und (12) 

&• = AHQ* = 1, 
oder y = A~*^ t und wenn also b' nicht Null ist, so giebt es 
gegen die Voraussetzung eine noch kleinere Zahl als b, nämlich 
b', die der Forderung (12) genügt. 



§.11. Basis einer Abel'schen Gruppe. 43 

Aas (12) folgt ferner 

Xa 

1 = 0« = A h \ 

also mn68 la : b ein Vielfaches von a und folglich X ein Viel-. 
faches von b sein. Wenn wir daher 

l 

(13) B = @A » 

setzen, so ist B h = 1, und zugleich ist B h die niedrigste Potenz 
von B y die einfer Potenz von A gleich wird, weil, wenn B v eine 
Potenz von A ist, dasselbe nach (13) auch von V gilt Wir 
nehmen das Element ® so gewählt an, dass b so gross als mög- 
lich wird. Dann ist auch für jedes andere Element X aus S 
immer 9* eine Potenz von A, deren Exponent durch b theilbar ist. 
Ist nun 

a = 0, 1, 2 . . . a — 1 

ß = 0, 1, 2 ... b — 1, 
so sind die Elemente 

(14) A a B? 

in der Anzahl ab alle von einander verschieden. Sie bilden 
einen in S enthaltenen Theiler S\ der durch die Basis JL, B 
dargestellt ist. Ist S' mit S identisch, so sind wir am Ziele. 

Ißt aber S durch (14) noch nicht erschöpft, so fahren wir 
in derselben Weise fort. 

Wir wollen durch Anwendung der vollständigen Induction 
gleich allgemein schliessen. 

Es sei ein Theiler S r _ x von S ermittelt, der durch eine 
Basis in der Form dargestellt ist 

von dem wir folgende Voraussetzungen machen: 

1) Die Grade von A iy A 3 . . . -4 r -i seien 0^,0*... o*-i> 
und es sei 

c&i ^> a 2 2^ . . . ^> a r — 1. 

2) Für jedes in S enthaltene Element & sei 
(16) ® a *- 1 = 4*4* ... 4jl-*, 

d. h. in S r _2 enthalten, und die Exponenten A x ,- A 3 . . . A,_ 2 seien 
durch Or«! theilbar. 

Die oben abgeleitete Gruppe S' genügt diesen Forderungen, 
wenn v = 3 und a,_ x = 6 gesetzt wird, und es ist nun zu zeigen, 



44 Zweiter Abschnitt §. 11. 

wie man, wenn &_i noch nicht die ganze Gruppe S erschöpft, 
daraus eine ebensolche umfassendere Gruppe 8, ableiten kann. 

Für jedes Element von S wird es einen gewissen niedrig- 
sten positiven Exponenten a, geben, für den ©"> in S,_i ent- 
halten ist, und dies o* ist wegen (16) gleich oder kleiner als a»_i, 
und ist ausserdem eine Potenz von p, da es ein Theiler des 
Grades von © sein muss. Wir wählen so, dass der Exponent 
a t so gross als möglich wird. Ist @! ein beliebiges anderes Ele- 
ment in S, und ©* die niedrigste Potenz von 0,, die in S,_i 
enthalten ist, so ist auch h eine Potenz von p und gleich oder 
kleiner als o,. Es ist daher ©j» in S,_, enthalten. 

Setzen wir aber 
(17) ©;• = A*>A^ , .. A**-, 1 , 

so sind die sämmtlichen Exponenten k durch a, theilbar. Denn 






&1'- 1 = A^ "» A 3 <■» ... ^ f _ i fl » , 

und nach der Voraussetzung 2) müssen die Exponenten von 
A lt Aq . . . A,-i auf der rechten Seite dieser Formel durch a,_, 
theilbare ganze Zahlen sein. Folglich sind A„ i,, . . . A„_i durch 
a, theilbar. Wir können also, indem wir zu dem oben be- 
trachteten speciellen & zurückkehren und unter &,,%,... /<*_, 
ganze Zahlen verstehen, 

0"* = A^'A*-' .. . J*ȣ* 
setzen, und wenn wir dann 

A v = eA^^A'* . . . -c*;- J 
annehmen, so ist 

(18) A? = 1 

die niedrigste Potenz von A,, die in S,„, enthalten ist (weil 
sonst auch noch eine niedrigere Potenz von © in S t -i ent- 
halten wäre). 
Dann ist 

(19) A\* Ä* . . . A°', ck = 0, 1, 2 . . . «,- — 1 

nur = 1 , wenn (*i , a, . . . a, durch a tl a, ... a, theilbar und 
folglich = sind, und demnach sind die in (19) dargestellten 
Elemente alle von einander verschieden. Diese Elemente bilden 
aber eine Gruppe S, mit der Basis A u A? . . , A„ die der For- 
derung 1) genügt. 



§. 12. Invarianten der Abel'schen Gruppen. 45 

Zugleich ist, wie die Formel (17) zeigt, wenn & x ein be- 
liebiges Element in S ist, ö"* in &_i enthalten, und die Expo- 
nenten Aj, X, . . . £,_! sind durch o* theilbar. Es ist daher auch 
die Forderung 2) befriedigt 

Damit ist also unser Satz L bewiesen. Zugleich sehen wir 
aus dieser Ableitung, dass man für eine beliebige Abel'sche 
Gruppe S die Elemente der Basis immer so annehmen 
kann, dass ihre Grade Primzahlpotenzen sind. 

Aus der Darstellbarkeit durch eine Basis folgt auch, dass 
jede Abel'sche Gruppe metacyklisch ist; denn sind die Elemente 
einer solchen Gruppe S in der Form dargestellt: 

A A a \ A<H A a v 

JL -Aj JL^ . . . JL^ , 

und ist jp eine im Grade 04 von A l aufgehende Primzahl, so 
bilden die Elemente 

AI J*lP A<H A a t 

wenn a x ein volles Restsystem nach dem Modul % : p durch- 
lauft, einen Theiler S' von S vom Index jp, der durch die Basis 
J*, A* . . . Ap darstellbar ist Von S' kann man wieder auf die 
gleiche Weise einen Theiler vom Primzahlindex finden u. s. f. 
Also ist S metacyklisch (§. 10). 

§. 12. 
Die Invarianten der Abel'schen Gruppen. 

Der Beweis, den wir im vorigen Paragraphen für die Mög- 
lichkeit der Darstellung einer Abel' sehen Gruppe durch eine 
Basis mitgetheilt haben, enthält zugleich einen Weg, eine solche 
Basis zu finden, und zwar eine, bei der die Grade der Basis- 
elemente Primzahlpotenzen sind. Gleichwohl kann es vorkommen, 
dass eine und dieselbe Gruppe auf verschiedene Arten durch 
Basen dargestellt werden kann. 

Betrachten wir z. B. zwei Elemente A, 1?, deren Grade a, b 
relativ prim sind, so wird durch diese als Elemente einer zwei- 
gliedrigen Basis eine Gruppe 

<>» *» ;zl\;l:::iz\ 

dargestellt. Dieselbe Gruppe kann aber auch durch die ein- 
gliedrige Basis AB dargestellt werden in der Form 
(2) (ABY s = % 1,2 ... ab — 1. 



46 



r Abschnitt. 



5. 12. 

i Dach 



Denn sind « und ß beliebig gegeben, so kann : 
dem Modul ab so hestimmen, dass 

s = a (mod d), s = ß (mod 6), 
wodurch (2) mit (1) identisch wird. Trotzdem ist in gewissem 
Sinne die Constitution der Basis durch die Natur der Gruppen 
völlig bestimmt, nach dem folgenden Satze: 
II. Sind 



A x , Ä 3 



. A, 



mit den Graden 



mit den Graden 



zwei Base 
Grade n, 

zahl und 



h, h, . . . &„ 
einer Abel'schen Gruppe S vom 
st p eine in n aufgehende Prim- 



(3) 



om 

; 






Oj = pia v a, = p 3 a 3 , . . . a, = p, et,. 
b i = JPi ft 'n h = P'a 6 'a. -- ■ h *= & v m 
worin p u & ... p,, p\, p' s ... p',, die höchsten P 
tenzen von p sind, die in «,, n : . . . a„ &,, />■, 
aufgehen, so kommen alle Primzahlpotenzen 
P11 pi ■ ■ -Pr, die grösser als 1 Bind, auch unter 
den ß'j, p' 3 ■ ■ ■ p'n vor, und umgekehrt. 
Um diesen Satz zu beweisen, nehmen wir die Element« der 
beiden Basen A und S so geordnet an, dass 

P\ ^ P'i ^ • ■ ■ ^ #• 

Die in (1) und (2) vorkommenden ganzen Zahlen a' t , a' % ... ai, 
fi', , 6g . . . 6J, sind nach ihrer Definition durch p nicht theilbar, 
und wenn wir also mit m das kleinste gemeinschaftliche Viel- 
fache vou a\ , a' a . . . a', bezeichnen, so ist auch m nicht durch p 
theilbar. Ist aber 

® ^= A a 'A? ... A a * 



(5) 



(6) 

ein beliebiges Element von 



, so folgt, dass 
■i« = 1 



§. 12. Invarianten der Abel'sohen Gruppen. 47 

Setzt man hierin B n B 7 . . . B^ für 0, so folgt, dass p 1 m 

durch jede der Zahlen i n i a ... ^ theilbar ist. Es ist also p x 

theilbar durch p' v und m durch das kleinste gemeinschaftliche 

Vielfache von b' v b' % . . . 6J». In diesem Schlüsse können wir nun 

durchweg A mit B vertauschen. Es muss also auch p\ durch p x 

theilbar sein, und daher 

CO Pi = P'v 

und ausserdem ergiebt sich, dass m auch das kleinste gemein- 
schaftliche Vielfache von b' v b' % ... b^ ist 

Um daraus unseren Satz allgemein zu beweisen, nehmen 
wir an, es sei für irgend ein s bewiesen, dass 

(8) p x = p\, p % = j/ a , . . . p 9 _ x = jpi—! 
sein müsse. Nach (6) ist für jedes Element 0: 

(9) &> m = A" lP ' m A? p ' m . . . A* 9 ^i l9 * m , 

worin m wie oben das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 
a\, o' a . . . oi und zugleich von b' v b\ . . . b'„ also durch p nicht 
theilbar ist. 

Wir bestimmen nun die Anzahl der in der Form (9) ent- 
haltenen von einander verschiedenen Elemente. 

Lassen wir o^ die Reihe der Zahlen 0, 1, 2 • • • — — 1 
durchlaufen, so sind die Elemente 



- (10) A\^ m = 1, JLf' m , A\** m . . . a(p. 0* 



m 



alle von einander verschieden, während A p§ wieder = 1 
wird, so dass sich alle anderen Potenzen A x lP ' m in der Reihe (10) 
wiederfinden. Ebenso schliessen wir in Bezug auf die übrigen 
Factoren von (9), woraus man die genaue Anzahl der von ein- 
ander verschiedenen in @ p ' m enthaltenen Elemente 

(11) i = ÜL Pl . . . 2l=l 

findet. 

Von den beiden Zahlen p 8 , p 9 wird, wenn sie nicht gleich 
sind, eine die grössere sein. Wir wollen also annehmen, es sei 

('2) p 9 ^ p 9 . 

Nun drücken wir durch die Basis B aus, und setzen 

(13) 9 p iZ = B( lP ' m B^ p ' m . . . B$* p ' m , 




■ Abschnitt. 



§■ 13- 






und wir zählen nun wieder ab, wie viel verschiedene Elemente 
in dieser Form enthalten sind. Die beiden Werthe für z müssen 
dann übereinstimmen. 

Zählen wir, wie oben in (9), die Anzahl der verschiedenen 
in der Form 

(14) JA».- B^"' m . . . B^"'" 
enthaltenen Elemente, so ergiebt sich auch hierfür nach der An- 
nahme (8) der Werth z. Ea kann daher in der Form 

(15) B?/"' m . . . lf#**" 

nur das einzige Element 1 enthalten sein, woraus zu schliessen 
ist, dass p, durch p', theilbar sein muss. Das ist aber mit (12) 
nur unter der Voraussetzung vereinbar, dass 

(16) p, = p', ist. 
Hiermit ist unser Theorem IL bewiesen. 

Die in den Gradzahlen einer Basis von S enthaltenen Prim- 
zahlpotenzen sind also von der besonderen Wahl der Basis ganz 
unabhängig und wir nennen sie daher die Invarianten der 
Gruppe. Das Product aller Invarianten ist gleich dem Grade n 
der Gruppe. 

Nach §. 11 können wir für S eine Basis bestimmen, bei der 
die Grade der Elemente lauter Primzalilpotenzen sind. Nach 
dem Theorem II. sind diese Grade die Invarianten der Gruppe 
und sind also durch die Gruppe vollständig bestimmt. 

Dass die Invarianten auch die Natur der Gruppe vollständig 
bestimmen, ergiebt sich aus dem Satze: 

III. Zwei Gruppen mit denselben Invarianten sind 
isomorph, und isomorphe Gruppen haben die- 
selben Invarianten. 

Wenn nämlich zwei Gruppen S und S' der Anzahl und dem 
Grade nach übereinstimmende Basiselemente haben, wenn etwa 

& = At l Af . . . A°* 
die Elemente von S sind, und 

& = Bt'Bf 
die Elemente von S', wo die a u a 3 



Systeme nach den Moduln a,, « a . 



. . u. in beiden Fällen Rest- 
a, durchlaufen, so brauchen 



wir nur & und 0' dann einander entsprechen zu lassen, wenn 



§. 13. Gruppencharaktere. 49 

die Exponenten a in beiden dieselben sind; dann sind beide 
Gruppen isomorph auf einander bezogen. 

Haben also zwei Gruppen dieselben Invarianten, so können 
wir diese Invarianten in beiden Gruppen zu Graden der Basis- 
elemente machen, und erhalten dann diesen Fall. 

Wenn umgekehrt zwei Gruppen isomorph sind, so bilden 
die den Basiselementen der einen Gruppe entsprechenden Ele- 
mente der anderen eine Basis der letzteren, und also müssen 
auch die Invarianten in beiden dieselben sein l ). 

§. 13. 
Gruppencharaktere. 

Es ist ein Hauptproblem in der Theorie der Abel' sehen 
Gruppen, alle Theiler einer Abel' sehen Gruppe zu finden. Die 
Losung dieser Aufgabe wird wesentlich erleichtert durch die 
Einfuhrung des Begriffes der Gruppencharaktere, der auch sonst 
in mancher Beziehung von Wichtigkeit ist 

Es sei S eine Abel 'sehe Gruppe nten Grades, deren Ele- 
mente durch A bezeichnet werden sollen, und es seien 

(1) An A-2 • . . A v 

die Elemente einer Basis von S von den Graden a^ a 2 . . . a v . 
Jedes Element A ist also, und zwar nur auf eine Weise, in 
der Form 

(2) A = A a x l AI* ... A°" 



ti 



*) Ueber die Theorie der Ab ersehen Gruppen ist zu vergleichen: 

Gauss, Demonstration de quelques theoremes concernant les 
periodes des olasses des formes binaires da second degre. Werke, 
B<L II, S. 266. 

Schering, Die Fandamentalclassen der zusammensetzbaren 
arithmetischen Formen, Göttinger Abhandlungen, Bd. 14. 

Frobenius und Stickelberger, Ueber Gruppen vertausch- 
barer Elemente. Crelle's Journal, Bd. 86, S. 217. 

Weber, „Beweis des Satzes, dass jede eigentlich primitive 

quadratische Form unendlich viele Primzahlen darzustellen fähig 

ist", Mathematische Annalen, Bd. XX. „Theorie der Abel' sehen 

Zahlkörper", Acta mathematica, Bd. 8 u. 9. 

Der Begriff der Invarianten ist zuerst eingeführt in der Abhandlung 

▼on Frobenius und Stickelberger, aber etwas anders definirt als 

bicr. Dieser älteren Definition, die sich bei der Anwendung auf die Kreis- 

tbeüungszahlen minder zweckmässig erweist, ist der Verfasser in der 

diirten Abhandlung in den Acta mathematica gefolgt. 

Weber, Algebra. IL 4 



50 



• AbBühnitt. 



darstellbar, so dass 

(3) ^ a, < a, , £ «, < d„ . . . ^ «, < a, . 

Die Exponenten «,,«,...«* oder irgend welche ihnen nach 
den Moduln «,, o, . . . «, congruente Zahlen heissen die Indices 
des Elementes A, und es gilt der Satz: 

1. Man erhält die Indices eines Compositum» AA\ 
wenn man die entsprechenden Indices der beiden 
Factoren addirt, so dass, wenn «,, a, . . . a, und 
oej^ w' a . . . a' y die Indices von A und A' sind, die 
Indices von AA' in der Form 

«i + «;> «s + a' a , . . . « f + «i 
erhalten werden. 
Wenn wir jedem Elemente A irgendwie einen Zahlen- 
wert h zuordnen, so können wir diese Zuordnung eine Function 
von A nennen. Eine solche Function % (A) soll nun ein 
Gruppencharakter genannt werden, wenn %{A) für keinen 
Werth von A verschwindet, und wenn für je zwei Elemente A, 
A' von S die Bedingung erfüllt ist: 

(«) it^') = iwim 

und folglich auch die allgemeinere 

,(iiT...) = iw,w,m... 

Zwei solche Functionen x u,1( l Zi werden als verschieden 
angesehen, wenn es wenigstens ein Element A giebt, für welches 
%(A) von X\ (-4) versclüeden ist. Dass ein Charakter immer vor- 
banden ist, sieht man auf den ersten Blick. Man braucht nur l 
X (A) für alle Elemente --1 gleich 1 zu setzen. Dieser Charakter I 
heisst der Hauptcharakter oder auch der Einheitscharakter. 



Welche andere Charaktere noch existiren, 

Anzahl ist, haben wir jetzt noch zu untersuchen. 

zunächst einige Folgerungen aus der Definition. 

Setzen wir A' = 1, so ergiebt sich aus (4): 

und da %(A) nicht = ist, so folgt: 
(6) Z(0 = 1, 

also der erste Satz: 

2. Jeder Charakter bat für das Einheitselen 
Werth 1. 



gross ihre 
Wir ziehen i 






13b Gruppencharaktere. 51 

Setzen wir ferner A' = A, so folgt aus (4): 

ld daraus durch vollständige Induction für jeden Exponenten h: 
) z(A») = X (A)\ 

Bezeichnen wir also mit a den Grad des Elementes A y so 
Igt, wenn man in (7) h = a setzt und (6) benutzt: 

) % {AY = 1, 

so: 

3. Die Werthe eines Charakters %(A) sind Einheits- 
wurzeln, deren Grad ein Theiler des Grades 
von A ist. 

Danach können wir leicht alle Charaktere bestimmen. Setzen 
br nämlich 

) ist 

0) ©J l sljfflfssl,,,, ©J* = 1, 

nd es ist nach (2) und (4) 

11) i{A) = ©J 1 ©?... ©?\ 

Umgekehrt ist, wenn a> x , © 3 . . . © y irgend eine Lösung der 
rleichungen (10) bedeutet, durch (11) eine Function von A be- 
timmt, die nach 1. der Bedingung (4) genügt und also ein 
harakter der Gruppe ist. 

Jede der Gleichungen (10) hat a M a^, ... a* Wurzeln, und 
enn wir jede mit jeder combiniren, so ergeben sich 

<X\ a? . . . a r = n 
)mbinationen. Alle diese Combinationen fuhren zu verschie- 
nen Charakteren %(A). Denn bezeichnen wir mit m' v ©' a . . . ©i 
le zweite Combination von Wurzeln der Gleichung (10), und 
für alle Elemente A 

Oi cu a„ 'oi 'a 9 'a v 

©i a>a* . . . o r = ©i ©2 . . . ©* , 
folgt, wenn man a 1 = l,a 2 = 0... a r = setzt, © x = ©i 
i ebenso © 2 = © a , . . . ©, = ©i. Daraus folgt der Satz: 

4. Es giebt n und nicht mehr verschiedene Charak- 
tere einer Abel'schen Gruppe nten Grades, die 
alle durch die Formel (11) dargestellt sind. 

Wenn wir unter £ x , £, . . . e v ein System primitiver Wur- 
n der Gleichungen (10) verstehen, so können wir 

4* 



52 Zweiter Abschnitt. §. 13. 

(12) ©! = <#, o f = 4 f • • • <*v = *?* 

setzen, und können die &, /J a . . . /J r ebenso wie die a^ c^ . . . o, 
je einem vollen Bestsysteme nach den Moduln c^, a 2 . . . a* ent- 
nehmen. Dann bekommen wir die sämmtlichen n Gruppen- 
charaktere bei feststehenden £ n « 2 . . . e v in der Form 

(13) %(A) = «?* «J» A . . . «f*. 

Setzt man hierin ft = 0, ß % = 0, . . . ß t = 0, so erhält 
man den Einheitscharakter. 

Die n Charaktere von S können nun selbst wieder zu einer 
Abel'schen Gruppe vereinigt werden, und zwar zu einer mit S 
isomorphen Gruppe. 

Nach (13) ist nämlich jeder der n Charaktere durch ein 
nach dem Modulsysteme a u a 2 . . . a v genommenes Zahlensystem 
ßn ß% • • • ß* bestimmt, und dies Zahlensystem der ß ist zugleich 
das System der Indices eines bestimmten Elementes B von $ 
nämlich von 

(14) B = A{ x Afr ...A?*, 

so dass jedem Elemente B von S ein bestimmter Charakter 
entspricht, den wir mit X B (A) oder, indem wir A weglassen, mit 
% B bezeichnen. Diese Zuordnung der Charaktere X zu den Ele- 
menten B wird sich aber ändern, wenn eine andere Basis zu 
Grunde gelegt wird, oder wenn die Einheitswurzeln e u e % . . . t f 
anders angenommen werden. 

Ist B 1 ein zweites Element von S mit den Indices ft, ß' ü ... jK, 
so erhalten wir in gleicher Weise den Charakter X&, und wenn 
wir nun unter X B b' den Charakter verstehen, der für jedes A 
durch die Formel 

(15) X BB ,(A) = € J^+W#ä+/V) . . . #<,*r + M 

bestimmt ist, so sind die Charaktere % hierdurch zu einer mit S 
isomorphen Gruppe verbunden. Das Einheitselement in dieser 
Charakterengruppe ist der Einheitscharakter. 

Es lässt sich hiernach auch die Gruppe der Charaktere 
durch eine Basis darstellen, die man erhält, wenn man 

(16) X x (A) = #, X 2 (A) = «?, . . . X v (A) = e? 
setzt. Dann ist jeder Charakter in der Form enthalten: 

(17) X B = Zf %fr . . . X?\ 

und es ist, wenn B, B' zwei Elemente in S sind: 

(18) X B X B ' = X BB '* 



§. 13. Gruppencharaktere. 53 

Sind Z 1 , X % irgend zwei der Charaktere und X X X 2 der aus 
beiden zusammengesetzte, so ist nach (15) für jedes Element A 

(19) Xi (Ä) X, (Ä) = X, X 2 (Ä). 

Wir wollen das gewonnene Resultat noch als Satz aus- 
sprechen : 

5. Die Charaktere einer Gruppe S können zu einer 
mit S isomorphen Gruppe verbunden werden. 

Es sei noch der Satz erwähnt, der sich aus der Definition 
Ton 1 B durch die Formel (13) unmittelbar ergiebt: 

(20) %b(A) = X A (B). 
Endlich gilt auch noch der folgende Satz: 

6. Durchläuft A alle Elemente der Gruppe S, so ist 
für einen feststehenden Charakter v: 

\ A 

(21) v x (A) = n oder = 0, 

je nachdem % der Einheitscharakter ist oder 
nicht. Ebenso ist, wenn das Element A fest- 
gehalten wird und % die Reihe der Charaktere 
durchläuft: 

(22) i x (A) = n oder = 0, 

je nachdem A das Einheitselement ist oder 
nicht 

Für den Fall, dass % oder A die Einheitselemente ihrer 
Gruppen sind, sind die Formeln (21) und (22) evident, da dann 
jedes der n Glieder der Summe den Werth 1 hat. Ist aber % 
nicht der Einheitscharakter, so giebt es ein Element B in S, so 
f dass %{B) nicht = 1 ist. Setzen wir dann 

so folgt durch Multiplication mit %{B)\ 

i X (AB) = <s x (ß). 
Da aber AB zugleich mit A die ganze Gruppe S durch- 

äuft. so ist auch v%{AB) = <J, also tf[l — %{B)\ = oder 
r = <), w. z. b. w. 

Ebenso beweist man die Formel (22), die übrigens auch 
lach (20) unmittelbar aus (21) folgt. 



54 Zweiter Abschnitt. §. 14 



§. 14. 

Divisoren einer Abel'schen Gruppe. 
Reciproke Gruppen. 

Ein Theiler T einer AbeT sehen Gruppe S ist, wie schon 
oben bemerkt, immer ein Normaltheiler, und daher giebt es nach 
§. 4 eine zu T complementäre Gruppe 

S/T, 

deren Elemente die Nebengruppen von T sind, nämlich 

(1) T, TA\ TA" . . ., 

worin A\ A" . . . gewisse Elemente aus S bedeuten. Die Anzahl 
der Elemente (1), also der Grad der Gruppe S/T ist, wenn* 
der Grad von T ist, gleich dem Index des Theilers T von S, 
also gleich 

3 = j = (8, T). 

Diese Gruppe S/T ist aber selbst wieder eine Abel' sehe; 
denn es ist 

TA 1 TA" = TA'A", TA" TA 1 = TA"A\ 

also beides einander gleich. 

Es sind nun die Charaktere der Gruppe S/T zu bestimmen. 
Wir bezeichnen die Elemente dieser Gruppe mit 

(2) T, T x T 2 . . . 2}-i, 

und einen ihrer Charaktere mit |(2i). 

Aus dieser Function £(T) können wir nun eine Function |(-4) 
der Elemente von S ableiten, indem wir 

(3) |(4) = *(Zi) 

setzen, wenn A{ irgend ein in der Nebengruppe T{ vorkommendes 
Element ist. Für die Elemente der Gruppe T selbst ist dann 
1{A) = 1. 

Diese Function £(-4») ist aber unter den Charakteren von S 
enthalten. Denn wenn Ai in T{ und Ak in T* vorkommt, so 
kommt AiAk in TiT k vor, und folglich ist 

(4) i(Ai) HÄ k ) = «(21) «(21) = HTiT k ) = «(^^). 

Dies aber ist nach §.13, (4) die Definition für einen Charakter 

von S. 



§.14. Divisoren Abel'scher Gruppen. 55 

Wenn umgekehrt einer der Charaktere % = £ der Gruppe S 
für alle Elemente der Gruppe T denselben Werth hat, so kann 
dies nur der Werth 1 sein, da in T sicher das Einheitselement 
?on S vorkommt (§. 13, 2.). Wenn dann A{ irgend ein Element 
aus Ti ist, und A die ganze Gruppe T durchläuft, so durchläuft 
AAi die Nebengruppe T* Es ist dann aber £(A) = 1 und 
folglich 

(5) i{AA % ) = ^A % ), 

d. h. %{A) hat für alle Elemente einer Nebengruppe T* einen 
und denselben Werth, und £(A) kann also als Function von T» 
anfgefasst und mit £(2i) bezeichnet werden. 

Da nun, wenn A4 in T t - und A* in T* vorkommt, AiA k in 
TiT k enthalten ist, so folgt 

(6) «21) «(2X) = |(T, T*), 

i h. |(2i) ist unter den Charakteren der Gruppe S/T ent- 
halten. Es giebt also genau j solche Charaktere £(A), die da- 
durch definirt sind, dass sie für jedes Element in T den Werth 1 
haben. Diese j Charaktere £ bilden nach der Composition der 
Charaktere eine Gruppe ; denn ist £ x (A) = 1, & (-4) = 1 , so ist 
«wsh iiU(A) = 1 [§. 13, (18)]. Da die Functionen | nach (4) 
auch als die Charaktere der Gruppe S/T aufgefasst werden 
können, so ist nach §. 13, 5. die Gruppe der £ mit der Gruppe 
S/T isomorph. 

Damit ist also der folgende Satz bewiesen: 

7. Hat eine Abel'sche Gruppe S einen Theiler T 
vom Grade t und vom Index 7, so giebt es unter 
den Charakteren von S genau j und nicht mehr, 
die für alle Elemente von T den Werth 1 haben, 
während für jedes nicht in T enthaltene Element 
von S wenigstens einer von ihnen von 1 ver- 
schieden ist. Diese Charaktere bilden eine mit 
S/T isomorphe Gruppe. 

Wir wollen diese Charaktere zur Gruppe T gehörig 
nennen. 

Da jeder Charakter X B einem bestimmten Elemente B von S 

entspricht, so wird auch, wenn % B die Gruppe der zu T ge- 

iörigen Charaktere durchläuft, B wegen der Formel §. 13, (18) 

eine Gruppe durchlaufen, die vom Grade j und mit der Gruppe 

ler X B und also auch mit der Gruppe ST isomorph ist. Diese 



56 Zweiter Abschnitt §. 11 

Gruppe der 2?, die also auch ein Theiler von S ist, wollen wir 
mit Z7 bezeichnen und die zu T reciproke Gruppe nennen. 
Auch hier ist aber zu bemerken, dass der Begriff der reciproken 
Gruppe im Allgemeinen von der Wahl der Basis und der Ein- 
heitswurzel £ abhängt, also nicht zu den Gruppen S und T als 
solchen gehört. 

Die zu T reciproke Gruppe ist durch folgenden Säte 
charakterisirt: 

8. Lässt man A die Elemente eines Theilers T von 
S durchlaufen und sucht alle Elemente B von S, 
die für jedes A der Bedingung 

(7) X B (Ä) = 1 

genügen, so durchläuft B die Elemente der zu T 
reciproken Gruppe £7, deren Grad gleich dem 
Index von T ist. 

Nach dem Satze §. 13, (20) ist T die reciproke Gruppe 
zu [7, die Beziehung dieser beiden Gruppen also eine gegen- 
seitige. 

Von diesen reciproken Gruppen gilt noch der Satz: 

9. Ist T ein Theiler von T, so ist umgekehrt die 
reciproke Gruppe U von T ein Theiler der zu T 
reciproken Gruppe U\ 

Denn jedes Element A! von T ist zugleich in T enthalten, 
und folglich ist, wenn B die Gruppe U durchläuft, %b(A') = l- 
Es muss also B in der Gruppe U' vorkommen. 

Wählt man aus der Gesammtheit der Charaktere % eine 
beliebige Anzahl &, £ 3 . . . f^ aus, gleichviel, ob sie eine Gruppe 
bilden oder nicht, so bilden alle Elemente J., die den p Bedin- 
gungen 

(8) fc(J.) = 1, UiA) = 1, . . . &(A) = 1 
genügen, eine Gruppe, weil aus £i(A) = l, £%{A!) = 1 folgt, das» 
auch £i(AA') = 1 ist. Wenn die &, £ 2 • • • &* keine Gruppe 
sind, so folgen aus den Gleichungen (8) noch so viele weitere 
£ M + i(-4) = 1 . . ., dass die &, £ 9 . . . £p zu einer Gruppe erjpnri 
werden. 

10. Aus dem Theorem 7. folgt, dass durch Bedingungen 
von der Form (8) alle möglichen Theiler von S 
erzeugt werden. 



§. 14. Divisoren Abel'icher Gruppen. 57 

Es ist vielleicht erwünscht, diese Sätze an einem einfachen 
Beispiele zu erläutern. Es sei der Grad der Gruppe S das Qua- 
drat einer Primzahl n = p*. Dann hat S entweder nur die eine 
Invariante jp* und ist dann cyklisch: 

a) S = 1, A, A* . . . A*>*-\ 

oder es hat S zwei Invarianten, die beide gleich p sind; dann 
besteht S aus den Elementen: 

b) S = A* l AS\ «j, «a = 0, 1 . . . p — 1. 
Im Falle a) erhalten wir die p* Charaktere 

X B (A°) = tf«, 

wenn b eine primitive Wurzel der Gleichung &* = 1 ist Nehmen 
wir, um nach dem Satze 10. die Theiler von S zu bilden, einen 
der Charaktere % B , in dem ß nicht durch p theilbar ist, so wird 
h(A a ) nur dann = 1 sein können, wenn a durch jp 2 theilbar 
oder also = ist, d. h. wir bekommen nur den aus dem Einheits- 
elemente bestehenden Theiler von S. Nehmen wir aber ß = p ß' 
durch p, aber nicht durch p* theilbar an, so wird % p p(A a ) dann 
und nur dann = 1, wenn a = pa' durch p theilbar ist. Wir 
erhalten also den Theiler 

T = 1, Ap, A*p . . . A<p-Vp, 

und der zu T reciproke Theiler U ist hier mit T identisch. 

Im Falle b) müssen wir, um die Charaktere zu bilden, zwei 
]>* Einheitswurzeln s\ sS annehmen, und erhalten, wenn 

B — J^ l Al % 

gesetzt ist, 

X B (A?A a 2 *) = £«i^ + c «^. 

Setzen wir zwei dieser Charaktere = 1, also 

cc 1 ß 1 -f a 9 ß 2 = 0, e^ft + a 2 ß 2 = 0, 

so folgt, wenn die Determinante ß l ß' 2 — ß 2 ß\ nicht durch p 
theilbar ist, dass ctj und <% durch p theilbar sein müssen. Ist 
aber die Determinante durch p theilbar, so ist die eine dieser 
beiden Congruenzen eine Folge der anderen. Im ersten Falle 
bekommen wir also eine Gruppe, die nur aus dem Einheits- 
elemente besteht. Wir erhalten daher alle von 1 und S ver- 
schiedenen Theiler 2^, wenn wir für ein feststehendes /5 n ß 2 
die «!, o, auf alle möglichen Arten der Congruenz 

(D) «i ßi + «a ß 2 == (mod p) 












58 Zweiter Abschnitt. §. 15. 

gemäss bestimmen. Ist «„ « 2 eine Lösung dieser Congruenz, in 
der nicht beide Zahlen Null sind, so erhalteu wir alle Losungen, 
wenn wir in fea,, ha, den Factor h die Reihe der Zahlen 
0, 1 ... p — 1 durchlaufen lassen, und die Gruppe T wird also, 
wenn oe,,«j ein festes, der Bedingung (ll) genügendes Werth- 
paar ist, 

(Al'AV)", h = 0, 1, . ..p — 1. 

Die reciproke Gruppe II erhält man, wenn man alle Werthe 
der ß sucht, die der Bedingung (9) genügen, und man findet 
also die Gruppe U in der Form 

(4'i2')*, ä = 0, 1, .. .p — 1, 
worin «„ a„ ß lt ß? jetzt vier feste, der Bedingung (9) genügende 
Zahlen sind. Setzt man ß x = 0, ß t = 1, a L = 1, otj = 0, so 
erhält man den besonderen Fall der beiden reciproken Gruppen 

A h u A\, h = 0, 1, . . .p — 1. 



Die zweiseitigen Elemente einer Abel'schen Gruppe. 

Ein Element einer Abel'schen Gruppe 8, das mit seinem 
entgegengesetzten identisch ist, dessen zweite Potenz also gleich 
dem Einheitselemente ist, wird ein zweiseitiges Element ') 
genannt. Das Einheitselement gekürt also immer zu den zwei- 
seitigen. 

Stellen wir die Elemente von S durch eine Basis A l ,A 1 ...A, 
dar, deren Elemente die Grade a it n, . . . a, haben, so wird 

(1) A = AT Ap ■ ■ ■ AV 
dann und nur dann ein zweiseitiges Element sein, wenn 

(2) 2 «, = (mod ai), 2 « a = (mod a a ), . . . 2 «, = (mod a,> 

Wenn nun unter den Invarianten der Gruppe A mal e 
Potenz von 2 vorkommt, so können wir die Basis von S so ge— 
orduet annehmen, dass a lt a 3 . . . tti gerade, m. + i . . . a, ungerade» 
Zahlen sind. Dann ergeben sich die Lösungen von (2): 



A, 



') Vergl. Bd. I, S. HS, Anmerkung. 



§. 15. Zweiseitige Elemente einer Abel'schen Gruppe. 59 

_ _ *h<»i „ _ Vt(h __ _ Vxdx „ _ n „ —c\ 

*i — 2 ' ^ — "" 2~" # " " "ÜT"' +1 * # * 

worin q lf ij, . . ijj, gleich oder gleich 1 seiu können, und man 
erhält alle zweiseitigen Elemente in der Form 



i\<*i nt<*% 



ix a x 



AS AS ...A x * , 

und ihre Anzahl ist, da alle Gombinationen von und 1 für die 
Exponenten rj zulässig sind, gleich 2*. 

Ist % ein beliebiger Charakter von S, so ist, wenn A ein 
zweiseitiges Element ist, %{A) = ± 1, da 

X (A)> = x(l) = 1 
ist 

Ebenso nennen wir einen zweiseitigen Charakter einen 
solchen, der in der Gruppe der Charaktere ein zweiseitiges Ele- 
ment ist Da die Gruppe der Charaktere mit der Gruppe S 
isomorph ist, so giebt es ebenso viele zweiseitige Charaktere als 
zweiseitige Elemente, nämlich 2*. Sie werden nach §. 13, (17) 
dargestellt durch: 

tS IS . -.Xx a . 

Die zweiseitigen Charaktere haben für jedes Ele- 
ment den Werth ± 1. 

Die zweiseitigen Elemente bilden für sich eine Gruppe T 
vom Grade 2*. Ebenso bilden die zweiseitigen Charaktere eine 
damit isomorphe Gruppe, und man erhält die zu T reciproke 
Gruppe {7, wenn man alle Elemente A aufsucht, für die alle 
zweiseitigen Charaktere den Werth -f- 1 haben. Diese Gruppe, 
die nach §. 14, 7. ein Theiler von S vom Index 2 l ist, ist nach 
der letzten Definition weder von der Wahl der Basis noch von 
den die Charaktere darstellenden Einheitswurzeln abhängig, und 
ist durch die Natur der Gruppe S vollständig bestimmt Be- 
zeichnen wir sie mit G, so ist das System der Nebengruppen 

(3) 6r, 6r l9 G* . . • 6r 2 i__x 

dadurch charakterisirt, dass für alle Elemente eines dieser 
Systeme die zweiseitigen Charaktere ein und dasselbe Werth- 
system ergeben. Die Systeme 6r, 6r x , 6r 3 . . . werden die in S 
enthaltenen Geschlechter (Genera) genannt. Die Gruppe G 
speciell heisst das Hauptgeschlecht. 






60 Zweiter Abschnitt $.16. 

Die Anzahl der Geschlechter ist also 30 gross, wie 
die Anzahl der zweiseitigen Elemente"). 

§. 16. 

Indices nach einer ungeraden Primzahlpotenz 
als Modul. 

Das wichtigste Beispiel einer endlichen commutätiven Gruppe 
bieten die Reste der natürlichen Zahlen nach einem beliebigen 
Modul, wenn sie durch die gewöhnliche MultipUcation mit ein- 
ander verbunden werden. 

Wir nehmen eine beliebige ganze positive Zahl m als Modul 
an und zerlegen in in seine Primfactoren : 
(1) m = 2V?s*- • -i 

worin ij\, q 9 ... verschiedene ungerade Primzahlen, A, x lt x 3 . . . 
positive Exponenten, k möglicherweise auch die Null, nämlich 
wenn m ungerade ist, bedeuten. 

Nun werden alle Zahlen, positive sowohl als negative, die 
nach dem Modul »1 unter einander congruent sind, in eine 
Zahlclaase vereinigt, und jede dieser Zahlclassen wird durch 
einen Repräsentanten, etwa durch den Rest der Division, also 
durch eine der Zahlen 0, 1, 2 . . . in — 1, dargestellt. 

Sind a und a' zwei Zahlen einer solchen Classe und b und 9 
zwei Zahlen einer zweiten Classe, so gehören auch die Producte 
ab und a'li in dieselbe Classe. Denn ist « = a', b = b\ so ist 
auch ab = a'h' (mod tu). Durch die Multiplication werden also 
nicht bloss die Zahlen, sondern auch die Classen componirt. 

Trotzdem bilden diese Zahlclassen in ihrer Gesammtheit 
noch keine Gruppe; denn aus einer Congruenz 

ab = ac (mod m) 
folgt nur dann nothwendig b = c, wenn a relativ prim zu »1 
ist. Es ist also die Forderung §. 1 , 3. hier im Allgemeinen 
nicht erfüllt. 

Der grösste gemeinschaftliche Theiler, den eine Zahl a mit 
m hat, ist bei der ganzen durch a reprüsentirten Classe der- 

') Gauss hat in dio Theorie der q u ad rnti sehen Formen diese Begriffe 
zuerst eingeführt, und den Ausdruck „Genera" gebraucht. Disqu. arithm. 
art. 228 f. Eine andere, tiefer gehende Verallgemeinerung des Gauag'- 
schen Begriffes der Genera werden wir später kennen lernen. 



S. 16. Zahlclassen nach einem Modul. 61 



und kann der Theiler der Classe genannt werden. Sind 
i i die Theiler zweier Gassen a, a', so ist der grösste gemein- 
schaftliche Theiler von m und dd' der Theiler der Classe aa'. 
Daraus ergiebt sich, dass die Zahlclassen, deren Zahlen relativ 
prim zu m sind, durch Gomposition immer wieder solche Zahl- 
classen ergeben, und für diese ist dann auch die Forderung 
§. 1, 3. erfüllt. 

1. Die Zahlclassen, deren Individuen relativ prim 
zum Modul sind, bilden also bei der Gomposition 
durch Multiplication eine Abel'sche Gruppe. 

Diese Gruppe ist der Gegenstand unserer Betrachtungen, 
wobei unser Hauptziel die Bestimmung einer Basis sein soll. 

Wir wollen jede Zahlclasse, die nur zu m theüerfremde 
Zahlen enthält, mit N bezeichnen, und die Gruppe der Zahl- 
classen N, deren Existenz wir jetzt nachgewiesen haben, mit 31. 
Mit n wollen wir jede zu m theüerfremde Zahl bezeichnen. 

Der Grad dieser Gruppe ist so gross, wie die Anzahl der 
relativen Primzahlen zu m, die zugleich positiv und nicht grösser 
als m sind, und diese Zahl hahen wir in §. 140 des ersten Bandes 
bestimmt. Sie ist 

(2) ii = <p (m) = 2'-* q?~ l ( ft - 1) q?" 1 (q 2 - 1) . . . 
oder 

= «? l ~ 1 fe-l)^ 1 (^-l)..., 
wenn X = ist 

Der Grad eines Elementes N dieser Gruppe ist der kleinste 

positive Exponent c, zu dem man einen Repräsentanten n von N 

erheben muss, damit n e der Einheit congruent wird nach dem 

Modul m. Da jedes e ein Theiler des Grades der Gruppe q)(m) 

sein muss, so folgt der verallgemeinerte Fermat'sche 

Lehrsatz: 

(3) n'PM = 1 (mod w), 

eine Formel, die für jede zu m theüerfremde Zahl n gilt. 

Ist nun q einer der ungeraden Primfactoren von m, und q* 
die höchste in m aufgehende Potenz von #, so nehmen wir eine 
primitive Wurzel g von q an, die wir, wenn x grösser als 1 
ist, so wählen, dass g* — g nicht durch q* theilbar ist (Bd. I, 
§. 192). Der Kürze wegen wollen wir eine dieser letzten 
Bedingung genügende Zahl g eine primitive Wurzel von q 2 
nennen. 



62 



Zweiter Abechn 



Ist nun x = 1, so sind nach der Definition von g die Zahlen 

1. ff. 9* ■ ■ • !f 9 ~ 2 
nach dem Modul q alle von einander verschieden, während (p~* 
wieder congruent mit 1 ist. 
Ist aber sc > 1, so ist: 

(*) <,*-' = r+A 2 , 

und nach unserer Voraussetzung über g ist h nicht durch <; 
theilbar. Wenn wir die Gleichung (4) in die Potenz 5 erheben, 
und rechts den binomischen Lehrsatz anwenden, so ergiebt sich 



</•"- 



■ 1 + ij. + k 



,,, <!'(l - 1) _ 



also 
(5) 






nicht durch 5 theilbar ist. (Das wäre für q = 2 nicht mehr 
richtig und darum verlangt die Primzahl 2 eine andere Be- 
handlung.) 

Erheben wir (5) nochmals in die q' c Potenz, bo ergiebt sich 

^-0= 1 + M\ 

und so können wir fortfahren und erhalten für jeden beliebigen 

positiven Exponenten l 

(6) jf 1 - 1 !*-»« 1 -\-hq\ 
worin h eine durch 5 nicht theilbare ganze Zald ist. Setzen 
wir zur Abkürzung: 

(7) a— '(3-1) = 93(3') = c, 
so ist also 

(8) jr = 1 (mod q>), 

und es ist noch nachzuweisen, dass c der kleinste positive Ex- 
ponent ist, für den die Congruenz (8) erfüllt ist. Nehmen wir 
an, es sei e dieser kleinste Exponent, also 

(9) g' = 1 (mod q'), 

so muss e ein Theiler von c sein, weil sonst die Congruenz (8) 
auch erfüllt wäre, wenn c durch den Rest der Division von c 
durch e, der kleiner als e ist, ersetzt wird. 

Andererseits muss e durch q — 1 theilbar sein, weil die i 
(9) enthaltene Congruenz g' = 1 (mod q) nur für solche Ex- 
ponenten, die durch q — 1 theilbar sind, besteht. 



1 



§.16. - Zahlclassen nach einem Modul. 63 

Es ist also e von der Form-g*— *(g — 1) mit einem posi- 
tiven iL Dass aber X nicht kleiner als x sein kann, folgt aus (6), 
{ woraus zu sehen ist, dass q 3 - die höchste Potenz von g ist, die 
in der Differenz 

aafgeht Es ist also c die kleinste positive Zahl, für die die 
Congraenz (8) erfüllt ist, und damit ist gleichbedeutend, dass 
die Zahlen 

(10) hg,9',-. 9*- 1 

alle incongruent sind nach dem Modul g*; g kann also auch als 
primitive Wurzel von g* bezeichnet werden. 

Die Anzahl der Glieder dieser Reihe (10) ist gleich c. Ebenso 
gross ist aber auch die Anzahl der nach dem Modul q* incon- 
gruenten, durch q nicht theilbaren Zahlen n, und damit ist be- 
wiesen: 

* 2. Wenn q eine ungerade Primzahl, n eine beliebige 
durch q nicht theilbare Zahl, g eine primitive 
Wurzel von g 8 und x ein positiver Exponent ist, 
so lässt sich eine und nur eine Zahl y nach dem 
Modul c bestimmen, die der Congruenz 

n = g* (mod g x ) 
genügt. 

Die Zahl c ist immer durch 2 theilbar, und wir heben noch 
den besonderen Satz hervor, dass 

(11) g l '* c = — 1 (mod g*) 

ist Denn in dem durch g* theilbaren Producte 

gc — 1 = (gV*c _ 1} y* c + i) 

ist der erste Factor nicht durch g x theilbar, und folglich muss 
der zweite Factor durch g theilbar sein. Dann folgt aber, dass 
der erste Factor auch nicht durch g theilbar sein kann, weil 
sonst auch die Summe der beiden Factoren, also auch g selbst, 
durch g theilbar sein müsste. Folglich muss der zweite Factor 
durch g* theilbar sein. 

Hier besteht also vollständige Analogie mit den Sätzen über 
primitive Wurzeln und Indexsysteme, die wir im §. 143 des 
ersten Bandes kennen gelernt haben, und man kann also auch 
hier y als den Index von n für den Modul q* bezeichnen. 



64 Zweiter Abschnitt. §. 17. 

§. 17. 
Indices für eine Potenz von 2 als Modul. 

Ein ähnlicher Satz muss nun für die Potenzen 2* der Prim- 
zahl 2 aufgestellt werden, die sich, wie schon vorhin bemerkt, 
anders verhält. 

Ist X = 1, so ist jede durch 2 nicht theilbare Zahl 

n = 1 (mod 2). Ist X = 2, so ist — 1 als primitive Wurzel von 

4. aufzufassen, denn jede ungerade Zahl n genügt einer der 

Gongruenzen 

n = (— 1)° (mod 4), 

worin a = oder = 1 ist. 

Aber schon für den Modul 8 existirt keine primitive Wurzel 
mehr, d. h. keine Zahl, durch deren Potenzen sich alle Zahl- 
classen ungerader Zahlen nach dem Modul 8 darstellen lassen. 
Denn ist g irgend eine ungerade Zahl, so sind unter den Po- 
tenzen von g höchstens die beiden 1, g nach dem Modul 8 ver- 
schieden, weil immer g 1 = 1 (mod 8) ist. Nimmt man also g 
nicht congruent 1 und nicht congruent — 1 (mod 8), also g = 3 
oder = 5, so ist jede ungerade Zahl einer der vier Zahlen 

(-l)V « = 0,1, = 0,1 

nach dem Modul 8 congruent. 

Die Anzahl der Classen ungerader Zahlen nach dem Modul 
2* ist 2*- 1 . Nun ist aber für jede ungerade Zahl g, falls X>2 ist, 

(1) g*'* = 1 (mod 2*). 

Denn nehmen wir (1) als richtig an und setzen demgemäss 

0t*-» = i + Ä2 »; 

und erheben ins Quadrat, so folgt: 

g* x ~ x = 1 (mod 2^ + 1 ). 

Ist also die Formel (1) für X richtig, so ist sie es auch für 
X -f- 1, und da sie für X = 3 gilt, so gilt sie allgemein. Daraus 
folgt, dass unter den Potenzen einer ungeraden Zahl g höchstens 
2*-* nach dem Modul 2* verschiedene vorkommen können. 

Andererseits folgt aber leicht für g = 5, dass 5**~* a die 
niedrigste Potenz ist, die nach dem Modul 2* mit der Einheit 
congruent wird. Denn ist 5« die niedrigste Potenz, die der Einr 



j. 17. Potenzen von 2 als Moduln. 65 

iett congruent ist, so ist e nach (1) ein Theiler von 2*- 2 , also 
iine Potenz von 2, und wenn e < 2*~ a wäre, so müsste 

ö^" 3 = 1 (mod 2*) 

»ein. Dies ist aber nicht möglich, denn es gilt für jedes A, was 
grösser als 2 ist, die Formel 

mit ungeradem A, eine Formel, die sich ebenso wie die Formel (1) 
durch vollständige Induction beweisen lässt. Es sind also, wenn 
X ^ 3 ist, die 2*~ a Potenzen 

(2) 1, 5, 5*... ö 2 *"" 2 " 1 

nach dem Modul 2* alle von einander verschieden. Nun ist eine 
Relation von der Form 5* = — 5* für den Modul 4, also um 
so mehr für jede höhere Potenz von 2, unmöglich, und folglich 
sind die Grössen 

(3) -1, -5, -53... -5 2 *" 2 - 1 

nach dem Modul 2* sowohl unter einander als von den Grössen 
(2) verschieden, und da ihre gesammte Anzahl 2 i_1 beträgt, so 
ist jede ungerade Zahl einer und nur einer der Grössen (2), (3) 
nach dem Modul 2* congruent 
Setzen wir also 

(4) a = 2, b = 2 X ~\ 

so erhalten wir folgenden Satz für X 2^ 3: 

3. Für jede ungerade Zahl n lässt sich ein nach dem 
Modulpaar a, b völlig bestimmtes Zahlenpaar o, ß 
angeben, so dass 

n = (— l) a 5.*(mod 2 k ) 
wird. 

Der Fall X = 2 kann hierunter mit subsumirt werden , weil 
dann 6=1 wird und ß = gesetzt werden kann. Um auch 
den Fall X = 1 mit darunter zu begreifen, der aber kein be- 
sonderes Interesse bietet, müsste man a = 1, b = 1 setzen. 



l ) Wollte man an Stelle der Zahl 5 die Zahl 3 als Basis nehmen, so 

würde diese Formel für X = 3 noch nicht gültig sein, wohl aber für jedes 

grössere A, und daher könnte 3 als Basis ebenso gut dienen , wie 5. Der 

Grand für die Bevorzugung der Basis 5 liegt darin, dass alle Potenzen 

dieser Basis = 1 (mod 4) lind. 

Weber, Algebra. II. 5 



66 Zweiter Abschnitt. §. 1& 

§• 18. 

Die Gruppe der Zahlclassen nach einem zusammen- 
gesetzten Modul. 

Aus der Verbindung der beiden Sätze 2. und 3. der beiden 
vorangegangenen Paragraphen ergiebt sich nun folgendes Resultat, 
durch welches die Aufgabe, die wir am Anfang des §.16 gestellt 
haben, vollständig gelöst wird: 

4. Wenn der Modul 

m = 2* q** g*t . . . 

ist, und g u g % . . . primitive Wurzeln der Quadrate 
der Primzahlen q Y , q 2 . . . sind, wenn ferner 

a = 2, 6 = Vi9(2 2 )i *i = 9>(«?> *a = 9>(35) • • • 
ist, so kann man für jede Zahl n, die zu m relativ 
prim ist, ein System von Zahlen a, /J, y x , y % . .. 
nach den Moduln a, 6, c lf c, . . . eindeutig be- 
stimmen, die den Gleichungen 

(1) n = (— l) a 5;* (mod 2*) 

= g*i (mod g«») 
= ^ (mod <#) 



genügen. 

Die Zahlen a, /3, ^, y a . . . heissen das System der 
Indices von n für den Modul m. 

Hier ist zunächst X ^ 3 vorausgesetzt. Der Satz gilt ab» 
auch für die übrigen Werthe von A, wenn 

für X = 0, 1, a = 1, 6 = 1 
„ * = 2, a = 2, 6 = 1 

gesetzt wird. Für X = 0, 1 sind die Indices a und = ss 
setzen oder auch ganz wegzulassen, für X = 2 fällt /J weg, wah- 
rend a gleich oder gleich 1 sein kann. 

Um nun also die Gruppe 9t der Zahlclassen N nach dem j 
Modul m durch eine Basis darzustellen, bestimme man die Zahl- 
classen 

(2) -4, x>, Cx, G 2 . . ., 

oder wenigstens Repräsentanten dieser Classen, was immer mög- 
lich ist (Bd. I, §. 126, VI.), aus den Congruenzen 



§.18. Gruppe der Zahlclassen. 67 

Ä = — 1 (mod 2') = 1 (mod gft) = 1 (mod q**) . . . 
2* = 5 „ =1 „ = 1 „ ... 



C, = 1 „ =1 „ = & 



n 



• • 



und nach 4. erhält man dann für jede Zahl n unserer Gruppe 

(3) n = A'&CPCfc . . . (mod m). 

Die A, B, C x , <7 a . . . sind also die Elemente einer Basis der 
Gruppe 91 von den Graden a, 6, c u <% . . . 

Wenn m ungerade oder nur durch die erste Potenz von 2 
1 theilbar ist, so fallen aus der Basis die beiden Elemente A> B 
weg. Ist m durch 4, aber nicht durch 8 theilbar, so fällt B weg 
und das Element A vom zweiten Grade bleibt. 

5. Zerlegt man die Zahlen* a, 6, c 19 c 9 . . . in Potenzen 
von einander verschiedener Primzahlen, so 
erhält man die Invarianten der Gruppe 9i. 

Um die verschiedenen Fälle zusammenzufassen, bezeichnen 
wir die Elemente der Basis (2) mit 
(») (s—u ^o? Cj . . • Cp, 

Hierin sollen CLi, C für -4. und JS stehen und sind also 
gleich 1 zu setzen , wenn A = oder A = 1 ist. Wenn A = 2 
ist, so ist B = C-i = 1, A = C , und wenn A > 1 ist, A = C- u 
B= C 9 zu setzen. 

Die Grade dieser Elemente seien mit 

bezeichnet, und die Indices einer Zahl aus 9i, die nach den 
Grössen (5) als Moduln zu nehmen sind, mit 
tö) v_i, i/ , v l . . . v a . 

Ist A = oder 1, so haben i/__x und i/ nur den Werth 0, 
ist A = 2, so hat v—i den Werth und v den Werth oder 1. 
Ist A ^ 3, so hat i/__! einen der beiden Werthe 0, 1, und v 
einen der Werthe 0, 1, 2, ... c — 1 ; (i ist immer gleich der 
Anzahl der von einander verschiedenen ungeraden Primzahlen, 
die in m aufgehen. Wir wollen, indem wir v_i, c_i bei Seite 
lassen, v 9 , v x . . . v^ die den Primzahlen 2, q x . . . q^ entsprechenden 
Indices von n und c , Cj . . . c M die denselben Primzahlen ent- 
sprechenden Indexmoduln nennen. Diese Indexmoduln sind 

c = <p (2 i_1 ), d = ff (qV), . . . Ca = g> (#*), 
und nur wenn A = 2 ist, ist c = 2 und nicht = 1 zu setzen. 

5* 



68 Zweiter Abschnitt. §. 1: 

■ 

Wenn wir dann mit *_ u e , c t . . . £ u ein System primitiv* 
Einheits wurzeln der Grade c_i, c , c x . . . c u bezeichnen, und m 
/3_ i, /S 0I ßi . . . ßu die Indices einer Zahl 6, so erhalten wir d 
Charaktere der Gruppe 91 in der Form 

(7) X b (n) = fi^i'-i«*»*«^ . . . «V* 

Darin ist e_ t = 1, wenn A = 0, 1, 2 ist; in den ander« 
Fällen ist e_i = — 1, und c , s u . . . c M sind primitive Einheit 
wurzeln der Grade 

c = 9 (2* _1 ), e 1 = q> (tf *), . . . c„ = <p (g£"). 



Dritter Abschnitt. 



Die Gruppe der Kreistheilungskörper. 



§. 19. 
Die Resolventen der Kreistheilungstheorie. 

Von den Sätzen über Abel' sehe Gruppen machen wir eine 
Anwendung auf die Kreistheilungstheorie für den Fall, dass der 
Grad der Einheitswurzeln nicht eine Primzahl, sondern eine 
höhere Potenz einer Primzahl ist Ist q eine ungerade Prim- 
zahl und m = g*, x > 1, so nehmen wir eine primitive Con- 
graenz wurzel g von m und setzen für jede durch q nicht theil- 
bare Zahl n 

(1) n = (p (mod m). 

Dann ist v der Index von n. Durchläuft n die Gruppe 3t 
der durch q nicht theilbaren Zahlclassen nach dem Modul m 
vom Grade 

(2) c=<p(q*) = q*~*(q-l), 

f so durchläuft v ein volles Restsystem nach dem Modul c. Wir 
nehmen nun eine primitive w* 6 Einheitswurzel r und eine primi- 
tive c* Einheitswurzel s und bilden die Lagrange'schen 
Besolventen 

(3) ^r)= £tf*r», 

worin ß ein beliebiger Exponent ist. Es handelt sich um die 
Frage, wann eine solche Resolvente verschwinden kann. Ist 
x = 1, also m eine Primzahl, so verschwindet sie, wie wir im 
Bd. I, §. 177 gesehen haben, für keinen Werth von ß. Im all- 
gemeinen Falle eines beliebigen x bedeute n' eine beliebige Zahl 
aus 9t. Dann durchläuft nn' zugleich mit n die ganze Gruppe 91. 
Man kann also in (3) n durch nn' ersetzen, wenn man zugleich 



70 Dritter Abschnitt. §. 10. 

v durch v -f- v' ersetzt, wenn v' den, Index von n f bedeutet 
Dadurch folgt aus (3): 

und wenn man also mit r*' multiplicirt und die Summe über *' 
nimmt: 

(4) (<■-/*, r) (£/*, r) = i eP* r«'<" + tf. 

Es ist also zunächst die Summe 



n' 



(5) <* _2;r w 'fr+ 1 ) 

zu bestimmen. Die Summe 6 verschwindet aber immer, wenn 
n + 1 nicht durch g*- 1 theilbar ist (nach Bd. I, §. 141, VI.); denn 
dann ist r n + 1 eine Einheitswurzel, deren Grad eine höhere als 
die erste Potenz von q ist. 6 kann also nur dann von Null yer- 
schieden sein, wenn n die Form hat 

(6) n = — 1 + tq*- 1 (mod m), 

und dann wollen wir seinen Werth mit ö t bezeichnen. Wir er- 
halten alle Werthe von n nach dem Modul w, die in der Form 

(6) enthalten sind, wenn wir t ein volles Restsystem nach dem 
Modul q durchlaufen lassen, also etwa 

(7) t = 0, 1, 2 ... q — 1 

setzen. Die Summe 6 besteht aus q> (m) Gliedern. Ist t = 0, so 
wird jedes dieser Glieder = 1 und es folgt 

(8) <j = 9 (m) = g*-^- 1 ; 

für jeden anderen Werth von t ist r" +1 eine primitive g te Ein- 
heitswurzel, und in 0* kommt dann jede solche Einheitswurzel 
<p(m) : (q — 1) = q*— 1 mal vor. Die Summe aller primiÜTea 
q ten Einheitswurzeln ist aber gleich — 1 und also folgt für 
t = 1, 2 . . . tf — 1 

(9) <S t = — f-K 

Damit ist die Summe 6 bestimmt 

Um aber den Werth der Summe in (4) daraus abzuleiten, 
ist es noch nöthig, den Index v der Zahlen n von der Form (6) 
zu ermitteln. 

Für diese Zahlen ist aber 

g v = — 1 (mod (f~ l ), 
und da nach dem Fermat'schen Satze [§. 16, (11)] 

(10) l *7»<«*> = — 1 (mod q*) 



§.19. Resolventen der Kreistheilung. 71 

ist, SO folgt 

g * = g V*<p(q*) ( mo d q*" 1 ); 

also v= 1 /%q>(g x ) [mod ^(g*- 1 )], da der Index einer Zahl für 
den Modul q*- 1 völlig bestimmt ist nach dem Modul q>(q*~ l ). 
Es wird also 

(11) v = V, 9 («*) +t9(f- 1 ) [mod <p (g*)] , 

und hierin durchläuft nun, da 9(3*) = q<p(q*~~ l ) ist, r zugleich 
mit t ein volles Restsystem nach dem Modul q. Dem Werthe 
t = entspricht der Werth r = wegen (10). 
Es ist aber 

aV«<r(«*) = — i ? € <r(q*-~b = p, 

wenn q eine primitive g* e Einheitswurzel ist, also nach (1 1) 

«' = — ?*, 

und danach ergiebt sich aus (8) und (9) 

(£-/*, r)(rf,r) = 2 tf'* # 
= (-1>'(^ — 3*- 1 ) - (— W 1 ^*' • 

1, g-l 

t 

Nun hat die Summe 2 P*^, wenn ß nicht durch g theilbar 

ist, den Werth — 1, und wenn ß durch q theilbar ist, den 
Werth q — 1, so dass man folgendes Resultat erhält: 

(£-i*,r) (£*,r) = 0, ß = (mod g) 

= (— !)*2 X , ß ni cht = (mod q). 

Wenn also /S nicht durch q theilbar ist, so kann von den 

' Factoren (r~^,r), (**,r) keiner verschwinden; wenn aber ß durch 

q theilbar ist, so verschwindet wenigstens einer der beiden Fac- 

toren. Dass sie dann beide verschwinden, zeigt die folgende 

directe Betrachtung der Summe. 

Wenn ß durch q theilbar ist, so ist für jedes ganzzahlige t 

pW«*- 1 ) ^l| tq*- 1 (mod q*), 

worin nun r zugleich mit t ein volles Restsystem nach dem 
Modul q durchläuft. Wenn man also in (3) unter der Voraus- 
setzung, dass ß durch q theilbar sei, v durch v -f- tq>(q*- 1 ), d. h. 
n durch n(l -f- xq*- 1 ) ersetzt, so folgt 



n 

x 



(e?,r) = v^'r-r«« 



72 Dritter Abschnitt. §. 19. 

Diese Summe ist also von dem willkürlich anzunehmenden 
r unabhängig. Summirt man hier von r = bis r = g — 1, so 

ergiebt sich, da JEr* 1 «* -1 * = ist: 

(13) (8/*,r) = 0. 

Wir haben also den Satz: 

1. Ist der Grad der Einheitswurzel r eine Potenz 
einer ungeraden Primzahl, so verschwindet die 
ßesolvente (s^r) dann und nur dann, wenn ß 
durch q theilbar ist. 

Wir haben noch den Fall zu betrachten, dass der Grad der 
Einheitswurzel r eine Potenz von 2 ist. Wir setzen also 

m = 2* 

und nehmen zunächst ^>3 an. Dann können wir für jede 
ungerade Zahl n ein Indexpaar v, v x aus den Congruenzen 

n = (— l)*i 5* (mod. m) 

bestimmen, und zwar ist v x nach dem Modul 2, v nach dem 
Modul 2*— a bestimmt. Unter den Resolventen verstehen wir in 
diesem Falle die Summen 

(14) ((— l)*i, 0*, r) = £ (— Vfii 0"r", 

worin eine primitive Einheitswurzel vom Grade 2 l — % bedeutet 
Nun verfahren wir ganz ähnlich wie vorher. Wenn wir in (14) 
n durch nn' ersetzen und mit vi, v' die Indices von n' bezeichnen* 
so ergiebt sich 

(15) (— l)-,*i*i' 0-,*" ((— l)ft, 0,*, r) = 2(— l)*i*i 0/**r*«', 

und daraus durch Multiplication mit r n ' und Summation nach *** 



nn f 



(16) ((— l)-ft, 0-,* r) ((— l)ft, 0/*, r ) = Z(— iy^i 0/"r*'(»+». 
Nun ist aber aus den oben angeführten Gründen 

n' 

j£f »'("+D = o, wenn n-j-1 nicht durch 2 i_1 theilbar ist, 
= 2*- 1 fürn-j- 1 = (mod 2*), v = 0, v x = 1, 
= — 2*- 1 für n + 1 = 2 i - 1 (mod 2*), v= 2*~ 8 , v x = 1, 

und danach giebt (16) 

(17) ((- 1)"*,0- V) ((- l)S 0*, r) = (-1)*2',/J = 1 (mod2) 

= t ^ = 0(mod2) 



l 






§.20. Kreistheilungskörper. 73 

-::" : Dass im Falle eines geraden ß jeder der beiden Factoren ver- 
1 schwindet, sieht man, wenn man in (15) 

n' = 1 -f 2*- 1 , 
{ also 
t r»' = — r, v\ = 0, v' = 2*-* 

| setzt Dann giebt diese Formel, da n ungerade ist: 

x z \ ((— lys ®«*> o = — ®^~ 8 ((— i a «*» «o- 

r [ Bei geradem /J ist aber ©i* 2 *"" 8 = -|- 1 und folglich : 

""J 0*) ((- 1)*, «*, r) = 0; 

also: 

2. Ist der Grad der Einheitswurzel r eine Potenz 
von 2 und grösser als 4, so verschwindet die 
Resolvente (( — l)ft, 0?, r) dann und nur dann, 
wenn /3 gerade ist. 
Im Falle m = 4, also r = «, hat man nur die zwei Resol- 
venten t-|- i s , t — « s , die wir unter der Bezeichnung (( — 1)*, t), 
/}=0, 1 zusammenfassen können, und es ist (( — 1)*, *) dann 
und nur dann = 0, wenn ß = ist. 

§• 20. 
Kreis theilungskörper. 

Die Theorie der AbeTschen Gruppen eröffnet uns einen 
tieferen Einblick in die Theorie der Einheitswurzeln und der 
daraus entspringenden algebraischen Zahlen. 

Es möge jetzt m irgend eine ganze positive Zahl sein, die 
in ihre Primfactoren zerlegt sei: 

(1) m = 2*<R(ß... % 

und es sei r eine primitive w te Einheitswurzel. Den Fall A = 1 
können wir ein- für allemal von unserer Betrachtung ausschliessen; 
denn wenn m ungerade ist und r die primitiven m*** Einheits- 
wurzeln durchläuft, so kommen darunter keine zwei entgegen- 
gesetzte vor, und — r durchläuft die primitiven 2m t * n Einheits- 
wurzeln. 

r ist die Wurzel einer ganzzahligen irreduciblen Abel'schen 
Gleichung vom Grade 

(2) v = (p (m), 

wie wir im §. 174 des ersten Bandes nachgewiesen haben. 



74 



Drittel 



s. JO. 



Der Inbegriff aller rationalen Functionen von r mit ratio- 
nalen Zahlen als Coefficienten ist also ein Zahlkörper ß(r) vom 
Grade v, den wir einen Kreistheilungskörper nennen. Wir 
wollen aber den Begriff des Kreistheilungskörpers noch etwas 
allgemeiner fassen und darunter jeden Körper verstehen, dessen 
Zahlen 1 an tec rationale Functionen irgend welcher Einheitswurzelii 
sind. 

Den Körper v' tD Gradea ß(V), der aus allen rationalen 
Functionen einer m" n Einheitswurzel r besteht, nennen wir zur 
genaueren Unterscheidung den vollen Kreistheilungskörper 
der Ordnung m und bezeichnen ihn mit Sl m . 

Beliebige Ein hei ts würz ein r, r\ r" ■ . . beliebiger Grade 
m, m\ m" . . . kann man immer auffassen als Potenzen einer und 
derselben F.inheitswurzel p, deren Grad das kleinste gemein- 
schaftliche Vielfache von »«, m\ m" ... ist. Demnach ist ein 
Kreistheilungskörper, der nur rationale Functionen von r, r 1 r". 
enthält, ein Theiler des vollen Kreist lioiluu^skürpera ß(p), und 
wir bekommen also alle überhaupt existirenden Kreistheilungs- 
körper, wenn wir die sämmtlichen Divisoren aller vollen Kre 
thetlnngskörper aufsuchen. 

Die Galois'sche Gruppe des Körpers ß„ besteht aus dei 
sämmtlichen Substitutionen 
(3) {', ■"), 

wenn » jede nach dem Modul m genommene relative Primzahl 
zu m bedeutet, Denrt die Kreistiieiluiigsgleichiiiig v" a Grades.^, 
deren Wurzeln die r n sind, ist eine Normalgleichung und alsc^» 
ihre eigene Galois'sche Resolvente. Da, wenn a, b zwei diesen 
Zahlen « sind, 

(r, rj (r, r 6 ) = (r, r"") 
ist, so ist diese Gruppe isomorph mit der Gruppe 9t aller Zal 
classen N der zu m th eil erfremden Zahlen, die wir im vorigt 
Paragraphen betrachtet haben. 

Ist 31 ein Theiler von % und p eine zu % gehörige Fuuctioi 
aus ß„,, so ist der Inbegriff der rationalen Functionen von ( 
ß(p), ein in &,„ enthaltener Körper. 

Ist umgekehrt ß ein Theiler von ß m , und p eine primitive 
Zahl des Körpers ß, also auch eine Zahl in ß, ni so kann ß als 
der Inbegriff der rationalen Functionen von p dargestellt 
mit ßlp) bezeichnet werden. 



§.20. Kreistheilungskörper. 75 

Diese Function q gehört dann zu einer gewissen Gruppe 91, 
die ein Theiler von 31 ist. Wir nennen auch die Gruppe 9t und 
den Körper &(?) zusammengehörig und ziehen daraus den 
Satz: 

1. Zu jedem Theiler 91 von 31 gehört ein gewisser 
in& m enthaltener Kreistheilungskörper &(q), und 
umgekehrt gehört zu jedem Theiler SI(q) von Sl m 
ein gewisser Theiler 91 von 31 als Gruppe, in dem 
Sinne, dass, wenn a eine Zahl aus 91 ist, alle 
Zahlen des Körpers SI(q) die Permutationen (r,r°) 
gestatten, und dass umgekehrt jede Zahl in ß m , 
die diese Permutation gestattet, in SI(q) ent- 
halten ist. 

Die Galois'sche Gruppe eines solchen Körpers SI(q) er- 
halten wir nach Bd. I, §. 163, wenn wir 3t in das System der 
Nebengruppen zerlegen: 

91 = 91 + 9t x + 91, H , 

und die unter den Nebengruppen 91, 9^, 9l a ... durch Composition 
mit den Elementen von 31 hervorgerufenen Permutationen auf- 
suchen. Diese Gruppe ist aber nach §. 4, 5 isomorph mit der 
Gruppe 91/91, also auch isomorph mit der zu 91 reciproken Gruppe 
(§. H), die wir mit 33 bezeichnen wollen. Ist a der Grad von 91 
und b der von 95, so ist ab = v, und q genügt einer irreduciblen 
Aber&chen Gleichung vom Grade b. 

2. Wir bekommen also alle Kreistheilungskörper, 
wenn wir zu jedem Modul m die sämmtlichen 
Divisoren 91 der Gruppe 31 bilden, zu jeder dieser 
Gruppen 91 eine zugehörige Function q suchen 

A *^und daraus die Körper SI(q) ableiten. 

Es ist aber noch die Frage, ob bei diesem Processe ein und 
derselbe Körper Sl mehrmals auftreten kann, wodurch wir auf 
die Untersuchung der gemeinschaftlichen Theiler zweier Kreis- 
theilungskörper geführt werden. 

Nach der oben gegebenen Definition ist wohl zu unter- 
scheiden zwischen der Gruppe, zu der ein Körper Sl gehört, 
ond der Galois'schen Gruppe des Körpers; beide Gruppen sind 
m einander reciprok. So gehört der Körper Sl m selbst zur 
Eiuheitsgruppe, während seine Galois'sche Gruppe 31 ist. 



76 Dritter Abschnitt. §. 20. 

Es gilt nun der Satz: 

3. Sind &' = ß(e') und Sl" = SI(q") zwei Theiler von 
ü m , die zu den Gruppen V und 31" gehören, so 
gehört der Durchschnitt von &' und Ä" zu dem 
kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen 9T3F 1 
von V und 31", und das kleinste gemeinschaftliche 
Vielfache &((?', q") von SV und £1" zu dem Durch- 
schnitt von V und 31". 

Denn wenn eine Zahl zugleich in &' und A" enthalten ist, 
so muss sie die Substitutionen von 3t' und von 31", also auch die 
von 31' 31" gestatten, und umgekehrt; und wenn eine Zahl in 
42 (p', q") enthalten ist, so muss sie alle Substitutionen gestatten, 
die zugleich in 31' und in 31" enthalten sind. Umgekehrt lässt 
sich eine rationale (z. B. lineare) Function von q' und q" be- 
stimmen, die zum Durchschnitt von 31' und 31" gehört (vgl. Bd. I, 
§. 150). Aus 3. ergiebt sich noch der specielle Fall: 

Sind &' und &" zwei Theiler von A m , die zu den 
Gruppen 31' und 31" gehören, so ist A" dann und nur 
dann ein Theiler von Sl\ wenn 31' ein Theiler von 31" ist 

Ist m = m x m^ also m x ein Theiler von m, so ist & Ml ein 
Theiler von Sl m \ denn & mi besteht aus allen rationalen Func- 
tionen von r* 1 «. 

Nun ist dann und nur dann 

wenn 

(4) a = 1 (mod tn x ) 

ist. Die Zahlen a aus % die der Congruenz (4) genügen, bilden 
also die Gruppe, zu der der Theiler Sl my von Sl m gehört Wir 
wollen diese Gruppe mit 3t mi bezeichnen und symbolisch « 

(5) 3t mi = 1 (mod mj 

setzen. Da die Zahl der verschiedenen Reste, die eine Zahl ans 
91 bei der Theilung durch m v geben kann, gleich q>(m { ) ist, so 
ist der Index dieser Gruppe 

(6) (% 3L.) = «P (»»J. 

Der Grad von 3l mi ist also gleich ^(m):^^). 

Sind Wi, m 2 irgend zwei Theiler von m und ist d ihr grösster 
gemeinschaftlicher Theiler, ft ihr kleinstes gemeinschaftliches 
Multiplum, so ist 






§. 90. Theiler der Kreistheilungskörper. 77 

(7) 2t d = 1 (mod d) 
das kleinste gemeinschaftliche Vielfache und 

(8) 21^ = 1 (mod n) 

der grösste gemeinschaftliche Theiler von 9t mi und 5t W8 . 

Denn zunächst ist klar, dass % til und %^ Divisoren von % d 
sind. Also ist auch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 
8^ und %^ in 9l d enthalten. 

Ist aber andererseits cc = 1 -\- l-d irgend eine in 2l d ent- 
haltene Zahl, so kann man die Zahlen a t = 1 -\- x x m u 
o,= 1 -{- rr a m a in 5t x und 31, so bestimmen, dass a = a x a % 
(mod m) wird. Man hat nur die ganzen Zahlen x i9 x 2 aus der 
Gleichung ^d = x l tn l -\- x 2 m % zu bestimmen, was nach Bd. I, 
§. 126 immer möglich ist. Also ist auch 3t d in 2t mi 31^ enthalten 
und folglich damit identisch. 

Ist sodann eine Zahl a sowohl in 3l mi als t in 31m, enthalten, 
so ist. a — 1 durch m^ und durch m 2 , also auch durch ft theil- 
bar, und folglich ist a in 3l u enthalten. Andererseits ist jede 
Zahl von 2t M sowohl in 3t mi als in 3I mt enthalten, und folglich ist 
% der Durchschnitt von % Hl und 31^. Daraus ergiebt sich 
nach 3.: 

4. Sind n»! und m a irgend zwei natürliche Zahlen, 
d ihr grösster gemeinschaftlicher Theiler, ft ihr 
kleinstes gemeinschaftliches Multiplum, so sind 
die vollen Kreiskörper &<i,und ß tt grösster ge- 
meinschaftlicher Theiler und kleinstes gemein- 
schaftliches Vielfaches der Körper Sl mi und £l mt . 

Daraus folgt nun: wenn zwei volle Kreistheilungskörper £Z m 
and & m ' einen gemeinsamen Theiler Sl haben, und m' ist kleiner 
als m, so muss es einen echten Theiler d von m geben, so dass 
ß auch* ein Theiler von & d ist. 

Wir wollen einen Theiler von Sl m primär nennen, wenn er 
nicht zugleich in einem vollen Kreistheilungskörper Sl m t von 
niedrigerem m' enthalten ist. Dann folgt also, dass man alle 
nicht primären Theiler von Sl m erhält, wenn man in Sl d den 
Index d alle echten Theiler von m durchlaufen lässt und die 
Theiler von Sl d aufsucht. 

Bezeichnen wir nun mit #i,(fc, . . . q t die sämmtlichen in m 
aufgehenden verschiedenen Primzahlen (2 eingeschlossen) und 
setzen 







78 ' Dritter Abschn 

(y) m = *j,w, = 2,M», = ■ 

so ist jedes d Theiler von einem «1er »i,,m a 
erhalten die nicht primären Theiler von Sl, 
Theiler der Körper 

&,„,, Sl„, t , ... Sl*, 
aufsuchen. Diese Körper gehören aber zu der Gruppe 
(10) Q, = 1 (mod «,), Q t = 1 (mod wi a ), . . . Q r = 1 (mod m<), 
und also wird nach 4. ein Theiler Sl von ß m dann und nur 
dann nicht primär sein, wenn in der zu Sl gehörigen Gruppe % 
eine der Gruppen Q lt Q t , . - . Q, enthalten ist. Wenn wir also 
solche Theiler der Gruppe 91, die keine der Gruppen Q t , Qj, ... Q T 
als Theiler enthalten, primäre Theiler nennen, so können wir 
den Satz aussprechen: 

5. Um alle primären Theiler von Sl m zu erhalten, 
hat man alle primären Theiler der Gruppe 9t 
aufzusuchen und die zugehörigen Körper zu 
bilden. 

6. Wenn man aber alle primären Theiler aller 
vollen Kreistheilungskörper aufstellt, so erhält 
man jeden Kreistheilungskörper, und jeden nur 
einmal, und zwar jeden dargestellt durch Ein- 
heitswurzeln möglichst niedrigen Grades. 

Der Körper ß a ,„ bat, wenn m ungerade ist, gar keinen pri- 
mären Theiler und ist mit Sl m identisch. In allen anderen Fällen 
ist Sl n wenigstens sein eigener primärer Theiler, der zur Einheits— 
gruppe als primärer Theiler von 91 gehört. 

Nehmen wir, um diese Satze an einem einfachen Beispiele zu 
erläutern, m = 36, so ist die Gruppe 91 vom Grade <p(36) = 22, 
und besteht aus den Zahlen 

91 = 1, Ö, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, ; 

Es ist Mt = 18, W, = 12, und die Gruppen Q t , 
ft = 1, 19, ö, = 1, 13, 25. 

In einem primären Theiler von 91 können daher die i 
13, 11), 25 nicht vorkommen, und ebenso wenig solche, die durch 
Potenzirung auf eine dieser Zahlen führen, wie 5, 7, 11, 2^, 



, sind 
e Zahlen 



§. 21. Theiler der Gruppe 3R. 79 

29, 31. Es bleiben also als primäre Theiler von 9fc ausser der 
Einheitsgruppe nur die beiden Gruppen ' 

% = 1, 17 31, = 1, 35 oder 1, — 1 

und die aus beiden zusammengesetzte Gruppe . 

21, = 1,17,-1,-17 

übrig. Zu diesen drei Gruppen gehören, wenn r eine primitive 
36** Einheitswurzel ist, die Functionen 

r + r 17 , r + r~\ r -f- r" 1 -f r 17 -f r~ 17 . 

Zu allen anderen in 91 enthaltenen Gruppen gehören Func- 
tionen, die durch niedrigere Einheitswurzeln darstellbar sind, 
z. B. zu den Gruppen Q x und Q 2 die 18 to und 12 te Einheits- 
wurzel r* und r\ 

§. 21. 

i 

Primäre und nicht primäre Theiler der Gruppe 91. 

Wir bezeichnen mit q irgend eine der in m aufgehenden 
Primzahlen und setzen m = qm'. Dann betrachten wir die 
Gruppe 

Q = 1 (mod m'). 

Um die Bedingungen für eine Zahl in Q zu ermitteln, wenden 
wir die Darstellung der Gruppe 91 durch eine Basis und die 
Bezeichnungsweise der Indices an, wie wir sie im §. 18 eingeführt 
und erklärt haben, und bezeichnen danach die zu Q reciproke 
Gruppe mit P. 

Die Indices einer Zahl in Q bezeichnen wir mit 

y-u ?o, 7i. - • • ?u, 

und einer Zahl in P mit 

O—i, O , 0j , . . . 0^. 

Dann müssen die y der Bedingung genügen : 
(\) CI7 1 C\° Cl l . . . C*> = 1 (mod m'). 

Diese Bedingung fordert, dass alle Indices mit Ausnahme 

des der Primzahl q entsprechenden, den wir mit y bezeichnen, 

*Vull sein müssen. In Bezug auf y ist aber zu unterscheiden, ob 

q noch in m' aufgeht oder nicht, d. h. ob q ein mehrfacher oder 



80 Dritter Abschnitt. §. 21. 

nur ein einfacher Factor von m ist. Ist q nicht mehr in tri ent- 
halten, so enthält die Gongruenz (1) gar keine Beschränkung 
für y, und y kann jeden Werth nach dem Modul c, d. h. jeden 
Werth 0, 1, ... q — 2 annehmen. 

Ist aber q noch in tri enthalten, also m durch q* theilbar, 
und x > 1, so fordert die Bedingung (1): 

C Y = 1 (mod g*- 1 ), 
also 

(2) y = (mod |), 

und y kann also jeden der Werthe 

c 2c (g — l)c 
u, — , — , • • • 

erhalten. Im ersten Falle ist der Grad der Gruppe Q gleich q — 1, 
im zweiten gleich q. 

Die Indices 8 einer Zahl aus der Gruppe P erhält man 
nach §. 14, 7. und §. 18, (7) aus der Bedingung, dass für alle 
zulässigen y 

(3) «l-i '-* «»* tf 1 ' 1 . . . e r f'i* = 1 

sein soll. Nach dem, was eben über die Indices y bewiesen ist, 
fordert aber (3) nur das eine, dass der der Primzahl q ent- 
sprechende Index 8 durch q oder durch q — 1 theilbar sein soll, 
je nachdem q mehrmals oder nur einmal in tn aufgeht Wir 
heben also den Satz hervor: 

7. Die zu Q reciproke Gruppe P ist dadurch 
charakterisirt, dass der q entsprechende Index i 
aller ihrer Zahlen durch q oder durch q — 1 
theilbar ist, je nachdem q mehrmals oder nur 
einmal in m aufgeht. 

Und daraus: 

8. Ein nicht primärer Theiler 91 von 91 ist dadurch 
charakterisirt, dass in der reciproken Gruppe 9 
der einer Primzahl q entsprechende Index 
aller Zahlen b durch q oder durch q — 1 theilbar 
ist, je nachdem q mehrmals oder nur einmal 
unter den Primfactoren von m vorkommt. 



.22. Kreistheilangsperioden. 81 



§. 22. 
Die Kreistheilungsperioden. 

Als die einfachsten Functionen, durch die man die Kreis- 
heilungskörper darzustellen versuchen kann, bieten sich die 
kreistheilungsperioden dar, die eine unmittelbare Ver- 
allgemeinerung der im §.175 des ersten Bandes betrachteten 
Gauss 1 sehen Perioden sind. Wir verstehen darunter Folgendes. 

Es bedeute 31 einen Theiler der Gruppe 31 vom Index e», 
und a durchlaufe die Zahlen von % Ist r eine primitive m* Ein- 
beitswurzel, so heisst die Summe 

(1) q = St- 
eine zu der Gruppe 31 gehörige Kreistheilungsperiode 
vom Index e. 

Machen wir in (1) eine der Substitutionen (r, >°), so bleibt 
r\ nngeändert, wie unmittelbar aus der Gruppeneigenschaft der 
o folgt 

Um 31 in die zu 31 gehörigen Nebengruppen zu zerlegen, 
müssen wir die Zahlen 1, ^^ n 2 ^ . . . n e -i aus 91 passend aus- 
wählen, dass man 

(2) 9i = 31 + «^ + 31n a H 1- Kn^ 

erhält Machen wir dann in r\ die Substitutionen 

(3) (r, r), (r, r"0, . . . (r, r»e-i), 
so geht r\ in die conjugirten Perioden 

W *7> *7n • • • Ve-\ 

über, und wenn diese alle von einander verschieden sind, so 
gehört m zur Gruppe 31. Der zu 31 gehörige Körper Sl{r\) be- 
steht aus allen rationalen Functionen von 17, und die Zahlen 
%. . . r\ e —\ gehören alle zu derselben Gruppe 31. 

Wenn aber die Grössen (4) nicht alle von einander ver- 
schieden sind, so gehört die Zahl r\ nicht zu der Gruppe 31. 
sondern zu einer umfassenderen Gruppe 31', von der % ein Theiler 
ist. Um die Bedingungen für diesen Fall zu ermitteln, erweitern 
rir den Begriff der Resolventen, wie wir ihn schon im §. 11) 
etrachtet haben, noch etwas. 

Weber, Algebra. II. Q 



82 Dritter Abschnitt. 

Wir lassen n die Reihe der Zahlen der Gruppe 3t d 
laufen und bezeichnen mit %(ri) einen der Charaktere < 
Gruppe. Die erweiterten Resolventen sind dann, wenn r 
m* Einheitswurzel ist: 

(5) (Z, r) = £z(n)r» 

Verstehen wir unter 39 die zu 31 reciproke Gruppe und ! 
b die Zahlen von 39 durchlaufen, so giebt es nach §. 14, 7 
dem Grade von 39 gleiche Anzahl von Charakteren Z*, die da 
ausgezeichnet sind, dass 

X b {a) = 1 

ist, für jede Zahl a aus der Gruppe 3L Daraus folgt dann 
der Definition der Charaktere §. 13, (4) für jedes n: 

(6) X b (an) = X b (n), 

d. h. der Charakter X b hat für alle Zahlen einer jeden N 
gruppe 91 n n 91 « 2 • • • einen und denselben Werth. Der 
wird die Resolvente (Z&, r) nur von den Perioden rj abhg 
und den Ausdruck erhalten: 

(7) (Z 6 , r) = ri + X^n^Vi H h Z»(*«-i)i}«-i- 

Wenn r\ zu einer Gruppe 91' gehört, so gehören die 
jugirten Zahlen rj^ r\ 2 , . . . r\ e ^ 1 zu derselben Gruppe (weil \ 
Normaltheiler von 3t ist, Bd. I, §. 161). Wenn also ol i 
eine Zahl aus 91' ist, so bleiben die Grössen rj, ij n 1? 2 , . . . 
durch die Substitution (r, r"') ungeändert und nach (7) ist 

(8) (* 6 , r) = (Z 6 , i-'). 

Andererseits erhält man aus (5), wenn man bedenkt, 
a'n zugleich mit w die ganze Gruppe 3t durchläuft, 

(X b , r) = iz 6 (na')r»«' = * 6 (a')£* & (n)r*«' 
= Z & (a')(Z 6 ,<), 
also nach (8): 

(9) (X h ,r) = X b {a')(X b , r). 

Ist 91 nicht mit 91' identisch, sondern ein echter T 
von 91', so ist die zu 91' reciproke Gruppe 39' ein echter T 
von 39 (nach §. 14, 9.); wenn also b eine Zahl in $ ist, die 
zugleich in 39' enthalten ist, so kann man o! so wählen, 



§.22. Kreistheilangsperioden. 83 

Ii(o') nicht = 1 ist. Dann folgt aber aus (9) 

(10) (^r) = 0; 
also der Satz: 

1. Wenn die Periode r\ nicht zu % sondern zu einer 
umfassenderen Gruppe 31' gehört, dann ver- 
schwindet jede Resolvente (£ 6 , r), wenn b eine 
Zahl aus 33 ist, die nicht in 39' vorkommt. 

Um nun die Bedingungen für diesen Satz weiter zu ver- 
folgen, müssen wir die Bildungsweise der Charaktere berück- 
sichtigen. 

Wir wählen die Bezeichnung so, wie wir sie am Schluss des 
§. 18 eingeführt haben. Dann ist, wenn 0— i, /5 > ßu • • • ft* die 
Indices von b und v_!, v , v x , . . . v^ die von n sind, 

(11) X b (n) = «^ l *- 1 4°*° £ i Vl ' • • £ ^ V - 
Ist nun m = 2 X q** q£ . . . g*/*, so können wir, wenn r , 

r h • • • *> primitive Einheitswurzeln der Grade 2\ g£», 2jS • • • fl£f* 
bedeuten, jede primitive m te Einheitswurzel in der Form darstellen 
(Bi I, §. 140) 

(12) r = r r l ... r u , 

I und wenn wir w , fli, . . . Wu aus den Congruenzen bestimmen 

(13) n = n (mod 2*), n = ttj (mod <tfi), ... n = n u (mod <j>), 
so zerfällt (£&, r) nach (5) in das Product der folgenden Summen: 

(U) 2«V~ l£ ?' ,f ft 2 «f 1 * 1 <S • • • 2^V r V. 

Wenn nun b eine Zahl ist, die in 33, aber nicht in 33' vor- 
kommt, so muss nach dem Satze 1. eine von diesen Summen 
verschwinden. 

Dafür ist aber nach §.19 die nothwendige und hinreichende 
Bedingung die, dass eine der Congruenzen 

(15) ß = (mod 2), ßi = Q (mod &), . . . flu = (mod g>) 

befriedigt ist, und zwar eine solche, deren Modul mehrfach in m 
aufgeht 

Diese Bedingung muss zunächst, wenn die Voraussetzung 
des Satzes 1. zutrifft, für jede Zahl 6, die in 33, aber nicht in 33' 
vorkommt, erfüllt sein. Ist aber V eine Zahl in 2}', so ist für 

6* 



ft die 



jeden ganzzahligen Exponenten x das Product h'*b in 33, i 
nicht in 33' enthalten, und also muss, wenn ß' , ß\, ■ ■ . ß' u die 
Indices von b' sind, für jedes x eine der Congrut 

x ß' -+- ß t = (mod 2) 
( 16 j xß\ + ß, = 0(mod2,) 

jeft-f- ft.= (mod 5,,) 
befriedigt sein. 

Sind nun zwei Zahlen ß\ ß nicht beide durch eine Prim- 
zahl q theilbar, so kann man immer über x so verfügen, dass 
xß' -\~ ß nicht durch q theilbar wird; man braucht nur, wenn fl 
durch g theilbar ist, x durch q nicht theilbar, und wenn ß durcb 
q nicht theilbar ist, x durch g theilbar anzunehmen, und 
man kann x auch so bestimmen, dass es gleichzeitig mehrerer 
solchen Forderungen genügt. Es folgt also aus (16), dass ent' 
weder ß' e , ß durch 2 oder ß' lt ß t durch q l . . . oder ß'„, ß^ durcl 
q u theilbar sein müssen, d. h. eine der Congruenzen (15) mus: 
auch erfüllt sein, wenn b irgend eine Zahl aus 33 ist, gleichviel 
ob sie in 33' vorkommt oder nicht. Endlich folgt wieder au 
(16), indem wir unter b, b' zwei beliebige Zahlen aus 33 ver 
stehen, dass von den Congruenzen (15) eine und dieselbe für all 
Zahlen aus 33 bestehen muss. Dies können wir nun so zusammen 
fassen: 

2. Wenn die Periode ij nicht zu 21 gehört, so niusi 
es unter den Primzahlen (einschliesslich "J), dit 
mehr als einmal in m aufgehen, eine geben, q 
so dass für jede Zahl b aus 33 der dem q ent- 
sprechende Index ß durch q theilbar ist. 

Hieraus ergiebt sich aber nach §. 21 , 8,, dass 91 ein 
nicht primärer Theiler der Gruppe 91 ist, und wir haben den 
Satz: 

3. Ist 31 ein primärer Theiler von 91, so gebort die 
Periode r\ zu der Gruppe 21. 

Alle primären Theiler des vollen Kreis theilungskörpers fl, 
sind demnach in der Form Sl(rj) darstellbar, d. h. alle Zahlen 
eines solchen Theilers sind rational durch die Kreistheilnngs- 
perioden ij darstellbar, und da man die nicht primären Thenei 



§.22. KreistheilungBperioden. 85 

Ton £« als primäre Theiler von niedrigeren Kreistheilungskörpern 
wiederfindet, so folgt: 

4. Alle Kreistheilungskörper sind in der Form Sl(rj) 
darstellbar. 

Oder auch: 

5. Jede rationale Function von Einheitswurzeln 
kann als rationale Function einer Kreistheilungs- 
periode dargestellt werden. 

Und dieser Satz lässt sich auch in der Form aussprechen : 

6. Ist 31 ein beliebiger primärer oder nicht primärer 
Theiler von 9t vom Index e, so giebt es einen 
Theiler n^ von m und eine in Sl mi gelegene Kreis- 
theilungsperiode rj vom Index e % so dass r\, als 
Function von r aufgefasst, eine zur Gruppe 31 
gehörige Function ist, also, wenn a zu 31 gehört, 
durch die Substitution (r, r°) ungeändert bleibt 
und für alle Substitutionen von 91 e verschiedene 
Werthe erhält. 

Durchläuft a eine Gruppe 31, die ein primärer Theiler von 
5 ist, und setzen wir 



a 



auch wenn h nicht relativ prim zu m ist, so können wir diese 
Grössen iy Ä , die alle die Permutationen der Gruppe 31 gestatten, 
rational durch r\ = 2 r" darstellen. Andererseits lässt sich aber 
auch jede rationale Function von r\ linear durch die r\ h dar- 
stellen. Dies wird bewiesen sein, wenn gezeigt ist, dass man 
das Product zweier r\ h linear durch die r\ h ausdrücken kann. Es 
ist aber, wenn a und a 1 von einander unabhängig die Gruppe 3t 
durchlaufen, 

nimmt man zuerst die Summe nach a! bei feststehendem a, so 
kann man o! durch aa! ersetzen, da ao! zugleich mit a' die 
Gruppe 3t durchläuft. Man erhält so 

(17) VhVk = Yi-c* + * a '> = lVh + *«<. 

Wenn die Primzahl q nur einfach in m aufgeht und 3t durch 
Q (§. 21) theilbar ist, so ist zwar 31 nicht primär; es gehört aber 



trotzdem die Periode r\ zu der Gruppe 9t. Es kann aber in 
diesem Falle i\ durch Einheitswurzeln von niedrigerem Grade 
dargestellt werden. In folgender Weise liisst sich diese Dar- 
stellung finden. Alle Zahlen von Q sind von der Form 1 + '""'i 
worin h die Reihe der Zahlen 0, 1, . . . q — 1 durchläuft, mit 
Ausnahme des einzigen Werthes, für den 

(18) 1 -f im' = jfcg 

durch q theilbar wird. Setzt man also unter der Voraussetzung, 
dass 91 durch Q theilbar ist, 

91 = Q + Qa, + Qa % + . , ., 
so folgt, dass jede Zahl o in 1 von der Form ist: 

(19) a = a! (1 + hm'), 

worin a' die lieihe der Zahlen 1, a,, a 2 . . . durchläuft. Daraus 
ist noch zu schliessen, dass die Reste der Zahlen 1, «„ o,... 
nach dem Modul m' eine Gruppe bilden. Nimmt man nun die 
Summe über alle Werthe h — 0, 1, ... q — 1 und nimmt dann 
den einen durch (18) bestimmten Werth wieder weg, so folgt; 

oder, da v (->'*''• — o ist: 

•j = — ^r"' k i. 
Nun ist r^ eine m' u Einheitswurzel, und )j also, vom Vor- 
zeichen abgesehen, gleich einer aus t»' ten Einheitswurzeln ge- 
bildeten Periode '). 



Kreistheilungskörper von gegebener Gruppe. 

Im Vorhergehenden hat sich also ergeben, dass jede Kreis- 
theilungsperiode 



in der r eine primitive m te Einheitswurzel ist, und a die Zahlen 
einer Gruppe 31 durchläuft, wenn 91 ein primärer Theiler von 31 

') Hier ist die Abhandlung von Fuchs zu vergleichen: Heber die 
Perioden, welche aus den Wurzein der Gleichung w« = 1 gebildet sind, 
wenn n eine zusammen gesetzte Zahl ist. Grelle'« Journal, Bd. Gl (1863). 



§.23. Kreiatheilungskörper von gegebener Gruppe. §7 

ist, die Wurzel einer Abel'schen Gleichung ist, deren Gruppe 91/21 
mit der zu 21 reciproken Gruppe 39 isomorph ist (§. 14, 7.). 

Die Aufgabe, die wir jetzt stellen und lösen wollen, ist 
folgende: 

I. Es soll der Modul m und die Gruppe 91 auf alle 
mögliche Arten so bestimmt werden, dass 33 ein 
beliebig gegebenes System von Invarianten hat. 

L Oder was dasselbe ist: 

| Es sollen alle Kreistheilungskörper von ge- 

gebener Gruppe bestimmt werden. 

Wir machen dabei immer die Voraussetzung, dass 21 ein 
primärer Theiler von 9t sein soll, weil wir sonst einen und den- 
selben Körper mehrmals erhalten würden. Die Aufgabe zerfällt 
in zwei Theile, nämlich: 

IL Welche Moduln m sind geeignet, eine Gruppe 33 
von gegebenen Invarianten zu erzeugen? 

III. Wie findet man diese Gruppe 33 und die zu- 
gehörige Gruppe 21? 

Wir müssen bei dieser Untersuchung die Bezeichnung gegen 
Frühere etwas ändern, damit die Uebersichtlichkeit nicht 
Terloren geht. Die exceptionelle Stellung der Primzahl 2, die 
bei den bisherigen Betrachtungen immer berücksichtigt werden 
musste, machte eine etwas umständliche Bezeichnung nothwendig. 
Diese Unterscheidung ist im Folgenden nicht mehr in dem Maasse 
nothwendig, und darum lässt sich die Bezeichnung jetzt verein- 
fachen. 

Wir bezeichnen die Indices einer Zahl a aus der Gruppe 
H mit 

a i? a 2> • • • a n (Indices von a), 

and die entsprechenden Indexmoduln mit 

c x , Cj, ... Ca (Indexmoduln), 
so dass fi gleich der Anzahl der in m aufgehenden Primzahlen, 
oder wenn w durch 8 theilbar ist, um 1 grösser ist. 
Es seien ferner 

primitive Einheitswurzeln der Grade c u c 3 , . . . c M . Sind nun die 
Indices einer Zahl b in der zu 21 reciproken Gruppe 2J 

ßii A» • • • ßtt (Indices von 6), 



88 Dritter Abschnitt. §. 23. 

so ist die Beziehung zwischen den a und den ß durch die 
Gleichung 

(1) »?* «?*... a#* = 1 
ausgedrückt 

Die Invarianten der Gruppe S, die nach §. 12 lauter Prim- 
zahlpotenzen sind, wollen wir mit 

»i? *"ji • • • *v (Invarianten von 33) 
bezeichnen. Wir nehmen diese Invarianten als beliebig gegebene 
Primzahlpotenzen an und bezeichnen mit J ihr kleinstes gemein- 
schaftliches Vielfache, so dass 

(2) J = ij ix = i a ta = • • • = u tp 
gesetzt werden kann. 

Ausserdem soll 51 als primärer Theiler von 91 vorausgesetzt 
werden, was nach §. 21, 8. mit der Bedingung gleichbedeutend ist: 

IV. Keiner der Indices ß soll für alle Zahlen 6, wenn 
die entsprechende Primzahl q mehrmals in m 
aufgeht, durch q, oder wenn q nur einmal in m 
aufgeht, durch q — 1 theilbar sein. 

Nach der Definition der Invarianten muss die Gruppe & 
eine Basis haben, deren Elemente 

0ii 02i • • • 9* (Basis von 58) 
von den Graden 

• • • 

sind, so dass jede Zahl b einmal und nur einmal in der Fori» 

(3) b = jp g? ... g*> (mod m) 

enthalten ist, wenn die Exponenten x iy x 2 , . . . x v je ein volle» 
Restsystem nach den Moduln i ly i 2 , . . . i v durchlaufen. 

Alle Grössen von der Form (3) bilden, wenn g u g^ . . . g r be- 
liebige Zahlen sind, bei unbeschränkter Veränderlichkeit der 
ganzzahligen Exponenten x gewiss eine Gruppe. Sollen aber die 
g h die Elemente einer Basis dieser Gruppe, und ihre Grade f* 
sein , so darf 1 = ffi ffi . . . g* v (mod m) nur dann erfüllt sein, 
wenn x h durch t* theilbar ist, also: 

1. Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass g 11 # 2 , . . . g y die Elemente einer Basis 
einer Gruppe 33 von den Graden t\, ^ . . . u seien, 
ist die, dass die Congruenz 

(4) ftffl*. ..£' = 1 (mod m) 



§.23. Kreistheilungekörper von gegebener Gruppe. 89 

dann und nur dann besteht, wenn zugleich die 
Congruenzen 

(5) Xj = (mod tj), Xi = (mod ^), . . . x v = (mod i v ) 
erfüllt sind. 

Hiernach ist also J die kleinste positive Zahl, die für alle b 
der Congruenz 

V = 1 (mod m) 

genügt, oder die kleinste positive Zahl, für die für alle Systeme 
der ß 

(6) Jfa = (mod c x ), Jß % = (mod c^), . . . Jß^ = (mod fy). 

Daraus ergeben sich die ersten Schlüsse über die Zusammen- 
setzung der Zahl m. 

a) Eine ungerade Primzahl g, die nicht in J ent- 
halten ist, kann nur einfach in m aufgehen. 

Denn ist m durch q* theilbar, so ist eine der Grössen c, 
etwa Ci = q> (g*) = q*~ l (q — 1), also wenn x >> 1 ist, so ist Ci 
noch durch q theilbar, und aus (6) folgt dann, dass alle ß x 
durch q theilbar sein müssten, was der Voraussetzung IV. wider- 
spricht 

b) Eine ungerade Primzahl g, die in J aufgeht, 
I kann höchstens einmal mehr in ro, als in J ent- 
halten sein. 

Denn man kann ebenso schliessen, dass, wenn c x = q x ~ 1 (q — 1), 
und /nicht durch q*- 1 theilbar ist, alle ß v durch q theilbar sein 

müssten. 

c) Ist J ungerade, so muss auch m ungerade sein. 

Denn ist m durch eine Potenz von 2, also mindestens durch 
4 theilbar, so ist der der Zahl 2 entsprechende Indexmodul 
gerade, und die entsprechenden ß müssten nach (6) alle gerade 
sein, entgegen der Forderung IV. 

d) Ist J durch eine Potenz von 2 theilbar, so kann 
m den Factor 2 höchstens zweimal öfter ent- 
halten, als J. 

Denn ist m durch 2 A theilbar und A ;> 2, so sind zwei der 
Indexmoduln 

c x = 2, c a = 2*~ 2 . 



1 



90 Dritter Abschnitt. §. 23. 

Wäre also J nicht durch 2*~ 2 theilbar, so müssten alle ß t 
durch 2 theilbar sein, was wieder gegen die Forderung IV. ist 

e) Wenn q eine einfach in m aufgehende Primzahl 
ist, so muss q — 1 wenigstens durch eine der in 
J aufgehenden Primzahlen theilbar sein. 

Denn wäre c Y = q — 1 relativ prim zu J", so müssten alle ft 
durch q — 1 theilbar sein, im Widerspruch mit IV. Die weiteren . 
Bedingungen für m ergeben sich später. 

Bestimmung der Gruppe 33: 

Die Gruppe 33 ist bestimmt, wenn ihre Basis <h, <fe, . . . g, 
gegeben ist Die Elemente der Basis wollen wir durch ihre ! 
Indices bestimmen, und führen also folgende Bezeichnung ein. j 
Es seien 

7i,i, 7i,2i . . • 7i,.u die Indices von g 1 ; 

/rj\ 72,li ?2,2j • • • Y2,n n r? n 92 

7f,ii y*& • • • 3\„u „ » jj 9** 

Die Indices ß u /J 2 , . . . ß^ eines beliebigen Elementes b erhält 
man dann nach (3) in der Form: 

ß x = y 1A Xx + y M s* H h Y*,i x v (mod c x ) 

/gx ft = 71,2 #1 + 72,2 #2 H h 7*,« «r (m0d Cj) 

und wir fragen nun nach den nothwendigen und hinreichenden 
Bedingungen für die Zahlen y* jfc , damit g x , g t . . . g v die Basis 
einer Gruppe 39 von den verlangten Eigenschaften ist. Nach 1. 
ist hierfür zuerst noth wendig: 

2. Die Zahlen y h ,k müssen so beschaffen sein, dass 
die Congruenzen 

7i,i #i + 72,1 ^iH h 7m #r == (mod Cy) 

ri,2 #i + ^2,2 # 8 + • V Y*,* x * = ° ( mod C 2> 



(9) 



Vi,* *i + y2,M ^2 + • h r>,.a & = (mod <v) 

dann und nur dann erfüllt sind, wenn zugleich 
die Congruenzen 

(10) x x = (mod ?!), # 2 = (mod ? 2 ), ... x v = (mod t r ) 
bestehen. 



§. 23. Kreistheilungskörper von gegebener Gruppe. 91 

Ist diese Bedingung erfüllt, so ist gewiss g u g u . . . g y die 
Basis einer Gruppe mit den Invarianten i u t' 2 , . . . i v . Wenn aber 
auch noch die in IV. aufgestellte Forderung erfüllt sein soll, 
dann folgt noch weiter: 

3. Ist q\ eine in m aufgehende Primzahl, der der 
Index ßk entspricht, so dürfen die v Grössen 

Vi, Ki 72, Äi • • • V*,k, 

wenn q h mehrfach in m aufgeht, nicht alle 
durch qh, und wenn q h nur einmal in m aufgeht, 
nicht alle durch q h — 1 theilbar sein. 

Die Bedingungen 2., 3. sind dann also die notwendigen 
und hinreichenden, und es kommt jetzt nur noch darauf an, sie 
in eine Form zu bringen , dass die Möglichkeit ihrer Erfüllung 
beurtheilt werden kann. 

Wir bezeichnen mit #*,* den grössten gemeinschaft- 
lichen Theiler von i k -und c h und setzen 

(II; n = o M t M , c h = ö^h c M , , _ 

so dass t*,* und c kyh relativ prim sind. Es ist dann zu be- 
merken, dass die Grössen 

durch m und die Invarianten i k völlig bestimmt sind. Nach der 
Definition der Invarianten müssen die ö kih und i kfh Primzahl- 
potenzen sein. 

Aus den Voraussetzungen, die wir in a) bis d) über die 
Zahl f» gemacht haben, ergiebt sich eine Folgerung für die c ki h, 
die wir hervorheben müssen. 

4. Ist q* einer der Factoren von w, der dem Index 
ß h entspricht, ist also c h = q^fah — 1), oder wenn 
q = 2 und x > 2 ist, Ch = 2* -2 , und wenn x = 2 
ist, Ch = 2, so können, wenn x > 1 ist, die Zahlen 

(12; c ljÄ , C 2 ,fc, . . . Cr,* 

nicht alle durch q h \ und wenn x = 1 ist, nicht 
alle durch q h — 1 theilbar sein. 

Wenn nämlich die Grössen (12) alle durch q h theilbar sind, 
so sind nach (11) die Zahlen 

(13) ä 1jÄ , ö 2 ,h, . . . ä*,h 



92 Dritter Abschnitt. §. 23. 

alle nicht durch gj~ x theilbar, und die Zahlen 

(14) h,k 9 Hfr« • • • i*,h 

sind, da sie relativ prim zu der entsprechenden Grösse (12) sind, 
alle nicht durch q h theilbar, folglich ist nach (11) keine der 
Zahlen t a , tj, . . . i„ und also auch J nicht durch g*~ * theilbar, 
was den Annahmen a) und b) widerspricht. Für q h = 2 ist in 
diesem Schlüsse nur x — 1 oder 2 (bei x = 2) an Stelle von % zu 
setzen, um denselben Widerspruch gegen c) und d) zu erhalten. 

Ist aber x = 1, und sind die Zahlen (12) alle durch q h — 1 
theilbar, so müssen sie gleich q h — 1 sein; die Zahlen (13) sind 
alle = 1 und es würde also folgen, dass die Zahlen t* und 
also auch J relativ prim zu g Ä — 1 wären, was der Voraus- 
setzung e\ widerspricht. 

Wenn wir jetzt zu der in 2. ausgesprochenen Forderung für 
die Grössen y kth zurückkehren, so ergiebt sich zunächst, dass , 
die Congruenzen (9) erfüllt sein müssen, wenn x* = i k und die j 
übrigen x = gesetzt werden, also: 

y ki h i k = (mod c h ), 

und daraus mit Berücksichtigung von (11): 

4,ä Yk,h = (mod c M )- 
Weil aber i klh und c kt h relativ prim sind, so folgt, dass ft* 
durch c ki h theilbar sein muss. Wir führen also ein neues System 
von ganzen Zahlen e kih ein durch die Gleichungen 

(15) y k ,Ä = fyh e*, Ä , 

und suchen nun für diese Zahlen die aus 2. folgenden Bedin- 
gungen. Da die Zahlen y kfh , wie aus ihrer Definition hervor- 
geht, nur nach dem Modul c h bestimmt sind, so ist e^ h nur nach 
dem Modul 8 kih zu bestimmen. Nehmen wir eine von den Con- 
gruenzen (9): 

VhhXi + 7m *i H h y^hXy = (mod c fc ), 

und führen darin (15) ein, so erhält sie die Form 

(16) c lth e lih x 1 -f c^ h e 2i hX 2 -\ -f <X ***,*£» = ° ( m <>d ft) 

Hierin setzen wir nun nach (11): 

^h Ch i% h 
Ck, h = -¥ — = — - 

Öfc, h *h 

Demnach sind die Congruenzen (16) gleichbedeutend mit 
der Forderung, dass 



$.28. Kreistheilnngskörper von gegebener Gruppe. 93 

ganze Zahlen sein müssen, oder, mit Rücksicht auf die Bezeich- 
nung (2), mit den Congruenzen: 

(17) e lih i 1%h i{x 1 + e %h i %h iix % -\ e v , h i 9lh ilx 9 = (mod J). 

Diese Congruenzen sind, wie man sieht, immer erfüllt, .wenn 
x x durch »j, x* durch i 2 . - ., x v durch t, theilbar ist, und die 
Forderung 2. reducirt sich also jetzt darauf: 

5. dass die e*,* so zu bestimmen sind, dass die Con- 
gruenzen (17) für keine anderen als den Con- 
gruenzen Xk = (mod i fc ) genügende Werthe der 
x befriedigt sein sollen. 

Dazu kommt noch als Umformung der Forderung 3.: 

6. Die Zahlen 

fr,*fr,*i fr,*fr,Ä> • • • Cr,*er,* 

dürfen nicht alle durch g Ä , wenn x >> 1, und 
durch (g Ä — 1), wenn x = 1 ist, theilbar sein. 

Die Forderung 6. enthält wegen 4. keine Unmöglichkeit. 

Durch 5. und 6. sind die nothwendigen und hin- 
reichenden Bedingungen für die Zahlen e hfk ausge- 
drückt 

Es handelt sich also jetzt noch um die Frage, ob und unter 
▼eichen Voraussetzungen diese Forderungen durch geeignete 
Wahl der e^* befriedigt werden können. 

Diese Frage wird dadurch sehr vereinfacht, dass sich die 
Congruenz (17) in mehrere spalten lässt Die Invarianten i k 
sind, wie wir angenommen haben, Primzahlpotenzen. Es möge 
eine von diesen Primzahlen mit p bezeichnet sein, und es sei 

(18) i x = p*\ % i 2 = p**, . . . i Q = jp* c , 

während die übrigen i k , wenn noch solche vorhanden sind, nicht 
mehr durch p theilbar sein sollen. Den grössten der Expo- 
nenten »„ « 2 , • • • Xq wollen wir mit it bezeichnen. 

Dann ist 

J = p*J\ 

und J' ist nicht mehr durch p theilbar. Es ist ferner 

i[ = p*-*ij\ ii = p*-**J\ . . . i' Q = p n -*<>J', 
während t'o+i, . . . il durch p n theilbar sind. 



94 Dritter Abschnitt .§. 2L 

Demnach hat die Congruenz (17) zur Folge: 

(19) e hh i hh p 7t ^ 7tl x 1 + e^h i^hP*-**** H e Qth i 9i HP*-*n% 

= (mod p n ) h = 1, 2, ... fh 

und die übrigen in J aufgehenden Primzahlen ergeben jede ein 
ebensolches System von Congruenzen, die in ihrer Gesammtheit 
vollständig gleichbedeutend mit der Congruenz (17) sind. Diese 
Congruenzen (19) dürfen nicht anders befriedigt werden können, 
als dadurch, däss die Zahlen 

p n ~ n \>x x , p n - n *x 2 , . . . p 7t - 7t qx ii 

durch p n theilbar sind. 

Setzen wir also zur Abkürzung: 

p n - 7t ^x l = y n p*-**x f = y 2 , . . . p n - n 9X 9 = y e , 
so erhält (19) die Form: 

(20) e^ni^ny, + e 2ih i 2ih y 2 -J e Qih i Qth y 9 = (mod p*\ 

und diese Congruenzen sollen 

y x = 0, y 2 = 0, . . . y Q = (mod p*) 

zur nothwendigen Folge haben. 

Das System von linearen Congruenzen (20) kann nun mit 
denselben Mitteln discutirt werden, wie ein System linearer 
Gleichungen, nämlich durch die Determinanten (vergl. den zweiten 
Abschnitt des ersten Bandes). 

Wir wollen zur besseren Uebers\cht die Congruenzen (20) 
für den Augenblick so schreiben: 

(21) ai > 2 * + a *>* * + ••• + *W« = ( m od p») 

«i,m2/i -f ot^y* H — • + «?,m y? = ° 

Wenn die Coefficienten a*, >, alle durch p theilbar sind, dann 
sind diese Congruenzen schon befriedigt, wenn die y alle nur 
durch p*- 1 theilbar sind, und dieser Fall darf also nicht ein- 
treten. 

Wir wollen nun annehmen, es lasse sich aus der Matrix 

#1, 1 1 a 2, 1 1 • • • &Q, 1 

(22} ttl » 2 ' a 2» 2 1 • • • a Q, 2 






§.23. Kreistheilungskörper von gegebener Gruppe. 95 

eine Determinante von x Reihen bilden, die nicht durch p theil- 
bar ist, während alle Determinanten von mehr als r Reihen, 
wenn solche vorhanden sind, durqji p theilbar sind. Wir können 
voraussetzen, dass die Indices so angeordnet sind, dass 

4 = 2 ± «1,1 «a,2 ... 0*,r 

nicht durch p theilbar ist. Bezeichnen wir mit z/ kjÄ die Unter- 
determinanten von z/ und setzen 

so ist D^g = d) wenn Je = s, und = 0, wenn s ^ x und von 
t verschieden ist, und ist, wenn s ^> x ist, eine r- reihige Deter- 
minante der Matrix (22). Mit Hülfe dieser Bezeichnung lassen 
sich nun aus den x ersten Congruenzen (21) die folgenden her- 
leiten: 

Jy t + D ht+l y t+1 H h JJ liQ y 9 = 

(23) Jy* + d^+i y*+i + • • • + A. f y* = o (mod ^ 

z/y r -f D r ,* +1 y, +l -\ \- D t%9 y q = 0. 

Setzen wir zur Abkürzung 

k h k 

i,, r = ^/a,, r 2 «*,*•#*,* = ^öj,r Sil ^k, 7i «*, Ä «k,r, 

so ist ^, jf . nach Bd. I, §. 26 eine (r + 1)- reihige Determinante 
der Matrix (22) und also nach Voraussetzung durch p theilbar. 
Nach dieser Bezeichnungs weise erhalten wir aus (23): 

= if+i.rjt+i H H ^ ? ,r y { > (mod J>*), 

und es zeigt sich also, dass, wenn x<Cq ist, die Congruenzen (21) 
schon befriedigt sind, wenn y*+i, . . . y 9 durch p n ~ l theilbar an- 
genommen werden, weil alle A 8ir durch p theilbar sind. Dies 
ist also nicht zulässig. Es muss also r = q sein, und dies genügt 
auch, weil dann (23) sich auf 

dy l = 0, dy % = . . . 4y q = (mod p n ) 

reducirt, und folglich, da 4 durch p nicht theilbar ist, y u y 2 , ... y„ 
durch />* theilbar sein müssen. 

Hierdurch ist die Forderung 6. in eine andere Form ge- 
bracht, die wir, indem wir zu unserer ursprünglichen Bezeichnung 
in (20) zurückkehren, so aussprechen können: 



96 Dritter Abschnitt. §.23. 

7. Es muss die Anzahl q der durch eine Primzahl f 
theilbaren Invarianten gleich oder kleiner ah 
die Anzahl ft der Indexmoduln sein, und es muss 
sich aus der Matrix 



(24) 



• • • 

^1,1*1,11 ^2,1*2,11 • • • 6q,1 *j,1 

• • • 

^1,2*1,21 ^2,2^2,21 • • • fy,2 *?, 2 



• • • 

wenigstens eine durch p untheilbare Deter- 
minante von q Reihen bilden lassen. 

Dies involvirt zunächst eine Forderung für die **,*> d. h. also 
in letzter Instanz eine Bedingung für die Zahl m. 

Alle Glieder irgend einer p- reihigen Determinante der Ma- 
trix (24) enthalten einen Factor der Form 

• • • 

worin Äj, A 2 » • • • \ irgend eine Combinatiön von q verschiedenen 
Zahlen der Reihe 1, 2, . . . ft bedeuten. Wären nun alle diese 
Producte durch p th eilbar, so wären sicher alle Determinanten 
der Matrix (24) von q Reihen auch durch p t heilbar, und es 
muss also wenigstens eine solche Combinatiön geben, die nicht 
durch p theilbar ist. Weil aber die i^ h nur Potenzen von p sein 
können, so muss 

«i,ä, = 1, ts,*i = 1, . . . i Q ,h Q = 1 ; 

sein. Geht man nun auf die Bedeutung der t*,* in (11) zurück, 
so können wir die letzte Forderung für den Grad m folgender- ' 
maassen ausdrücken: 

f) Wenn eine Primzahl p in q Invarianten i u ?,, ...t f 
aufgeht, so muss die Anzahl ft der Indexmoduln 
gleich oder grösser als q sein, und es müssen ., 
sich q dieser Indexmoduln c Äl , c^, . . . ev so aus- 
wählen lassen, dass c^ durch i x , c^ durch tj ..., 
Cx durch i Q theilbar ist 1 ). 



l ) Der Nachweis der Thatsache, dass dieser Forderung immer auf 
unendlich viele Arten entsprochen werden kann, stützt sich auf den Satz 
der Zahlentheorie, dass unter den Zahlen einer arithmetischen Progression, 
deren Anfangsglied und Differenz ohne gemeinsamen Theiler sind, un- 
endlich viele Primzahlen vorkommen, ein Satz, der bis jetzt nur von 



§.28. Kreistheilungskörper von gegebener Gruppe. 97 

Hiermit aber ist alles erschöpft, was wir von m fordern 
müssen. Denn wenn diese Bedingung f) befriedigt ist, so brauchen 
wir z. B. nur die e^, e^,*,, • • • e Qih durch p untheilbar, die 
übrigen e durch p theilbar anzunehmen; dann ist die Deter- 
minante 

ei,*! *i,Äp . • . ei,h Q h,h Q 

= e hh x ^ä, . . . e Qth (modp), 

also sicher durch p untheilbar. 

Und bei dieser Annahme kann auch noch die Bedingung 6. 
befriedigt werden. Um dies einzusehen, bezeichne man mit p n 
irgend eine der Invarianten, etwa ^, und mit c h den Indexmodul, 
der nach f) durch p n theilbar ist, so dass 
(25) c h = p* c h h 

ist Ist dann q* der zum Indexmodul c h gehörige Primtheiler 
von w, so ist p entweder gleich q h oder ein Theiler von q h — 1. 
Nach der zuletzt gemachten Annahme ist e hh nicht durch p 
theilbar, während e 2 ,&, ^s,ä> . • . e*,h durch p theilbar sind. Es 
sollen dann die Producte 

nicht alle durch qn oder durch q h — 1 theilbar sein. 

Ist zunächst qn ein einfacher Theiler von m, so ist 
c k = q h — 1, und wegen (25) ist c h h nicht durch q h — 1 theilbar. 
Man kann also e^ h noch so annehmen, dass c h h «i, h nicht durch 
qn — 1 theilbar ist. Ist aber q h ein x-facher Theiler von m 
und x> 1, und ist q h = p, so ist, wenn p ungerade ist, 
c k = p*— 1 (p — 1) ? und nach der Voraussetzung b) % ^ x — ,1. 
Wenn also Ch durch p n theilbar sein soll, so muss n = x — 1 
sein, und (25) ergiebt c 1>Ä = p — 1. Ist aber p = 2, so ist 
C\ = 2 oder = 2 X ~ \ und es muss also nach der Voraussetzung d) 
* = 1 oder = x — 2 sein, und es ist c lf h = 1. Man kann also 
auch in diesen Fällen e lih 80 annehmen, dass Ci,/»e lfÄ durch q h 
nicht theilbar wird. 



Dirichlet mit Anwendung der Integralrechnung bewiesen ist. (Abhand- 
lungen der Berliner Akademie 1837; Dirichlet' s "Werke, Bd. I, Nr. 21.) 
Behalten wir die oben benutzte Bezeichnung bei, so kann man, um für ein 
gegebenes p der Forderung f) zu genügen, jp* + i als Factor in m auf- 
nehmen. Dann aber müssen, wenn p>l ist, noch g — 1 Primfactoren q 
n m vorkommen, die an Congruenzen von der Form q = 1 (mod i\) . . . 
;ebunden sind. 

Weber, Algebra. IL 7 



98 Dritter Abs. 

Die Forderungen, die hiermit für die et* gestellt sind, be- 
stehen also nur darin, dass sie durch gewisse Primzahlen tliei!— 
har, durch andere nicht theilbar sein sollen, und sind also noch 
auf unendlich viele Arten mit einander verträglich. Aber diese 
letzte Annahme über die s^j, hatte nur den Zweck, zu zeigen, 
dass die früheren allgemeineren Forderungen immer befriedigt 
werden können. Es kann noch viele andere Arten gehen, ihnen 
zu genügen. 



Uebersicht der Resultate. 

Wenn es sich darum handelt, alle Kreistheilungskörper, und 
jeden nur einmal, und zwar auf möglichst einfache Art, durch 
Kreistheilungsperioden darzustellen, so verfahre man bo: 

Man nehme ein beliebiges System von Primzahlpotenzen als 
Invarianten 



an, und wähle dann eine Zahl m nach folgenden Bedingungen. 

Wenn p" die höchste Fotenz einer Primzahl p ist, die unter 
den Invarianten vorkommt, so nehme man p höchstens (?r -f- 1)-, 
oder, wenn p = 2 ist, (ff + 2)mal in vi auf. 

Eine Primzahl j, die gar nicht in den Invarianten aufgellt, 
darf nur einfach in tu aufgenommen werden; aber nur solcbfl 
einfache Primfactoren q darf m haben , bei denen q — 1 dnroli 
einen der Primfactoren p der Invarianten theilbar ist. Also kann 
auch p selbst nur dann einfach in »1 vorkommen , wenn p — l 
durch eines der anderen p theilbar ist 

Ferner muss m noch der Bedingung genügen, dass unter 
den Indexmoduln 

c,, c s , . . . Cfc 
p verschiedene, wie c lf c t , . . . c e , durch i*,, 1,, . . . t« theilbar äni r 
wenn i,, ij, . . . i e Potenzen von einer und derselben Primzahl 
sind. Dann bestimme man die Grössen i^j und c^» nach den 
Formeln (11) und theile die gegebenen Invarianten in Systeme 
ein, so dass alle Potenzen einer und derselben Primzahl in einem 
Systeme vereinigt sind. 

Für jedes dieser Systeme bilde man die Matrix (24) und. 
wähle die Zahlen e^j so, dass aus jeder solchen Matrix ein» 



§. 24. Bestimmung der Gruppe 8. 99 

Determinante von q Reihen gebildet werden kann, die durch 
die betreffende Primzahl nicht theilbar ist, und dass nicht alle 
Producte 

durch q h oder durch q\ — 1 theilbar werden. Dann setze man 

7*,* = Ck,h 0*,*> 

und hat so nach (7) die Indices einer Basis einer Abel' sehen 
Gruppe 35, deren reeiproke Gruppe 2t ein primärer Theiler der 
ganzen Gruppe 31 ist 



§. 24. 
Bestimmung der Gruppe 2t. 

Das letzte Ziel dieser Untersuchung ist nicht sowohl die 
Bestimmung der Gruppe 39, als die der Gruppe 21, aus der man 
direct die Kreistheilungsperioden 1^ = 2;^ bilden kann. Diese 
Aufgabe kann man auf folgende Art lösen: Nach (1) §. 23 sind 
die Indices a der Zahlen in 21 von den ß abhängig durch die 
Gleichung 

(1) CD? 1 * CD?* . . . fi#«V = 1, 

worin ©!, ©,, ... (Oft feste primitive Einheitswurzeln der Grade 
*u c%, • • . Cfi bedeuten. Versteht man aber unter G das kleinste 
gemeinschaftliche Vielfache von c u c 2 , . . . fy und setzt 

(2) C = c x c\ = c, c\ = • • • = CpCp, 

und bezeichnet mit o eine primitive (7 te Einheitswurzel, so kann 
man statt (1) auch setzen 

^i'«! fii + ct'«t /*■ + • • • + *V<v ßfi _ i 

und bekommt daher für die a die Congruenz 

0i «i0i + 0' 2 ««/ 3 2 H h CttO^/J/i = (mod C7), 

die gleichbedeutend ist mit der Bedingung, dass die Summen 

«i ßi | «a ft , . «j*A* _ ^ «äA 

0i ^ 02 " 1 r 0^ 17 Cä 

ganze Zahlen sein müssen. Wenn man darin für ßu die Aus- 
drücke §. 23, (8) substituirt, so folgt, dass auch 



S*S=£ 



7* 

•> .: i i V 



100 Dritter Abschnitt. §. 

oder, da die ganzen Zahlen x k beliebig sind, die Summen 

2*Ä4, fc=l,2,... V 
ganze Zahlen sein müssen. Setzt man dann nach (15) und (11), §. 

so folgt, dass 

h h 

ganze Zahlen sein müssen, und diese Forderung ist gleic 
bedeutend mit dem System der Gongruenzen 

h 

ü a* ik,h e^H = (mod t*), 
oder, ausführlicher geschrieben 

ei,i*i,iOi + ^1,2*1,20» H h Chiiii,?*? = (mod tj 

,gx ^2,1 ^2, i «j + 62,2 ^2,2 a» H h e 2 , fi «2, M fy = (mod t a ) 

e*,i *r,i «i + e*,2 tr t a «2 H + e^pir^ccn = (mod «V). 

Durch diese Gongruenzen sind, wie es sein muss, die Zahl 
« n otj, . . . a M nur nach den Moduln c x , c,, . . . c M bestimmt, w 
4 iÄ c Ä = i*Cfc,* durch i* theilbar ist, und um die Indic 
aller Zahlen der Gruppe 91 zu finden, hat man einfa 
alle Lösungen der Gongruenzen (3) aufzusuchen. 



t 



Vierter Abschnitt. 
Cubische und biquadratische Abel'sohe Körper. 



§. 25. 
Cubische Ereistheilungskörper. 

Die allgemeinen Untersuchungen, die in den letzten Para- 
graphen dargestellt sind, gestatten mannigfache Anwendungen 
auf specielle Fälle, von denen die einfachsten hier betrachtet 
Verden sollen. Es ist dabei bemerkenswert, dass schon die 
einfachsten Fälle, wenn. man sie direct angreift, fast in dieselben 
Schwierigkeiten hineinfuhren, die wir durch die allgemeine Unter- 
suchung überwunden haben. 

Wir wollen zuerst die Aufgabe behandeln, alle cubischen 
Kreistheilungskörper, also alle Kreistheilungsperioden, 
die einer rationalen Gleichung 3 ten Grades genügen, auf- 
zufinden, und zwar so, dass von mehreren Ausdrücken, deren 
dieselbe Grösse fähig ist, der einfachste gewählt wird. 

Wir haben hier nur eine Invariante i x = 3, und nach den 
Vorschriften in der Zusammenstellung des §. 23 dürfen in m 
aufgenommen werden der Factor 9, nicht aber 3, ferner Prim- 
zahlen in beliebiger Menge von der Form 6^+1, also die 
Primzahlen 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97 . . ., und so 
bekommen wir also als geeignete Werthe von m unter 200: 

»= 7, 9, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 63, 67, 73, 79, 91, 97, 103, 109, 
117, 127, 133, 139, 151, 157, 163, 171, 181, 193, 199, 

unter denen die Zahlen mit mehreren Primtheilern durch fetten 
Druck ausgezeichnet sind. Die kleinste Zahl wi, in der mehr als 
zwei Primzahlen aufgehen, ist 7.9.13 = 819. 



102 Vierter AbschDitt. 

Verstehen wir also unter q u q t , g 3 . . . Zahlen, die UU der 
Reihe der Zahlen 9 und der Primzahlen 7, 13, 19, 31 . . . ge- , 
nommen sind, so ist der allgemeine Ausdruck für m: 

(1) m = g, q t q t . . . £, 

Die Indexmoduln sind, wenn q^ = 9 ist, c t = 6, c a = 3, — 1. 
c s = q t — 1 ... Wenn 9 und 7 unter den Factoren von » 
nicht vorkommen, so fällt der Indexmodul 6 weg. 

Die Grössen fy», Si, t , . . . S itlt sind die grössten gemein- 
schaftlichen Theiler von i l = 3 mit den c,, c a , . . . c„; sie sind 
also alle = 3, und es folgt nach §. 23, (11): 

Die Matrix §. 23, (24) besteht hier nur aus der einen Ver- 
ticalreihe e JilT e, ti , . . . e liP , und diese Grössen kann man beliebig 
wählen, wenn nur wenigstens eine darunter ist, die durch 3 an- 
theilbar ist. Diese Zahlen e lri , c Ii3 , . . . d, M sind übrigens nar 
nach dem Modul 3 bestimmt, und können also gleich 0, 1 oder 3 
angenommen werden. Die Bedingung 6. des §. 23 verlangt aber 
auch, dass, wenn g, = 9 ist, c lti e,,i = 2e M nicht durch 3 
theilbar sein soll, und wenn g a eine Primzahl ist, dasa 

*,•*•■ = Vife — i)^.« 

nicht durch q 2 — 1 theilbar sei, d. h. also, es darf keine der 
Zahlen e,,,, e h3 , . . . e I|fl durch 3 theilbar sein, und wir können 
für jede von ihnen ± 1 wählen. 

Um also die Indicea «,, <>..,...".„ aller Zahlen a zu finden, 
die in der Periode 

(2) ij = v r» 

vorkommen können, hat man nach §. 24, (3) alle Zahlen u (nach 
dem Modul 3) zu nehmen, die einer Congruenz 

(3) ± «, ± «, ± «j ■ • ■ ± (^ = (mod 3) 
genügen, wobei für eine bestimmte Gruppe eine Vor- 
zeichen-Combination festgehalten werden muss. 

Die Anzahl der möglichen cubischen Körper hängt bei ge- 
gebenem m nur von der Zahl p der Indoxmoduln ab und beträgt, 
da eines der Vorzeichen in (3) willkürlich angenommen werden 
kann, 2*— '. 

Wenn wir nun unter e t , e,, . . . e„ irgend eine Combination 



§.25. Cubische Kreiitheilungskörper. 103 

der Zahlen ± 1 verstehen , dann können wir die Congruenz (3) 
auch so schreiben: 

(4) «!«! -|- « 2 e«2 + • • • -f- Bp*n = (mod 3). 

Die Zeichencombination $ x , « a , . . . fy, In der ein Zeichen 
willkürlich angenommen werden kann, da die gleichzeitige Aende- 
rung aller Vorzeichen in (4) nichts ändert, bestimmt die einzelne 
Gruppe 91, und offenbar sind diese Gruppen 91 auch alle von 
einander verschieden. Denn ist z. B. in einer Gruppe s l = e % = -f- 1, 
in einer anderen s x = -|- 1 , s 2 = — 1, so enthält die erste die 
Zahlencombination : 

»1=1, a a = — 1» «s = Oi • • • a i* — (mod 3), 
die in der zweiten nicht vorkommt. 

Um die Gruppen 91 definitiv zu finden, legt man ein System 
primitiver Wurzeln g u g % . . . g^ von q u (fc, . . . q^ zu Grunde und 
bestimmt a nach dem Modul m aus den Gongruenzen: 

( 5 ) a = gl 1 (mod &) 

= g? (mod g 2 ) 



= ^ (mod 3u). 
Setzen wir, indem wir unter 6 einen der Reste 0, + 1 verstehen, 

(6) 6 = s x v x -f- s 2 v % -| f- £ M v u (mod 3), 

so besteht 91 aus allen Zahlen a, deren Indices v x = a^ v 2 = a a > 
. . . v^ = a tt der Bedingung = genügen. Die beiden anderen 
Werthe = 1, 6 = — 1 bestimmen die beiden Nebengruppen 
ff, 31" von 21, so dass 

5R = 91 + »' + 51" 

ist Ist a' und a" je eine Zahl aus 91' und 91", so ist 91' = 91 a', 
3T=9la". 

Wir bezeichnen nun mit i\ die Kreistheilungsperiode, die zu 
i gehört, und mit i\\ rf die conjugirten Perioden, also 

(7) n = 2 r«, 1?' — v K, 1?" = 2 f". 

Wenn dann p eine imaginäre dritte Einheitswurzel ist, so 
erhalten wir die Resolvente 

(Q,V) = V + QV' + Q 2 V", 
und dafür können wir mit Benutzung der Bezeichnung (6) setzen 

(8) (Q,l) = 19°^ 



104 Vierter Abschnitt. §. 

worin n alle Zahlen der Gruppe 9t durchläuft, und in 6 ffir 
i/ x , v 2 , . . . Vft jedesmal die Indices von n zu setzen sind. 

Es mögen nun mit r u r a , . . . *v primitive Einheitswurzeb] 
der Grade q u g 2 » • • • <&* bezeichnet sein, und 

T = T\ 1*2» • • • *V 

gesetzt werden. Dann lässt sich der Ausdruck (8) in ein Pro- 
duct zerlegen, nämlich, wenn wir 

n = n h (mod q h ) 
setzen, in: 

(9) (p, ,) = 2 P* lVl tf l 2 ?**' f? . . . 2 f^Vf^. 

Die Factor en dieses Productes sind nun genau die Besol- 
venten, die wir in §. 180 des ersten Bandes untersucht haben, 
und wir erhalten, wenn wir 

(10) iQ'krb =(<>, ift), A=l, 2, ...ft 
setzen: 

(11) («S V) = (PS Vi) («^ ^a) • • • (pV, ifc). 

Wenn wir hierauf die Formeln (5), (6), (25), (26) des eben 
angeführten Paragraphen anwenden, so erhalten wir: 

(12) (?, V) fo- x > V) = w, 

(13) (e,i0 3 = w(a + & e ), (p a ,i?) 8 = w(a + 6^), 

worin a und 6 gewisse ganze Zahlen sind, die sich aus den ge- 
nannten Formeln berechnen lassen, die aber nach der Wahl der 
e verschieden ausfallen. 

Aus (12) und (13) folgt dann noch: 

(14) m = a* — ab + b\ 

Hiernach können wir die cubische Gleichung aufstellen, deren 
Wurzeln die Grössen 17, rj\ rf 1 sind. Sie möge lauten: 

(15) 17 3 — ari* + ßV — y = 0, ' 

worin a, /?, y ganze Zahlen sind. Was zunächst a betrifft, so ist 
es gleich der Summe aller primitiven m ten Einheitswurzeln, also 

und dieser Werth ist = oder = ( — l) a , je nachdem 9 unter 
den Factoren von m vorkommt oder nicht. Die beiden anderen 
Coefficienten lassen sich ganz so berechnen, wie im §. 180 des ersten 



I 



§.25. Cubische Kreistheilungskörper. 105 

Bandes gezeigt ist. Wir wollen hier die Rechnung in etwas 
veränderter Form anordnen. Wir setzen: 

was zur Folge hat, dass (p, 17) = (p, £ ) ist, wegen 1 + 9 + p* = 0. 
Dann ergiebt sich für £ die cubische Gleichung: 

aß) p + pc — e = o, 

worin 

00 P=ß- T , Q = — --f + y. 

Nun ergiebt sich aus (12): 

fcö (e~ x .o = ■» = s j + r* + r» - er - tt" - er- 

= — SP 

oder 

(18) P = - j, 
und aus (13), wenn 

s = pf + r*s" + s" a s, s' = e$' a + rr a + £"S 2 

gesetzt wird: 

m (a + 6p) = 9^+ 3p S + 3p*S' 

m(o+Jf») = 9§+ 3f«S + s ¥ S' 
= 9(2 + 3 S + 3 S', 

woraus durch Addition: 

(19) 27 Q = w(2a — 6), 
und durch Subtraction der beiden ersten : 

(20) w 6 = 3 (S - #) = 3 (g - £') (£" - g) (£" - £')• 

Wenn m durch 9 theilbar ist, so ist a = 0, und P und <[) 
sind ganze Zahlen und P durch 3 theilbar. Ist aber m nicht 
durch 9 theilbar, so sind erst SP und 27 Q ganze, nicht durch 
3 theilbare Zahlen. 

Ist D die Discriminante der Gleichung (15), also eine ganze 
Zahl, so ist auch 

(2i) VD=( V - ri) { n "- n ) o," - v') = (t- O (ST-t) (&"- SO 

mb 

~ T 

eine ganze Zahl, und also ist, wenn m nicht durch 9 theilbar 
ist, b durch 3 theilbar. Nun ist nach (14) 

(21) 4 m = (2 a — b)> + 3 b\ 



106 Vierter Abschnitt §. 29 

und wenn m durch 9 theilbar ist, so ist 2 a — b nach (19) durcl 
3 theilbar, und ans (22) folgt dann, dass auch in diesem Falle 
b durch 3 theilbar ist Wir können also in allen Fallen setzen 

2a — b = A> b = 3B, 

so dass A, B ganze Zahlen sind, die der Bedingung 

(23) 4m = ji*-f 27JB» 
genügen, und die Gleichung für £ wird dann 

(24) s g,_| 5 _^ =0 , 

und für die Discriminante dieser Gleichung folgt 

(25) VD = mB. 

Um für die einfachsten Beispiele die Rechnung durch- 
zufuhren, nehmen wir für & = 9, & = 7, q 3 = 13 aus §. 180 
des ersten Bandes die Werthe: 

äx = 9, a + &p = 3p, 

&= 7, a + 6p = -(l + 3p), 

23 = 13, a + &p = — (4 + 3p). 

Daraus ergeben sich für w = 63 die beiden Werthe: 

m = 63: a + ftp = — 3p (l + 3p ) = 9 + 6p, 
a + hQ = — 3p (l-|-3p») = — 9 — 3 



für 

m = 91: a + 6p = (l-f-3p) (4-f3p) = — 5 + 6?, 
a + 6p = (l + 3p) (4 -f 3p') = io + 9p, 

und für m = 819 die Werthe: 

a + 6p = 3p(l + 3p)(4 + 3p) = -3(6+llp), 
= 3p (l + 3p ) (4 + 3p*) = - 3 (9-p), 
= 3p (1 + 3»«) (4 + 3p ) = 3 (9 + lOp), 
= 3p (l-)-3p2)(4 + 3p2)= 3(6 — 5p). 

Daraus finden sich die cubischen Gleichungen für rj in diesen 
drei Fällen: 

m = 63: q» — 21 r\ — 28 = 0, (r\ = £) 

1^3 — 21 r\ + 35 = 0, 
m = 91: ^3 — ^2 _ 30^ -j- 64 = 0, (17 = £ + Vs) 

i?3 — ri* — 30t] — 27 = 0, 



§. 25. Cubische Kreistheilungskörper. 107 

m = 819: 17» — 273ij -f~ 91 =0, (17 = £) 
ij» — 273i? + 91.19 =0, 
1)» — 273ij — 91. 8 = 0, 
^s_273i7 — 91.17 = 0. 

Die Wurzeln dieser einzelnen Gleichungen findet man am 
besten aus der Gleichung (9) oder (11), indem man darin nach 
Potenzen von q ordnet, dabei aber nur p 8 = 1, nicht q* ±- q + 1 
= benutzt 

So bekommt man z. B. für den Fall m = 63 : 

(pi v) = Oh + Q*ii + Q*n0 (n* + qv'* + Q*y'*) 

oder 

= Oh + QVi + 9* Vi) (Vi + 9V2+ ?'^),, 
wonn 

^ = ^ + 17% tf «rf + rr«, ,r = r* + rr* 
* = r, + i7S ^ = r 2 3 + r7 8 , itf = r» + 17« 

zusetzen ist (Bd. 1, §. 180), und man findet so für die erste 
Gleichung : 

V = ViVi + vWi + fli'flii 
und für die zweite: 

fl = fli 1 ?! + ^i??2 + flifla- 

Um die Gruppen 31 daraus zu finden, hat man zwei ganze 
Zahlen x, y so zu bestimmen, dass 7 x -f- 9 y = 1 wird, und dann 

r = r^, also fi = r 7 *, r 2 = r 9 * 

zu setzen. Nimmt man x = 4, y = — 3 an, so erhält man für 
die beiden Werthe von 17 : 

n = (r**-\-r-**) (rsf-f-r-*?)-)-. ( r ?-f j-7) ( r 9_f-r-9) 

+ (r" + r " 14 ) (r 18 + r-") 

+ (r"+ r " 14 ) (*" 9 + *- 9 ), 
also 

* = ± 1, ± 8 f + 2, ± 16, ± 4, ± 32, 
oder 

«=±1, ±8, ±11, ±25, ±5, ±23. 

Die beiden Gruppen können durch die Potenzen von 2 und 
?on 11 dargestellt werden. 

Die cubischen Gleichungen, deren Bildungsgesetze wir jetzt 
kennen gelernt haben, enthalten mit ihren Tschirnhausen- 
Transformationen alle cubischen Kreistheilungsglei- 
chungen. Aber diese Gleichungen sind auch alle von einander 



108 Vierter Abachi.it 

verschieden und können nicht durch Tschirnhausen-Trats- 
formation in einander übergeführt werden, weil sie zu primären 
Theilern von verschiedenen vollen Kreistheilungskörpern gehören, 
oder, wenn sie in demselben vollen KreistheilungskÖrper ent- 
halten sind, verschiedene Gruppen haben. 

Man kann freilich nocb aus anderen Einheitswurzeln Kreis- 
theilungsperioden bilden, die zu cubischen Gleichungen führen. 
Diese Perioden können aber durch niedrigere Ei nlieits wurzeln 
ausgedrückt werden, und sind nicht primär. So erhält n 
wenn r eine 35 ,t9 Einheitswurzel ist, eine Periode von 8 Gliedern, 
deren Exponenten aus den Potenzen von — S gebildet sind: 

t] = r -f- *~ l + r ,; -f* *^ 6 + r * + r_s + *"" + ' 
die also auch einer cubischen Gleichung genügt 
Es ist aber 

1 + <" + r-T + *■" + •"*" = °> 
und wenn man diese Gleichung mit (r lh -\- r~ 1S ) multiplicirt: 
r \h -Y i— ii_|_ r _|_ f— i _|_ r»-). ,— e_j_ r a _|_ f— s _j_ r 



von 8 Gliedern, 
tbildet sind: 

multiplicirt: 



was unter den Perioden der 7'" Einheitswurzeln schon 
kommt. Diese Erscheinung erklärt sieb daraus, dass m ■- 
nicht die in §. 23 verlangte Eigenschaft hat, dass q — 1 füi 
in ni aufgehenden Primzahlen q durch 3 theilbar ist. 



Bi quadratische Kreistheilungskörper. 



■lanten 



Bei den biquadratischen Kreistlieihmgsgleichungen hat i 
zwei Arten zu unterscheiden. Wir können zwei Invariant 
»\ = t a = 2 oder nur eine Invariante i, = 4 annehmen. Wil 
wollen den ersten Fall voranschicken. 

Für m haben wir in diesem Falle nach der Zusammen 
Stellung !J. '23 folgende Bedingungen: 

m kaun ungerade sein, durch 4 oder durch 6, aber durcl 
keine höhere Potenz von 2 theilbar sein. Keine ungerade Prim 
zahl kann mehr als einmal in m aufgehen, und es müssen mindt 
stens zwei Indexmoduln vorhanden sein; also müssen ausser i 



j. 36. Biquadratische Kreistheilungskörper. 109 

iem Falle m = 8 mindestens zwei verschiedene Primzahlen in 
» enthalten sein« 
Setzen wir: 

m = 2i22 • • • S.ui 
renn m ungerade oder nur durch 4 theilbar ist, 

m = q*q % . . . $,, 

renn m durch 8 theilbar ist, so dass q x *= 4 sein kann und in 
ter zweiten Formel q 2 = 8 ist, während die übrigen g ungerade 
> rimzahlen sind, so sind die Indexmoduln c h in den drei Fällen: 

Qi — 1> 4a — 1» - • o ?m — 1 
2 , g a — 1> • • o ä* — 1 

2, 2 , g, — 1, ...,&— 1. 

Weil hiernach alle Indexmoduln durch 2 theilbar sind, so 
sind die Bedingungen für m erschöpft. 
Es ist [§. 23, (11)]: 

'}) *m = 2, t M = 1, c kf * = y 2 c h , k = 1,2; A = 1,2,... p. 

Nun hat man die Grössen e^h so zu bestimmen, dass aus 
ler Matrix 

[)) e l, li ^1,2» • • • €l,p 

^2,1, #2,2, • • • 02, f*. 

wenigstens eine ungerade zweireihige Determinante gebildet 
werden kann. 

Damit 21 primitiver Theiler von 91 sei, kommt noch die Be- 
dingung §. 23, 6. hinzu, wo nun zu unterscheiden ist, ob m durch 
> theilbar ist oder nicht Ist m durch 8 theilbar , so ist die 
Anzahl der Indexmoduln um eins grösser, als die Anzahl der 
Primfactoren von m, und es giebt einen Indexmodul, dem kein 
Primfactor von m entspricht; im anderen Falle stimmen beide 
fohlen überein. Nach §. 23, 6. hat man die e fcjÄ so zu wählen, 
lass in keinem der Paare 

^l,lj #2,1 5 ^1,2* #2,2 j • • • ^l,.ui ^2,/n 

enen ein Primfactor von m entspricht, beide Zahlen gerade 

nd. Wenn m durch 8 theilbar ist, so ist ein dem Indexmodul 

= 2 entsprechendes Paar darunter, dem keine solche Be- 

bränkung auferlegt ist. 

Sind die Zahlen e^h (nach dem Modul 2) so bestimmt, so 



110 Viarter Abschnitt. j-, Bt 

erhält man nach i. 24 für die Indices der Zahlen in 31 die beiden 

Congruenzen: 

(3) *,*% + %,* + .■. + «.,%« (Moaso> 

Um die Zahl der möglichen Gruppen 31 zu ormitteln, be- 
denke man, dass man die Relationen (3), ohne ihren Inhalt zu 
ändern, durch zwei von einander unabhängige lineare Combi- 
nationen ersetzen kann. Danach kann man eines der Zahlen- 
paare in der Matrix (2), z. B. ei,i, ej lt = 1, annehmen und so 
für (2) setzen: 

1, *t,h ■ . ■ e h¥ . 
0, Cj,j, . . . e %ll . 

Jetzt kann man fiir die e^, . . . e t ^ irgend eine Combination 
der Zahlen 0, 1 setzen, mit Ausnahme der einen, bei der alle 
e^t, = werden. Zu jedem e 3 , Ä = muss das zugehörige e hlt = I 
sein, während einem e a ,ft = 1 ein e lT j, = I) oder = 1 entsprechen 
kann. Die Anzahl der auf diese Weise entstandenen Combi- 
nation en ist : 

l + & ._l ) .j + »-l)»- 3 ) ä. + ...-|-g— -1^3—-l. 

Nun kann man aber die zweite der Gleichungen (3), ola» 
ihre Bedeutung zu ändern, zu der ersten noch addiren, so dass 
also je zwei der gewonnenen Combinationen dieselbe Gruppe 
ergeben. Es bleiben also 

verschiedene Combinationen der e^k, die auch, wie leicht einzu- 
sehen ist, zu verschiedenen Gruppen 31 führen. Denn ange- 
nommen, man habe das eine Mal e Jia , e-^ = 1, 0, das andere 
Mal = 0, 1 genommen , so genügt der ersten Annahme «, = 0, 
«2=1,«, = 0, . . . Op = 0, was der zweiten nicht genügt 

Die Zahl, die wir eben bestimmt haben, ist nur dann 
erschöpfend, wenn m nicht durch 8 theilbar ist, weil dabei 
angenommen ist, dasa niemals Cj,*, e^\ = 0, sei. Wenn aber 
m durch 8 theilbar ist, dann kann bei einem Paare diese Werth- 
combination vorkommen, und wir müssen also noch die Falle 
hinzufügen, die durch 

1 «i,i . . . e hlt 

Cj,, . . . e tfl 






§. 26. Biquadratische Kreistheilungskörper. 111 

angedeutet sind, und deren Zahl man ebenso wie oben 

_ 3.U-2 _ 1 
— 2 

findet Wenn also m durch 8 theilbar ist, so ist die Gesaram t- 
zahl der Gruppen « 

(5) £___L + *L_J: = 2 . *•- - 1. 

Die kleinsten Werthe, die m in diesem Falle annehmen 
kann, sind 

m = 8, 12, 15, 20, 21, 24, 28, 33, 35, 39, 40, 44 . . . 

Die kleinste Zahl, die zu mehr als einer solchen Gruppe 

Anlass giebt, ist m = 24, für die man ft == 3 hat, und die also 

nach (5) fünf verschiedene Gruppen giebt Man erhält nämlich 

folgende zulässige und von einander verschiedene Gombinationen 

der ek k : 

101 110 110 100 100 

10, 1, 11, 11, 1, 
was zu folgenden Bestimmungen über die Indices fuhrt: 

«! = «3, oc 2 = 0, 
a v = 82, «3 = 0, 
«! = 02 = «35 (mod 2) 

Oj = 0, «2 = «3 

«! = 0, «3 = 0, 

und wenn man also die Zahlen a durch die Congruenzen 

a = (— l) a i5 a i (mod 8), a = 2 a * (mod 3) 
bestimmt, so ergeben sich folgende fünf zweigliedrige Gruppen: 

«i = l, 5 
« 2 = 1, 19 

% = 1, 11 
51 4 = 1, 23 
«5 = 1, 7. 

Um die Perioden rj zu berechnen, können wir ähnlich ver- 
' fahren, wie im vorigen Paragraphen. Wir bezeichnen mit 
v h v 2 , . . . 1/ M die Indices einer Zahl n und setzen 

«1,1*1 -f e 1|a v 2 H h «1,/iV/» = <*i, 

«2,1*1 + «2,2 *a + • • • + e^uV/i = <*2> 



112 Vierter Abschnitt. §. 28. 

und erhalten, wenn e u £ 2 den Werth oder 1 haben, die Resol- 
venten 

(6) ^=S(-1^+^ 

- = q -f- (— l)«i i?' + (— 1)«« v" + (— l)*i + «* i? w . 

Ist nun m = $! g 3 . . . ^ nicht durch 8 theilbar, so können 
wir, wenn r u r a , . . . fy primitive Wurzeln der Grade q u &, . . . q^, 
bedeuten, 

r = r l r % ...r ft 
setzen, ferner 

n = n x (mod g x ) 
= ^ . (mod g 2 ) 



= tif, (mod ja), 
wodurch sich ergiebt: 

(7) a tlitt = n 2 (- i) Vk (€ie " +*-* tf. 

l,,u 

Die einzelnen Factoren dieses Productes sind die in §. 179 
(Bd. I) bestimmten Gaus 8 'sehen Summen, die dort durch 
Quadratwurzeln ausgedrückt sind. Nur wenn q t = 4 ist und 
«1*1,1 + £ s*M = 0, ist iß ei}f8 = 0. 

Ist aber m durch 8 theilbar und 

m = q 2 q 3 . . . £ a , q% = 8, 
so erhält man, wenn man r = r^r t . . . r^ setzt: 

Ä^,, = ^ ( — l)«i(«in v i+«ii* v «) ( — i)«i(«t.in+«M r t) f^t 

x ns(-i) f|(<|lL,4+ ^* > *s i . 

In den fünf oben aufgestellten Gruppen, die zu m = 24 
gehören, kann man die Perioden aus dieser Formel oder auch 
leicht direct berechnen, wenn man 

r = e 12 = e 3 e 4 
setzt. Man erhält dann für die fünf Grössen: 

VF- i 



%) .= y T2 



26. Biquadratische Kreistheilungskörper. 113 

Es soll nun zuletzt noch der Fall einer einzigen Invariante 
= 4 betrachtet werden. Die Bedingungen für m bestehen 
ann einfach darin, dass m durch 4, 8, 16, aber keine höhere 
otenz von 2 theilbar sein kann, dass ungerade Primzahlen nur 
infach in m aufgehen können, und dass mindestens einer der 
idexmoduln durch 4 theilbar sein muss. Die ersten Werthe 
nd also 

ro = 5, 13, 15, 16, 17, 20, 29, 35, 37, 39, 40 . . . 

Wir wollen annehmen, es seien von den Indexmoduln 
, Cj, . . . c 9 durch 4 theilbar, fy + i, fy +a , . . . fy durch 2, aber 
cht durch 4 theilbar. Es muss dann q mindestens gleich 1 
in, und folglich ist 

,i = ^i,2 = • • • = 8i y Q = 4, äi,e + i = • • • = äi,u = 2 

i = »i,a = • • • = i li9 = 1, »i, ? + i = • • • = »i f/ i = 2 

-i — ~±i i e i,i — 4? c i,? + i — ~2~i ' • '1 c i,p — "2 ■ 

Nun sind die e lffc so zu bestimmen, dass von den Zahlen 

0i,ii 01,21 • • • 01,0 

enigstens eine ungerade ist, und dass (wegen §. 23, 6.) von den 
ahlen 

£l,l» ^l, 2i • • • 01,p 

eine durch 4, und von den 

01,^ + 11 01,0+2) • • • 01, JU 

eine durch 2 theilbar sei. Eine Ausnahme bildet hierbei wieder 
a Falle, wo m durch 8 oder durch 16 theilbar ist, die Zahl e liÄ , 
»r keiner der Primfactoren von m entspricht, die auch gerade 
in kann. 

Dann erhalten wir für die Indices « der Zahlen a die Con- 
uenz: 

i«i H |-0i,e a e + 2(^i,o + i«o + i H h e 1 , u a u ) = 0(mod4). 

Weber, Algebra. IL g 






114 Vierter Abschnitt. 

Nehmen wir als Beispiel m = 48, so haben wir, 
a = (— l)"'o 01 (mod 16) 
= (— 1)"* (mod 3) 
setzen, die Indexmoduln c, = 4, c 3 = 2, c s = 2, und < 
sich zwei Möglichkeiten, nämlich 

fc,l = 1, Ci,a = 0, c,, 9 = 1 
e hi = 1, e lt5 = l, ej.a = 1 
Die « werden also in den beiden Füllen aus den Congru* 
bestimmt 

«i -j- 2 «j = (mod 4) 
a i + - («s + «s) = (mod 4), 
und man erhält daraus die folgenden beiden Gruppen 
91, = 1, 23, 81, 41 
% = 1, 7, 41, 47. 



Cubische Abel'sche Gleichungen. 

Wir wollen diese Betrachtungen über die cubischen und 
biquadratischen Kreistheilungsgleiehuugen mit dem Beweise ein» 
merkwürdigen Satzes abschliessen , der geeignet ist, diesen Glei- 
chungen ein weit höheres und allgemeineres Interesse zu ver- 
leihen, und der ein specieller Fall eines ganz allgemeinen Satzes 
ist, den wir erst später kennen lernen werden. 

Der Satz lautet so: 

Alle cubischen und biquadratischen AbeTscheii 
Gleichungen im Körper der rationalen Zahlen sind. 
Kreistheilungsgleichungen. 

Dadurch gewinnen die Resultate der beiden letzten Para- 
graphen einen höheren Werth. Es folgt dann nämlich, dass 
durch die dort gebildeten Kreistheilungsperioden tj alle Abel'- 
schen Zahlkörper dritten und vierten Grades dargestellt sinö\ 
dass andere als die dort besprochenen Körper dieser Art nicht > 
existiren. 

Die Möglichkeit, diesen Satz für die speciellen Fälle der j 
cubischen und hi quadratischen Gleichungen einfach und ohnftl 
weitere Vorbereitung zu beweisen, beruht darauf, dass in den i 
Körpern der dritten und vierten Einheitsivurzeln i£(ß), B(i) die- 1 
selben Gesetze der Zerlegung der Zahlen in ihre Primfactoren 



§.27. Cubische Abel'sche Gleichungen. 115 

gelten, wie in den Körpern der rationalen Zahlen, was in den 
§§. 181, 182 des ersten Bandes nachgewiesen ist. Es ist darum 
auch Ton Interesse, diese besonderen Fälle genauer zu be- 
trachten, weil dadurch der Gang und das Ziel des später beizu- 
bringenden allgemeinen Beweises deutlicher erkannt wird. 

Beginnen wir also mit den cubischen Gleichungen, und ver- 
stehen unter a? , x^ x^ die Wurzeln irgend einer Abel'schen 
Gleichung dritten Grades. Da 3 eine Primzahl ist, so muss die 
Gleichung cyklisch sein, d. h. die cyklischen Functionen 
der Grössen x , x r , #, sind rationale Zahlen. 

Bezeichnen wir mit q eine imaginäre dritte Einheitswurzel, 
so haben wir die beiden Resolventen 

(? a , *o) = *o + Q 2 *i + Q *ai 
deren Cuben also Zahlen des Körpers B(q) und deren Product 
eine rationale Zahl sein muss. 

Wir setzen demnach, indem wir mit a, b, c rationale (ganze 
oder gebrochene) Zahlen bezeichnen, 

(e,*o) 3 = <* + 1>Q 

(2) ( Q *,x o y = a + bQ* 

(q i *o) (e 2 ,#o) = c, 

also auch 

(3) (a + bQ)(a + bQ*) = c\ 

Nun haben wir im Körper R(q) ausser den sechs Einheiten 

± 1, ± Q, ± «> 3 , 
die alle als Poten zen von — q dargestellt werden können, die 
Primzahlen V — 3 = q — e 2 , die reellen Primzahlen q von der 
Form 3 N -j- 2 und die beiden complexen Factoren der reellen 
Primzahlen p von der Form 3 N -j- 1- Die Zerlegung dieser 
Primzahlen in die beiden complexen Factoren ;r, it': 

I W q = **' 

laben wir im §. 180 (6) des ersten Bandes dargestellt in der Form 

Wir können also 
(6) x = i, l ( Q \ « l = * 1 ( f ») 

setzen und haben dadurch unter den verschiedenen zu % asso- 
tiirten Zahlen eine bestimmte ausgewählt, und diese Zahlen ?r, n' 
stehen in einer bestimmten Beziehung zu den Kreistheilungs- 
>erioden der p*** Einheitswurzeln tj: 

8* 



116 Vierter Abschnitt. g. !T. 

(7) (e, i])* = pn, (Q*,7]y = pn' 

[Bd. I, §. 180, (5)]. 

Ntm ist a -\- bQ eine ganze oder gebrochene Zahl des Kör- 
pers R(q). Wenn wir Zähler und Nenner dieser Zahl in ihre 
Priinfactoren zerlegen, gemeinsame Factoren wegheben, und wenn 
wir unter q^ q a , . . . reelle Primzahlen der Form 3W-|- 2, unter 
*!, 3i[, 3i,, rei, . . . conjugirte Paare imaginärer Primzahlen der 
Form (6) verstehen, so erhalten wir 

a + fcp = (-p)' (V^>q\<ft ..-»r «ft'«^ . . . 

<• ■* o+ip» = (— pi)»(— V— 8>«M9 • - 1 «rX'i **/*£ • ■ ■ 

worin 

X, «, s n s, . . . ft, (J, ij, (j . . . 
ganze positive oder negative Zahlen sind. 

Nun ist aber nach (3) das Product der beiden Zahlen (SJ 
der Cubus einer rationalen Zahl, und dies giebt, da eine rationale 
Zahl nur auf eine Art in Primfactoren zerlegbar ist, die f 
Bedingungen : 

< ,j > ^«'=o"°+«:o;::: (mod3) ' 

und wir setzen also 

» = 3(l , S , = 3 Ö11 s, = 8«,... 
y } (, +fi» 3t x , f, -f-4= 3t, . . ., 

so dass m, ö n tfj . . . Td t 3 . , . ganze Zahlen sind. Nun ist nach 
den Formeln (7): 

■f«" -=jr-(t+fl (p,ij)»'' (pM))». 
Bezeichnen wir endlich noch mit f eine 9" Einheitswurzel, 
so können wir 

-<■ = (-«)' 

setzen, und stellen dadurch a -f- &P und a -)- &p* als Cuben 
dar. Wir erhalten also nacli (2): 

(12) (p,Ä B )s = (— £)»*(V=1)m 9 i. 19 i^ ... p->*p;***. . . fl?, 
worin 

(13) ^ if. = ( 9l1ii )h (p*,^,)'.' (p )1? ,)'' (««,*.>* ■ ■ ■ 

eine Kreistheilungszahl ist. Bezeichnen wir mit J/ ä die aus ffi 
durch Vertauschung von p mit p a hervorgebende Zahl, so ist 
HjH? eine rationale Zahl. 

Wenn wir aus (12) die dritte Wurzel ziehen, so folgt, da 
hierbei noch eine dritte Einheitswurzel p, als Factor auftreten kann, 






§. 28. ßiquadratieche Abel'sche Gleichungen. 117 



(H) (q,xJ = (- ef Ql (V—Ty&*$ . . • PT tl Pi u • • • Sil 
und ebenso erhalten wir 

(15) (?>,*o) = (—s>Y q % (— V^"8>«?fl? . m m pT * ipT ** ...H 2 . 
Weil das Product dieser beiden Ausdrücke rational sein 

mnss, so ergiebt sich noch zwischen den Einheitswurzeln 9, q u q 9 
die Relation 

Setzen wir 

(16) x + x i + x * = A, 

so ist auch A eine rationale Zahl, und aus (14), (15), (16) folgt, 



(17) x x = Vi [* + Q* (?i«b) + Q (Q 2 ,Zo)] 

x, = */ t [A + 9 fax,) + 9 a (q\x )] 

Kreistheilungszahlen sind. Aus den Formeln (14), (15) können 
wir die Zusammensetzung dieser Zahlen aus den Perioden 
%% . . . ersehen. Ein näheres Eingehen auf diesen Gegenstand 
ist aber nicht mehr erforderlich, weil wir schon im §. 25 alle 
Kreistheilungszahlen, die einer cubischen Gleichung genügen, voll- 
ständig gebildet haben. 

§. 28. 
Biquadratische Abel'sche Gleichungen. 

Ganz ähnlich kann der Beweis des entsprechenden Satzes 
für die biquadratischen Abel'schen Gleichungen geführt werden. 
Nur sind hier zwei Fälle zu unterscheiden, nämlich Gleichungen 
mit nicht cyklischer Gruppe, und Gleichungen mit cyklischer 
Gruppe. 

< Für die nicht cyklischen Abel'schen Gleichungen mit den 

f Wurzeln ar , #u #21 ^3 ^ die Gruppe: 

v (1) 1, (0,1) (2, 3), (0,2) (1,3), (0,3) (1,2), 

and es sind also die drei Quadrate 

(x -f x x — x 3 — x z ) 2 = a 
(2) (x — #! + # 2 — x 3 ) 2 = b 

(Xq — Xi — Xq — |— x$) = c 

und das Product 

(3) \X -j- X\ — X% — Xi) \Xq — Xi -j- X2 X$) (Xq — Xi — X% -p X$) = 6y 




HS Vierter Abschnitt. 

und ferner die Summe 

(4) x, -f- x, + xt + *, = 
rationale Zahlen. 

Wenn wir aus (2) die Quadratwurzeln ausziehen und herü< 
sichtigen, daas sich Va nach (3) von Vbc nur durch eio 
rationalen Factor unterscheidet, so folgt durch Addition: 

(5) ao = 4 + BVi + CVc+D Vbc, 

worin A, B, C, I) rationale Zahlen sind; und daraus erhält n 
%i, x 2 , X), wenn man die Vorzeichen von ]/b, Vc ändert. 

Nach Bd. I, §. 179 können aber alle Quadratwurze 
nöthigenfalls unter Zuziehung von i, was ja selbst eine Kre 
theilungszahl ist, rational durch die Kre istheil ungsperioden (< 
Gauss'schen Summen) ausgedrückt werden, so dass also in 
schon der Beweis unseres Satzes liegt. 



Ist die Gruppe der biquadratischen Gleichung cyklisi 
können wir die Wurzeln so anordnen, dass die Gruppe aus ä 
Permutationen 

(6) ■ I, (0, 1, 2, 3), (0, 2) (1, 3), (0, 3, 2, 1) 

besteht, und dann ist zu setzen: 



(7) 



4 Ä *= Xt -fr- «i + x* + «» 
(i,x t ) = x a + >*i — Xt — ix s 
(— l,a%) = x a — ff, + x t — x t 
(— i, xt) ~ %o — i*i — x^ + ix s ; 



darin ist A und ( — l,!",) 5 = »i rational, und daher kann ( — 1, 

durch Kreistheilungszahlen ausgedrückt werden. Die vier 

Potenzen 

(8) (i,x„y = a + bi, (— i,x )* = a — bi 

sind Zahlen des Körpers ü(t"), und um dieselben Schlüsse 

bei den cubischen Gleichungen ziehen zu können, kommt es s 

nur noch darauf an, a -\~ bi und a — bi als vierte Poteu 

von Kreisthoilungszahlen darzustellen. Dazu dient noch 



(9) (i.«.)C— i,*b) = c 

eine rationale Zahl ist. 






§.28. Biquadratische Abel'sche Gleichungen. 119 

Im Körper R(j) haben wir (Bd. I, §. 181) die Einheiten 
il, ±t\ ferner als Primzahlen die associirten Factoren 1 ± i 
von 2, die reellen Primzahlen q der Form ±N -\- 3 und die 
beiden complexen Factoren it, n* der reellen Primzahlen p von 
der Form 4tN + 1- 

In Band I, §. 180, (34) haben wir die Zerlegung 

« 

p = *i (0 *i (— 

gefunden, die uns erlaubt, 

(io) * = *i(0, *' = * 1 (-t) 

zu setzen, und, wenn t\ eine ^-gliedrige Periode von p** n Ein- 
heitswurzeln ist, 

• (i, v y = P i, l (i)2, ( _ t, v y = pi> l (- o«, 

oder 

(ll) fori)* = %*n\ (— t,ij)* = jtä'3, (i,i?) (— t,i?) = 2>. 

Zerlegen wir nun, wie bei den cubischen Gleichungen, die 
Zahlen a -f- 6i, a — bi in ihre Primfactoren in 22 (i), so ergiebt 
sich unter Anwendung einer der vorhin gebrauchten entsprechen- 
den Bezeichnung: 

(1^ a-\-bi = i l (l+O w 2i l 35 1 • • • «^«^'«jf«^ • • • 
1 ' a — bi = t-*(l— ifqfcQr . . . n« *'£**$' rip . . . 

Das Product dieser beiden Zahlen muss aber die vierte 

Potenz einer rationalen Zahl sein [nach (8) und (9)], und daraus 

folgt: 

n = (mod 4) 

/jo $i = 0, s a = . . . (mod 2) 

[ö> t, + *; = 0, *, + ft = . . . (mod 4) 

*! — £ = 0, fc, — * 2 = . . . (mod 2). 

Es folgt aber jetzt aus (11): 

j £» £ + 3f £4-3f 

(U) *'*'«' = (JT33TV" (ää'P~ = (*,flj)" C * — °1> 5 » _ , 

und ferner 



n 



(15) (1 + »•)• = (2 »■)•, 

and hiernach können wir also, mit Bücksicht auf (13), wenn wir 
mit H u Hi zwei Kreistheilungszahlen, nämlich das Product aller 
in der Zerlegung von a -f- bi vorkommenden Zahlen 

(«\ n) 2 , 



120 Vierter Abschnitt. 

und die durch die Vertauschung von i mit — i daraus 
gehende Zahl, ferner mit c eine rationale Zahl bezeichnen 

a + &i = t* c*H* 
a — bi = i~*c*H*. 

Aus (8) folgt durch Ausziehen der 4** 1 Wurzel, t 
eine Potenz von i als Eactor hinzukommen kann, 

(i6) (_ i, xo) = i-^y— i l V~c H, 

(— 1,* ) = !/*», 

und daraus ergiebt sich, da *|^t, ]/c" und Vm Kreisth 
zahlen sind, die Richtigkeit unseres Satzes auch in dieser 

Auch hier kann die weitere Betrachtung des Baues 
(16) vorkommenden Ausdrücke dazu dienen, die Zu& 
setzung der # , x 1 ^ # 2 , a^ durch die Perioden 17 näher 
forschen, was aber wieder zu keinen anderen Resultaten 
kann, als zu den schon in §. 26 abgeleiteten. 

Wir haben also hiermit den Satz allgemein bewiesen 
alle Abel'schen Körper dritten und vierten ( 
Kreistheilungskörper sind, und dass alle diese I 
rational durch die Kreistheilungsperioden darg 
werden können. 



Fünfter Abschnitt. 

Constitution der allgemeinen Gruppen. 



§• 29. 

Bildung von Gruppen nach Cayley. 

Die allgemeine Definition der Gruppe, die im §. 1 gegeben 
ist, lässt über die Natur dieses Begriffes noch manches im 
Dunkel, und auch die verschiedenen einzelnen Gruppen, die wir 
im Verlauf unserer Betrachtungen kennen gelernt haben, geben 
nur Hinweise auf allgemeine Gesetze, und zeigen, dass der 
Groppenbegriff an sich nichts Widersprechendes hat. In der 
Definition der Gruppe ist mehr enthalten, als es auf den ersten 
Blick den Anschein hat, und die Zahl der möglichen Gruppen, die 
aus einer gegebenen Anzahl von Elementen zusammengesetzt werden 
können, ist eine sehr beschränkte. Die allgemeinen Gesetze, die 
hier herrschen, sind erst zum kleinsten Theile erkannt, so dass 
jede neue specielle Gruppe, namentlich bei kleinerer Gliederzahl, 
ein neues Interesse bietet und zu eingehendem Studium auffordert. 
Welche Gruppen sind zwischen einer gegebenen 
Zahl von Elementen, d. h. bei gegebenem Grade über- 
haupt möglich? Das ist die allgemeine Frage, um die es 
sich handelt, von deren vollständiger Lösung wir aber noch weit 
entfernt sind. Cayley hat diese Aufgabe zuerst für die niedrigsten 
Gradzahlen in Angriff genommen *). 

*) On the theory of groups, as depending on the symbolic equation 
0" = 1. Philosophical Magazine, Vol. II, 1854. (Cayley's mathematical 
papers, Vol. II, 125.) American Journal of mathematics , VoL I. Man hat 
*üf verschiedene Weise versucht, durch Vermittelung geometrischer An- 
schauungen die BildungBweise endlicher Gruppen verstandlich zu machen. 
So Cayley durch seine „colour-diagrams" (mathematical papers, X, 690; 
XII, 639; Maschke, American Journal, XVIII, 1897); Dyck durch gewisse 
regelmässige Gebietseintheilungen von Flächen (Gruppentheoretische Studien, 
.Mathematische Annalen Bd. XX, 1882). Diese Betrachtungen sind aus- 
/ührlich dargestellt in dem Werke von Burnside „Theory of groups of 
fmite order", Cambridge 1897. 



Fünfter Abschnitt. 



Für jede beliebige Gradzahl » Laben wir immer eine, nämlich 
die cyklische Gruppe, die wir erhalten, wenn wir a" = 1 und 
die n Elemente 

1, a, a 2 . . . a n ~ ! 

als verschieden annehmen. 

Wenn » eine Primzahl ist, so ist diese die einzige Gruppe 
vom Grade n (wenn isomorphe Gruppen als identisch betrachtet 
werden), Denn der Grad eines jeden Elementes einer Gruppe 
ist ein. Theiler des Grades der Gruppe, und also hat in einer 
Gruppe von Primzahlgrad jedes Element, mit Ausnahme des 
Ein heitsel erneutes, den Grad n. 

Um eine Gruppe vom Grade « vollständig darzustellen, 
miisste man eine quadratische Tafel construiren mit n 3 Feldern, 
die in « Zeilen und « Colonnen angeordnet sind. Man be- 
zeichnet jede Zeile und jede Coloune durch eines der gegeben« 
Elemente, und setzt in das Feld, in dem diese beiden sich schnei- 
den, das zusammengesetzte Element, wobei etwa der Zeilenzeiger 
die erste, der Colonnenzeiger die zweite Componente bedeutet: 





l 


« 


t 


y ■ ■ ■ 


1 


i « 


> 


y ■ • ■ 


" 


■ 


o» 


«,f 


ay . . . 


/> 


f 


p. 


f 


ty ... 


r 


y 


ya 


rt 


y* . . . 






Man kann aber die Felder einer solchen Tafel nicht gan^ 
beliebig mit den Elementen ausfüllen, sondern man muss sii'l"* 
dabei an das associative Gesetz halten, so dass man, wenn man 
aßy aufsucht, indem man zuerst in der Zeile u und in der 
Colonne ß das Element (aß), dann in der Zeile («0) und der 
Colonue y das Element (aß)y aufsucht, dasselbe Resultat findet, 
wie wenn man zuerst (ßy) in der Zeile ß und der Colonue y und 
dann a(ßy) in der Zeile « und in der Colonne (ßy) aufsucht. 

Für die Anwendung ist es zweckmässiger, die Grnppn'nktfel 
etwas anders anzuordnen, so dass der Zeiger einer Hori/ontal- 
reibe der entgegengesetzte ist, wie in der entsprechenden Ver 
ticalreihe, also: 



§.29. 



Bildung der Gruppen. 



123 





1, 


a 


ß 


r 


• • 


1 


1 


« 


ß 


y 


• • 


a- 1 


«-» 


1 


m-*ß 


«~~ * y . 


• • 


r l 


ß- 1 


ß-'a 


1 


/»~V 


• • 


y" 1 


y" 1 


y - " 1 « 


y~V 


i 


• • 



Bei dieser Anordnung steht in der Diagonalreihe immer das 
Hauptelement 1. 

Für n = 4 haben wir, wenn ein Element vom 4 ton Grade 
existirt, die cyklische Gruppe 

1, a, a», a\ 

und wenn alle Elemente vom l 8ten oder 2 ten Grade sind, die 
Gruppen 

1, «, A «£ 
mit der Bedingung aß = /Ja. Es giebt also nur diese zwei 
Gruppen vom 4 ten Grade. Wenn die Elemente mit 1, a, /J, y 
bezeichnet werden, so haben wir die beiden Tabellen: 





1 


a 


ß. 


y 


1 


1 


a 


ß 


y 


7 


y 


1 


a 


ß 


ß 


ß 


y 


1 


a 


a 


a 


ß 


y 


1 





l 


a 





y 


1 


l 


a 


/» 


y 


« 


« 


1 


y 


/» 


ß 


ß 


y 


i 


« 


y 


y 





a 


i 



Der Fall w = 6 lässt sich in folgender Weise vollständig 
erledigen: Wir bezeichnen die sechs Elemente mit 1, a, /J, y, d, £, 
sodass 1 die Einheit der Gruppe ist. Wenn darunter ein Element 
fom Grade 6 vorkommt, so ist die Gruppe cyklisch. 

Wenn wir also von diesem Falle absehen, so können die 
Grade der Elemente a, /J, y, tf, £ nur 2 oder 3 sein. Sind a und 
ß vom 2 ten Grade, so kann aß nicht vom 2 ten Grade sein; denn 
sonst wäre 

a = ar\ ß = ß-\ aß = /J- 1 «" 1 = /Ja, 

und es wäre also 1, a, /J, a/J eine Gruppe 4 ten Grades; eine solche 
iann aber nicht Theiler einer Gruppe 6 ten Grades sein. 

Es muss also mindestens ein Element 3*** Grades vor- 



124 



Fünfter Abschnitt. 



kommen, und wenn wir ein solches mit a bezeichnen und y 
in 1, o, a 2 enthalten ist, so ordnet sich die Gruppe so: 

(1) S = 1, a, a 2 , y, ya, ya 2 . 

Um die Bedingung zu ermitteln, dass dies eine Grupp< 
bilden wir 

yS = y, ya, ya 2 , y 2 , y 2 o, y 2 a 2 , 

was mit S identisch sein muss; und es muss also 

y 2 = 1 oder = a oder = a 2 

sein. Ist aber y 2 = a oder = a 2 , so ist y 3 = ay oder = 
und y 6 , aber keine niedrigere Potenz von y ist gleich 1, d. 
ist cyklisch (S = 1, y, y 2 , y s , y 4 , y 5 ). Es bleibt also nur 
Annahme, dass y vom 2 ten Grade, also 

(2) y 2 = 1 

ist. Da wir aber y durch ya oder ya 2 ersetzen können 
müssen auch diese vom 2 ten Grade sein und es folgt 

(3) ya = a 2 y, ya 2 = ay, 

mit deren Hülfe man jedes Compositum aus beliebig v 
Potenzen von a und y immer auf eines und nur eines 
Elemente S zurückführen kann. Und wenn man jetzt 

1 a, a 2 , y, ya, ya 2 
mit 

1, «i & y, ä, * 
bezeichnet, so erhält man folgende Tabelle: 





1 


et 


ß 


y 


<f 


6 


1 


1 


et 


ß 


7 


d 


6 


ß 


ß 


1 


et 


d 


6 


7 


et 


a 


ß 


1 


B 


7 


d 


y 


Y 


d 


B 


1 


et 


ß 


6 


d 


€ 


7 


ß 


1 


et 


B 


B 


7 


cf 


et 


ß 


1 



Es kommen, wie es sein muss, in jeder Zeile und in ; 
Colonne alle Elemente vor. 

Durch die Aufstellung dieser Tabellen ist aber die Exis 
der betreffenden Gruppen noch nicht vollständig nachgewi 



§.30. Quaternionengruppe. 125 

Ans dem Umstände, dass in jeder Zeile und in jeder Golonne alle 
Elemente vorkommen, folgt zunächst zwar, dass durch die in der 
Tabelle ausgedrückte Gompositionsart die Forderung §. 1, 3. 
befriedigt ist. Es ist aber noch nachzuweisen, dass auch die 
Forderung §. 1, 2., nämlich das associative Gesetz, besteht. In 
den einfacheren Fällen kann man dies durch Ausprobiren aller 
Falle nachweisen. Einfacher gelangt man aber dazu, wenn man 
eine durch die Tabelle selbst gegebene Permutationsgruppe bildet, 
in der sich die Compositionen der Tabelle nach dem Gesetz der 
Zusammensetzung von Permutationen ergeben, bei der das asso- 
ciative Gesetz schon erwiesen ist (Bd. I, §. 155). Wir wollen 
dies bei der zuletzt gebildeten Tabelle einer Gruppe sechsten 
Grades durchführen. Jede Zeile dieser Tabelle giebt eine be- 
stimmte Permutation der in der ersten Zeile stehenden Elemente 
1» a > ft y ? ^ f. Wir stellen diese Permutationen nach Bd. I, 
§. 160 durch ihre Cyklen dar, und erhalten aus den beiden Reihen 
« und y die mit denselben Buchstaben zu bezeichnenden Per- 
mutationen 

(4) a = (1, «, ß) (y, 6, «), y = (1, y) (a, 8) (ft s). 

Diese sind vom dritten und vom zweiten Grade und genügen 
den Bedingungen (3), woraus hervorgeht, dass die aus (4) gebil- 
deten Permutationen (1) eine Gruppe bilden. Die Permutationen 
dieser Gruppe werden durch die Zeilen der Tabelle dargestellt. 

Man kann diese Gruppen aber auch darstellen durch die 
sämmtlichen sechs Permutationen von drei Ziffern, wenn man 

(5) a= (1,2,3), y = (l,2) 

setzt. 

§. 30. 
Die Quaternionengruppe. 

Von Interesse ist es noch, nach denselben Grundsätzen 
die Gruppe 8 ten Grades zu untersuchen. Die Elemente dieser 
Gruppe können ausser dem Einheitselement nur vom 2 ten , vom 
4^ oder vom 8 ten Grade sein. Wenn darunter ein Element 
S 1 * Grades vorkommt, so besteht die Gruppe aus den Potenzen 
dieses Elementes, und ist die cyklische Gruppe 8 ten Grades. 

Wenn andererseits alle Elemente vom 2 ten Grade sind, so 
ist, wenn a, ß zwei Elemente einer solchen Gruppe bedeuten, 
nach der Voraussetzung auch aß vom 2 ten Grade, und es ist 



I 



126 Fünfter Abschnitt. 




«-> = «, ß-' = f 
(«fl-> = «|) = p-«-i 

d. h. die Gruppe ist conimutativ. Sie ist also eine Abel 
Gruppe mit den Invarianten 2, 2, 2. Eine solche Gruppe 
z. B. aus drei Transpositianen zusammengesetzt werden: 
1, (1, 2), (3, 4), (5, 6), (3, 4)(5, 6), (1, 2) (3, 4), (1, 2)(5. 
(1, 2) (3, 4) (5, 6). 

Um also die übrigen Gruppen 8 ,eD Grades zu bilden, k» 
wir annehmen, dass in der Gruppe ein Element vie 
Grades vorkommt. 

Ist a ein solches Element 4 Un Grades und ß ein von 
Potenzen von a verschiedenes Element, so besteht die Gi 
wenn sie existirt, aus folgenden Elementen: 
fl) S = 1, «, «*, «», ß, ßa, (3a«, ßa\ 

oder auch aus den folgenden: 

(2) S = 1, «, tx,i, a\ ß, aß, tt>ß, a'ß. 
Hiernach muss also aß mit einem der drei Element 

/5a 5 , ßa" übereinstimmen. Die Gleichung aß = ßa 1 , aus wi 
ß- l ctß = « ü folgen würde, ist aber unmöglich, weil ß-'a/ü 
4"™ und a* vom 2 leu Grade ist. Es bleiben also die zwei Mö| 
keiten 

(3) «ß = ßu 

(4) uß = ß a >. 

Bei der ersten Annahme ergiebt sich durch vollstä 
Induction für je zwei Exponenten, r, s, 
a r ß' = ß'ar, 
und daraus folgt weiter, dass die Gruppe eine Abel'sche 
muss, und zwar mit den Invarianten 2, 4; als Repriisent 
einer solchen Gruppe kann man die durch wiederholte Znsan 
setzung der beiden Cyklen 

a = (1, 2, 3, 4), ß = (5, 6) 
entstandene Gruppe betrachten. 

Aus (4) ergiebt sich aber durch wiederholte Anwendun 

(5) aß = ßa\ ti>ß = ßa 3 , a*ß = ßa. 

Wenn wir noch ßS aus (1) bilden, so ergiebt sich, i 
nicht = a oder = a a sein kann, weil sonst ß vom 8 Mn < 



5.30. Qaaternionengruppe. 127 

iräre, 0* = 1 oder ß 2 = a a , und wir erhalten also noch zwei 
Möglichkeiten dafür, dass (1) eine Gruppe 8** Grades sei: 

I. «4 =1, ß* = 1, aß = /Sa 3 (ß- l *ß = a 3 ), 

1 a« = 1, /3»==a*, aß = /Sa 3 (ß^ocß = a 3 ), 

ins denen die übrigen Relationen (5) folgen, mit deren Hülfe 
nan jedes Compositum aus Potenzen von a und ß auf eines der 
Elemente von S zurückfuhren kann. 

Dass zwei den Bedingungen L, IL unterworfene Gruppen von 
einander verschieden sind, sieht man sofort daraus, dass in I. 
lur die Elemente a, a 3 vom 4 ten Grade, die anderen vom 2 ten Grade 
sind, während in IL die Elemente a, a 3 , ß, /Sa, /3a 3 , /3 a 3 vom 
i m Grade sind, und nur a* vom 2 ten Grade ist. 

Nach den Formeln I. und IL kann man leicht für die beiden 
Fälle die Gruppentabellen entwerfen. Um aber die Existenz 
lieser Gruppen einzusehen, ist es einfacher, zwei Perrautations- 
gruppen zu bilden, die den Bedingungen I. oder II. genügen. Dazu 
brauchen wir aber, wie in dem Falle der Gruppe 6 tcn Grades» 
nur drei Zeilen der Gruppentafel, nämlich 

S=l, a, a», a», /3, /Sa, /Sa*, /Sa 3 
aS = a, a*, a 3 , 1, /Sa 3 , /3, /Sa, /Sa» 
ßS = /3, /Sa, /Sa*, /Sa 3 , /S*, /S^a, /S'a*, /3*a 3 , 

von denen die letzte Zeile in den beiden Fällen L, IL verschieden 
ausfallt. Bezeichnen wir die Elemente mit 1, 2, 3, . . . 8, so 
ergiebt sich für die beiden Fälle 

I. « = (1, 2, 3, 4) (5, 8, 7, 6) 

ß = (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8) 

1 « = (1, 2, 3, 4) (5, 8, 7, 6) 

ß = (1, 5, 3, 7) (2, 6, 4, 8), 

md man weist sehr leicht nach (am einfachsten nach Bd. I, 
i. 160, 4.), dass hierfür die Bedingungen L, II. erfüllt sind. 

Die Gruppe II. führt den Namen der Quaternionengruppc 
ie ist es, die der von Hamilton geschaffenen Quaternionen- 
chnung zu Grunde liegt. Im Quaternionencalcül nämlich wird 
it acht Einheiten + 1, +i, + j, + k gerechnet, für die die folgen- 
n Gesetze der Multiplication gelten: 

i 2 = j2 = jfc2 _ _ 1 

ij = K jk = *\ M = h 

ji = — k, kj = — % ik = — j, 



128 



Fünfter Abschnitt. 



§.M. 



und diese sind nichts anderes, als die für die Gruppe IL gül- 
tigen Compositionsregeln, wenn darin a = t, ß=j, aß=l^ 
a a = — 1 gesetzt wird 2 ). 

Die Gruppentafel für die Quaternionengruppe lautet, wenn 

noch 

aß = y, a* = /S» = y» = e 

gesetzt wird: 





l 


e 


«- 1 


a 


ß- 1 


ß 


y" 1 


y 


1 


l 


6 

• 


«- 1 


a 


ß- 1 


ß 


y" 1 


y 


s 


€ 


1 


a 


a- 1 


ß 


ß- 1 


y 


y- 1 


a 


a 


«— 1 


1 


e 


y- 1 


V 


/» 


r l 


a- 1 


«- 1 


a 


e 


1 


y 


. y" 1 


r 1 


ß . 


ß 


ß 


r 1 


y 


.y- 1 


i 


6 




a 


r 1 


ß- 1 


ß 


y- 1 


y 


e 


1 


a 


cT 1 


y 


y 


y" 1 


r l 


ß 


« 


«- 1 


1 


e 


y" 1 


y- 1 


y 


ß 


ß- 1 


«- 1 


a 


€ 


1 



§. 31. 
Hamilton 's che Gruppen. 

Die Quaternionengruppe Q enthält drei Theiler 4** 1 Grades, 
nämlich die drei Cyklen 

1, a, a 2 , a 3 
1, /3, «2, ß u 2 

1, /Sa, a*, /Sa» 

und einen Theiler 2 ten Grades, 1, a 2 , und alle diese Theiler sind 
Normaltheiler. 

Die Gruppe I. hat nur einen Theiler 4 ten Grades 



*) Die erste Mittheilung von W. R. Hamilton über die Qaaternionen- 
rechnung findet sich in „Philosophical Magazine" Bd. XXV, 1844. Später 
ist der Gegenstand von Hamilton in zahlreichen Abhandlungen und in 
zwei grösseren Werken (Lectures on Quaternions, Dublin 1853; Elements 
of Quaternions, London 1866) behandelt worden, von denen das letztere 
von P. Gl an ins Deutsche übersetzt ist (Leipzig 1882). 



§. Sl. Hamilton'sche Gruppen. 129 

1, o, fc*, a 8 
and ausserdem fünf Theiler 2 ten Grades 

l,a'; 1,0; 1, /Ja; 1, /Sa»; 1, /Sa», 
Ton denen aber nur der erste ein Normaltheiler ist. 

1. Die Quaternionengruppe hat also die bemerkens- 
werthe Eigenschaft, dass alle ihre Theiler Normal- 
theiler sind. 

Diese selbe Eigenschaft haben alle Abel' sehen Gruppen. 
Die Quaternionengruppe ist aber keine Abel' sehe. 

Solche Gruppen, die die Eigenschaft haben, dass alle ihre 
Theiler Normaltheiler sind, hat Dedekind Hamilton'sche 
Gruppen genannt 1 ). 

Unter den Hamilton'schen Gruppen sind als Specialfall 
die Abel'schen Gruppen enthalten. 

2. Die nothwendige und hinreichende Bedingung 

dafür, dass eine Gruppe B eine Hamilton'sche 

sei, ist die, dass für je zwei Elemente a, b von B 

sich ein Exponent h so bestimmen lässt, dass 

(1) a- 1 ba = b k 

ist. 

Denn betrachtet man die aus den Potenzen von b bestehende, 
in U enthaltene cyklische Gruppe 2J, so muss, da B Normal- 
theiler von B sein soll, a -1 Ba = B sein, woraus die Gleichung 
(1) folgt 

Ist umgekehrt (l) für je zwei Elemente a, b aus B erfüllt, 
und durchläuft b irgend eine in B enthaltene Gruppe i?, so ist 
<r l Ba nach (1) in B enthalten, und da beide Gruppen von 
gleichem Grade sind, ist a~ 1 Ba = B. 

Dedekind giebt in der citirten Abhandlung folgende ein- 
gebe Vorschrift für die Bildung aller nicht Ab eTschen Hamilton'- 
schen Gruppen. 

3. Es sei Q die Quaternionengruppe und P eine 
Abel'sche Gruppe, deren Elemente mit den Ele- 
menten von Q vertauschbar sind. Die Gruppe 
P soll kein Element 4 ten Grades enthalten, sie 



! ) Dedekind, Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normal- 
theiler sind. Mathematische Annalen, Bd. XLVIII (1896). Bei genauerer 
fixiruug des Begriffes rechnet Dedekind die Abel'schen Gruppen nicht 
mit zu den Hamilton'schen. 

Weber, Algebra. II. 9 



130 Fünfter Abschnitt. 

soll aber das einzige in Q enthaltene Elemeii l 

•l' ra Grades enthalten. Dann ist PQ eine nicht I 

Abel'sche Hamilton'sche Gruppe. 

Um dies nachzuweisen, bat man nur zu zeigen, dass PI} I 

eine Gruppe ist, und dass je zwei Elemente a, h dieser Gruppe 1 

die Relation (1J erfüllen. Das erstere ergiebt sich aber nach I 

§.4, 5. aus der in der Voraussetzung liegenden Beziehung PQ = ^P. I 

Um aber die Relation (1) nachzuweisen, bezeichnen wir mit I 

«, ß zwei Elemente von P, mit |, ij zwei Elemente von Q, und 

setzen 

(2) a = «£, l=ßy. 
Dann ist wegen der vorausgesetzten Vertauschbarkeit 

ar*ha = £-**-* ßi«t = /)^»jj| 
und da Q eine Hamilton'sche Gruppe ist, so ist für irgend 
einen nach dem Modul 4 zu nehmenden Exponenten X 

(3) £-'»)! = >?', 
folglich 

(4) a- l ba = ßnK 
Ist nun ij vom •2 teu Grade, so ist V nach (3) auch vom 'J""* Grid« 

und folglich j; J = ij, und (4) geht in (1) über. Ist aber ij vom 
4 ten Grade, so ist k ungerade, und man kann A so bestimmen, 
dass 

(ß n y =ptf = ßi S i 

wird. Man hat nur, wenn » den Grad von ß bedeutet, 

h = nx -j- 1 
zu setzen und x aus der Congruenz 

nx = X — 1 (mod 4) 
zu bestimmen, was immer möglich ist, da « nicht durch 4 theilbar 
sein kann, weil sonst gegen die Voraussetzung ein Element 
4'od Grades in P enthalten wäre. 

Um ein Beispiel zu haben, nehme man eine Primzahl n v 
der Form 4i« -+- 'i an, und lasse « die nach dem Modul 
genommenen , durch p nicht theilbaren Zahlen durchlaufen. 
Diese bilden bei der Multtplication eine A b e l'sche Gruppe 
(p — l) 1 ™ Grades. Man nehme nun die Hamilton'schen Ein- 
heiten 

±% +«, ±h ±* 
und bilde die h(p — i) Zahlen 






§• 32. Conjugirte Elemente und Commutatorgruppe. 131 

(5) o, iu = aij ja = ey, hu = a&, 

die man nach den Hamilton'schen Regeln §. 30 (6) mit einander 
mnltiplicirt Man erhält so eine Hamilton'sche Gruppe vom 
Grade 4p — 4. 

Dedekind hat in der erwähnten Abhandlung den schwie- 
rigeren Nachweis geführt, dass alle Hamilton'schen Gruppen 
die in 3. beschriebene Constitution haben. In Bezug auf 
diesen Beweis verweisen wir den Leser auf die Originalarbeit 



§,32. 

Die Glassen conjugirter Elemente einer Gruppe 

und die Commutatorgruppe. 

Frobenius hat in verschiedenen wichtigen Untersuchungen, 

auf die wir später zurückkommen, von einer Eintheilung der 

Elemente einer endlichen Gruppe in Classen Gebrauch gemacht, 

die sich immer mehr als fundamental wichtig herausstellt. Um 

diese Eintheilung klarzulegen, bezeichnen wir die Elemente einer 

beliebigen Gruppe P vom n*« 11 Grade mit den Buchstaben a, 6, c, . . . 

und verstehen unter #, y Zeichen für veränderliche Elemente 

in P. Zwei Elemente a T , Oj aus P heissen conjugirt, wenn 

ein Element x in P gefunden werden kann, das der Bedingung 

(1) xr- 1 a*x = a Y 

genügt. Jedes Element ist hiernach mit sich selbst conjugirt, 
und wenn zwei Elemente mit einem dritten conjugirt sind, so 
sind sie auch unter einander conjugirt. Denn ist 

x- 1 a 3 x = a l , y- 1 a 3 j/ = a 1 , 
so ist auch 

yar' 1 a 2 xy- 1 = 03. 

Die Gleichung (1) wird, wenn sie bei gegebenen a l9 a^ über- 
haupt befriedigt werden kann, im Allgemeinen mehrere Lösungen 
£ haben. Um die Beziehung dieser Lösungen zu einander zu 
finden, sei 

a a = xa^xr 1 = ya^y* 1 . 
Daraus folgt 

(2) (h=x- 1 yai!T l Zi 

oder, wenn wir 



132 Fünfter Abschnitt. g. Ä 

(3) xr- 1 y = b, y = xb 
setzen, 

(4) eh 6 = 6 Oj, 6 -1 A4 6= Oj. 

Es mu88 also b ein mit Oj vertauschbares Element sein, 
und wenn diese Bedingung erfüllt ist, so folgt auch umgekehrt 
aus (3) die Relation (2). 

Alle Elemente 6, die mit einem festen Element a\ Ter- 
tauschbar sind, bilden aber, wie man aus (4) sofort übersieht, 
eine Gruppe B und wir erhalten also alle Lösungen von (1), 
wenn wir b in xb, oder, was dasselbe ist, in bx die ganze Gruppe 
B durchlaufen lassen. Ist B vom Grade ft, so ist ft ein Theüer 
von n und 

(5) n = iia. 

Lassen wir nun x in x~ 1 a 1 x die ganze Gruppe P durch- 
laufen, so bekommen wir jedes Element Oj, o*, . . ., was dabei 
überhaupt entsteht, ftmal, und die Gesammtheit dieser mit <*i 
conjugirten Elemente ist daher gleich e. 

Die Elemente 

A = Oj, a 8l . . . a« 

bilden eine Glasse unter einander conjugirter Elemente 
und der Grad dieser Glasse ist a, also immer ein Theiler von *. 
Die Gruppen P x , B 2 , . . . B 9 der mit den Elementen der : 
Classe A vertauschbaren Elemente sind selbst mit einander eon- 
jugirt; denn aus (1) und (4) folgt, wenn ba x = a x b ist: 

xb- 1 x- 1 a 3 xbx- 1 = a? 
und folglich ist 

B 2 = xB\X~ x * 

Nehmen wir ein nicht in A enthaltenes Element a/, so 
können wir daraus auf dieselbe Weise eine Glasse A' vom Grad* 
a 1 bilden: 

Ji. = di, #2t • • • Qtf 9 

und A, A' haben dann kein einziges Element mit einander gemeu 
So fahren wir fort, bis die ganze Gruppe P erschöpft ist, nsi 
kommen zu folgendem Satze: 

I. Die Elemente der Gruppe P lassen sich in 
Classen conjugirter Elemente eintheileü. Di 
Grade der Classen sind Theiler des Grades • 
von P. 



§.32. Conjugirte Elemente and Commutatorgruppe. 133 

Das Einheit8element bildet für sich allein eine Classe und 
daher ist unter den übrigen Glassen keine, die eine Gruppe 
bildet Es kann aber noch -andere Glassen geben, die den Grad 1 
haben, die also aus einem einzigen Elemente bestehen. Ein solches 
Element e ist durch die Eigenschaft charakterisirt, dass es mit 
jedem Elemente aus P vertauschbar ist, oder dass für jedes 
Element x die Gleichung gilt: 

(6) ar* 1 ex = e. 

Wir nennen ein solches Element, also insbesondere auch das 
Einheitselement, ein isolirtes Element. 

IL Die Gesammtheit E der isolirten Elemente 
e, e\ e" . . . bildet eine in P enthaltene Abel'sche 
Gruppe. 

Denn sind e, d zwei isolirte Elemente, so folgt aus (6) 

x~ l ee!x = ed 

und folglich ist auch ed ein isolirtes Element; und wenn man 
t—d setzt, so ergiebt sich aus (6) 

ed = de. 

Eine Abel'sche Gruppe enthält nur isolirte Elemente, und 
- die Anzahl der Glassen ist gleich dem Grade der Gruppe. 

Bei allen anderen Gruppen ist aber die Zahl der Classen 
kleiner als der Grad der Gruppe. Für die Quaternionengruppe 
z. B. (§. 30) sind 1, £ isolirte Elemente. 

bilden drei Classen 2 Uax Grades. 

Sind a, b irgend zwei Elemente der Gruppe P, so ist durch 
1 sie ein drittes Element c eindeutig durch die Gleichung 

(7) ab = bac 

bestimmt, und dieses Element heisst nach Dedekind 1 ) der 
Commutator von a und b. Bei der Vertauschung von a und 
h geht c in er 1 über. Wenn a und b vertauschbar sind, so ist 
£=1 und bei einer Abel'schen Gruppe sind daher alle Com- 
mutatoren = 1. 

Die in P enthaltenen Commutatoren bilden unter sich im 
Allgemeinen keine Gruppe; da aber alle Commutatoren und ihre 






') Ueber Gruppen, deren sämmt liehe Theiler Normaltheiler sind. 
Math. Annalen, Bd. XLVI11. 



I 



134 Fünfter Abschnitt §. & 



Zusammensetzungen in P enthalten sind, so erzeugen die Com- 
mutatoren durch ihre wiederholte Composition eine in P ent- 
haltene Gruppe <?, die die Gommutatorgruppe von P genannt 
wird. Jedes Element h der Gommutatorgruppe ist also dadurch 
definirt, dass es aus einer endlichen Anzahl von Commutatoren 
componirt werden kann: 

(8) k = cc'c" ... 

Wir beweisen jetzt noch den Satz: 

IIL Die Commutatorgruppe C ist ein Normaltheiler 
von P, und die reciproke Gruppe P/C ist eine 
Abel'sche Gruppe. Ist Q ein Normaltheiler von 
P, so ist P/Q immer dann und nur dann eine 
Abel'sche Gruppe, wenn Q durch C theilbar ist 

Ist nämlich x irgend ein Element aus P, so ist nach (7) 

abx = baxx-icx, 

und wenn ax = xa^ also c x der üommutator von a und x ist: 

abx = bxa c l xr 1 cx. 

Demnach ist c l x~ 1 cx = c 9 der Commutator von a und bx 
und folglich ist xr~ 1 cx = cT 1 ^ in der Commutatorgruppe ent- 
halten. Dasselbe gilt dann auch nach (8) von dem Element 

x-iJcx = xr 1 cxxr 1 c t x x- 1 d , x . . . 

Also ist C ein Normaltheiler von P. 

Sind nun a C und b C zwei Nebengruppen zu <?, so ist (§. 4) 

aCbC = abC=bacC = baC =bCaC, 

und folglich sind die Nebengruppen bei der Composition ver- - 
tauschbar, d. h. P/C ist eine Abel'sche Gruppe. 

Wenn ein Normaltheiler Q von P die Gruppe C enthält, 
so ist P/Q ein Theiler von P/C, und folglich ist auch P!Q 
commutativ. 

Ist umgekehrt P/Q commutativ, so ist für irgend zwei 
Elemente a und b aus P 

abQ = baQ 

und folglich, wenn ab = bac ist, c in Q enthalten. 

Aus diesen Sätzen ergiebt sich noch, dass, wenn P einfach 
ist, C nothwendig die ganze Gruppe P erfüllt, während bei einer | 
Abel'schen Gruppe, und nur bei dieser, C aus dem Einheits- 
elemente besteht. 






33. Erster Sylow'scher Satz. 135 

§. 33. 
Der erste Sylow'sche Satz. 

Frobenius hat die Classeneintheilung der Elemente einer 
rruppe zum Beweise eines Satzes benutzt, der für ein eingehen- 
eres Studium besonderer Gruppen von grossem Nutzen ist, der 
i beschränktem Umfange von Cauchy herrührt, allgemein aber 
on Sylow bewiesen ist. Er lässt sich einfach so aussprechen 1 ): 

IV. Ist P eine Gruppe von irgend welchen Elementen 
vom Grade n, und j>* eine in n aufgehende 
Primzahlpotenz, so hat die Gruppe P einen 
Theiler vom Grade p* 

Cauchy hat diesen Satz für x = 1 bewiesen. Für den 
Fall, dass n eine Primzahl ist, ist er evident; für n = 4 und 
n = 6 kann man ihn aus der Zusammenstellung §. 29 leicht 
ablesen, so dass er also für die Fälle n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 als 
erwiesen betrachtet werden kann. Auf Grund dieser Wahr- 
nehmung lässt sich die vollständige Induction anwenden, und wir 
setzen also voraus, der Satz sei bewiesen für Gruppen, deren 
Grad niedriger ist als n. 

Beim Beweise setzen wir die Classeneintheilung des vorigen 
Paragraphen voraus. Die Gruppe E der isolirten Elemente sei 
vom Grade v und vom Index j. Es seien ferner die Classen 
4, A\ Ä\ . . ., die mehr als ein Element enthalten, von den 
Graden a, «', «", . . ., so dass diese Zahlen alle grösser als 1 sind, 
und da sie nach §. 32 (5) Theiler von n sind, so ist 

(1) n = vj = pe = (i' e' = (i"e" = . . ., 

lind da alle Elemente entweder in E oder in einer der Classen 
A, A\ Al\ . . . vorkommen, 

(2) n = v + e -f- s' + e" -\ 

Auf Grund dieser Formeln lässt sich nun der Sylow'sche 
Satz durch vollständige Induction beweisen, wobei zwei Fälle zu 
unterscheiden sind: 



*) Cauchy, Exerc. d'analyse, tom. III. Sylow, Mathem. Annalen, 
&V. Frobenius, Journ. für Mathematik, Bd. C. Sitzungsbericht der 
erliner Akademie, 21. Febr. 1895. Netto, Mathem. Annalen, Bd. XIII. 
ibstitutionentheorie §. 48. 



136 Fünfter Abschnitt. §. U, 

1) Der Grad v von E ist durch p theilbar. In diesem 
Falle giebt es, weil E eine Abel'sche Gruppe ist, nach §. 11, 2. 
ein Element e in E vom Grade p, und die cyklische Gruppe 
jf** Grades 

die wir mit Q bezeichnen, ist ein Normaltheiler von P, weil ja 
für ein Element e von E immer x" 1 ex = 6 sein sollte. Die 
complementäre Gruppe zu Q y P/Q ist vom Grade *:j», und ihr 
Grad ist also kleiner als n und durch p* -1 theilbar. Nach 
unserer Voraussetzung giebt es also einen Theiler von P/Q vom 
Grade p*" 1 , und folglich giebt es nach §. 8, 2. einen Theiler 
von P vom Grade p\ 

2) Der Grad v von E ist nicht durch p theilbar. Da 
n durch p theilbar ist, so können in diesem Falle nach (2) nicht 
alle Zahlen £, e f , e'\ . . ., die alle grösser als 1 sind, durch p 
theilbar sein. Wenn nun e nicht durch p theilbar ist, so ist p 
durch p* theilbar. Bezeichnen wir also wie im §. 32 mit B die 
Gruppe der Elemente, die mit einem der Elemente von A ver- 
tauschbar sind, so ist B vom Grade ft, und ft ist kleiner als n 
und durch p* theilbar. 

Hiermit ist der Satz L bewiesen. 

Zu diesem Satze kommen aber noch wesentliche ErgänzuDgem 



§. 34. 
Der zweite Sylow'sche Satz. 

Es sei nun wieder P eine Gruppe vom Grade n und p* die 
höchste Potenz der Primzahl p, die in n aufgeht; Q sei dB 
Theiler von P vom Grade p*, der nach dem Satze IV., §.33 
existirt 

Alle Elemente c von P, die der Bedingung genügen: 

(1) o- 1 Qc = & 

unter denen gewiss alle Elemente von Q selber enthalten sind, 
bilden zusammen eine Gruppe; denn aus 

folgt, dass auch Qcc' = cc 1 Q ist. Diese Elemente c können wir 
die mit der Gruppe Q vertauschbaren Elemente von P 



{.31 Zweiter Sylow'scher Satz. 137 

nennen* Bezeichnen wir die Gruppe der c mit 22, so ist R ein 
Theiler von P, und Q ein Theiler von 12, und zwar ein Normal- 
thefler. In besonderen Fällen kann R sowohl mit Q als mit P. 
identisch sein. Ist aber b irgend ein nicht in R enthaltenes 
Element von P, so giebt es unter den Elementen der Gruppe. 
b-iQb gewiss wenigstens eines, das nicht in Q enthalten ist 

Bezeichnen wir mit r den Index (R, Q), mit j den Index 
(P, Ä), so ist 
(2) n = p*rj, 

und r und j sind durch p nicht theilbar. 

Der Satz, den wir zu beweisen haben, lautet: 

V. Der Index j vqn R ist von der Form ph -{- 1, 
worin h irgend eine ganze Zahl ist [j=l (mo&p)]; 
es giebt j und nicht mehr verschiedene Theiler 
von P vom Grade |)*, die alle mit einander con- 
jugirt sind. Jeder Theiler von P, dessen Grad 
eine Potenz von p ist, ist in einer dieser con- 
jugirten Gruppen enthalten. 

Ist c ein Element aus R vom Grade y, und s der kleinste 
positive Exponent, für den c 9 in Q enthalten ist, so muss jeder 
andere Exponent t, für den d zu Q gehört, durch s theilbar 
sein. Denn setzen wir t = ws-f-Sj, worin s 2 < s ist, so ist <?* 
in Q enthalten, und s l muss also = sein. Demnach ist s ein 
Theiler von y. Nun bilden aber die Elemente 

wgen (1) eine in P enthaltene Gruppe, und zwar vom Grade p*s % 
und da also p*s ein Theiler von n sein muss, so folgt, dass s 
nicht durch p theilbar sein kann.. Wäre nun der Grad y von 
c eine Potenz von j>, so müsste auch s eine Potenz von p sein, 
was hiernach nicht möglich ist. 

Es kann also der Grad von c gewiss nicht eine Potenz von 
p sein, d. h. ausser den Elementen Q giebt es in R keine 
Elemente, deren Grad eine Potenz von p ist. 

Bedeutet nun b ein Element von P, das nicht zu R gehört, 
so giebt es nach der Definition von JR in der Gruppe 

Q' = b-*Qb 

mindestens ein Element, das nicht in Q vorkommt, und der Grad 
dieses Elementes muss eine Potenz von p sein, weil der Grad 



138 Fünfter Abschnitt. g. ü. 

von Q und folglich auch von Q' gleich p", also eine Potenz von p 
ist. Dies Element kann also nicht in R vorkommen, und Q' ist 
daher kein Theiler von R. 

Wählen wir die Elemente a v , a,, . . ., «,_, aus P so aus, 
dass wir 

(3) P = R + X ai + Ra, -j h ««;-. 

setzen können, so Bind also die j — 1 Gruppen 

a- 1 ö«h «r* ^««1 • ■ •> a r~i C o J-i- 

die alle vom Grade jj" sind, von Q verschieden. Sie sind ab«r 
auch von einander verschieden; denn wäre z, B. 

a ~ l Q a t ~ a T l Q a ii 

so würde folgen: 

(h a Y l Q a i a T l = 0' 
d. h. asa- 1 = c wäre in 7J enthalten, also a t = ca t in J?a„ 
was wegen (3) nicht möglich ist. Wir hahen also gewiss j Ter- 
schiedene conjugirte Gruppen p* Un Grades: 

W ftff^Goi» a r' Öo a , ••■, of.'.Co.-!- 

Ist Q" = a- 1 Qu eine von ihnen, so enthält R' = a-'Ba 
den Theiler Q\ aber ausser diesem kein Element, dessen Grad 
eine Potenz von p ist Rf ist der Inbegriff aller mit Q' ver- 
tauschbaren Elemente von P, und da (/ von Q verschieden ist, 
so ist R' nicht durch Q theilbar. 

Wir wenden nun weiter den Satz §. 7, (5) an, indem wir 
unter P, R, Q die Gruppen verstehen, die hier mit denselbeu 
Buchstaben bezeichnet sind. Da hier Q ein Theiler von R ist, 
bo ist (<3, Q a ) = 1. Von den conjugirten Gruppen a~ 1 Ra ist 
aber keine ausser Jt durch Q theilbar, und also sind die übrigen 
Indic.es (Q, (),), (Q, # s ), . . . alle grösser als 1. Sie sind aber, 
da sie Theiler des Grades von Q sein müssen, Potenzen von p 
und aus der Gleichung 

/ = («, 9.) + («, ft) + («, «.) + ■•• 

folgt also j = 1 (mod p). 

Ist aber S irgend ein Divisor von P, dessen Grad eine 
Potenz von p ist, so wenden wir wieder die Zerlegung von j nach 
dem Theorem §. 7, (5) an, indem wir für die dort vorkommen- 
den Gruppen P, R, Q die Gruppen P, R, S setzen. Dann ist 
wieder 

j = (S, sj + (S, s.) + (S, so + . . ., 



§.35. Gruppen vom Grade p«. 139 

worin jetzt £t>, £ l9 S s , . . • die Durchschnitte von S mit R und 
seinen conjugirten bedeuten, so dass (S, S ), (S, SJ, (S, S,), . . . 
Potenzen von p sind. Da aber j = 1 (mod p) ist, so muss minde- 
stens eine von den Zahlen (S, S ), (S, fi^), (S, /S s ), • • • = 1 
sein, d. h. eine der Gruppen cq ml Ba x und folglich auch eine 
der Gruppen (4) ist durch S theilbar. Ist S vom Grade p*, so 
ist es mit einer der Gruppen (4) identisch. 

Damit ist also das Theorem IL vollständig bewiesen. 



§. 35. 
Gruppen vom Grade p a . 

Sylow hat aus seinen Sätzen eine merkwürdige Eigenschaft 
der Gruppen abgeleitet, deren Grad p* eine Potenz einer Prim- 
zahl p ist Es sei also P eine solche Gruppe und ß eine positive 
Zahl kleiner als a. Dann enthält nach dem Satze IV., §. 33 die 
Gruppe P einen Theiler Q vom Grade p/*, dessen Index p«-/* 
ist. Wir wenden den Satz §. 7, (5) an, indem wir für B und Q 
diese Gruppe Q vom Grade p* setzen, dann sind (Q, Q ), (Q, Qi), 
(ft &)> • • • dfe Indices von Q und den mit Q conjugirten Thei- 
lern von P in Bezug auf Q. Dann ist ((?, Q ) = 1 und 

p-t = (& Q ) + (ß ft) + (ft ft) . . . 

Die Summanden können hier als Theiler des Grades von 
(>nur Potenzen von p sein, und da (Q, Q ) = 1 ist, so folgt, 
dass mindestens p dieser Summanden = 1 sein müssen, da sonst 
ihre Summe nicht durch p theilbar sein könnte. Das heisst 
aber nichts Anderes, als dass wenigstens p — 1 der conjugirten 
rruppen b" 1 Q J, wo b nicht in Q enthalten ist, durch Q theilbar 
nd also gleich Q sein müssen. Wenn aber 

J-i Qb= Q 
t, so ist auch für jeden Exponenten s 

b—Qb» = Q. 

Ist b r die niedrigste Potenz von 6, die in Q enthalten ist, 
muss, da der Grad von b eine Potenz von p ist, auch r eine 
»tenz von p sein, und 

r 

b~P~= c 



140 



Fünfter Abschnitt. 



ist ein Element von P, das selbst nicht in Q vorkommt, des 
p" Potenz aber in Q enthalten ist, und das zugleich der £ 
dingung 

cQc-* = Q 
genügt. Daraus folgt, dass die Elemente 

R = Q + Qc 4- Q& -\ 1- Qc^' 

eine Gruppe vom Grade jP* 1 bilden, von der (j ein Norn 
theiler ist. Wir haben also den Satz: 

VI. Ist P eine Gruppe vom Grade p" und 

Theiler von P vom Grade p? (ß < et), so giebl 
es einen Theiler 11 von P vom Grade p- i+ 
dem Q Normaltheiler ist. 
Nimmt man in diesem Satze ß = et — 1 an, so fällt B n 
P zusammen, und es ergiebt sich, dass Q ein Normaltheiler t 
P ist. Wendet man denselben Satz auf die Gruppe Qanu.& 
so erhält man: 

VIL Jede Gruppe, deren Grad eine Primzahlpotei 
iBt, ist metacyklisch (§. 10). 



Satz von Frobenius. 

Frobenius hat einen Satz aufgestellt, der als ein Gi 

stück zum Satze VII. betrachtet werden kann, der sich so 

sprechen lässt'): 

VIII. Jede Gruppe, deren Grad ein Product von lai 

verschiedenen Primzahlen ist, ist metacyklisck. 

Wir setzen also voraus, dass der Grad n einer Gruppe P 

durch keine Quadratzahl theilbar sei. Ist t der grösste 

Primtheiler von n, so giebt es nach dem Cauchy-Sylow'schen 

Satze (g. 33) einen Theiler T vom Grade ( von P, der, weil t eine 

Primzahl ist, eine cyklische Gruppe ist, also au3 den Elementen 

T= 1, «, a«, ... a'-» 
besteht. Wenn sich nun nachweisen liesse, dass unter den ge- 
machten Voraussetzungen T ein Normaltheiler von P ist, so 
könnte man dieselbe Schlussweise auf die Gruppe P/T. deren 



§.& Satz von Frobeniue. 141 

Grad % : t ist, anwenden, und würde, wenn ^ die zweitgrösste 
in n ansehende Primzahl ist, auf einen Normal theiler JPT der 
Gruppe P/T vom Grade ^ schliessen. Daraus würde dann aber 
folgen (§. 8, 2.), dass P einen Normaltheiler T x vom Grade tt x 
hat, von dem T selbst wieder Normaltheiler ist Indem man in 
gleicher Weise die Gruppe P/2\ betrachtet u. s. f., ergiebt sich 
eine Compositdonsreihe von P: 

Pj Ä, 2fc— 1» • • •» 2\, 2, 1, 

in der die Indexreihe aus den der Grösse nach aufsteigend ge- 
ordneten Primfactoren von n besteht, und P ergiebt sich als 
metacyklisch. Alles kommt also darauf an, nachzuweisen, dass 
lein Normaltheiler von P ist 

Dieser Satz ist leichter zu beweisen, wenn man ihn als 
ipeciellen Fall eines allgemeineren betrachtet, als wenn man ihn 
direct angreift | Dieser allgemeinere Satz lautet unter den über 
Pund n gemachten Voraussetzungen: 

\ a) Ist n = ftv in zwei Factoren zerlegt und ist 
1 jeder Primtheiler von v grösser als jeder Prim- 

theiler von p, so giebt es v und nicht mehr Ele- 
mente in P, deren Grad in v aufgeht 

Wenden wir diesen Satz auf v = t an, so folgt, dass es 
ausser T keine Elemente in P geben kann, deren Grad = t ist. 
Wenn aber c irgend ein Element von P ist, so ist die mit T 
conjugirte Gruppe c 1 Tc gleichfalls vom Grade J, und muss 
also mit T identisch sein. Damit ist dann bewiesen, dass T ein 
Normaltheiler von P ist. 

Der Satz a) ist offenbar richtig, wenn p = 1, v = n ist. 
Ihn kann daher zu seinem allgemeinen Beweise die vollständige 
Induction anwenden. Wir setzen also als bewiesen voraus: 

o*) Ist ftV durch kein Quadrat theilbar, jeder Prim- 
theiler von v' grösser als jeder Primtheiler 
von p', und die Anzahl der Primtheiler von (i f 
kleiner als die Anzahl der Primtheiler von ft, 
so giebt es in jeder Gruppe vom Grade \t! v* 
genau 1/ Elemente, deren Grad ein Theiler von 
i/ ist. 

Um daraus den Beweis des Satzes a) abzuleiten, bezeichnen 
arir mit p den grössten Primtheiler von ft und mit Q eine in P 
enthaltene Gruppe vom Grade p, deren Existenz nach dem 






142 Fünfter Abschnitt 

Cauchy-Sylow'schen Theorem feststeht. Dann sind alle Prim- 
factoren von v grösser als p. Wie in §, 34 bezeichnen wir mit 
R die (durch Q theilbare) Gruppe, die aus allen der Bedingung 

genügenden Elementen c von P besteht, deren Grad durch ji 
theilbar ist und daher (wie oben) mit pr bezeichnet werden kann; 
j bedeutet, wie früher, den Indes (P, B). Wir setzen r = r,r.„ 
und verstehen unter »', den grössten gemeinschaftlichen Theiler >ij 
von fi und r, so dass r s der grösste gemeinschaftliche Theiler 
von v und r ist. Es ist dann 

« = pv = r t pr t j. 
Nach der Hypothese «') enthält nun P genau pv Elemente, 
deren Grad ein Theiler von pv ist; es möge mit U die Gesammt- 
heit dieser Elemente bezeichnet sein. Die Gruppe R enthält [ 
aber, gleichfalls nach «'), genau pr t Elemente, deren Grad ein 
Theiler von pr 7 , also ein Theiler von pv ist. Dieses System 
wollen wir mit V bezeichnen. Offenbar sind alle Elemente von 7 
zugleich in U enthalten. 

Wenn wir nun noch beweisen können, dass es in V genau 
(p — l)v Elemente giebt, deren Grad durch p theilbar ist, 
so sind wir am Ziele; denn dann folgt, dass es unter den Ele- 
menten U und also auch unter den Elementen von P genau 

pv — (p — l)v = v 
giebt, deren Grad ein Theiler von v ist. 
Dies ergiebt sich aber aus Folgendem: 
ß) Ist f ein Element aus V, so gehören alle Ele- 
mente vQ (deren Anzahl p beträgt) zu V. Es 
giebt darunter p — 1, deren Grad durch p theil- 
bar ist, und eines, dessen Grad nicht durch p 
theilbar ist. In V giebt es (p — l)r, Elemente, 
deren Grad durch p theilbar ist, und r 3 Elemente, 
deren Grad nicht durch p theilbar ist, 
Denn ist a ein von 1 verschiedenes Element von Q, bo ist, 
da v zu R gehört, also v~ 1 av in Q enthalten ist, und da Q 
aus den Potenzen von a besteht, 
(1) v~ i av = a*. 

Durch wiederholte Anwendung ergiebt sich daraus für jeden 
Exponenten h 
0!) «-»HB» =*«■*. 



. 96. Satz von Frobenius. 143 

Nehmen wir für h den Grad des Elementes u, der nach 
Ler Voraussetzung ein Theiler von pv ist, setzen also v h = 1, 
jo folgt 

(3) a = a*, s* = 1 (mod p). 

In h gehen aber keine anderen Primfactoren auf als solche, 
die gleich oder grösser als p sind, und also ist p — 1 relativ 
prim zu A, und man kann der Congruenz 

(4) xh = 1 (mod p — 1) 

genügen; demnach ergiebt sich aus dem Fermat' sehen Lehrsatze: 

(5) $** = s = 1 (mod jj), 
also nach (1): 

(6) av = va, 

d. h. a und v sind vertauschbar. Daraus folgt für jeden Expo- 
nenten X 

(7) (va) x = v x a x . 

Ist, wie vorhin, h der Grad von u, und setzen wir, wenn Ä 
durch p theilbar ist, X = ä, und wenn A nicht durch p theilbar 
ist, X = hp y so folgt aus (7) (ya) x = 1, d. h. der Grad von va 
ist ein Theiler von h oder von hp, also jedenfalls ein Theiler 
Ton j)v, d.h. va und folglich auch vQ ist in V enthalten. 

Ersetzen wir nun in (7) a durch a x und lassen x die Reihe 
der Zahlen 0, 1, . . ., p — 1 durchlaufen, so durchläuft a x die 
Gruppe Q und va x das System vQ, und es ist für jedes X 

ip) (va*) 1 = v x a xX . 

Wenn nun der Grad h von v nicht durch p theilbar ist, 
so ist 

(ya x ) h = a x \ 

also nur dann = 1, wenn x = ist; dagegen ist 

(ya x Y h = 1, 

i h. der Grad von va x ist, wenn x nicht =0 ist, ein Theiler 
▼on pÄ, aber nicht von ä, also durch p theilbar; dagegen ist er 
= A, wenn x = ist. 

Ist aber der Grad h von v durch p theilbar, so ist er von 
der Form pg, und g ist durch p nicht theilbar, weil p nur ein- 
r ach in n, also auch in h aufgeht. Es ist also v^ ein Element 
tus R vom Grade p, und muss also nach §. 34 in Q enthalten 
ein. Setzen wir also hiernach 

v<> = a*, 



144 Fünfter Abschnitt. ij. ■■' 

so wird 

und dies ist dann und nur dann = 1, wenn y -f- gx = (mod />i 
wird, was nur für einen Werth von x eintritt. Für dieses 
Werth von x ist der Grad von wo 1 ein Theiler von g; für die 
anderen Wertbe von x ist er Theiler von pg, aber nicht von g, 
also durch p theilbar. Damit sind die beiden ersten Behaup- 
tungen des Satzes ß) erwiesen. 

Um auch den letzten Theil einzusehen, bemerke man, dass, 
wenn v s , v 3 zwei Elemente aus V bedeuten, die Systeme v t Q, 
w, Q entweder ganz identisch sind, oder kein einziges gemein- 
schaftliches Element haben. Daraus folgt, dass man V h der 
, Weise darstellen kann : 

r = v,Q + v,<i-\ b<v,e 

(obwohl V im Allgemeinen keine Gruppe ist), und in jed 
dieser r, Theilsysteme v Q giebt es p — 1 Elemente, deren G 
durch p theilbar ist, und ein Element, dessen Grad nicht dnr 
p theilbar ist. 

Nach dem Satze V., §. 34 giebt es j und nicht mehr I 
einander verschiedene conjugirte Gruppen Q, Q\ Q", . . 
in P, und j von einander verschiedene conjugirte Gn 
R, BT, R" BO-». 

Es lässt sich hiernach der Satz beweisen: 

y) Jedes Element von P, dessen Grad durch 
theilbar ist, kommt in einer und nur in ein< 
der Gruppen R R!, R", . . ., JJU-« vor. 

Die Gruppen Q, Q', Q", . . . sind, da ihr Grad < 
zahl ist, cykliBch, und je zwei enthalten, weil sie von eins 
verschieden sind, ausser dem Einheitselemente kein gemeinsame! 
Element. Es sei 

Q ~ 1, o, a", . . ., aP-K 

Die Gruppe R, die aus allen der Bedingung 

genügenden Elementen besteht, enthält ausser den Potenzen von 
a kein Element vom Grade p ; und Entsprechendes gilt für die 
anderen Gruppen Q\ R\ Q", R" . . , 

Ist nun b ein Element von P, dessen Grad durch p theilbar 
ist und gleich ps sein mag, so dass s nicht durch p theilbar ist, 
so ist b* ein Element, dessen Grad p ist. und das also in einer 



87. Gruppen vom Grade p a q. 145 

ind nur in einer der cyklischen Gruppen Q, Q*, Q" . . . vor- 
kommt Ist aber b* = a ein Element von Q, so ist 

b" 1 ab = a, 

l h. b kommt in der Gruppe R vor, und kann in keiner der 
anderen Gruppen, z. B. in R, vorkommen, weil sonst b 9 auch in 
^Torkäme, was nicht möglich ist, da Q und Q' nur das Ein- 
heitselement gemein haben. Damit ist y) bewiesen. 

i) In U giebt es genau jr 3 (p — 1) Elemente, deren 
Grad durch p theilbar ist. 

Unter TT haben wir die Gesammtheit der Elemente von P 
verstanden, deren Grad ein Theiler von pv ist. Nun giebt es 
nach ß) in 22 genau r 2 (p — 1) Elemente aus ?7, deren Grad 
durch p theilbar ist, und da jede der j Gruppen jß, R\ R" . . . 
an Stelle von R treten kann, so folgt S) aus y). Um also noch 
xn zeigen, worauf nach dem Obigen alles ankommt, dass in ü 
genau (p — \)v Elemente vorkommen, deren Grad durch p theil- 
bar ist, ist also nur noch die Formel 

s) v = jr t 

m beweisen. Diese ergiebt sich aus folgender Ueberlegung. Nach 
«*) ist die Anzahl der Elemente U gleich pv. Unter diesen Ele- 
menten U ist aber gewiss eines, das Einheitselement, dessen 
Grad nicht durch p theilbar ist, und folglich ist nach S) 

jr 9 (p — 1) <pv. 

Andererseits ist n = \iv = pr^y, und da v relativ prim 
zu pti ist, so ist jr % durch v theilbar. Also ist jr 2 :v eine 
janze positive Zahl, die kleiner als p : p — 1 und folglich auch 
leiner als 2 ist, und die daher nur gleich 1 sein kann. Da- 
urch ist s) bewiesen und zugleich das ganze Theorem. 

§. 37. 
Gruppen vom Grade p«q. 

Frobenius hat in der erwähnten Abhandlung den Satz 
»gesprochen : 

IX. Jede Gruppe vom Grade p a q ist, wenn p und q 
von einander verschiedene Primzahlen sind 
und a einen beliebigen positiven Exponenten 
bedeutet, metacyklisch. 

Weber, Algebra» IL jq 



146 Fünfter Abschnitt g. 37 

Der folgende Beweis dieses Satzes entstammt einer brief- 
lichen Mittheilung von Frobenius an den Verfasser 1 ). 

Zunächst ist klar, dass es genügt, zu beweisen, dass keine 
Gruppe P vom Grade p"q einfach ist. Unser Satz ist nämb'en 
bewiesen für « = 1. Nehmen wir ihn also für jeden Exponenten 
von p, der kleiner ist als «, schon als bewiesen an, und setzen 
voraus, dass P einen echten Norm altheiler Q habe, der mehr 
als das Einheitselement umfasst, so sind die beiden Gruppen 
Q, P/Q nach der Voraussetzung oder nach dem Satze VIL (§.35) 
metacyklisch, und also ist auch P metacyklisch. 

Wir nehmen also jetzt an, es sei die Gruppe P vom Grads 
p"q einfach, und wir haben aus dieser Annahme einen Wider- 
spruch abzuleiten, um ihre Unmöglichkeit nachzuweisen. 

«) Zunächst haben wir nach dem Satze IV, §.33 einen Theiler 
von P vom Grade q. Wir wollen annehmen, es gebe einen 
Theiler von P vom Grade pPq, wobei ^ d.<« vorausgesetzt ist, 
und es sei ß so gross als möglich angenommen. Dann ist wegen 
der vorausgesetzten Einfachheit der Gruppe P der Satz §. 6, 2. 
anwendbar, wonach P isomorph ist mit einer Permutationsgruppe 
von pTf 1 Ziffern. Unter den Permutationen dieser Gruppe giebt 
es auch solche, deren Grad durch q theilbar ist, und die also, 
in ihre Cyklen zerlegt, einen Cyklus von q Ziffern enthalten 
müssen, und daraus folgt: 

(i) ?-' > 2- 

ß) Es sei nun zweitens Q ein Theiler von P vom Grade p 
und Index q. Da nach der Voraussetzung P einfach ist, so kann 
die in §. 34 mit R bezeichnete Gruppe, die aus den mit Q ver- 
tanschbaren Elementen von P besteht, nicht mit P identisch 
sein, da sonst Q ein Normaltheiler von P wäre, was doch, da P 
als einfache Gruppe vorausgesetzt ist, unmöglich ist Da aber Q 
ein Theiler von B ist, und der Index (P, Q) eine Primzahl* 
so muss R = Q sein. Nach V., §. 34 giebt es also q und nicht 
mehr von einander verschiedene conjugirte Gruppen 

Q, f, Q", ■ . ■ #■-*, 

die alle vom Grade p" sind. Unter diesen Gruppen nehmen wir 
zwei, etwa Q y Q\ die einen grössten gemeinschaftlichen Theiler T 



i ; s i u ■ 1 1 

Alf 



'j Seitdem publicirt und verallgemeinert in dem Sitzung! berichte d«r 
Berliner Akademie vom 21. Febr. 1805. 



§.37. Gruppen vom Grade p a q. 147 

Tom Grade p r haben, und wir nehmen diese beiden Gruppen so 
gewählt an, dass y so gross als möglich wird. Es ist danq 
<* 7 < «. Wenden wir nun auf die Gruppe P das Theorem 
§. 7, (5) an, indem wir für die beiden Gruppen Q, R jenes 
Theorems die Gruppe Q setzen, so ist Q = Q, und Q u Q?, . . . 
and die Durchschnitte von Q mit Qf, Qf 1 , . . . ty*-». 

Es ist also (Q, Q ) = 1 und die Indices (& Q& (Q y &), . . . 
sind Potenzen von p, deren Exponent mindestens = a — y ist 
Wir haben daher 

f= (G &) + (G, Qi) + (ft Q*) + • • • =1 (mod j^-o, 



(2) ^ 3>jp a - y , 

und folglich wegen (1): 

(3) r>/J, y>o. 

y) Ist nun also T der Durchschnitt von Q und $' vom 
Grade y, so können wir nach §. 35, VI. einen Theiler R von ^ vom 
Grade p* +1 bestimmen, von dem T ein Normaltheiler ist, und jß 
ist dann in keiner der Gruppen ^, Q", '. . ., (Jfr— *> enthalten, weil 
angenommen war, dass Q mit keiner dieser Gruppen einen Theiler 
gemein hat, dessen Grad grösser als p Y ist. Ebenso können wir 
einen Theiler R' von Q' vom Grade pY + 1 finden, von dem T 
Xormaltheiler ist, und der in keiner der Gruppen Q, Q", . . ., Qfo— x > 
enthalten ist. Nun ist sowohl R als R' in P enthalten. Wir 
betrachten die kleinste Gruppe S, die R und R' zugleich ent- 
hält, die jedenfalls in P enthalten ist (das kleinste gemeinschaft- 
liche Vielfache von R und jß'). Der Grad dieser Gruppe S kann 
nicht eine Potenz von p sein , da sonst nach dem Satze V, §. 34 
8 und mithin R und R' in einer der Gruppen Q, ^, . . ., (*« —1) 
enthalten sein müssten. Es ist aber R nur in Q, R' nur in Q[ 
enthalten; also ist diese Annahme unzulässig. Der Grad von S 
rnuss also von der Form p x q sein. 

Es kann aber k nicht kleiner als a sein; denn es ist, da 
eine Gruppe vom Grade p* +1 in S enthalten ist, nämlich JB, 

W * ^ y + 1 > ß- 

Nach der in a) gemachten Voraussetzung ist aber in P kein 
Theiler vom Grade p* q enthalten, in dem/ k zugleich grösser als 
ß und kleiner als a ist. Nach (4) ist also nothwendig k = a, 
d. h. S ist mit P identisch. 

10* 






146 Fünfter Abschnitt. g. 38. 

Nun ist T ein Normaltheiler von R und B'. Fassen wir 
also alle Elemente c von P, die der Bedingung 

c-> Tc = T 
genügen, zu einer Gruppe zusammen, so enthält diese Gruppe 
sowohl iE als IV, und ist also die ganze Gruppe P. Es ist also 
T auch Normaltheiler von P. Da nach (3) y grösser als Null 
ist, so ist der Grad von T grösser als 1, und wir stossen auf 
einen Widerspruch mit der Annahme, dass P einfach sei '). 



Einfache Gruppen. 

Die Sätze, die wir in den vorhergehenden Paragraphen kennen 
gelernt haben, gestatten ziemlich weitgehende Schlüsse über die 
Natur der Gruppen. Sie zeigen, dass wenigstens bei den niedri- 
geren Gradzahlen die metacyklisehen (und cyklischen) Gruppen 
entschieden überwiegen. Um so höheres Interesse beanspruchen 
die wenigen darunter enthaltenen nicht metacyklisehen und be- 
sonders die einfachen nicht cyklischen Gruppen. 

Es ist bis jetzt nicht gelungen, die Gradzahlen der einfachen 
Gruppen in einem bestimmten Gesetze zusammenzufassen 
man hat sich begnügt, einerseits mit Hülfe der oben entwickelten 
Sätze, andererseits durch besondere Methoden alle einfachen 
Gruppen bis zu gewissen Grenzen der Gradzahlen zu ermitteln. 
Holder hat diese Untersuchungen für die Gradzahlen bis 'JOO 
und Cole für die Gradzahlen bis 500 durchgeführt 1 ). Von ein- 
fachen nicht cyklischen Gruppen halten sich dabei nur die anch 
schon aus anderen Untersuchungen bekannten von den Graden 
60, 168, 360 ergeben. Es ist noch eine einfache Gruppe vom 
Grade 660 bekannt, und ferner haben Cole und Moore noch 
auf eine einfache Gruppe vom Grade 504 aufmerksam ge- 
macht a ). Diese Untersuchungen werden mit dem Wachsen der 
Gradzahlen sehr mühsam. Wir wollen uns hier auf die Betrach- 
tung der Gradzahlen des ersten Hunderts beschränken. 

Hier erweist sich nach den drei allgemeinen Sätzen von 
Sylow und Frobenius die Mehrzahl der Gruppen als meta- 
cyklisch, und es bleiben nur die Gradzahlen 36, 60, 72, 84, 90, 100 



■heu 
und 
Iten 



') In einer neueren Abhandlung (Lionville'sJourn., 5. ner„ Bd. IV, 183*) 

hatC. Jord im liewieri'U. il;i>5 i'? koiue eiiil'u'-lii-i] t i l ■ 1 1 j ■]■<.' r l i:iot>!, dtri'n '■ ■ ■ 
Form p"q' hat. — *) Holder, Mathem. Annaleti, Bd. 40. Cole, American 
Journal, Vol. 14. — J ) Bulletiu of the New York mathem. aoeiety, Oct. 1S93. 




i. 35. Eiufache Gruppen. UQ 

übrig. Dass aber eine Gruppe 36 Bl ™ Grades nicht einfach sein 
kann, ergiebt sich nach dem Sylow'scheu Satze. Denn eine 
solche Gruppe müsste einen Tbeiler !>" n Grades haben und müsste 
lln nub §- 6, 2. durch die Permutationen von vier Ziffern dar- 
stellbar sein. Das ist aber unmöglich, weil es nur 24 l'ermuta- 
tionen von vier Ziffern giebt. Eine Gruppe vom Grade 72 = 8.9 
ranss nach §. 34, V., da 8 nicht = 1 (mod 3) ist, einen Theiler Ii 
n Grade 18 enthalten, und wäre also, wenn sie einfach wäre, 
ebauaÜa durch diu Permutationen von vier Ziffern darstellbar, 
s noch weniger möglich ist. Dass einfache Gruppen von den 
linden s-i und 100 nicht existiren können, ergiebt sich gleich- 
falls sofort aus den Sylow'scheu Sätzen, da, wenn wir die 
linipnen 7'*° oder 25'"" Grades aussondern, kein Tbeiler j von 
H oder 100 übrig bleibt, der nach dem Modul 7 oder 5 mit 1 
»ngnient ist. Dass alle diese Gradzahlen nur metacyklischen 
nippen angehören können, folgt dann nach §. 8, 2. ohne Weiteres 
i Gruppen, deren Grade echte Theiler dieser 
ahlen sind, schon als metacyk lisch, erwiesen sind. 
Es bleibt nur noch die Untersuchung der Zahlen 60 und 90 
Dass eine einfache Gruppe vom 60 ,Ua Grade existirt, 
sen wir schon; nämlich die alternirende Gruppe der Permu- 
itionen von fünf Puchstaben (Bd. I, §. 185). Es ist aber noch 
■glich, ob dies die einzige ist. 

Eine einfache Gruppe P vom Grade 60 enthält nach §. 33, IV. 

k TlK'ilir eine Gruppe 5 len Grades und eine Gruppe 3 ton Grades. 

immt man in dem zweiten Sylow'schen Satze (§. 34) für Q 

«Gruppe ■>"" Grades, so muss 11 vom 10" Q Grade sein, weil 

1 Indes von R congruent mit 1 nach dem Modul b ist, also nur 

= G -ein kann. Also kann die Gruppe P vom 60 ,,en Grade 

2, als transitive Permutationsgruppe von sechs Ziffern 

Htgeatellt werden; sie kann aber keine cyklische Permutation 

1 drei Ziffern enthalten, weil sie als einfache Gruppe 

pttdb IM. I, §, 165, 2.) primitiv sein rnuss, und daher, wenn sie 

gliedrigen Cyklus enthielte, nach Bd. I, §. 160, 10. die 

gHM alternirende Gruppe 3G0"" n Grades enthalten müsste. Wir 






■r'AW alternirende Lrruppc doO" Qn brades enthalten musste. Wir 
kciuin.'ü also eine der Permutationen 3 ,en Grades in der Form 

Snrm^linirli: 
a = (1, 2, 3) (4, 5, 6). 
lierzu wollen wir eine Permutation b" s Grades, b, fügen, 
ur eine cyklische sein kann. Lassen wir darin die Ziffer 6 



ISO Fünfter Abschnitt. g.» 

fehlen, so können wir statt b eine solche Potenz von b nehmen 
(die ja auch in P vorkommen mussj, dass etwa 1,2 die beiden 
ersten Ziffern werden, und dann bleiben noch sechs Möglich- 
keiten für b übrig: 

(1, 2, 3, 4, 5), fl, 2, 4, 3, 5), (1, 2, 4, 5, 3), 
(1, 2, 3, 5, i), (1, 2, 5, 3, 4), (1, 2, 5, 4, 3); 
von diesen sechs Annahmen sind aber wieder die drei in einer 
Reihe stehenden nicht wesentlich (d. h. nur durch die Bezeich- 
nung) verschieden. Denn ersetzt man z. B. bei der zweiten 
Annahme b = (1, 2, 4, 3, 5) das Element a durch a s und i 
durch b'\ so erhält man 

(1, 3, 2) (4, 6, 5); (1, 3, 2, 5, 4), 
was durch Vertauschung der Ziffern 2 mit 3 und 4 mit £ 
erste Annahme übergeht. Die dritte Annahme b = (1, 2, 4 t 5. 
geht, wenn man b durch b* und « durch o 1 ersetzt und i 
1 mit 2 und 4 mit 5 vertauscht, in die erste über, und ehe 
lassen sich die drei anderen Annahmen über b auf einand 
zurückfuhren. Es bleiben also nur zwei Möglichkeiten zu i 
suchen : 

o = (I, 2, 3) (4, 5, 6), b = (1, 2, 3, 4, 5) 
a = (1, 2, S) (4, 5, 6), b = (1, 2, 3, 5, 4). 
Davon ist aber die erste zu verwerfen, weil sie in 
s»i = (l, 4, 6) 
einen dreigliedrigen Cyklus ergeben würde, der nicht vorkotoi 
kann. Es bleibt also nur die einzige Möglichkeit: 

« = (1, 2, 3) (4, 5, 6), b = (1, 2, 3, 5, i), 
und es giebt also, wenn man isomorphe Gruppen als nicht v 
schieden betrachtet, nur eine einfache Gruppe 60"™ Grades 
Diese beiden Elemente a, b kann man als erzeugende l 
mente der ganzen Gruppe betrachten, und man kann durch il 
wiederholte Zusammensetzung auf sehr mannigfaltige Art die 
ganze Gruppe vom 60 ,ten Grade herleiten. Wir bekommen ausser 
dem Einheitselemente die Permutationen 5"" Grades: 
(2, 3, 6, 5, 4), (1, 3, 5, 6, 4), (1, 2, 5, 4, 6), 
(1, 2, 6, 3, 5), (1, 2, 4, 6, 3), (1, 2, 3, 5, 4), 
die mit ihren Potenzen 24 ergeben; ferner die Permutatioiien 
3 1 ™ Grades: 



38. 



Einfache Gruppen« 



151 



•TT J 

ff 



(1, 2, 3) (4, 5, 6), 
(1, 2, 4) (3, 6, 5), 
(1, 2, 5) (3, 6, 4), 
(1, 2, 6) (3, 4, 5), 
(1, 3, 4) (2, 6, 5), 



(1, 3, 5) (2, 4, 6), 
(1, 3, 6) (2, 4, 5), 
(1, 4, 5) (2, 3, 6), 
(1, 4, 6) (2, 3, 5), 
(1, 5, 6) (2, 3, 4), 



(1, 3) (4, 5), 
(1. 4) (2, 5), 
(1, 5) (2, 3), 
(1, 6) (2, 4), 



(2, 6) (4, 5), 
(2, 5) (3, 6), 
(2, 3) (4, 6), 
(2, 4) (3, 5), 



die mit ihren Quadraten zusammen 20 ergeben. Endlich erhält 
man noch 15 Permutationen 2 tan Grades: 

(1, 2) (3, 4), (1, 2) (5, 6), (3, 4) (5, 6), 

(1, 3) (2, 6), 
(1, *) (3, 6), 
(1, 5) (4, 6), 
(1, 6) (3, 5), 
tob denen je drei in einer Reihe stehende mit dem Einheits- 
elemente zusammen eine Gruppe 4 tan Grades bilden. 

Diese Gruppe 60* ton Grades ist in der alternirenden Permu- 
tationsgruppe Ton sechs Ziffern enthalten, und man findet sie auch 
ab Durchschnitt der im §. 190 des ersten Bandes betrachteten 
Gruppe 120 atan Grades mit der alternirenden Gruppe. Dass sie 
auch dargestellt werden kann durch die Permutationen von fünf 
Ziffern, ergiebt sich nun schon daraus, dass eine einfache Permu- 
tationsgruppe 60 >tan Grades bei fünf Ziffern wirklich existirt, näm- 
lich die alternirende Gruppe. 

Man kann aber auch die Thateache dadurch verificiren, dass 
man einen Theiler 12 ten Grades von P nachweist (§. 6, 2.). Man 
erhält diesen Theiler 12 *" Grades z. B. daraus, dass die Gruppe 
4*° Grades: 

Q = 1, (1, 2) (3, 4), (1,2) (5, 6), (3, 4) (5, 6) 

mit den Permutationen Z im Grades: 

c = (1, 3, 5) (2, 4, 6) 
vertauschbar ist, d. b. der Bedingung e~ 1 Qe= Q genügt, und 
erhält also dann eine Gruppe 12 ten Grades: 

& Qe, QcK 
Die einfache Gruppe 60***° Grades wird auch dielkosaeder- 
gruppe genannt aus einem Grunde, den wir später kennen 
lernen werden. 

Dieselbe Betrachtung zeigt auch, dass eine einfache Gruppe 
90 • Un Grades nicht existirt. Denn diese Gruppe müsste ein Ele- 
ment 5 1 ™ und ein Element %*** Grades enthalten. Da 90 = 5. 18 
ist und 18 keinen anderen Theiler als 6 hat, der nach dem Modul 5 






15*2 Fünfter Abschnitt. g. R 

mit 1 congruent ist, so muss, wenn wir für Q ein? Gruppe 
5 ,l!n Grades wählen, R vom Index 6 sein und die Gruppe P wäre 
also als transitive Permutationsgruppe von sechs Ziffern ilar- 
stellbar. Ganz wie oben schliesst man, dass sie die beiden Ele- 
mente o, b enthalten müsste, was, wie wir gesehen haben, zur 
Ikosaedergruppe führt, die nicht Theiler einer Gruppe 90*"" 1 Oratio 
sein kann. 

§. » 

Gruppen vom Grade pq. 

Es ist nun noch von Interesse, zu untersuchen, wie bei einer 
gegebenen Gradzabl die Gruppen constituirt sind. Dafür sind 
die Sätze, die in den vorangegangenen Paragraphen abgeleitet 
sind, die Grundlagen. Freilich sind wir bis jetzt nur bei d«n 
einfacheren Gradzahlen im Stande, die vorhandenen Gruppen 
vollständig zu übersehen. Am weitesten geht hierin eine Arbeit 
von Holder 1 ). Wir betrachten hier nur den einfachen F»13, 
dass der Grad pq das Product zweier Primzahlen ist, die auch 
einander gleich sein können. 

Eine solche Gruppe P ist metacyklisch und hat ein® ' 
Normaltheiler Q vom Grade p t der also eine cyklische Gruppe 
ist-, die wir so darstellen: 

(1) Q = 1, a, a*, . . . a»- 1 (o* = 1). 

Ist nun b ein nicht in Q enthaltenes Element von P, so ist I 
6- 1 Qb = Q. 

Wenn b h die niedrigste Potenz von b ist, die in Q vorkommt, 
so ist Q -f- Qb -)- ■ ■ ■ -J- Qb 11 - 1 eine Gruppe, die mit P identisch 
sein muss, und folglich muss k = q sein. Wir können also? 
so darstellen: 

(2) P = Q + Qb + Qb* + • ■ ■ + Qh"-K 

Ist nun g eine primitive Wurzel der Primzahl p und v ein 
vorläufig noch unbestimmter Exponent, der mich dem Modul 
^i — 1 zu nehmen ist, so folgt, da b _1 ab in Q enthalten ist, 

(3) &-■«£ = a>\ 

') Holder, Die Gruppen der Ordnungen y 3 , pq*, pqr, p*. Mathem»- 
tische Annaten, Bä. 43. Miller, The non-regular transitive Substitution 
groupi whose Order is the product of three nneqnal prime nnmberi, 
Züricher Vierteljahrs sc hrift 1897. 



39. Gruppen vom Grade pq. 153 

oraus sich für jeden Exponenten a ergiebt: 
4) tr l a a b = a a '\ 

ind durch wiederholte Zusammensetzung mit b: 
}) b-?a"b? = a«?K 

Nun ist jedenfalls &*« = 1, und wenn wir also in (5) ß=pq 
setzen, so folgt, dass für jedes a 

a"9 vpq = a«, 
also g f p* = 1 (mod p) oder 

(6) vpq = (mod p — 1) 

sein mu8S. Hieraus schliesst man weiter, dass, wenn p — 1 nicht 
durch q theilbar ist, was immer eintritt, wenn p = q ist, v durch 
p — 1 theilbar, also nach (3) 

ab = ba, 
and in Folge dessen auch für jedes a, ß, «', ß': 

a a ¥ = b?a a , a a ¥ a a ' W = a a ' W a" &*, 

d. h. dass die Gruppe eine Abel' sehe sein muss. Diesen Fall 
haben wir aber schon im zweiten Abschnitte dieses Bandes unter- 
sucht und gefunden, dass es, wenn p = q ist, zwei Gruppen (mit 
den beiden Invarianten p y p oder mit einer Invariante jp a ), und 
wenn p von q verschieden ist, eine Gruppe (mit den beiden 
Invarianten p, q) giebt. 

Es bleibt uns also noch der Fall 

p = 1 (mod q) 

zu untersuchen, in dem v jeden der Bedingung 



v = ('mod 2 -\ 



genügenden Werth haben kann, deren es q nach dem Modul 
p— 1 verschiedene giebt, nämlich: 

(7) v==0 , £=i f 2^-^-i, ...(g- 1 )^- 1 ). 

q q q 

Der Fall v = führt auch hier auf eine Abel'sche Gruppe. 
Is sind aber auch die anderen Werthe von v zulässig, die zu 
benso vielen nicht commutativen Gruppen führen. Diese nicht 
ommutativen Gruppen sind unter einander isomorph und werden 
uf einander zurückgeführt, wenn man b durch ein &* ersetzt, 
ie die Formel (5) zeigt. 






154 Fünfter Abschnitt. 

Wir können V = 1 annehmen, denn es ist gewiss V in (t 
enthalten, und b vq =s 1. Wenn also 6* nicht = 1 ist, so ersetzen i 
wir b durch h p . 

Man erhält eine der nicht commutativen Gruppei 
man in 

(8) = a"b* 

a die Reihe der Zahlen 0, 1, ,,.p — 1 und ß die Zahlen 
0, I, ... q — 1 durchlaufen liisst. Die Zusammensetzung zweier 
Elemente dieser Gruppe ergieht sich nach (5) aus 
(0) Wa" = a a i~ ,? h\ aP = 1, 6« = 1, 

wodurch man jedes Compositum aus Elementen auf die Forn 
zurückführen kann. 

Um zu zeigen, dass die Elemente (8) nach den Compositions- 
regeln (S>) wirklich eine Gruppe bilden, hat man die Eigenschaft 
der Gruppe, nämlich, dass aus &' = 0" und aus 0' = 
folgt, dass, 0' = 0" ist, und ferner das associative Gesetz 

0(0' &") = (&&')&' 
nachzuweisen. Beides aber ergiebt sich sehr leicht aus 
Znsammensetzung, die aus (9) folgt: 
(10J W^a^bf = B***r"' &*+!*. 

Das einfacliste Beispiel einer solchen Gruppe ist die in j 
gebildete Gruppe sechsten Grades. 

§. 40. 

Grenzen des Index eines Theilers der symmetrischen 

Permutationsgruppe. 

Wir beschlossen diese Betrachtungen mit dem Beweise eines 
Satzes über Perm Uta tionsgru ppen , der durch die Schwierigkeit, 
die sein Beweis anfangs bot, eine gewisse Berühmtheit erlangt 
hat, und der für die Beurtheilung algebraischer Frageu von 
Wichtigkeit ist')- 



') Bertrand, Journal de Matüematiqueü, Tome XV (1845). Serret, 
Algebra super., Section IV, Chapitre III. C. Jordan, Tratte* des sub- 
StitutionB, p. 67. Netto. Subatitutionentheorie, Capitel VI. Crelle's Juuru , 



40. Grenzen des Index von Permutationsgruppen. 155 

Es handelt sich dabei um die symmetrische Permutations- 
uppe P von n Ziffern und um ihre Theiler von möglichst 
einem Index. Wir wissen, dass die Gruppe P immer einen 
leiler vom Index 2 hat, nämlich die alternirende Gruppe, 
asserdem ist noch ein Theiler vom Index n bekannt, der alle 
armutationen von P umfasst, die eine Ziffer ungeändert lassen, 
sr also intransitiv ist. 

Zunächst gilt der folgende Satz: 

L Der Index eines imprimitiven Theilers von P ist 
immer grösser als n, und der Index eines in- 
transitiven Theilers ist gleich oder grösser 
als n, und nur dann gleich n, wenn der Theiler 
eine Ziffer in Buhe lässt, und die übrigen 
n — 1 Ziffern auf alle mögliche Arten permutirt. 

Nehmen wir an, es sei Q ein imprimitiver Theiler von P 
om Index j', und es bestehen r Systeme der Imprimitivität von 
e s Ziffern, so dass n = r$ ist Eine Zahl, die der Grad der 
'nippe Q sicher nicht übersteigen kann, erhalten wir, wenn wir 
lle Permutationen in jedem einzelnen der r Systeme und dann 
och sämmtliche Permutationen der Systeme abzählen. Der Grad 
on Q ist also kleiner oder gleich dem Producte [n(s)] r Tl{r\ 
enn für jede ganze Zahl n 

ü(n) = 1.2.3 .. .n 
t, und folglich ist 

> J ^[n(s)fn(r)' 

Es ist leicht einzusehen, dass diese Zahl, wenn keiner der 
ctoren r, s gleich 1 ist, grösser als n ist. Dies ergiebt sich, 
nn wir den Quotienten so schreiben: 

J7(n) _ (r -f- 1) (r + 2) . . . n _ 
[71 ($)f n(r) — (2 . 3 . . . s) r — 

n /r+1 r+2 2r— l\/2r 2r+l 3r— 1\ 

__ . i ——— • • . . . 1 I ■ ■ • • • • — — — — — 1 . • . 

2\2 2 2/\3 3 3 / 

/ (s — \)r (s — l)r+l n— 1 \ 
\ s s s / 

an hiernach ist 



nfter Abnehmt 



Die Facto ren 
grösser als 1, denn es ist 



*■+! 2r (s- 



3 ' 



sind alle gleich oder I 



also niemals negativ, und der erste Factor 



m- 



ist grösser als 2 , wenn r > 2 ist. Ist aber r = 2 , 
Product der beiden Factoren: 

/2rV 3 / 



m-*(¥M(fy=i 



>2, 



(3) 



und folglich ist unter allen Umstanden j > ». 

Ist zweitens die Gruppe Q intransitiv, und zerfällt das 
System der n Ziffern in zwei Systeme von je a und fe Ziffern, so 
dass die Ziffern eines jeden dieser beiden Systeme durch Q nur untö 
einander vertauscht werden, und n = o ~\- b ist, so sind all« 
Permutationen von Q in der Gruppe enthalten, die aus 
Permutationen der a und der b Ziffern besteht, d. h. der Grad 
von Q ist gleich oder kleiner als Tl(a)Il(b), und folglich dar 
Index j von Q 

. n(n) _ n « — J b + 1 

} > Il(a) 71(6) — 1 2 '" a 

Nehmen wir, was freisteht, an, dass b ^ a sei, so ist der 
Ausdruck auf der rechten Seite dieser Ungleichung gross« 
als », und nur dann gleich n, wenn b = n — 1, a = 1 ist U 
diesem speciellen Falle kann j = » werden , aber nur 
wenn die » — 1 Elemente durch @ auf alle mögliche 
permutirt werden, was in dem Satze L ausgesprochen ist. 

Die Ausdrücke (3) für die untere Grenze von j sind 
Anderes, als die Binoniiitlcoefficienten 7?!, n) , deren Bildung 
zeigt, dass sie bis zur Mitte hin, d. h. so lange 2a ^ n 
wachsende Zahlenreihe bilden. 

Wir wollen für den weiteren Gebrauch hieraus den Schli 
ziehen : 

a) Ist a = 1, lässt also die Gruppe Q eine Ziffer 
ungeändert, so ist ihr Grad ein Theüer 
77(» — l), ist aber o> 1, so ist der Grad von Q 



§. 40. Grenzen des Index von Permutationsgruppen. 157 

Der Satz, den wir ferner noch beweisen wollen, lautet nun: 

II. Ausser der alternirenden Gruppe giebt es keinen 
transitiven und primitiven Theiler Q von P, 
dessen Index ^ n ist, ausgenommen in den 
beiden Fällen n = 4, n = 6. 

Beim Beweise machen wir Gebrauch von den Sätzen (§. 160, 
10., IL des ersten Bandes), dass ein transitiver und primitiver 
Theiler von P, der nicht die ganze alternirende Gruppe enthält, 
und daher nicht mit der alternirenden oder der symmetrischen 
Gruppe selbst identisch ist, keine Transposition und keine 
cyklische Permutation von nur drei Ziffern enthalten kann. 

Es sei also P die symmetrische Permutationsgruppe der 
* Ziffern 0, 1, 2 . . . n — 1 und Q ein primitiver und transitiver 
Theiler von P vom Index j, der nicht die alternirende Gruppe 
enthalt Es sei ferner P in die Nebengruppen zerlegt: 

(4) P = Q + Q* + Qx, H h QxjLl 

Wir betrachten das System der Transpositionen: 

(5) (0, 1), (0,2),...(0,n-l), 

deren keine in Q vorkommen kann. Ist nun j < n, so müssen 
wenigstens zwei dieser Permutationen, etwa (0, 1), (0, 2), in der- 
selben Nebengruppe, etwa in Qn u vorkommen, und folglich giebt 
es zwei Permutationen Xj, x, in Q, die der Bedingung 

*!*! = ((>, 1), x,^ =(0,2) 

genügen. Es ist daher 

x l3 r l aq-ixj* = x^* = (0, 1) (0, 2) = (0, 1, 2) 

in Q enthalten. Dies aber widerspricht unserer Voraussetzung, 
dass Q keinen dreigliedrigen Gyklus enthalten soll. Demnach 
kann j nicht < n sein. Ist aber j = n, also der Grad von Q 
gleich 77 (n — 1), so müssen die n — 1 Permutationen (5) in n — 1 
verschiedenen Nebengruppen vorkommen, und P lässt sich so 
darstellen : 

(6) 2» = Q + 0(0,1) + 0(0,2) -\ (- Q(0,n- 1). 

Betrachten wir irgend eine andere Transposition, z. B. (2, 3), 
so kann diese nicht in Q und nicht in 0(0, 2) oder in $(0,3) 
vorkommen, weil sonst (2, 3) (0, 2) = (0, 2, 3) oder (2, 3) (0, 3) 
= (0, 3, 2) in Q vorkäme. Wir können also, ohne die Allgemein- 




158 Fünfter Abschnitt 

heit zu beeinträchtigen, annehmen, dass (2, 3) in (3(0, 1) vor- 
kommt, und daraus ergiebt sich: 

ß) Die Gruppe Q enthält das Trauspositionspaat I 
(7) (0, 1) (2, 3). 

Die Gruppe Q hat einen Theiler Q„, der aus allen den Per- I 
mutationen besteht, die die Ziffer au ihrer Stelle lassen. D» 
Q transitiv ist, so ist, wenn x,,«,,.. ., «■_ i Elemente aus ß 
sind, die in 1, in 2, . . ., in n — 1 überführen, 

(8) e=e.+ «.«. + • ■•+«.«.-.. 

und da Q vom Grade 77 (n — 1) ist, so folgt hieraus, dass (,'. 
vom Grade 

ist. Da g eine ganze Zahl, also 77 (» — 1) durch n theilbar sein 
muss, so schliessen wir zunächst, dass der Fall j = n niemal» 
eintreten kann, wenn » eine Primzahl ist, und für diesen Fall 
ist also unser Theorem II. bewiesen. 

Im Allgemeinen können wir aber schliessen: 

y) Ist n nicht = 4, so sind dien — 1 Ziffern l,2,...,n— 1 

durch Q noch transitiv verbunden. 
Wäre nämlich Q Q in diesen « — 1 Zifl'ern intransitiv, so 
müssta nach a) 

entweder 77 (« — 2) theilbar durch g, 
oder 77 (n — 3) 71(2) ;> g 
sein; also nach (9): 

entweder y eine ganze Zahl, also n ^ 2 (« — 1) 

oder »' — hn -j- 2 ^ 0. 
Das eine ist unmöglich, wenn n > 2 ist, das andere, wenn 
n > 4 ist. 

Wir sehen von dem Falle n = 4 ab und betrachten jetzt 
den Theiler Q^ von Q, der die beiden Ziffern 0, 1 ungeändert 

lässt. 

Da Q 0i als Permutationsgruppe der n — 1 Zifl'ern betrachtet 
transitiv ist, so ist, wie man durch Anwendung der Zerlegung (f>) 
auf <2o schliesst, der Grad g r von <^ ,i gleich g : n — 1, also 

m gc.-n gft.-a). 



§. 40. Grenzen des Index von Permutationsgrnppen. 159 

Daraus schliessen wir ähnlich wie oben: 

8) Ist n nicht = 6, so sind die n — 2 Ziffern 2, 3, ..., n — 1 

durch () ,i transitiv verbunden. 
Denn wären sie es nicht, so müsste nach a): 

entweder 77 (n — 3) theilbar durch g u 
oder 77 (n — 4) 77(2) "55 g x 
sein; also nach (10): 

entweder — eine ganze Zahl, also n ^> 2 n — 4, 

oder n a — 7n -f- 6 <f 0. 

Das Erste ist nicht möglich, wenn n > 4, das Zweite, wenn 
n > 6 ist 

Ist nun n > 6, so gilt noch Folgendes: 

*) Die Gruppe #0,1,21 die die drei Ziffern 0, 1, 2 un- 
geändert lässt, hat den Grad 

* — w — 2 — n 
und es ist nicht möglich, dass durch die ganze 
Gruppe Öo,i,2 noch eine vierte Ziffer 3 unge- 
ändert bleibt 

Der Grad g t ergiebt sich genau wie der von Q und Q 0il . 

Wenn aber durch $0,1,2 noch eine vierte Ziffer 3 ungeändert 

bliebe, so wäre g 2 ein Theiler des Grades der symmetrischen 

Gruppe von n — 4 Ziffern, also ein Theiler von 77 (n — 4). Es 

müsste also 

n77(n — 4) n 

77 (n — 3) "" n~^ 3 
eine ganze Zahl sein, also n^2n — 6 oder n ^ 6. 

Aus s) schliessen wir, dass es in Q eine Permutation x 
giebt, durch die 0, 1, 2, 3 in 0, 1, 2, 4 übergeht, worin 4 eine 
Yon 3 verschiedene Ziffer ist. Nach ß) enthält also Q auch die 

Permutation : 

%-*(0, 1)(2, 3)x = (0, 1)(2,4), 
folglich auch: 

(0, 1) (2, 3) (0, 1) (2, 4) = (2, 3, 4), 

also einen dreigliedrigen Cyklus, was der Voraussetzung wider- 
spricht Hiernach ist das Theorem IL vollständig bewiesen. 

Dass die Fälle n = 4 und n = 6 wirklich Ausnahmen bilden, 
geht aus Bd. I, §. 167 und §. 190 hervor, wo wir gesehen haben, 



1 



160 Fünfter Abschnitt. §. 4a 

dass die symmetrische Permutationsgruppe von vier 
Ziffern einen transitiven Theiler vom Index 3, und 
die von sechs Ziffern einen transitiven Theiler vom 
Index 6 besitzt 1 ). 



l ) Es giebt noch weitere ähnliche Sätze über die möglichen Gradzahlen 
transitiver Permutationsgruppen , auf die wir hier nicht eingehen können. 
Hierzu vergleiche man besonders die Arbeiten von A. Bochert, Mathe- 
matische Annalen, Bd. 33 (1889), 40 (1892), 49 (1897); ferner das Werk von 
Burnside, Theory of groups of finite order (Cambridge 1897). 



ZWEITES BUCH. 



LINEARE GRUPPEN. 



Weber, Algebra. IL || 



Sechster Abschnitt 
Gruppen linearer Substitutionen. 



§. 4L 
Lineare Substitutionen und ihre Zusammensetzung. 

Eines der wirksamsten Mittel zur Bildung von Gruppen, auf 
welches zugleich viele Anwendungen führen, sind die linearen 
Substitutionen und ihre Zusammensetzung. Wir sind schon 
mehrfach solchen linearen Substitutionen begegnet und haben sie 
z. B. im zweiten Abschnitte des ersten Bandes bei Gelegenheit 
des Multiplicationsgesetzes der Determinanten, und sodann im 
fünften und im elften Abschnitte betrachtet 

Unter einer linearen Substitution von n Variablen ver- 
stehen wir ein System von Gleichungen, durch das ein System 
von n Veränderlichen y x , y a , . . . y n linear durch ein anderes 
System x Y , x 2 , . • . x n ausgedrückt wird. Wir unterscheiden nach 
der Anzahl der Variablen unäre, binäre, ternäre, quater- 
näre Substitutionen, und wollen im Allgemeinen die Zahl der 
Variablen die Dimension der Substitution nennen. Wir be- 
schränken uns fürs erste auf homogene Substitutionen, so 
dass, wenn mit a? } die Coefficienten bezeichnet werden, die Sub- 
stitution durch das Gleichungssystem 

(1) y h =iaS c) x i * = 1, 2, ...n 

i,» 

dargestellt ist Oft kommt es auf die Variablen selbst nicht an, 
so dass eine solche Substitution durch ihre Coefficienten a» x) hin- 
länglich gekennzeichnet ist. 

Man bezeichnet die Substitution also durch eine quadra- 
tische Matrix, für die man auch einen einzelnen Buchstaben, 
etwa A, braucht, und setzt dann 

n* 



164 



Sechster Abschnitt 



S.4L 



r /T a) , a (1) n W 



(2) 






o? 



„(») „00 „(") 



Wir werden auch abkürzend A = (a? } ) setzen und die Deter- 
minante der Substitutionscoefficienten mit \A\ bezeichnen. Das 
Gleichungssystem (1) .stellen wir auch symbolisch so dar: 

(3) (y x , y 2 , . . . y n ) = A (#„ x 2 , . . . £ n ), 

oder noch kürzer: 

(4) (y) = ^i (s). 
Die Substitution 

(5) y x =x u y % = a^, . . . y n = x n 

oder 

/ 1, 0, . . . 

0, 1, ... 



(6) 



J = 



\ 0, 0, ... 1 

heisst die identische Substitution. Eine Substitution der 
Form 



(?) 
oder 



(8) 



Vi — f*i#i» y* — f*2^ 



Vn — HnX n 



M = 



ih, o, ... 
0, ft,, . . . o 



0, 0, . . . ft, 

soll eine multiplicative Substitution oder kurz eine Multi- 
plication und die Elemente fii, ft^ - -• Pn die Multiplicatoren 
genannt werden, ein Ausdruck, der sich durch die Gleichungen (7) 
rechtfertigt. Eine solche Multiplication bezeichnen wir bisweilen 
auch abgekürzt durch 

(9) M = (f*!, ft 2 , . . . (i n ). 

Nehmen wir eine zweite lineare Substitution der Dirnen* 
sion n an, durch die ein neues System von Variablen * ein- 
geführt wird: 

(10) Mi=$t£ 9k , (*) = Bü), 

l,n 

und führen für y die Werthe aus (1) ein, so erhalten wir die t 
durch die x ausgedrückt mittelst einer neuen linearen Sab* 
stitution Ej die wir so bezeichnen können: 



$41« Lineare Substitutionen. 165 

(U) z = E(x) = BA{x), 

und die Substitution E = BA heisst aus B und A zusammen- 
gesetzt oder componirt Es ist dabei aber zwischen AB und 
1A zu unterscheiden. Zwei Substitutionen A, B von der be- 
»nderen Eigenschaft, dass AB = BA ist, heissen mit einander 
?rtauschbar oder commutativ. Die Substitutionscoefficienten 
u E ergeben sich durch Einsetzen der Ausdrücke (1) in (9): 

** = 2 ePx h , 
2) # = £#>£# 

1,» 

Diese Formeln sind ganz dieselben, die wir im §. 30 des 
»ten Bandes benutzt haben 1 ), und wir können demnach das 
(12) ausgedrückte Gesetz der Gomposition der Substitutionen 
aussprechen : 

1. Um die aus zwei Substitutionen 22, A zusammen- 
gesetzte Substitution BA zu bilden, verfährt man 
ganz so, als ob die beiden Determinanten |2?|, \A\ 
nach der Multiplicationsregel mit einander 
multiplicirt werden sollten. Es sind dabei, um 
die Elemente einer Zeile zu bilden, die Ele- 
mente einer Zeile der ersten Componente mit 
den entsprechenden Elementen der Colonnen 
der zweiten Componente zu multipliciren und 
dann zu addiren. Man drückt dies auch kurz 
so aus, dass in der ersten Componente nach 
Zeilen, in der zweiten nach Colonnen summirt 
wird. 

Aus dieser Regel ergiebt sich die Folgerung: 

2. Die Determinante einer zusammengesetzten Sub- 
stitution ist gleich dem Producte aus den Deter- 
minanten der Componenten. 

Um drei Substitutionen derselben Dimension, C, B, A, zu- 
mmenzusetzen, muss man die Ausdrücke (11) für z in eine 
ue lineare Substitution 

i) («) = C(z) 



*) Nur war dort aus einem leicht ersichtlichen Grunde die Bezeich- 

* * 

ng etwas anders. 



166 Sechster Abschnitt. §.41. 

einführen, und die Variablen m durch die x ausdrücken: 
(U) («) = OBA (z). 

Da es offenbar gleichgültig ist, ob man die Ausdrücke (11) 
in (13) einführt, oder ob man zuerst z nach (10) durch y und 
dann y nach (4) durch x ausdrückt, so gilt für diese Compositinn 
das associative Gesetz: 
(15) C(BÄ) = (CB)A = CBA, 

was sich auch leicht durch Rechnung bestätigen lässt, wenn man 
nach (12) die Elemente von C(BA) und (CB)A bildet. Man 
findet für beide den Ausdruck: 

Wir sprechen also den Satz aus: 

3. Bei der Zusammensetzung der linearen Sub- 
stitutionen gilt das associative, aber nicht immer 
das commutative Gesetz. 
Statt von der Zusammensetzung der Substitutionen können 
wir auch von der Zusammensetzung der Matrices reden , für die 
dieselben Gesetze gelten. 

Eine Multiplication , bei der alle Multiplicatoren einander 
gleich sind, also 



(16) 



N = 



, 0. 



0, l 



. . 



0, 0, . 



soll eine Aehnliclikeitssubstitution genannt werden, nni 
zwei Substitutionen, die, wie A und AN oder A und NA, durch 
Zusammensetzung mit einer Aehnlicbkeitssuhstitution aus ein- 
ander abgeleitet werden können, heissen ähnliche Sub- 
stitutionen. Wir setzen abkürzend 
(17) N = [v] 

und bezeichnen die zusammengesetzte Substitution NA auch mit 
vA oder Av. 

Aus dem Gesetze der Composition ergeben sich sofort die 
Sätze : 

4. Eine Aehnlichkeitssubstitution ist mit jeder 
Substitution A derselben Dimension vertauschbar; 
zwei Aehnlichkeitssubstitutionen, mit einander 
componirt, geben wieder eine Aehnliclikeits* 



§. 41. Inverse Substitutionen. 167 

Substitution, und zwei mit einer dritten ähn- 
liche Substitutionen sind auch unter einander 
ähnlich. 

Ebenso leicht erhalten wir: 

5. Durch Zusammensetzung mit der identischen 
Substitution J wird keine Substitution ge- 
ändert. 

Die Substitution J wird also bei der Gomposition als Ein- 
heit betrachtet, und kann, wo sie mit anderen Substitutionen 
componirt auftritt, weggelassen werden. 

Alles bisher über die Substitutionen Gesagte bleibt auch 
dann noch richtig, wenn die Determinante der Matrix A (oder 
B, C, . . .) verschwindet Wenn dies der Fall ist, so drücken 
die Gleichungen (1) eine Abhängigkeit der Variablen y u ... y n aus. 
Solche Substitutionen (1) können wir uneigentliche nennen. 

Verstehen wir jetzt unter Substitution eine eigentliche, so 
haben wir den Satz: 

1 6. Zu jeder Substitution A giebt es eine und nur 
eine inverse Substitution A"\ die der Bedingung 

(18) AA7 X = AT X A = J 
genügt. 

Dieser Satz ergiebt sich aus den Grundformeln der Deter- 
minantentheorie, wenn man die Elemente a^ von AT 1 aus den 
linearen Gleichungen 

= 1, h = Je 

bestimmt, aus denen sich, wenn wir mit AW die Unterdeter- 
minanten von \A\ bezeichnen, 

(19) \A\ «£> = 4*> 
ergiebt, und die das andere System 

= 1, h = k 

sur Folge haben. Die inverse Substitution zu A ist nichts 
Anderes, als die Auflösung des Gleichungssystems (1) der directen 
Substitution A, so dass aus (y) = A(x) folgt: 

(20) (x) = A- 1 (y). 



16$ Sechster Abichnitt. 

7. Die Determinante der inversen Substitution Ä~' 
ist gleich dem reciproken Werth der Determinante 
von A. 

Für die Composition der inversen Substitutionen ergiebt sich 
aus ABB~ 1 A~ 1 = J der Satz: 

(21) (ÄBr 1 r=S~ 1 Ä-\ 

Sind A, B, C drei Substitutionen, so ergiebt sieb durch 
Zusammensetzung mit A" 1 aus jeder der beiden Gleichungen 

AB = AC, BA = CA t 
dass B = C sein muss. Demnach sind für die Zusammensetzung 
der Substitutionen die charakteristischen Merkmale für eine 
Gruppe vorhanden, und es ist also der Inbegriff aller Substitutionen 
von bestimmter Dimension eine (unendliche) Gruppe (§. 1). 
Wenn wir aus dieser Gesammtheit irgend eine Menge heraus- 
heben, die zu jedem ihrer Elemente das entgegengesetzte enthält, 
und die so in sich abgeschlossen ist, dass irgend zwei ihrer 
Elemente durch Composition ein Element derselben Menge er- 
geben, so bildet diese Menge gleichfalls eine Gruppe, die end- 
lich oder unendlich sein kann. 

Bedeutet L eine feste Substitution, so kann man aus jeder 
Matrix A von derselben Dimension eine Matrix 

(22) A'=L~ i AL 

ableiten, die die Transformirte von A durch L heisst. 
Setzen wir 

(23) («) = i(4 G/) = £(rt, 

so folgt aus (4): 

(24) (W— •*« 

so dass der Uebergang zu der transformirten Substitution gleich- 
bedeutend ist mit der gleichzeitigen Transformation beider Reihe» 
von Veränderlichen durch L~'. 
Ist 

A' = IT' AL, B' = IT 1 BL, 
so folgt aus den Gesetzen der Composition: 

(25) A'B' = L-'ABL. 
Aus dem Multiplicationssatze der Determinanten folgt i 

2. und 7., dass zwei Matrices, die aus einander durch Trs 
formation entstehen, dieselbe Determinante haben. Die Deter- 
minanten der Matrices A, B können hier auch gleich Null i 






HOB» 






41. Contragrediente Substitutionen. 169 

ie transformirende Substitution L aber muss eine eigentliche 
sin, die Determinante \L\ also von Null verschieden. 

Aus (25) ergiebt sich noch der Satz: 

8. Durchläuft A die Substitutionen einer Gruppe, 
so durchläuft bei feststehendem L die Trans- 
formirte L~ 1 AL die Substitutionen einer iso- 
morphen Gruppe. 

Zwei Reiben von Variablen 

•^li ^Jj • • • &n 

y^ y*> • • • t/n 

die durch dieselbe Substitution (23) in zwei Reihen von Variablen 

Vit y% > • • • y» 

transformirt werden, heissen congredient, und die Formeln (23) 
8tellenal8o zwei mit einander congrediente Substitutionen dar. 

Von den inversen Substitutionen sind wohl zu unterscheiden 
die transponirten Substitutionen. 

Man erhält nämlich aus jeder Substitution A eine bestimmte 
andere, die die transponirte Substitution zu A heisst, und die 
*ir für den Augenblick mit A 1 bezeichnen wollen, wenn man in 
i die Zeilen zu Colonnen macht, und umgekehrt, wenn man 
also in (2) die oberen mit den unteren Indices der a vertauscht 

* 

Wenn man in der Summe (12), 2 bWa®, die unteren mit 
den oberen Indices und gleichzeitig a mit b vertauscht, so erhält 
man einen Ausdruck, der nach (12) gleich et™ ist. 

Diese Bemerkung giebt die Vorschrift, nach der die trans- 
ponirten Substitutionen zusammengesetzt werden, die sich in dem 
Satze ausspricht: 

9. Sind A Y , B x die Transponirten zu A^ B, so ist 
A 1 B 1 die Transponirte zu BA. In Zeichen: 

'ty (BA), = A x B x . 

Wenn wir die Substitutionsformeln (1) mit einem unbe- 
timmten Factor 17* multipliciren und dann die Summe in Bezug 
nf i nehmen, so folgt: 

er wenn wir 









170 Sechster Abschnitt. 

(28) £<'1*=*,- 
setzen, 

(29) 2 sr,*, = S *,£,. 
Wenn wir also die Substitutionen (1) durch (4) darstellen, 

so sind die Formeln (28) der Ausdruck für die Substitution 

(f) = AW, 

und wir können also noch den Satz aussprechen: 

10. Sind A, A x transponirte Substitutionen von 
einander von der Dimension n, und sind x, y, £,i 
vier Systeme von Variablen, die mit einander 
durch die Substitutionen 

(30) (j) = i(<), (9 = AW 

zusammenhängen, so besteht die Identität 

(31) yiVi + &% -\ hy-1- = «ili + *»& H h*»S- 

Wenn zwei Reihen von Variablen 

£,, a; a , . . . #„ 

&, B £ s , ... I» 
gleichzeitig durch die Substitutionen (30) in zwei neue Reihen 

ft, yi- ■ ■ ■ y» 

lj» «Jti ■ - - »J* 
transfonnirt werden, so heissen die beiden Variablenreiheu mit 
einander contragredient, und die Formeln (30) stellen zwei 
mit einander contragrediente Substitutionen dar. 

Eine Substitution von der Dimension n kann immer be- 
trachtet werden als in einer Substitution von höherer Dimensionen- 
aahl enthalten. Man braucht nur zwei Reihen von m — n Va- 
riablen 

X H +d x n + a , , . . X„, 
ft+u y B+a , ...Jfm 
hinzuzufügen, die durch die identische Substitution 

a;„ +1 = </„ + ], . . . x m = y„ 
zusammenhängen. Dies kommt darauf hinaus, dass man in der 
Matrix (!2) vi — n Reihen und Zeilen hinzufügt, die im Diagonal- 
gliede 1 und sonst lauter Nullen enthalten. Diese Substitutionen 
bilden dann eine in der allgemeinen Gruppe von Substitutionen 
von m Dimensionen enthaltene Gruppe. 



§. 42. Normalform linearer Substitutionen. 171 

§.42. 
Normalform linearer Substitutionen. 

Das Ziel der nächsten Betrachtungen ist, unter der unend- 
lichen Mannigfaltigkeit von Substitutionen, die aus einander durch 
Transformation abgeleitet werden können, eine einfache Normal- 
form hervorzuheben. 

Wir betrachten, wie im §. 41, die Substitution 

(1) y k =laO*x. 
and die Matrix 

i «?>. «? } . • • • «£ } 

(2) 4 = [ V. . . . ". 

a<»>, a< n >, . . . a™ 

Die Variablen x 1 ^ #j, . . . x n kann man, in Verallgemeinerung 
eines geometrischen Ausdruckes, die homogenen Goordinaten 
eines Punktes x in einem Baume jßn_i von n — 1 Dimen- 
sionen J ) nennen. Die Variablen dürfen nicht alle zugleich ver- 
schwinden, wenn sie die Goordinaten eines Punktes darstellen 
sollen, und zwei ihrer Werthsysteme , die sich nur durch einen 
gemeinschaftlichen Factor von einander unterscheiden, bestimmen 
denselben Punkt 

Ist die Determinante |^1| von Null verschieden, so wird, wenn 
man unter y u y a , . . . y n die Coordinaten eines Punktes y in jR n _i 
versteht, durch die Substitution 

(y) = Ä (x) 

jedem Punkte x ein bestimmter Punkt y zugeordnet und umge- 
kehrt. Ein Punkt, der bei dieser Zuordnung sich selbst entspricht, 
heisst ein Pol der Substitution A. Die Coordinaten eines 
solchen Poles müssen den Bedingungen genügen 

(3) y, = kx u y, = kx % , . . . y n = A* n , 

r 

worin X ein von Null verschiedener Factor ist. 



l ) Um in UebereinstimmuDg mit dem Sprachgebrauch der Geometrie 

xo bleiben, müssen wir das Gebiet der n homogenen Variablen einen Raum 

roo n — 1 Dimensionen nennen , während wir früher die Substitutionen 

dieser Variablen und die entsprechenden Matrices von der n^n Dimension 

genannt haben. 



172 



Sechster Abschn 



Um aber die uneigentliche Substitution, also den Fall einer 
versch windenden Determinante \A\, nicht ausschliessen zu müssen, 
wollen wir irgend ein Werthsystem x„ x^, . . . x m bei dem wenig- 
stens ein x von Null verschieden ist, und das den Bedingungen (1), 
(3) genügt, auch dann noch die Coordinaten eines Poles von A 
nennen, wenn X = ist. 

Ein Pol ist dann eine Lösung des Systems linearer Glei- 
chungen : 

o'»«, + a'^x, H f- a^x„ = Xx v 

o»*, -j- a[*>x, -j f- a™x n = Xx t 

aj"»!, -|- a^x a -j- - ■ ■ ~\- a'^x n = Xx n , 
bei der nicht alle x gleich Null sind. 



Setzen wir für 



variables t. 



(t?\ ■ 



so hat das System (4) nur dann eine solche Lösung, worin i 

eine Wurzel der Gleichung 

(6) 0(0 = 

ist. Die Gleichung (6) heisst die charakteristische Gleichung 

der Matrix A. Ist i. eine Wurzel dieser Gleichung, so erhält 

man aus (4) die Coordinaten eines Poles. Wir nennen ihn einen 

zur Wurzel X der charakteristischen Gleichung gehörigen 

Pol. Da nun die Gleichung (6) immer mindestens eine Wune! 

hat, so ergiebt sich der Satz: 

1. Jede eigentliche oder uneigentliche Substitution 
hat mindestens einen Pol. 

Hat man X unter den Wurzeln der Gleichung (6) irgend- 
wie ausgewählt, und dann aus (4) die Coordinaten £„ £,,... k, 
eines Poles von A bestimmt, so kann man noch auf unendlich 
viele Arten eine Substitution L mit nicht verschwindender 
Determinante bilden, in der diese Grössen 

{.. £,,■•• I. 

die erste Verticalreihe bilden. Die componirte Matrix AL hat 
dann nach (4) die erste Verticalreihe 



§.Ä 



Normalform linearer Substitutionen. 



173 



and wenn man nun die reciproke Substitution Zr 1 und damit 
die Transformation L~ 1 AL bildet, so erhält man eine Matrix A\ 
in der die erste Verticalreihe 

A, 0, 0, . . ., 

ist. Nimmt man A bereits so transformirt an, so hat es also 
die Form 

/af' l a('),... ) a»)\ 
'0, <*(»>,...,<»> 



\0, «(•),...,«(-)/ 
Nun kann man dieselbe Betrachtung auf die verkürzte Matrix 

A 1= ..... . .. 

\a(«>,..., af> 

anwenden, und kann dann die transformirende Substitution L x 

von n — 1 Dimensionen durch Hinzufügung einer ersten Horizontal- 

und Verticalreihe, die nur im Diagonalgliede 1, sonst lauter Nullen 

enthalten, zu einer n-dimensionalen erweitern, mit der dann 

wieder A selbst transformirt werden kann. 

Dieser Schluss lässt sich aber fortsetzen, und führt so zu 

dem Satze: 

2. Jede Matrix A lässt sich so transformiren, dass 
alle unter der Diagonalreihe stehenden Elemente 
verschwinden. 

Diese Form einer Matrix, die wir übersichtlich so darstellen 

können: 

Ai, a i ft 7, 

0, A 2 , ß', /, . . . 

0, 0, A 8 , /', . . . 

0, 0, 0, A 4 , . . . 



(?) 



N = 



soll die Normalform heissen. 

Aus der Definition der Normalform und aus dem Compositions- 
gesetze ersieht man leicht: 

3. Die Composition von zwei oder mehreren Sub- 
stitutionen in der Normalform führt wieder auf 
die Normalform. 



Sechster Abschnitt. 



6-< 



Wenn die Matrix A durch eine Substitution L in eine 
andere 

R _ [ &<*>, b<?\ . . ., 61« 



\ i<->, J<»> 

transformirt wird, so wird durch dieselbe Substitution L die 
Matrix 

J» — t, ..., a[» 






6(« 



^fcf"', 6*«,.. ., 6«. 
tranBformirt. Da nun zwei aus einander durch Transformation 
entstandene Matrices dieselbe Determinante haben, so ergiebt 
sich, wenn man dies auf die Transformation in die Normalform 
anwendet, nach (5) 
(8) 0(() = (1-1 1 )(1-J,)...(1-1.). 

4. Die Grösse f. L , k 3 , . . ., A„, die in der Normalform 3" 
die Diagonalreihe bilden, sind die Wurzeln der 
charakteristischen Gleichung, und sind also, von 
der Reihenfolge abgesehen, durch A selbst ein- 
deutig bestimmt. Wir wollen sie die Multiplica- 
toren der Substitution A nennen. 

Bei der Ableitung der Normalform konnte für A[ eine be- 
b'ebige Wurzel der charakteristischen Gleichung genommen 
werdeD, und da sich dieser Schluss wiederholen lässt, so folgt: 

5. Die Diagonalglieder X t , A s , . . ., l n der Normalform 
sind die in einer beliebigen Reihenfolge genom- 
menen Wurzeln der charakteristischen Gleichung. 

Die seitlichen Elemente der Normalform «, ß, .. . können 
für ein festgehaltenes A noch abgeändert werden. Diese Freiheit 
ermöglicht es, die Normalform in manchen Fällen noch weiter 
zu vereinfachen. 






42. Normalform linearer Substitutionen. 175 

Sei z. B. A 4 von X 1 verschieden, so setzen wir, indem wir 
nter h eine noch näher zu bestimmende Grösse verstehen, 

1, 0, 0,A\ 71,0,0,— *\ 



L = l 0, 1, 0, 



0, 0, 1, 



0, 1, 0, 
0, 0, 1, 



o,o|o, 1/ \o,o, 0, l/ 

I. h. wir nehmen L so an, dass alle Diagonalelemente = 1, und 
asser diesen nur noch ein Element, hier das vierte der ersten 
eile, von Null verschieden ist. Die Zusammensetzung 

L^NL^JS 1 

at dann gleichfalls die Normalform, und die Elemente von N' 
nd mit Ausnahme eines einzigen mit denen von N identisch, 
as einzige abweichende ist das vierte der ersten Zeile, welches 
N gleich y und in N' gleich 

y + Ä^-AJ 

~ und da ^ — A 4 von Null verschieden ist, so kann man h so 
stimmen, dass dieses Element = wird. Man kann also die 

• 

jrmalform N so einrichten, dass y = ist. Ebenso kann man, 
;nn auch k t und A 8 von A 4 verschieden sind, y 1 und y" zu Null 
&chen. 

So wie hier mit der vierten Verticalreihe operirt ist, kann 
lbst verständlich mit jeder anderen verfahren werden, und daraus 
giebt sich der Satz: 

6. Hat die charakteristische Gleichung der Matrix J. 
n von einander verschiedene Wurzeln, so lässt 
sich A in.eine Multiplication transformiren. 

Dieser Satz lässt sich aber folgendermaassen erweitern, wie 
s der angestellten Betrachtung unmittelbar hervorgeht, wenn 
in die Multiplicatoren in der Normalform N nach 6. so an- 
dnet, dass die unter einander gleichen unter ihnen unmittelbar 
f einander folgen, so dass also z. B. A n A s , A 3 einander gleich, 
er von X 4 und allen folgenden verschieden sind. 

7. Ist A eine Matrix von der Dimension n, deren 
charakteristische Gleichung n x mal die Wurzel X u 
n, mal die Wtfrzel A,, n 3 mal die Wurzel A 3 u. s. f. 
hat, so dass 

n = n x -\- n 2 + w s + * • • 



176 Sechster Abschnitt 

ist, so lassen sich die Matrices A x , A s > A % , ... der 
Dimensionen *h, n,, n^, . . . so bestimmen, dassi.ii 
eine. Matrix 

A x , 0, 0, ...\ 

/g\ I 0, A*, 0, ... 

I U, U, ^±3) . . . 

transformirbar ist. 

Die charakteristische Gleichung der Matrix 
Ai hat nur eine n<fache Wurzel A<. 

Das Zeichen (9) bedeutet hier eine Matrix von n Reihen, die 
man erhält, wenn man die Matrices A x , A+ % A^ ... als Quadrate 
ausschreibt, und alle dann noch übrigen Plätze in dem grossen 
Quadrat durch Nullen ausfüllt 

Wenn man will, kann man die Matrices A x , A%, A z , . ..in 
der Normalform annehmen. 

Die Matrix (9) können wir, ähnlich wie die Multiplicationen 
[§. 41, (9)], kürzer so bezeichnen: 

(10) (A u -4*, -4 8 , . . .). 



§. 43. 
Vertauschbare Matrices. 

Hat man eine Wurzel A der charakteristischen Gleichung 
© (t) = [§. 42, (6)] ausgewählt, so kann es vorkommen, das» in 
dem System linearer Gleichungen (4) alle Unterdeterminanten von 
n — 1 Reihen verschwinden, und dann gehören zu dieser Wurzel l 
unendlich viele Pole der Substitution A. Nach Bd. I, §. 27 
können wir dann v Systeme # Xjl , x x ^ . . . x XyV so auswählen, dass 
kein System linearer Gleichungen 

«i **,i + • • • + «»#*,» = 0, x = 1, 2, ... n 
besteht, in dem nicht alle a verschwinden, und dass alle Lösungen 
des Systems §. 42, (4) in der Form enthalten sind 

(1) x x = a^i -| 1- u y z XiV , x = 1, 2, ... n, 

worin die c^, a„ . . . a, willkürlich bleiben. 

Wir können dies so ausdrücken, dass wir sagen: Die zu 
der Wurzel k gehörigen Pole der Substitution A bilden 
eine vfach unendliche lineare Schaar. 



43. Vertauschbare Matrices. 177 

Hierbei kann A auch eine Matrix mit verschwindender Deter- 
inante sein. 

Ist nun A irgend eine, und 

w b ? w\ 

ine zweite, und zwar mit A vertauschbare Matrix, so müssen 
ach dem Compositionsgesetz [§. 41, (12)] die Relationen bestehen: 

3) 2 aWbf = 2 <&<*>. 

Wir wollen beweisen, dass A und B einen gemeinschaftlichen 
\>1 haben. 

Nach §. 42, (4) sind durch die Gleichungen 

2 aWx. = Az x 

ie Pole (1) von A bestimmt. 
Setzen wir nun 

d ergiebt sich durch Multiplication von (4) mit ftw und Summa- 
ion in Bezug auf x 

nd mit Benutzung von (3) 

araus folgt, dass die y x die Coordinaten eines Poles von A sind, 
jd dass folglich nach (1) ein Gleichungssystem besteht: 

) Vx = ßi#x,i + • • • + ß*z Xi *. 

Die Gleichungen (5) und (1) zeigen, dass die y x lineare 
mogene Functionen der Variablen a L , ««>, . . ., a* sind, und es 
issen daher auch die ß in (7) lineare Functionen der a sein. 

Wir setzen 

I ßx = 0x,iai + ' • • + ßx,*Uv- 

Nun werden die x* nach (5) zugleich die Coordinaten eines 
les von B sein, wenn sich ein Factor p so bestimmen lässt, dass 

V* = V>Xx 

•d, und dies führt nach (7) und (8) zu den Gleichungen für 
...,«,, ft: 

') ftc,i a i -h • • • + ßx*u* = /*«x* 

Weber, Algebra, IL 12 



Hieraus erhält man, wie bei der Bestimmung von x selbt 
eine charakteristische Gleichung für /*: 



►w= 






und dann aus (10J die Verhältnisse der a. Wenn durch dies 
Gleichungen diese Verhältnisse nicht völlig bestimmt sind, s 
bilden alle zulässigen Werthe wiederum eine lineare Schaar. 
Wir haben damit folgenden Satz: 

8. Zwei vertauschbare lineare Substitutionen A,\ 
haben immer einen gemeinschaftlichen Pol. Wen 
zu einem Wurzelsystem A, <t der charakteristische; 
Gleichungen ® = 0, 4» = mehrere Pole gehören 
so bilden diese eine mehrfach unendliche linear 
Schaar. 

Der letzte Zusatz gestattet eine wesentliche Erweiteruni 
dieses Satzes. Denn wenn wir eine dritte Matrix C hinzunehmer 
die sowohl mit A als mit B vertaiiBchbar ist, so können wir gan 
dieselben Schlüsse wiederholen, indem wir jetzt unter x, in (1 
die Schaar der gemeinsamen Pole von A und B setzen, und ir 
Uebrigen die Matrix C an die Stelle von B treten lassen. S 
kommen wir zu dem folgenden allgemeinen Satze: 

9. Ein System beliebig vieler linearer Substitutione 
A, J9, C, . - . in endlicher Anzahl, deren je zwei mi 
einander vertauschbar sind, haben immer eine 
gemeinsamen Pol. 

Nehmen wir an, die beiden Matriccs A, B seien durch B 
nutzuug eines gemeinsamen Poles, wie im vorigen Paragrapt 
gezeigt ist, in der Weise transformirt, dass 

aj" = U, a«> = 0, . . ., of = 
6»> = 0, 6«> = 0, . . ., &("> = 0, 
so ergiebt sich aus (3), dass auch die beiden Matrices 

/ qS*>, . . ., a«> \ / b£\ . . ., b i2 > \ 
*=[ • i B '=[ ■"■ 

vertauschhar sind, und man kann also zu ihrer weiteren ' 
formation wieder einen gemeinschaftlichen Pol benutzen. lnd> 
man so weiter schliesst, gelangt man zu dem Satze : 



43. Vertauechbare Matrices. 179 

10. Ein System vertauschbarer Matrices A^ JB, C, . . . 
lässt sich simultan, d. h. durch Anwendung einer 
und derselben transformirenden Substitution L 
in die Normalform [§. 42, (7)] transformiren. 

Ist diese simultane Transformation ausgeführt, und haben 
sich dabei für die Matrices A, B } C, . . . die Multiplicatoren 
ergeben: 

(hi lh* • • •! Pn 



80 sind diese Multiplicatoren in bestimmter Weise einander zu- 
geordnet, so dass 

(11) l*, ft«, v«, . . . 

für jeden Index x aus der Reihe 1, 2, ... n ein zusammen- 
gehöriges System bilden. 

Nehmen wir die Matrices A, jB, C, . . . schon in der Normal- 
form an, und bezeichnen mit A, p, v, . . . irgend eines, etwa das 
r* der Systeme (11), so werden die Gleichungen 

V a (M) x = i Xn 

(12) v Vpx t = px. 

i 

2 C$ x) # f . = v# x 



:ugleich befriedigt, wenn alle # x , mit Ausnahme von # n gleich 
ngenommen werden. Daraus ergiebt sich, dass die Gleichungen (12) 
ach dann noch durch Werthe von x x , x^ . . ., # n , die nicht alle 
leich Null sind, befriedigt werden können, wenn die vertausch- 
ten Matrices -4, 2?, C, . . . nicht die Normalform haben [§. 41, 
2), (23j]. Wir haben also noch den Satz: 

11. Ist A, fi, v, . . . ein System zusammengehöriger 
Multiplicatoren der vertauschbaren Matrices 
A,B, C % . . ., so giebt es einen zu A,ft, v, . , . gehörigen 
gemeinschaftlichen Pol dieser Matrices. 

Diesen Satz können wir in folgender Weise umkehren: 

12. Ist das Gleichungssystem (12) so lösbar, dass nicht 
alle x verschwinden, so müssen A, ft, v, . . . ein zu- 

12* 



X80 Sechster Abschnitt. §• ^ 

sammengehöriges System von MultipHcatoren de) 
Matrices A, JB, C, . . . sein. 

Dieser Satz ist allgemein bewiesen, wenn wir ihn unter dei 
Voraussetzung nachweisen können, dass die Matrices A, B,C, . . 
in (12) die Normalform haben. Dann aber lauten diese Glei- 
chungen so: 

a x *>x x + a^ 1 x x+1 -\ + a™x n = kx x 

b™x x + 6?| 1 * jr + 1 H h *>™Xn = \*>x x 

( 13 ) .#>** + ^/i^x+i H h <£ } *W = v ** 



x = 1, 2, ... n. 

Ist nun # x das letzte nicht verschwindende x, so da» 
a; x + i, . . ., x n = sind, so folgt aus (13) 

X = a< x >, it = W*K v = cl*\ . . . 

X ' ~ X ' X ' 

Hier ist aber a<*> = A x , #*> = ft x , (£*> ±= v x , . . . ein Systen 
zusammengehöriger MultipHcatoren, und unser Satz also bewiesen 

Bezeichnen wir mit af?\ b(*\ &*\ . . . entsprechende Element« 
der vertauschbaren Matrices -4, -B, C, . . -, mit #, y, jgr, . . . unab- 
hängige Variable, und setzen 

t*(*) = a^x + 6<*>y + <**>* + • • •, 
so wird die Matrix 

/<), !*;», ... uw 
?7 = U^^),...^) 

durch die von #, y, *, . . . unabhängige Substitution L in du 
Normalform transformirt, und daraus ergiebt sich der Satz: 

13. Die Determinante der u 

v + tt?> w< 2 >, . . . t*<"> 

1 X ' ft 

ist, als Function der Variablen x, y, jet, . . . bt 
trachtet, in u lineare Factoren zerlegbar. 

§. 44. 
Die Gleichungen von Dedekind und Weierstrass. 

Die abgeleiteten Sätze über die Transformation vertausc 
barer Matrices setzen uns in den Stand, ein sehr bemerket 
werthes System algebraischer Gleichungen allgemein aufzulöa 



§. 44. Die Gleichungen von Dedekind und Weieretrase. 181 

das uns im Verlauf unserer Darstellung noch mehrfach be- 
gegnen wird. 

Dieses Gleichungssystem ist in der Theorie der algebraischen 
Zahlkörper aufgetreten und ist von Dedekind im §. 159 der 
zweiten Auflage von Dirichlet's Vorlesungen über Zahlentheorie 
eingehend untersucht (1871). Andererseits ist es die Grundlage 
für die Untersuchungen von Weierstrass 1 ) und Dedekind 2 ) 
über die aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen. In 
neuester Zeit ist Frobenius durch seine unten zu besprechenden 
Untersuchungen über die allgemeine Gruppentheorie auf diese 
Gleichungen geführt worden 8 ). 

Die Indices a, /S, y, ä, . . . sollen, von einander unabhängig, die 
Reihe der Zahlen 1, 2, 3, ... n durchlaufen, und es sei a a% ^ r ein 
System von n 3 gegebenen Grössen. 

Die Unbekannten r 19 r 9 . . . r« sollen so bestimmt werden, 
dass die Gleichungen bestehen: 

a 

W r ß r r = 2a a , / ,, y r„. 

Da die Anzahl der Gleichungen grösser ist, als die Anzahl 
der Unbekannten, so können die gegebenen Grössen nicht von 
einander unabhängig sein. Wir beschränken sie zunächst durch 
die Bedingung 

( 2 ) a «,/*,y = a «,y,/*> 

wodurch zwei der Gleichungen (1), die durch Vertauschung von 

ß und y aus einander hervorgehen, in einander übergehen. 

Multipliciren wir (1) mit r d und wenden dasselbe System (1) 
auf die rechte Seite an, so ergiebt sich 



o t 



(3) V/d = na^ iy a ¥/fl , 

und wenn man hierin y und d vertauscht, und verlangt, dass 
wie die linke, so auch die rechte Seite ungeändert bleiben soll, 
so folgt 

(4) Sa^/^^Va,^^^. 

Die Bedingungen (2) und (4) setzen wir also als erfüllt voraus, 
and bemerken noch, dass sie sich als nothwendig erweisen, wenn 

l ) Weieretrass, Göttinger Nachrichten 1884 und früher schon in 
Vorlesungen. 

*) Dedekind, Göttinger Nachrichten 1885. 

*) Frobenius, Ueber vertauschbare Matrizen. Sitzungsber. d. Berl. 
Akademie, 21. Mai 1896. 



182 Sechster Abschnitt §. 4i 

verlangt wird, dass zwischen den r a keine lineare Relation mit 
rational von den a abhängigen Coefficienten bestehe. Diese 
Forderung ist in der Theorie der algebraischen Zahlkörper Ton 
Wichtigkeit, soll aber hier zunächst nicht festgehalten werden. 
Der Forderung (4) können wir, wenn wir 

/ 0*1,1, oi öl,2,a, • • ., »!,„,« 
\ßn,l,a, #n,2,cc, . . ., <*n,n,a 

setzen, auch den Ausdruck geben [§. 43, (3)]: 

Die Matrices A x , A % , . . . A n sollen, je zwei und zwei, 
unter einander vertauschbar sein. 

Bezeichnen wir also mit r u r 3 , . . ., r» ein System zusammen- 
gehöriger Multiplicatoren dieser Matrices, so können wir den 
Satz §. 43, 11. anwenden, und finden, dass die x^ x % . . . z* so 
bestimmt werden können, dass sie nicht alle verschwinden, und 
dass zugleich die Gleichungen bestehen: 

t 

Ersetzen wir hierin a durch A, setzen also 

multipliciren mit a a x , und summiren in Bezug auf Jl, so folgt, 

wenn wir rechts wieder das Gleichungssystem (6) anwenden, 

t x 
CO lx t Ia ktY a a ^ = r(i r Y x a . 

Schreiben wir dagegen (6) so: 

multipliciren mit a, Ä „ und summiren wieder in Bezug auf iL 
so folgt 

9 X X 

( 8 ) 2 x, v a; |i|2 a^ y = *« 2 a^ y r r 

Nun ist aber mit Rücksicht auf (2) und (4) 
x x x 

und demnach ergiebt die Vergleichung von (7) und (8), da nicht 
alle x. verschwinden, 



§. 44. Die Gleichungen von Dedekind and Weieretrass. 



183 



d. h. jedes System zusammengehöriger Multiplicatoren genügt den 
Bedingungen (1). Aas dem Satze §. 43, 12. folgt auch noch, dass 
diese Gleichung keine anderen Lösungen hat, wenn man von 
der evidenten Lösung r a = absieht. Damit haben wir den von 
Frobenius gefundenen Satz abgeleitet, den wir so formuliren: 

1. Ist A u A+, . . .; A n ein System vertauschbarer 
Matricjes, deren Elemente a ma „ den Bedingungen 

genügen, so sind die n Systeme zusammen- 
gehöriger Multiplicatoren r a Lösungen des 
Gleichungssystems 



<») 



VV = 2l W- 



und dies System hat keine andere Lösung. 

Dabei ist nicht ausgeschlossen, dass mehrere dieser Systeme 
zusammengehöriger Multiplicatoren mit einander identisch sind, 
oder dass eines oder mehrere von ihnen aus lauter Nullen 
bestehen. 

Sind die a aßY gegeben, so erhält man die n Systeme zu- 
sammengehöriger Multiplicatoren durch eine Gleichung n ten Grades. 
Dieser Gleichung kann man die folgende Form geben: 

Man führe ein System unabhängiger Variablen x 1% # 2 , . . ., x n 
ein, und setze 



(10) 



r 

a 

lr„x„ = r. 



a a 



Dadurch erhält man aus (1) 



a 

rr* = X a -r 

i» — a,ö a 



und wenn man die r eliminirt, die Gleichung n ten Grades für r: 



(12) 



«1,1 *"i #1,2» i «l,n 

02,1» ***,* t", . . ., 02, w 



a 



n,li 



= 0. 



Die Wurzeln dieser Gleichung, die gleich oder verschieden 
^in können, sind lineare Functionen der Variablen x. und wenn 
wir sie mit 

(13) *™ = *?°#i + ^ )x ^ H H r n* )a: « 



184 Sechster Abschnitt §. 4i 

bezeichnen, so sind r^\ r%\ . . . r^ für x = 1, 2, . . ., n <& 
n Systeme zusammengehöriger Multiplicatoren. 

Sucht man in (12) den Coefticienten der (n — l)** 1 Poten 
von r au£ so ergiebt sich 

X 

£ r<*> — Oi,! + aa, 2 H • + a n ,n 

und daraus 

(14) £ r?) = 2 a^ n . 

Wenn man also das System (1) für die verschiedenen r< ! 
bildet und dann summirt, so ergiebt sich nach (14), mit Benutzun 
von (2) und (4): 

(15) v K*>r(*> = Vo a a, , 

1 a 

«»*»y *» a »* 

2 a 

und wenn man daher 

A a 

setzt: 

(17) v ^^ = c?r 

Bezeichnen wir also mit R die Determinante der r%\ also 

(18) R=l ±f*>ff>.. .**•>, 

so ergiebt sich nach dem Multiplicationssatze der Determinante 

(19) R* = 2± Ci,i c a , 2 . . . c niH . 

Hiernach lässt sich der Satz 1. in folgender Weise ergänzei 

2. Genügen die n 3 Grössen « a * y den Bedingung« 
(2), (4) und ist die Determinante der durch (1 
definirten c a „ von Null verschieden, so hab( 
die Gleichungen (1) genau n verschiedene L 
sungen r%\ und die aus diesen r^> gebilde 
Determinante R ist von Null verschieden. 

§. 45. 

Normalform in endlichen Gruppen linearer 

Substitutionen. 

Wenn die lineare Substitution A einer endlichen Gruj 
angehört, so muss jedenfalls ihre Determinante von Null i 



$.45. 



Normalform in endlichen Gruppen. 



185 



schieden sein. Es muss einen endlichen Exponenten tn geben, 

für den 

(1) A m = J 

die identische Substitution ist In diesem Falle können wir A 
immer in eine Multiplication transformiren. 
Hat man A zunächst in die Normalform 

*i» a > Ä y • • • \ 
[> ' 0, 0, A„ y" . . . 

• • ••• • • ••/ 

transformirt, so erhält man durch wiederholte Zusammensetzung 
von N mit sich selbst immer wieder die Normalform, und in N* 
sind die Multiplicatoren 

Ax, Ag, A3, . . . 

Demnach sind die Grössen A^ A a , A3, . . . Einheitswurzeln vom 
Grade m. Für das zweite Element o, der ersten Zeile von N y 
erhalt man 
(3) o, = * (AI"" 1 + Ar 2 A> + ^" B V H h tf" 1 ). 

Ist Aj von A a verschieden, so können wir a = annehmen 
(nach §. 42, 7.) und dann werden auch alle o* = 0. Ist aber 
k = Ift so ergiebt die Gleichung (3): 

a v = vkl~ x 01 
und da nun j&T" = J", also et», = sein muss, so folgt, dass in 
diesem Falle a = ist. 

Um zu zeigen, wie dieser Schluss fortzusetzen ist, sei N 
bereits in die Form gebracht 

*!, 0, 0, y . . 

0, y 2 > 0, y' . . 

0, 0, A 3 , y" . . 
0, 0, 0, A 4 . . 



'*) 



N = 



Bilden wir hieraus JST, so ergiebt sich eine Matrix derselben 
orm, in der in der vierten Colonne die Elemente stehen: 

r , = y ar 1 + at**« + Ar 3 tf + • • • + « _1 ) 

y \ = / (Ar 1 + Ar 2 k + «- 8 a 2 n h Ar 1 ) 

y ;- = /'(a;- 1 + «-*i 4 + a;- 8 a 8 + • • • + « _1 ) 

Ist A 4 von A 1 oder von A 2 oder von A 3 verschieden, so kann 
oder y' oder y" nach §. 42, 7. gleich Null angenommen werden. 



186 Sechster Abschnitt. §. 45. 

Ist aber A 4 einem der anderen X gleich, so folgt wieder ans 
N m = J, also y m = 0, y m = 0, y" m = 0, dass auch y oder j 
oder y" = sein muss. Hieraus ergiebt sich der Satz: 

1. Wenn die lineare Substitution A einer endlichen 
Gruppe angehört, so lässt sie sich immer in eine 
Multiplication 

transformiren x ). 

Wie wir früher (§. 42, 4.) schon gesehen haben, sind die 
Multiplicatoren a x , A^, . . . A n von M durch A selbst völlig be- 
stimmt Eine andere Frage ist aber die, ob es mehrere Sub- 
stitutionen L giebt, durch die eine Substitution A in die Multi- 
plication M transformirt wird. Hierüber gilt der folgende Säte: 

2. Wenn in der Multiplication M mehrere der 
Multiplicatoren einander gleich sind, etwa 

Aj Aj ... A r , 

so ändert sich die Multiplication nicht, wenn 
auf die Variablen x Y , x t , . . ., x r irgend eine lineare 
Substitution von der Dimension r angewandt 
wird. 
Da nämlich unter dieser Voraussetzung die Multiplication 
der Dimension r, 

Jjlf- = (Aj, A 2 , . . ., A r ), 

in eine Aehnlichkeitssubstitution übergeht, so ist dies eine an- 
mittelbare Folge des Satzes §. 41, 4., dass eine Aehnlichkeits- 
substitution mit jeder anderen vertauschbar ist, wonach für jede 
beliebige Substitution L von der Dimension r 

ist. 

Die Multiplication M hat zu Polen die Punkte mit den 

Coordinaten 

1, 0, 0, . . . 0, 

0, 1, 0, . . . 0, 



0, 0, 0, . . . 1, 



l ) Von diesem Satze sind verschiedene Beweise gegeben vonLipschiti 
(Acta Mathematica 10, 1878), Kronecker (Berliner Akademie 1890), Weyr 
(Monatshefte f. Mathematik u. Physik I, 1890), Rost, Moore, Maschke 
(die beiden letzteren in Mathem. Annalen, Bd. 50). 



. 46. Collineationen. 137 

lie wir die Coordinaten ecken nennen. Sind die Multiplicatoren 
t, 2* — , il»- alle von einander verschieden, so sind dies auch 
lie einzigen Pole von M. Ist aber 

k> sind alle Punkte sich selbst zugeordnet, deren Coordinaten 
len Gleichungen 

x r+ i = 0, x r +2 = 0, . . ., x n = 

genügen. Diese Punkte bilden eine unendliche Mannigfaltigkeit, 
md erfüllen einen Raum von r — 1 Dimensionen, der im Räume 
R»_i enthalten ist 

Sind £ l9 &, . . . In irgend n feste Grössen, die nicht alle ver- 
diwinden, so erfüllen alle Punkte x, deren Coordinaten der 
Bedingung 

£i*i + £j*a H h t* x » = ° 

;enügen, einen Raum ü»_ 2 . Man kann n Punkte immer so aus- 
wählen, dass sie nicht in einem ü w -a liegen, man muss ihre 
Koordinaten nur so annehmen, dass die daraus gebildete Deter- 
ninante von Null verschieden ist Solche Punkte sollen linear 
inabhängig heissen. 

Es gilt dann der Satz 

3. Wählt man, wenn es möglich ist, zu Coordinaten- 
ecken n linear unabhängige Pole der Sub- 
stitution J., so wird A eine Multiplication. 

Dieser Satz ergiebt sich unmittelbar aus §. 41, (1), wenn 
man in den Variablenreihen 

alle Variablen, bis auf ein Paar #»-, j/ t -, gleich Null setzt, was ja, 
wnn die Coordinatenecken Pole von A sind, gestattet ist 

§• 46. 
Collineationen. 

Wir haben schon oben gesehen, dass zwei mit einer dritten 
bliche Substitutionen gleicher Dimension unter einander ähn- 
i sind. Demnach können wir alle mit einander ähnlichen 
bstitutionen n ter Dimension in eine Classe vereinigen, und jede 
bstitution kann in einer und nur in einer solchen Classe 
hergebracht werden. Die einzelnen Substitutionen einer Classe 



I 



lechster Abschnitt. 




heisseu die Repräsentanten der Classe, und jede Cl&s 
durch irgend einen ihrer Repräsen tauten völlig bestimmt. 

Ist A ähnlich mit A\ B ähnlich mit B', so ist auch t 
ähnlich mit A'B'. 

Bezeichnen wir also mit 3t, 33 die Classen, in die A, A' und 
B, B' gehören, so gelangt man immer in dieselbe Classe, welchen 
Repräsentanten aus 31 und aus 33 man auch zusammensetzen 
mag. Diese Classe, die durch AB oder A'B' repräsentirt wird, 
nennen wir daher aus 31 und 33 zusammengesetzt und bezeichnen 
sie mit 2133. Bei dieser Zusammensetzung gelten dieselben 
Regeln, wie bei der Zusammensetzung der Substitutionen selbst, 
und die Gesammtheit der Classen bildet also auch eine Gruppe. 

Wenn wir, wie in der projectiven Geometrie, durch die Ver- 
hältnisse der Variablen x u x it . . ., x n einen Punkt bestimmen, 
so führen alle Substitutionen A, die in dieselbe Classe 31 gehören, 
auf die Variablen (x) angewandt, zu demselben transfonnirten 
Punkte {x") = A(x). Wir nennen die Classe 31 der unter ein- 
ander ähnlichen Substitutionen mit einem aus der Geometrie 
stammenden Ausdruck Colli neationen 1 ). 

Ist G eine endliche oder unendliche Gruppe linearer Sub- 
stitutionen , so bilden die in G enthaltenen Aehnlichkeits- 
Substitutionen (v, v, . . . v) einen Normaltheiler von G, den tu" 
mit N bezeichnen. Ist dann A irgend eine Substitution in £, 
so heisst die Nebengruppe NA oder AN eine in G enthaltene 
Collineation. Es kann nun vorkommen, auch wenn G im- 
endlich ist, dass die Anzahl dieser in G enthaltene! 
tionen endlich ist und diese Zahl wird dann nach §, 2 mit 

(1) i = (G, N) 

bezeichnet. Man kann die Repräsentanten A u A,, . . ., jtfH 
auswählen, dass 

(2) G == N + NA t + NA, -\ 1- NAj- 

wird. Die Gruppe G/N ist endlich und vom Grade j. Sie 1 
die in G enthaltene Collineationsgruppe. 

Ist A eine Substitution in G mit der Determinante i 
leiten wir aus A eine neue Substitution 

(3) Ä=tT"A 



') In der ersten Auflage war der Ausdruck „Substitut ion der V 
uinse" gebraucht. 



§.46. Collineationen. 189 

her, deren Determinante = 1 ist, und indem wir der n* 611 Wurzel 

a • ihre n verschiedenen Werthe beilegen, erhalten wir n ver- 
schiedene Substitutionen A! aus jedem A\ alle diese sind 
anter einander und mit A selbst ähnlich. 
Ist ebenso 

(4) B' = b »B, 

so sind AI und B' dann und nur dann mit einander ähnlich, 
wenn A und B ähnlich sind, und es ist 

(5) AB 1 = (ab)"» AB. 

Also bilden die A\ B', . . . auch eine Gruppe, die aus lauter 
Substitutionen mit der Determinante 1 besteht, und die wir mit 
S bezeichnen wollen. Die in S enthaltene Gruppe der Aehnlich- 
keitssubstitutionen besteht, wenn q jede beliebige n te Einheits- 
wurzel bedeutet, aus den Multiplicationen 

(<>» f i • • • Q)- 
Diese Gruppe ist also endlich und zwar vom Grade n und 
soll mit R bezeichnet werden. Die Gruppe S lässt sich dem- 
nach so darstellen: 

(6) 8 = R + RA* + RA* -\ 1- RAj- u 

und ist daher endlich und vom Grade nj. Die Collineations- 
gruppe S/R ist isomorph mit G/N. 

Bezeichnen wir mit 9t das System w ten Grades 

(') « = 1, A» A % , . . ., Aj-n 

*as im Allgemeinen keine Gruppe ist, so können wir nach der 

Composition der Theile 

(») S = R* 

setzen. Wir sprechen hiernach den Satz aus: 

1. Jede endliche Collineationsgruppe vom Grade j 
wird erhalten aus einer Gruppe linearer Substitu- 
tionen mit der Determinante 1 und vom Grade nj. 

Es kann nun vorkommen, dass, wenigstens bei passender 
Auswahl der Repräsentanten (7), in S eine andere Gruppe von 
niedrigerem Grade 

(9) S' = IT» 

enthalten ist, worin dann R' ein Theiler von R sein muss, und 
dann ist S'/R' gleichfalls mit G/N isomorph. Insbesondere ist 



190 

der Fall möglich, dass 91 selbst schon bei passender Auswahl d 
Repräsentanten eine Gruppe ist, und dann ist G/S mit dies« 
Substitution sgruppe isomorph. In dieser Gruppe 31 ist dann, 
ausser der Identität, keine Aehulichkcitssubstitution enthalten. 
Für die Folge soll eine Gruppe linearer Substitutionen mit der 
Determinante 1, in der ausser der Identität keine Aehnlichkeits- 
substitution vorkommt, eine reine Gruppe linearer Sub- 
stitutionen genannt werden. 

Kennzeichen iur eine reine Gruppe werden später abgeleitet 
Im Gebiete der binären Substitutionen ist die Substitution A: 
/«, b\ 




(yi.3fo) = Q d ) fai4d 



als Collineation aufgefasst, gleichbedeutend mit der linearen 
gebrochenen Substitution: 

' ci + i' 
wenn | = x^ : SB, und % = i/i : y 3 gesetzt wird; kommt eine 

zweite Substitution Ä: 

oder 

g' i?+ V 
b c't] + d' 
hinzu, so erhält man die zusammengesetzte Substitution 

Ä"= A'A, 
durch die £ durch | ausgedrückt wird: 

,_£{+£ 

5 - c"S + f 

nach den Regeln der Composition in der Form 

(a'\ b"\ _ /a\ b'\ /a, b\ _ /a'a -\- b'c, a'b -f- b'd\ 
\c",d")~V\d')\c,d) — Kc'a + d'cic'b + ä-ä)' 



Ist eine solche Substitution multiplicativ, hat Bie also die Fort 

so werden wir auch das Verhältniss a : d den Multiplicato 
nennen. 

Die Gruppe R ist hier vom zweiten Grade: 



R. 



=o- njy 



$.47. Permutationen als lineare Substitutionen. 191 

§• 47. 
Permutationen als lineare Substitutionen. 

Die Wichtigkeit der linearen Substitutionen und besonders 
der aus ihnen gebildeten endlichen Gruppen für die Algebra 
ergiebt sich daraus, dass die Permutationsgruppen von n Ele- 
menten als specielle Fälle solcher Substitutionsgruppen aufgefasst 
werden können. 

Bezeichnen wir nämlich mit x x , #„ . . ., x n ein System von 
n Veränderlichen, und mit o^, Oj, . . . a» irgend eine Anordnung 
der n Ziffern 1, 2, ... n, so bestimmen die Gleichungen: 

eine lineare Substitution n* r Dimension: 

(2) Ä = { , (x) = A(x l ), 

bei der in jeder Zeile und in jeder Colonne nur ein Coefficient 
Ton Null verschieden ist, und dieser eine den Werth 1 hat. 

Die Determinante \A\ der Substitution ist also = ± 1. Setzt 
man aber nach Ausführung der Substitution für x'i wieder x { , so 
ist das Ergebniss nichts Anderes, als die Permutation 

/l, 2, . . . n \ 

der Indices von x. 

Ist B eine zweite ebenso gebildete Substitution 

(3) (*') = B(z"), 
oder ausfuhrlicher: 

(4) x[ = a# p x' 2 = x'fr . . ., x' n = Xp n , 
so ergiebt die Zusammensetzung nach den Regeln des §. 41: 

(5) X\ = x.i a ^ x 2 = Xp a j . . ., x n = Xp a ^ 
was abgekürzt durch 

(6) (x) = AB(x") 

zu bezeichnen ist. 

Nach Bd. I, §. 155 ist aber (nach der Zusammensetzung der 
Permutationen) : 

/l, 2, . . . n \ /l, 2, . . . n \ _ /l, 2, . . . n \ 

' \«H «t • • • «n/ \ft, /J 2 • • • ßnj V/Jap ßa t , - . . /3a n / 



192 



Sechster Abschnitt. 



§-47. 



Fassen wir also die Substitutionen A, B als Permutationen 
der Indiees auf, so ist die Substitution AB gleichbedeutend mit 
der zusammengesetzten Permutation AB. 

Die Permutationsgruppen von n Ziffern sind hiernach nichts 
Anderes, als ein specieller Fall endlicher Gruppen linearer 
Substitutionen n*** Dimension. 

Die Permutationen der ersten Art entsprechen Substitutionen 
mit der Determinante -f-1, und die Permutationen der zweiten 
Art Substitutionen mit der Determinante — 1. 

Dies ergiebt sich einfach daraus, dass eine Transposition, 
z. B. (1, 2), der Substitution 

0, 1, 0, ... 

1, 0, 0, ... 
0, 0, 1, . . 1 

,0, 0, 0, ... 1, 

deren Determinante — 1 ist, entspricht, und dass man alle Per- 
mutationen der ersten Art aus einer geraden, und alle Per-. 
mutationen der zweiten Art aus einer ungeraden Anzahl tob ■ 
Transpositionen zusammensetzen kann. 



X 



< 



Siebenter Abschnitt. 



Oruppeninvarianten. 



§. 48. 

Die allgemeinen Charaktere einer Gruppe. 

Auf die Sätze über Matrices, die in §§. 43 und 44 abgeleitet 
sind, hat Frobenius eine Verallgemeinerung des Begriffs der 
Charaktere (§. 13) gegründet, die einen tiefen Einblick in den 
Bau einer Gruppe gewährt, und für die Theorie der endlichen 
Gruppen von grosser Wichtigkeit zu werden verspricht. Wenn 
es auch nicht möglich ist, diese schönen, zum Theil schwierigen 
Untersuchungen hier in ganzer Ausdehnung mitzutheilen, so 
wollen wir doch versuchen, dem Leser eine auf Beispiele ge- 
stützte Vorstellung von dem Inhalt dieser Sätze zu geben, indem 
wir für ein genaueres Studium auf die Abhandlungen von Fro- 
benius verweisen 1 ). 

Es sei also P eine endliche Gruppe vom Grade A; die Elemente 
dieser Gruppe seien a, 6, c, . . ., das Einheitselement sei 1, und 
r, s seien Zeichen für ein veränderliches Element, was die ganze 
Gruppe durchläuft 

L Unter einem Charakter der Gruppe P versteht 
man ein System von h Zahlwerthen 

Z0)> %Q>), %(c), . . ., 



*) Frobenius, Sitzungsberichte der Berliner Akademie, „Ueber 
Gruppencharaktere", 30. Juli 1896. „Ueber die Primfactoren der Gruppen- 
determin aute", 3. December 1896. „Ueber die Darstellung der endlichen 
Gruppen durch lineare Substitutionen", 18. November 1897. 

Weber, Algebra. IL 13 



{ 



194 



Siebenter Abschnitt. 



§•* 



(i) 



(2) 



entsprechend den h Elementen der Gruppe P, 
die den folgenden Bedingungen genügen: 

für je zwei Elemente a, b von P; 

hz(b)z(c)=f£z(br~*cr) y 

wenn r die ganze Gruppe P durchläuft, und 6. e 
irgend zwei Elemente von P sind; 



(3) 
(4) 



und 



k = Zz(r)z(r- 1 ) 



f > 0. 

Hierin bedeutet / eine aus den Bedingungen (1) bis (4) 
noch zu bestimmende Zahl, die der Grad des Charakters % 
heisst, und für die sich, wenn man in (2) c = 1 setzt und 
beachtet, dass wegen (3) nicht alle %{b) verschwinden können, 
der Ausdruck 

(5) /=Z(1) 

ergiebt. 

Die Zahlwerthe % (a), % (6), % (c), . . . werden, wie die Bezeich- \ 
nung andeutet, als Werthe einer Function %(r) für r = a, 6, c, ... 
betrachtet. 

Zwei Charaktere % und %' heissen von einander verschieden, 
wenn wenigstens ein Element a in P existirt, für welches %(a) 
von %'(a) verschieden ist. Sind nun % und % f zwei gleiche oder 
verschiedene Charaktere, so setzen wir s an Stelle von c, mul- 
tipliciren (2) mit %'(s -1 ), und erhalten, wenn wir in Bezug auf 
s summiren, 



r,* 



Halten wir zunächst r fest, so durchläuft rsr— 1 zugleich 
mit s die ganze Gruppe P, und wenn wir daher rsr* 1 für $■■{ 
setzen und beachten, dass nach (1) 

Z # (r«- l r- l ) = 2'(*- 1 ) 

ist, so folgt 

£ % (b r~*s r) z ' (sr*) = Z % (b s) %' (s~ *) = h i % (b s) %' (s~*). 
Es ist folglich 



(6) 



X (6) ^ X (*) i (s- >) = / £ z (b s) z'(s~ »). 



§• 48. Allgemeine Charaktere einer Gruppe. 195 

Nimmt man %' = %, so ergiebt sich hieraus nach (3) die 
erste Folgerung 

Ersetzt man aber in der Summe auf der rechten Seite von (6) 
8 durch b- x sr\ also sr 1 durch s&, so folgt nach (1) 

und wenn man hierin % mit %' vertauscht, und auf der linken 
Seite s durch sr 1 ersetzt, 

CD tW Z Z(s)z'(s->) =f Z X (fis)x! (s-i). 

Wenn nun % von x! verschieden ist, so können die beiden 
Verhältnisse %(b):f und z' (&):/' nicht für alle b übereinstimmen, 
weil sonst nach (3) und (4) f = f und folglich %(b) = %'(b) 
wäre. Demnach ergiebt die Vergleichung von (6) und (7): 

und daraus nach (6) allgemein für jedes b 

Zz(bs)z'(s- 1 ) = 0. 

Wir haben also den Satz 

IL Wenn % ein Charakter der Gruppe ist, so ist 

(8) fZz(br)z{r-i) = h X (b) 

und wenn %' ein von % verschiedener Charakter 
ist, so ist 

(9) Zz(pr )X '(r- 1 ) = 0. 

Wenn P eine AbePsche Gruppe ist, so ist die Bedingung 
(1) identisch befriedigt und (2) ergiebt 

daraus folgt als specieller Fall 

Z(r)z(r- l )=f* 
und folglich aus (3) und (4) / = 1 und daraus 

X(bc) = xQ>)z(c). 
Dies aber ist nach §.13 die Definition eines Charakters 



13* 



i 



196 Siebenter Abschnitt. §. 4A 

einer Abdachen Gruppe. Für den Fall der A beliehen Gruppe 
gebt also die jetzige erweiterte Definition in die frühere über. 

Ist Q ein Normaltheiler von P vom Index v, so erhalten 
wir nach §. 4 die zu Q complementäre Gruppe P/Q als die 
Gruppe der Nebengruppen 

P = Q + Qi H h «r-i 

= Q + <*<? + &ÖH 

Ist dann 

ein Charakter der Gruppe P/(>, so erhalten wir daraus einen 
Charakter der Gruppe P selbst, wenn wir für alle in einer der 
Nebengruppe Qi enthaltenen Elemente a* setzen 

(10) Z(««) = *(G> 

Wenn nämlich x die Elemente einer, bestimmten Neben- 
gruppe yQ durchläuft, so bleibt nach der Bestimmung (10) 
% (bar' 1 ex) unverändert = 1>(by- 1 cy Q), und ebenso behalten 
%(x) und %{xr- x ) die unveränderten Werthe 1>(j/Q), 1>(y~ l Q)* 
Daraus aber ergiebt sich unmittelbar, dass die Bestimmungen 
der Definition I. durch (10) erfüllt sind, wenn die ^ den ent- 
sprechenden Bedingungen für die Gruppe P/Q genügen. Wii 
können hiernach den Satz aussprechen: 

III. Ist Q ein Normaltheiler von P, so erhält man 
aas jedem Charakter der Gruppe P/Q durcl 
(10) einen Charakter der Gruppe P. 

Ist P/Q eine Ab einsehe Gruppe, so existiren, wie wir wissen 
(P, Q) Charaktere ^, die sämmtlich Einheitswurzeln sind, uni 
für die ^(1) = 1 ist. Dieser Fall tritt nach §. 32, III. immfll 
dann und nur dann ein, wenn Q durch die Commutatorgrupp* 
C theilbar ist. Wir haben also den Satz: 

IV. Ist C die Commutatorgruppe von P, so existirei 
(P, G) Charaktere ersten Grades der Gruppe ?• 
Diese sind zugleich die Charaktere der Abel'« 
sehen Gruppe P/C. 

Ob die so bestimmten die einzigen Charaktere ersten Grade 
sind, bleibt einstweilen dahingestellt. 



49. Bestimmung der Charaktere. 197 

§. 49. 
Bestimmung der Charaktere. 

Für die Bestimmung der Charaktere ist die Eintheilung der 
nippe in Classen conjugirter Elemente wesentlich, wie 
ir sie in §. 32 kennen gelernt haben. 

Nach §. 48, (1) ist nämlich 

%(r-*ar) = %{a) 

nd daraus folgt, dass jeder Charakter % (a) für alle conjugirten 
demente a denselben Werth hat. Der Charakter ist also nicht 
owohl eine Function der Elemente als der Classen. Wir wollen 
ie Classen durch die griechischen Buchstaben a, /S, y, . . . be- 
eichnen, und dem entsprechend einen Charakter mit 

*ai */?, *y> • • • 

Um die a, 0, y, . . . durch Ziffern ersetzen zu können, denken 
rir ans die Classen in irgend einer Reihenfolge 

X, ^, O, . • • K 

amerirt, wobei 1 jedoch immer die Hauptclasse, d. h. die aus 
lern einzigen Hauptelement bestehende Classe bedeuten soll. 

Die Anzahl der Classen in der Gruppe P bezeichnen wir mit 
:, und die Anzahl der Elemente (den Grad) der Classe a mit h a . 

Durchläuft a eine Classe a, so durchläuft gleichzeitig a _1 
ine Classe a\ die wir die zu a reciproke Classe nennen (die 
atürlich auch mit a identisch sein kann). 

Es ist daher 

I) h a ' = h a * 

Wenn wir nun in den Formeln §. 48, '[(2) fürjfc setzen 
l b$ und die Summe über alle Elemente s j der Gruppe P 
hmen, so ergiebt sich 

Äa Z s Zy = fZ% (s- 1 b s r-^cr). 
;nn nun r und s die Gruppe P durchlaufen, so durchlaufen 

s~ l bs und r- x cr 

Classe /J, y der Elemente 6, c, aber so, dass jedes Element 
\* und A:Ä x mal erzeugt wird. Demnach ergiebt sich aus (2) 

hph Y %t% r =fZ%Q>c), 
in b die Classe ß und c die Classe y einmal durchläuft. 



198 



Siebenter Abschnitt. 



§.49. 



= «<*,/?, y, 



1. Wir bezeichnen mit h a ,ß tY die Zahl, welche an- 
giebt, wie oft die Gleichung 

(4) abc=l 

befriedigt wird, wenn a die Classe a, b die 
Ciasse ß und c die Classe y durchläuft, h^^j 
ist also eine ganze, nicht negative Zahl. 

Dann wird es sich h a > t ^ Y mft l ereignen, dass das auf der 
rechten Seite von (3) vorkommende Element bc in eine bestimmte 
Classe a gehört, und wir können hiernach die Formel (3) auch 
so darstellen: 

a 
(5) hßhyXßXy = f 2 h a >,ß, Y %a, 

worin jetzt auf der rechten Seite a die Gesammtheit der Classea 
durchläuft. 

Setzen wir hierin noch 

so können wir (5) auch so darstellen: 

a 

( 7 ) r i r Y = Za at ji,yra. 

Um aus diesen Gleichungen weitere Schlüsse zu riehea, 
müssen zunächst einige Eigenschafben der Zahlen h a ,p, Y abgeleitet;] 
werden. 

Aus der Gleichung (4) folgt 

cabcc 1 — cab = 1, 

und folglich ist Aa,/?, y = Ä y>a| /*. Da ferner cbcr 1 bei feststehen- 
dem c zugleich mit b die Classe ß durchläuft, so folgt, dass (4) 
ebenso viele Lösungen hat wie 

acbcr x c = acb = 1. 

und dass also h a ^ iY = Ä a , y ,/* ist. Also: 

2. Die Zahl h a ,a, Y bleibt ungeändert, wenn «, 0, j 
beliebig unter einander vertauscht werden. 

Verstehen wir unter h a ,ß jY ,s die Anzahl der Lösungen der* 

Gleichung 

(8) abcd = 1, 

wenn a, 6, c, d die Gassen a, ß, y, ö durchlaufen, so folgt ebenso] 
wie bei Äo,^ y , dass auch in h^^ Yl d die Indices o, /}, y, S beliebige 
vertauscht werden können. 



}. 49. Bestimmung der Charaktere. 199 

Setzt man jetzt 
(9) ab = er\ 

80 erhält man für jedes e eine bestimmte Anzahl von Lösungen 
Ton (9), in denen a aus einer Classe a, b aus einer Classe ß 
genommen ist Diese Zahl bleibt aber dieselbe, wenn man e 
durch ein anderes Element derselben Classe s ersetzt, weil mit 

(9) zugleich 

r— 1 arir- l br = r- 1 e- l r 

besteht und r^" 1 ar und r~ x br gleichzeitig mit a und b die Classen 
a and ß durchlaufen. Hiernach ist die Anzahl der Lösungen 
Ton (9) für ein bestimmtes e gleich 

Ebenso ist nach (1) die Anzahl der Lösungen von 

(10) cd = e 

gleich h Yy d tt * : A,. Aus dem gleichzeitigen Bestehen von (9) und 
(10) folgt aber (8), und daher ist die Anzahl der Lösungen von 
(8), die nach (9) dasselbe Element e ergeben, gleich 

*? 

und wenn man noch e die ganze Classe £ durchlaufen lässt, so 
erhält man für jedes dieser e die gleiche Zahl. Die Anzahl aller 
Lösungen von (8) ist hiernach 



Kfir,* — ^j K 

Hierin fuhren wir die durch (6) detinirten Zahlen a a ,^ y ein und 
setzen, da man in den h a ,ß,y die Indices permutiren darf, 

Aa,£« = Aa'a«/,«,^, 
Polglich, wenn noch a durch a' ersetzt wird, 

Aa'.fty.d = K 22aa,t t (i 0«,y,<J» 

Und da man nun in A a ',/*, y,j die Indices permutiren darf, so 
srgiebt sich der folgende Satz: 

3. Die Zahlen 

II; ««,/»,/ = — r— 

genügen den Relationen 



200 Siebenter Abschnitt. §.4 

(12) a a ,(i,Y = a «,y,£ 

« • 

Um die Sätze des §. 44 anwenden zu können, müssen * 
noch die Grössen 

(1 4 ) *«,* = Za^Xtad^p 

und die aus ihnen gebildete Determinante k*" 1 Grades 

(15) C = E + Ci^c^t... c Kk 

untersuchen. 

Dazu bedürfen wir noch der Eenntniss zweier Eigenschaf 
der Zahlen h a% ^ r 

Da mit der Gleichung (4) immer zugleich die Gleichung 

r- 1 ^- 1 ^ 1 = 1 
besteht, so ergiebt sich die erste dieser Formeln 

(16) h a ,p,y = Äa', ,#,/'• 

Setzen wir ferner in (4) für c das Hauptelement 1, so erhal 
wir die Gleichung 

ab = 1, 

die offenbar nur dann lösbar ist, wenn a und ß reciproke Glas 
sind, und die dann h a Lösungen hat, also, wenn ß von a' \ 
schieden ist 

(17) Ä a|/Jjl = 0, A a ,a',l = h a . 

Drücken wir nun die c a , t s nach (11) durch die h aus, so f< 

. _ ^7 h* t i,ahv %K t p 

c "<t- 2j h x h x ' 

oder nach (16) 



und wenn man x' durch x und ß' durch ß ersetzt (nach 2.) 

(18) Ca, jr — 2u TX — C ^- 



fX '**. 



Setzen wir für den Augenblick 

(19) -^=- = b { :\ 

yh x hx 



§. 49. Bestimmung der Charaktere. 201 

so haben wir, wenn a festgehalten wird, k* verschiedene v, ent- 
sprechend den fc 3 Combinationen x, A, und es wird 

(20) c a ,p = Zb ( : ) bf. 

Da ß' dieselbe Reihe durchläuft wie 0, abgesehen von der 
Reihenfolge, so ist die Determinante der c a ,,#, vom Vorzeichen 
abgesehen, der Determinante C gleich, und es ist also nach dem 
Multiplicationssatze der Determinanten [Bd. I, §. 30 (16)] 

(21) ±C = £ jB?, 
wenn JB, jede Determinante der Form 

(22) B 9 = 2 ± bp } b { Z* . . . #*> 

bedeutet Da die Elemente der Determinanten B 9 hier alle reell 
sind, so könnte C nur dann verschwinden, wenn sämmtliche 
B 9 = wären. 

Nun lässt sich aber leicht eine Determinante B* nachweisen, 
die von Null verschieden ist; denn setzt man 

ba ~ Vh ' 
so erhält man nach (17) eine Determinante J3„ in der alle nicht 
in der Diagonale stehenden Elemente verschwinden, während die 
Diagonalglieder ^/h^ sind. Wir haben also den Satz : 

4. Die Determinante C ist von Null verschieden. 

Hiernach lässt sich der Satz §. 44, 2. auf das Gleichungs- 
system (7) anwenden, und danach giebt es also k verschiedene 
Lösungen 

M > r 2 i • • •» *fc 

für dieses System, und die Determinante der ri x) ist von Null 
verschieden. 

Hat man diese Lösungen gefunden, so erhält man aus (6) 
die Charaktere #£> bis auf den Factor /<*) in der Form 

(23) haX a = ft a , 

und den Factor / erhält man nach §. 48, (3) bis auf das Vor- 
zeichen, wenn man bedenkt, dass in jener Summe jedes Glied 
A x mal vorkommt, aus 

(24) H = f>± r ^. 

Aus dieser Gleichung lässt sich durch Elimination der r 
eine algebraische Gleichung für / a herleiten. Es ergiebt sich 
nämlich aus (7) und (24) 



202 



Siebenter Abschnitt. 



r 



p- ^ r i 2j hx 



und daraus, wenn man die Formel (7) noch einmal anwer 

, a x X 



!*•/» = 2 r »2S 



/ 

oder mit Anwendung von (13) 



««.^(JO^x,^ 



(25) 



A TT» 

7i r f= 2^ 





Ott.i,«' «i,x,/* 



(26) 



Wenn wir diese Formel abgekürzt so darstellen 

r* ^* Tg 



so ist nach (11), (16), (18) und (25) 



(27) 

und 
(28) 



_ „ _ X7 Kj.*Kki> _ c <*, t>' 



h 



9= P 

die Wurzel der Gleichung x ten Grades 



(29) 



R = 



«1,1 — Q, Oi,a, 

«2,1» «2,2 — Qi 



• #l,fc 

• #2,fc 



= 0. 



ßfc, li «k, 2i • • • ßk,k Q 

Diese Gleichung hat aber nur reelle positive Wu 
Denn bezeichnen wir mit x a ein System unabhängiger Va. 
so ist die quadratische Form 

O (#H #21 • • -i x k) = Za aii iX a X.i 

eine definite positive Form, weil erstens ihre Detern 
nach (27) und 4. nicht verschwindet, und weil sie sich z 
nach (27) durch eine Summe von Quadraten, nämlich 

"•* i fy *«,*..- v 




/v 



darstellen lässt. Hiernach hat die Gleichung R = nur ] 
Wurzeln (Bd. I, §. 94). Es ergiebt sich also auch für 



§.50. Die Charaktere ersten Grades. 203 

poritirer Werth, und nach §. 48, (4) ist also auch / selbst be- 
stimmt Damit sind folgende Sätze bewiesen. 

5. Es giebt h und nicht mehr verschiedene Charak- 
tere %< x) der Gruppe P. Die Grade /<*> dieser 
Charaktere sind reelle positive Zahlen. 

Frobenius hat auf einem anderen Wege bewiesen, dass 
die Grade ganze rationale Zahlen sind, und ferner, dass die 
Charaktere Summen von Einheitswurzeln sind. .Hierauf können 
wir aber hier nicht eingehen. 



§. 50. 
Die Charaktere ersten Grades. 

Die abgeleiteten Resultate gestatten zunächst, alle Charak- 
tere ersten Grades zu ermitteln, und damit nachzuweisen, dass 
mit den in §. 48, IV. erwähnten Charakteren der Gruppe P/C 
die Charaktere ersten Grades erschöpft sind. 

Wenn unter den Werthen eines Charakters % imaginäre vor- 
kommen, so bleiben, da / reell ist, die Definitionsgleichungen 
§. 48, L bestehen, wenn überall i in — i verwandelt wird. Be- 
deutet also %' die Function, die durch diese Aenderung aus % 
hervorgeht, so ist auch %'(a) ein Charakter. 

Ebenso ist aus den Gleichungen §. 48, I. zu ersehen, dass wir 
einen Charakter % x erhalten, wenn wir für jedes a 

setzen. Wäre nun %' von %i verschieden, so würde aus §. 48, (9) 

folgen 

oder nach (1) 

(2) z%(y)z'{y)=o. 

Dies aber wäre, da %(y) und %'(y) conjugirt imaginär sind, 
iur möglich, wenn %(y) für alle y verschwindet, was nicht der 
all ist 

Uebertragen wir dies auf die Classen a, so können wir sagen: 

1. Ein Charakter % hat für zwei reciproke Classen 
a, a' conjugirt imaginäre (oder gleiche reelle) 
Werthe. Ist a mit a' identisch, so ist % a reell. 




Wir bezeichnen jetzt mit »i das Maximum der ab« 

Werthe eines Charakters 

UMI. It(»)l, U(«)l. 

Nun gilt der allgemeine Satz, dasa der absolute Wei 
Summe kleiner ist als die Summe der absoluten Werthe. 
nur dann dieser Summe gleich, wenn die Summanden in reell 
Verhältniss stehen (Einleitung zum ersten Bande). Folgl 
haben wir nach §. 48, (2) für je zwei Elemente b, c der Gl 

IzMHzWIS/»', 

und wenn wir b = c und |j;(&)| = »i setzen 

also gilt der Satz: 

2. Die absoluten Werthe eines Charakters 
alle kleiner, oder höchstens gleich dem Grad 
des Charakters. 
Mit Hülfe dieses Satzes wollen wir nun die Charakl 
ersten Grades aufsuchen. Wir setzen also / = 1. 

Dann ergiebt sich aus §. 48, (3) nach 1. und 2-, di 
absoluten Werthe aller %(r) gleich 1 sein müssen, und we 
Z(r) reell ist, so ist es = ± 1. Nach §. 48, (8) ist al 

SX(br)x (r~ l ) __ . 
" W) - ' 

und es ist also hier der absolute Werth der Summe glei< 
Summe der absoluten Werthe. Demnach müssen die Ver 
uisse x(br)x(r~ l ) : %(b) reell und gleich 1 sein. Also ist 

und für o = 1 

(3) zWzO- 1 ) = 1 

und folglich für je zwei Elemente bc 

(4) x(be) = x(>»x(c). 

Hieraus folgt, dass der Inbegriff Q aller Elemente a 
die der Bedingung %(u) = 1 genügen, eine Gruppe und zwar 
Normal theiler von P ist, und dass alle Elemente b einer Ne 
gruppe zu Q denselben Werth %(b) ergeben. Sind fernei 
irgend zwei Elemente, so ist x(bcb~ 'e — ') = 1, 
bcb- y c~ x in Q enthalten, also 

■Qbc eas Qab. 



and folglicl 



§.5L Beispiele für die Gruppencharaktere. 205 

Es ist also P/Q eine Abel 9 sehe Gruppe, und % ist ein Charakter 
dieser Gruppe, wie bewiesen werden sollte. 

Andererseits sind die Bedingungen (4) nach §. 48, I. auch 
hinreichend für einen Charakter ersten Grades. 



§. 51. 
Beispiele für die Gruppencharaktere. 

Als erstes Beispiel für die Bestimmung der Charaktere wollen 
wir die Quaternionengruppe wählen (§. 30). Die Elemente dieser 
Gruppe 8*** Grades bezeichnen wir wie früher mit 

1, «, a, a-\ ß, ß-\ y, y~\ 

und diese Elemente zerfallen in fünf Classen 

(1); (£); («,(*-*); (ß,ß~*); (y f y-*> 

Die Commutatorgruppe besteht hier aus den beiden Elementen 
1, f, und folglich haben wir vier Charaktere ersten Grades. 
Die Gleichungen §. 48, (2), (3) geben hier Folgendes: 

(1) X, = /, %i = f* 

(2) X a X t = fX a , XpX % = fZfl, %y%t = f%y 

(3) XßX Y = fX a <, XyXa = f%pi X a X.i = fXy 

(4) 2X1 = 2X$ = 2X r = p{X x + X t ) 

(5) 8 = Z» -f X\ -f 2X% + 2X$ + 2Z*. 

Aus (1) ergeben sich die beiden Möglichkeiten % t = -J-/, 
lt = — /. Bei der ersten Annahme wird nach (4) 

XI = %} = *■=/» 

und aus (5) ergiebt sich / = 1, und aus (3) 

6) X a Xj Xy = 1. 

Die Annahme % t = — / giebt % a = x? = Xy = und / = 2. 
)emnach haben wir folgende Charaktere: 



1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


— 1 


— 1 


1 


1 


1 


— 1 


1 


— 1 


1 


1 


1 


— 1 


— 1 


1 


2 


2 


— 2 












206 



Siebenter Abschnitt. 



Als zweites Beispiel wollen wir noch die alterniren 
mutationsgruppe von vier Ziffern 1, 2, 3, 4 betrachte 
Gruppe ist vom 12** 1 Grade, und man erhält die Elemen 
Classe, wenn man' in den Cyklen von einer unter ihnen < 
mutationen der Gruppe selbst ausfuhrt. So erhalt m 
Classen, als deren Repräsentanten man folgende wählen 

1 Anzahl 1 

s =(1,2) (3,4) „ 3 

* = (1,2,3) „ 4 

a!= (1,3,2) „ 4 

Die Gleichungen §. 48, (2), (3) ergeben 
(7) 3 X! = f{% x -f 2 %,) 

(8) %t% a = flat %*%a* = floß 

(9) X% = fl a ; Xi> = /Xa 

(10) 4 X a X tt . = /(Z, + 3 Z.) 

(11) 12 =/» + 3Z. a + 8X a Za-. 

Aus (8) erhält man entweder 

oder 

Xa == *a' ==r 0. 

Nach der ersten Annahme giebt (10) 

X a X a > = P 
und (11) und (9) 

/=1, Xl = X%. = 1, Z.Z*=1. 

Nach der zweiten Annahme ergiebt (10) und (11) 



und wir erhalten also, wenn 



Q = 



l + V-3 



eine imaginäre dritte Einheitswurzel ist, folgende vier Chs 



f 

1 
1 
1 
3 



*1, 


*«, 


1 


1 


1 


1 


1 


1 


3 


— 1 



ßl 



1 

Q' 2 




3Jo' 



1 

? 2 

Q 





§.•52. Gruppendeterminante. 207 



§• 52 - 

Die Gruppendeterminante. 

Wir wollen jetzt die Elemente der Gruppe P mit 04, a a , . . ., a* 
bezeichnen und jedem dieser Elemente eine Variable zuordnen, 
so dass wir ein System von einander unabhängiger Variablen 

erhalten. Jedes Element a von P entspricht dann einer be- 
stimmten Permutation dieser n Variablen 

und es entsteht so eine mit der Gruppe P isomorphe Permu- 
tationsgruppe dieser Variablen (§. 6). 

Aus diesen Variablen bilden wir nun auf folgende Weise 
eine Matrix 

(3) X = 



%a n 1 a, 1 %a a 1 a„» • • »i ^aT" 1 ^ 



\ 



2 ~1 ' 2 2' ' 2 



/• l 7 A 2 A a 



die in jeder Zeile und in jeder Spalte die sämmtlichen h Variablen 
x enthält, und die wir die Gruppenmatrix nennen. In der 
Diagonalreihe steht die dem Einheitselement der Gruppe ent- 
sprechende Variable x t . Die Anordnung der Variablen in dieser 
Matrix entspricht der Anordnung der Elemente von P in der 
Grappentafel (§. 29, 30). 

Die Determinante der Matrix X ist eine ganze homogene 
Fanction Ä 1611 Grades 8(£ l9 # 9 , . . ., x h ), die die Gruppendeter- 
minante von P heisst. Die Gruppendeterminante ist immer in 
Factoren zerlegbar und diese Zerlegung hat Frobenius 1 ) voll- 
ständig durchgeführt. 

Die Ergebnisse dieser schönen, aber schwierigen Unter- 
achung können wir hier nicht vollständig mittheilen. Wir wollen 
ber wenigstens versuchen, dem Leser einen Einblick in die 



*) Die Primfactoren der Gruppendeterminante, Berl. Akad., 3. Dec. 
•$96; Ueber die Darstellung endlicher Gruppen durch lineare Substitutionen, 
«. Nov. 1897. 



208 Siebenter Abschnitt §.51 

Natur dieser merkwürdigen Determinante und ihre Bedeutung 
für die Gruppentheorie zu geben. 

Wenn wir neben den Variablen x noch ein zweites System 
davon unabhängiger Variablen y u y 2 , . . ., y h einführen, und aus 
ihnen die Matrix Y bilden, so können wir diese beiden Matric« 
nach der Regel des §.41 componiren, und erhalten eine dritte 
Matrix 

(4) Z = xr, 

deren Elemente e durch die Gleichungen 

t 

definirt sind, die sich auch so darstellen lassen: 

(6) z a = lx b y n (bc = a), 

wenn sich die Summe auf der rechten Seite auf alle Elementen- 
paare 6, c erstreckt, die der Bedingung a = bc genügen« 

Bezeichnet man mit ©(#), ®(y), 0(z) die Determinanten der 
Matrices X, Y, Z, so folgt aus (4) 

(7) ®{z)= @(x)@(y). 
Werden die Variablen x a -i a = gesetzt, so oft fc von I 

verschieden ist, und nur x a —i a = #i = 1, so möge diese Snb* 

stitution (x u # 2 , . . . Xh) = (1, 0, . . . 0) abgekürzt durch 

(X) = (1) 

bezeichnet sein. Es ist dann 

®(1) =1, 

und wenn &(x) irgend einen Theiler von 0(x) bedeutet, w 
kann auch dieser durch die Annahme (x) = (1) nicht ver- 
schwinden. Das Hauptproblem ist, die sämmtlichen irreduciblen 
Factoren &(x) von ®(x) zu ermitteln. Um diese Factoren voll* 
ständig zu definiren, wollen wir festsetzen, dass 

(8) *(1) = 1 



sein soll. Dann muss jeder dieser irreducibeln Factoren 

Bedingung 

(9) *(*) = 0(x)0(y) 

genügen. Denn zerlegt man die rechte Seite von (7) in ilvr* 
irreducibeln Factoren, so folgt zunächst (Bd. I, §. 20), 
<&{z) = 1 {oc)0. i {y) ein Product aus einer Function der 



$.62. Die Gruppendeterminante. 209 

«Hein und der (y) allein sein muss. Nimmt man 4^(1) = 1, 
*,(1)=1 an, so folgt, wenn man (y) = (1) und (x) = (1) 
»etzt» 9 t (x) = &(x), 0>,(y) = <D(y). 

Umgekehrt lässt sich auch leicht zeigen, dass eine der 
fedingung (9) genügende irreducible Function 0(x) ein 
'heiler der Gruppendeterminante @(x) sein muss. Denn setzt 
tan für T die Matrix X"~\ so wird (z) = (1). Die Variablen 
werden rationale gebrochene Functionen von (x) mit dem 
enner S(x) (§. 41), und wenn wir die Zähler mit (y) und den 
rad Ton &(x) mit m bezeichnen, so folgt aus (9) 

0) e(xy = ®{x)®(y'). 

Daraus aber folgt, dass <D(#), wenn es irreducibel ist, ein 
heiler von 0(x) sein muss. Wäre 0(x) nicht irreducibel, so 
ürde nur folgen, dass es in einer Potenz von &(x) enthalten 
an muss. 

Setzt man alle Variablen x = 0, mit Ausnahme einer ein- 
gen x a , die = 1 gesetzt wird, so mag diese Substitution mit 

1) {x) = (a) 

^zeichnet werden. Eine Function &(x) geht dadurch in eine 
mction des Elementes a über, die mit d>(a) zu bezeichnen ist. 
jtzt man (x) = (6), (y) = (c), so wird nach (6) (z) = (bc) und 
e Relation (9) zeigt, dass 

®(bc) = &(b)Q(c) 

L Es ist demnach &(a) ein Charakter ersten Grades der 
ruppe P. 

Setzt man nun (y) = (c) und lässt die x variabel, so ergiebt 
e Formel (6) 

Zhc = %b, 

h. die z stellen nun eine (in der Gruppe P vorkommende) 
mnutation der Variablen x dar, und die Formel (9) ergiebt 

lenso erhält man durch die Substitution (x) = (c), wenn man 
nn wieder x für y setzt: 

&(x c -i ai , Xc-i^, . . ., x c -i ah ) = ®(c)®(x). 

Die Function 0(x) bleibt also bis auf einen Factor, 
r eine Einheitswurzel ist, ungeändert, wenn auf die 
iriablen eine Permutation einer mit P isomorphen 
>rmutationsgruppe angewandt wird. 

Weber, Algebim. IL 14 







210 Siebenter Abschnitt. 

Solche Functionen , denen wir weiterhin noch mehrfac 
gegnen werden, heissen Invarianten der Gruppe. 

Es lassen sich nun mit Hülfe der Gleichung (II i zunächst 
die linearen Factoren von 0{.r) bestimmen. Bezeichnen wii 
nämlich einen linearen Factor von &(x) mit 

(13) i(« = i z (a)»., 

worin sich die Summe auf alle Elemente « der Gruppe P erstreck 
und i{a) vorläufig ein Zeichen für den Coefticienten von x t ist 
so ergiebt sich aus (9): 

(14) ii(<).-. = "i(l)i(')afc 

und daraus nach (6): 

(15) l(bc) = z(b) z (,c), 

d. h. es niusa %(a) ein Charakter ersten Grades der Grnpp 1 
i» Bein. 

Aus (10) ersieht man aber auch, dass umgekehr 
L(x) ein Factor von &(x) ist, wenn %(a) ein Cbarakl« 
ersten Grades ist, und die Anzahl der von einander ver 
schiedenen linearen Factoren von ®{x) ist also ebeoai 
gross, wie die Anzahl der Charaktere ersten Grades. 

Es ist auch leicht, zu zeigen, daas ein linearer Factor L(t 
nur in der ersten Potenz in &(x) enthalten sein kann. 

Setzt man nämlich 

folglich 

so folgt 

L(x) = iy a , ®(x) = &(;,). 

Wenn man also in der Determinante &(y) alle Ver 
reihen zur ersten addirt, so werden alle Elemente dieser e 
Spalte gleich L(x), und wenn man also L(x) heraushebt, t 
bleibt eine Determinante ®(y):L(x), in der alle Elemente d< 
ersten Spalte gleich I sind. In allen anderen Verticalreihe 
sind die Elemente die y a in verschiedener Anordnung. 

Diese Determinante ändert sich dalier nicht, wenn man ; 
-f- t verwandelt, was auch t sein mag. Folglich kai 
&(x) '■ L(x) nicht mehr durch L theilbar sein, weil sich eh« 
L(x) durch diese Substitution ändert. 



sr erst« 






§.53. Specielle Gruppendeterminante. 211 

Weit schwieriger ist die Aufsuchung der nicht linearen Prim- 
factoren von B{x). Frobenius hat bewiesen, dass die Zahl der 
?on einander verschiedenen Primfactoren von 0(x) gleich der 
Anzahl der Glassen conjugirter Elemente ist, und dass jedem 
Charakter einer dieser irreduciblen Factoren entspricht, so dass 
die Coefficienten in bestimmter Weise aus den Werthen dieses 
Charakters gebildet sind. Ist der Primfactor & vom Grade /, so 
ist auch / der Grad des entsprechenden Charakters, und d> ist 
genau /mal in S(x) enthalten. Hieraus folgt dann eben, dass 
die Grade der Charaktere ganze Zahlen sind, deren Quadrat- 
Summe gleich dem Gruppengrade h ist. Von den Zahlen / lässt 
sich ausserdem noch nachweisen, dass sie Theiler der Zahl h sind. 

§. 53. 
Die specielle Gruppendeterminante. 

Sehr viel einfacher als bei der allgemeinen Gruppendeter- 
minante ist die Untersuchung der speciellen Function h ten Grades, 
die man erhält, wenn man die x nicht als unabhängige Variable 
betrachtet, sondern zwischen ihnen die Relationen 

(1) %ab = #ba 

bestehen lässt. Eine Folge davon ist 

Xu ^ ab X a i 

so dass also jetzt zu jeder Classe a conjugirter Elemente nur eine 
Variable x a gehört. Die Je Variablen x a sind aber von einander 
unabhängig. 

Besteht dieselbe Abhängigkeit zwischen den Variablen y, so 
bleibt z ungeändert, wenn die y mit den x vertauscht werden. 
Denn nach §. 52, (6) kann man z a in jeder der beiden Formen 
darstellen 

r r 

| 2x r y r -i a , Zx ar -iy r , 

■mm denen nach (1) die eine in die andere durch Vertauschung 
mm x mit y übergeht. Ebenso leicht erkennt man, dass die 
^Variablen z in derselben Abhängigkeit (1) stehen, wie die x und y. 
■ Die Matrices X und Y sind also unter diesen Annahmen 
t einander vertauschbar. 
Ordnen wir jede der Je Classen a einem Werthsystem 



(o) (a) (a) 



14* 



212 Siebenter Abschnitt. §. 5t 

zu, dessen Elemente xf } alle = sind, mit Ausnahme tob 

x a a) = 1, so haben wir hier h specielle, der Bedingung (1) ent- 
sprechende Systeme x a angenommen, aus denen man ebenso 
viele unter einander vertauschbare Matrices X (a) bilden kann. 
Wenn nun aber x a ein System unabhängiger Variablen ist, so ist 

2? Xß X a = Xß, 

und daraus ergiebt sich nach dem Satze 13, §. 43: 

1. Die durch die Annahme (1) specialisirte Gruppen- 
determinante 0(x) ist in h lineare Factoren zer- 
legbar. 

Wenn L(x) einer dieser Linearfactoren ist, in dem ein oon- 
stanter Factor so bestimmt ist, dass L(l) = 1 wird, so ergiebt 
sich aus §. 52, (7), genau wie oben die Formel (9) abgeleitet war, 

(2) L(m) = L(x)L(y). 
Wir setzen nun 

(3) Z (l)L(x) = £ X (a)x a , 

indem wir mit % (a) die noch zu bestimmenden Goefficienten be- 
zeichnen, die dadurch erst vollständig definirt sind, dass z(a)ß* 
alle Elemente a der Classe a denselben Werth haben, dass also 

X (bc) = %(cb) 
sein soll. Es folgt dann aus (2) und §. 52, (6): 

(4) h Z X {b)x{c)x h y c = %(l)Z%(hc)x h y e . 

Suchen wir rechts und links den Coefficienten von Xpy r a4 
so ergiebt sich, wenn b y c zwei feste Elemente der Classen /J,f 
sind, und r und s die ganze Gruppe P durchlaufen, 

^x(b) X (c) = 1(1)2 z(r*brr-ic8), . 
oder, was dasselbe ist, 

(5) hz(P)z{c) = z(l)2z(br-*cr). 
Wenn wir also den noch willkürlichen Factor % (1) = / 

durch die Bedingung 

£z(r)z(r~ 1 ) = h 
bestimmen, so folgt, dass %(a) ein Charakter unserer 
Gruppe P ist. 

Um die Umkehrung dieses Satzes zu beweisen, bemerken 
wir, dass, wenn %(a) ein Charakter ist, aus den Bedingungen 
§. 48, (2) folgt: 



§.& Specielle Gruppendeterminante. 213 



c r 



**(*) £ %(c)x e = fZ E %(br-Hr)x c , 
und wegen (1) 

lQ>)E X {c)x e =; fZ X (bc)xc 

C 

= f^Xi^Xt-lc 

Definiren wir also L(x) durch (3), so folgt 

(6) X(i)L(x) = E X (c)x b -i e , 

und daraus folgt, dass die aus den Variablen x b -i c gebildete 
Determinante B(x) immer verschwindet, wenn L(x) verschwindet; 
! also ist 9(x) durch L(x) theilbar. 
Damit haben wir also den Satz: 

2. Man erhält alle Linearfactoren der specialisirten 
Gruppendeterminante &(x), wenn man in 

fL(x) = 2 X (a)x a 

für % die sämmtlichen Je Charaktere der Gruppe 
setzt 

h welcher Potenz jeder dieser Linearfactoren in ®(x) enthalten 
ist, darüber giebt uns dieser Satz noch keine Auskunft. Die 
Summe der Exponenten muss aber gleich h sein. 

Aus der Theorie der allgemeinen Gruppendeterminante hat 
Frobenius für diesen Exponenten den Werth / 2 abgeleitet. 

Die Relation (6) lässt sich auch so darstellen: 

(7) h ß Z?L(x) = ZZ Y Zx b -i c , 

wenn b und c nun nicht mehr die ganze Gruppe, sondern nur 
noch die Classe /J, y durchlaufen. Nun ergiebt sich aber nach 
g. 49 

b, c a 

£ %b— * C = £ Jl u ', ?, y X a , 

ind folglich wird (7) 

y c^ 

6) hp X.i L(x) = H % y 21 ha', ß', Y %(*• 

Setzt man also zur Abkürzung 

a 
A,* Wy, ? = £ h a ', p, Y X a , 

io sind die k Functionen L(x) die Wurzeln der Gleichung 
fc*» Grades: 



214 



Siebenter Abschnitt. 

#1,1 — J-i 1*1,2, ... U^fc 
t*2,l, <*2,2 — K • • • #a,k 

t**,lj t*Jr,2i • • • U k,k ^ 



§.54. 



= 0, 



und das Product der Functionen L(x) ist sonach gleich der 
Determinante Je*** Grades: 

ü ' = 2 ± t^i,it*2,2. . . t* k>k . 



§. 54. 
Beziehung der Gruppenmatrix zu den Gruppen 

linearer Substitutionen. 

Da jede Gruppe mit einer Permutationsgruppe isomorph ist, 
so ist sie nach §. 47 auch mit einer Gruppe linearer Sub- 
stitutionen isomorph. Die Dimension dieser linearen Sub- 
stitutionen ergiebt sich hier zunächst so gross, wie der Grad 
der Gruppe. Es ist aber von grösstem Interesse, eine Gruppe 
linearer Substitutionen zu finden, die bei möglichst kleiner 
Dimensionenzahl mit einer gegebenen Gruppe isomorph ist Die 
hierauf bezüglichen Untersuchungen von Frobenius 1 ) könnet 
wir hier nur im Allgemeinen skizziren und an einem Beispiele 
erläutern. 

Es seien A, B, C, . . . die linearen Substitutionen einer end- 
lichen Gruppe von der Dimension n, und P irgend eine mit dieser 
isomorphe Gruppe mit den Elementen a, 6, c, . . . vom Grade L 

Sind a* x) , 6[ x) , c< x) , ... die Coefficienten in A, B, C, . . ., so setzen: 
wir, wenn # a , #&, x c , . . . ein System unabhängiger Variablen 
bedeuten, 

(1) t4 x) = a^Xa + b^ x b + c? x c + 
und betrachten die Matrix 

«*<», i#o\ . . ., na) 



oo 



= EdTx„ 



(2) 



i*w u^\ . . ., i*!^ 



Führen wir ein zweites System von Variablen (y) ein 
bezeichnen die dem U entsprechende Matrix mit V und Ar 



l ) Ueber die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare 
stitutionen, Berliner Akademie, 18. Nov. 1897. 



§. 54. Gruppenmatrix und Gruppen linearer Substitutionen. 215 

Elemente mit iff\ so ergiebt sich die aus beiden zusammen- 
gesetzte Matrix 

3) W= UV, 

renn die Elemente w^ von W durch 

i 

>estimmt sind. Hier ist nun, wenn A = B C ist (§. 41), 

4) a<*> = £&<*><#>; 

irenn wir also, wie in §. 52, (6), 

;5) z a — 2x h y e {bc = a) 

letzen : 

[6) u%) = Z a<*> z„ 

Bezeichnen wir die Determinante von U, die eine Function 
it** 1 Grades von (x) ist, mit F(x), so ist also 

:7) F(z) = F(x)F( jf ) t 

und daraus folgt nach §. 52, (10), dass F(x) in einer Potenz der 
Grruppendeterminante enthalten sein muss. 

Wenn umgekehrt für eine gegebene Gruppe P die h Systeme 
ron je « a Zahlen al*\ b[*\ cf\ ... so gegeben sind, dass durch 
Vermittelung von (5) die Relation (3) besteht, so verschwinden 
Jie Determinanten der Matrices A, JB, C, . . . entweder alle, oder 
5s verschwindet keine von ihnen. Denn durch die Substitution 
[x) = (a)' [§. 52, (11)] geht F(x) in die Determinante von A 
aber, und wenn diese verschwindet, so verschwindet nach (7) die 
Function F(z) identisch. Da nun aus (3) die Relationen (4) 
Folgen, für je zwei b, c und ein bestimmtes zugehöriges a = bc, 
Bo ergiebt sich, dass die A, B, C, . . ., wenn ihre Determinanten 
Dicht verschwinden, eine zu P isomorphe Gruppe linearer Sub- 
ititutionen bilden. Der Isomorphismus kann mehrstufig sein, 
renn unter den A, B, C, . . . dieselbe Substitution mehrmals 
rorkommt. 

Ist nun X die Gruppenmatrix und S eine von den Variablen 
p. unabhängige (numerische) Matrix, so kann man X durch S 
ransformiren, und erhält 

8) r = s _1 xs, 

ro die Elemente der Matrix X' lineare Functionen der Variablen 



216 



r Ahsohuitt. 



?■ H. 



X« sind. Für diese transformirten Matrices gilt dieselbe Com- 
positionsregel, wie für die X [§. 52, (5)] 

(9) z' = x' t: 

Wenn es nun gelingt, die Substitution S so zu bestimmen, 
daaa X' in Theilmatrices zerfallt [§. 42, (10)]: 

X' = (U, U x , Un...\ 
so gilt für jede dieser Theilmatrices, deren Elemente gleichfalls 
lineare Functionen der {x) sind, die Compositionsregel 

W = UV, 
und die Determinante von U ist ein Factor der Gruppendeter- 
minaute, also für (x) = (1) von Null verschieden. Ist also C 
von der Dimension m, so können wir daraus eine mit P isomorph« 
Gruppe linearer Substitutionen von der Dimension m herleiten. 

Frobenius hat nun, einer von Dedekind durch Beispii 
gegebenen Anregung folgend, den allgemeinen Nachweis geführt, 
dass sich S so bestimmen lüsst, dass jedem Primfactoi 
<P vom Grade m der Gruppendeternunante eine The 
matrix von der Dimension m entspricht, deren Detf 
minante eben jener Primfactor ist. 

Hat man diese Transformation gefunden, die freilich ni< 
mit den Gruppencharakteren allein ausgeführt werden kai 
sondern noch höhere Irrationalitäten erfordert, so ist damit ; 
gleich die Zerlegung der Gruppendeterniinante gefunden. 

Wir geben als Beispiel den Fall der Quaternionengru): 
(§. 30), in dem sich das Resultat, was man nach einigen V 
suchen findet, sehr leicht veriliciren lässt. 

Wir ordnen den Elementen dieser Gruppe 

, ß~\ ß, y~\ v 

?4, X t , Jt„ Xj, Xs 

zu und erhalten aus der Gruppentafel (§. 30) sofort die Grupp 
matrix 

, X 4 , X, 



die Variablen 



(10) 



x t , 



, #4i #ai 



, a: s , ,t„ x, 



x t , x 3 , a„ x Jt x 7 , x s , x e , x b 

x„ x t , x„ Xx, #„, ar„ a: s , x s 

X 8 , X&, X,, X 7 , 2",, X,,, .T s , X t 

X M Xi, Ä„ X„, X at T lt X„ X a 

»„, x u x h , a; 6 , x t , aij, .r„ x a 

Xj, X*. X,-, X„, X s , X t , X}, Xi 






§. 54. Gruppenmatrix und Gruppen linearer Substitutionen. 217 



Setzt man dann 



(11) 8 = 



1 








1 


1 








— 1 


• 

% 








• 

— % 


• 








• 

» 





1 


1 








— 1 


— 1 








• 

— % 


• 

l 








• 

l 


• 

— % 






io ist die Determinante von S von Null verschieden (sie ergiebt 
ich gleich 2 10 ), und wenn man noch 

<f J = Xi -}- #2 | ^8 |~ *^i — #5 """ #6 #7 — ^8 

|J 3 = #j -J- #2 ^3 *^4 ~| ^5 |" ^6 — ^7 *^8 

#4 = Xi — (— 3*2 — #3 — #4 — #5 — X$ -j— #7 — (— X$ 

X\ — — 3/j ~ """ «3>2 ' I *( U/g ^~~~ Xaj 

X\ ^^ 3?j ^~ 5/j - ,-— fc v^3 ~ ' ~" ^Kj 

X% ^= #5 — #g t(5?7 — X$) 

X$ = #5 — X$ -j- t(j?7 — #3) 

md 



12) 



13) X' 



<*l 


























ö 3 


























<** 


























<*4 


























*i 


r a 




















— *2 


*1 


























*1 


— r. 




















r a 


r\ 



etztj so findet man sowohl durch die Zusammensetzung X S als 
urch SX' die Matrix 



<*1 


«2 


«:» 


Ö« 


*1 


** 


*i 


1 


<*l 


<*» 


«3 


«4 


— *i 


— t% 


— *a 


1 

— Tl 


<*J 


tf a 


— ÖJ 


— <J 4 


JT, 


ix 2 


tt2 


— iri 


<*l 


a a 


-Ö3 


— tf 4 


— «T, 


— iz t 


1X2 




<*1 


— «* 


«3 


— 04 


— *2 





*l 


— r 2 


<>\ 


— « a 


<*:• 


— «4 


r a 


— r\ 


— *l 


r 2 


<*l 


— ö 2 


— ÖJ 


04 


ir'i 




iX 1 


— ix 2 


<*l 


— « 2 


— «3 


04 


— it't 


• # 


— ix x 


ix 2 



218 Siebenter Abschnitt. §.66. 

Es ist daher 

(14) X'=S- l XS. 

Dies ist für diesen Fall die gesuchte Transformation. Es ergiebt 
sich daraus zunächst die Zerlegung der Gruppendeterminante 

(15) ®{x) = 6 X ö 2 tf 3 tf 4 (r x r/ + r 2 r a ') 2 , 
und die Matrix 

< i6 > T = (-<: ?) 

ergiebt, wenn man darin alle Variablen x mit Ausnahme von 
je einer = setzt, die mit der Quaternionengruppe isomorphe 
Gruppe binärer linearer Substitutionen 

<"> «=( ;;?> tu> (<.:-")• ra 

/ 0, 1\ / 0, — 1\ /0,-t\ / 0, t\ 

V-1,0/ V i, o/ U or v-t,o;' 



§. 55. 
Die Invarianten von endlichen Gruppen linearer 

Substitutionen. 

Wir wenden uns jetzt zu der Betrachtung endlicher Gruppen 
linearer Substitutionen, auf die nach dem bisher Ausgeführten 
alle endlichen Gruppen zurückgeführt werden können. 

Wir bezeichnen eine solche Gruppe mit S, und ihre Sub- 
stitutionen mit J., 2?, (7, . . . Werden in irgend einer Function 
der Variablen x^ x 2 , . . ., x n die Variablen (x) durch A(x) 
ersetzt, so sagen wir, die Substitution A werde auf die 
Variablen (x) angewandt. Wir definiren nun zunächst fol- 
genden Begriff: 

1. Eine Form <& (öc u x % , ..., x n ) von n Variablen heisst 
eine Invariante oder invariante Form der Gruppe 
S, wenn sie ungeändert bleibt, wenn auf die 
Variablen (x) die sämmtlichen Substitutionen 
.4, 2?, C, . . . der Gruppe S angewandt werden. 

Wie früher (Bd. I, §. 17) ist hier unter einer Form eine 
ganze homogene Function der Variablen x zu verstehen. 
Wir können diese Definition auch durch die Formeln 



§.66. Invarianten endlicher Gruppen. 219 

(1) 0> [A(x)] = * [B(x)] = 9 [C(x)] . . . 

ausdrücken. 

Dass es für jede endliche Gruppe S invariante Formen in 
beliebiger Menge giebt, ist leicht einzusehen. Man braucht nur 
eine beliebige Form g>(x) der n Veränderlichen x zu nehmen, 
die Functionen 

(2) <p \A(x)\ <p \B(x)\ <p [C(x)], . . . 

für alle Substitutionen der Gruppe zu bilden, und irgend eine 
symmetrische Function der Formen (2) für <P zu nehmen. 

Denn wendet man auf (x) eine Substitution der Gruppe S 
an, so ändert sich die Gesammtheit der Functionen (2) nicht; 
es wird nur ihre Reihenfolge eine andere. 

Man kann den Begriff der Invarianten noch allgemeiner 
fassen, wie folgt: 

2. Eine Form *P (x u # 2 , . . . x n ) heisst auch dann eine 
Invariante der Gruppe S, wenn sie constante 
Factoren annimmt, wenn auf die Variablen (x) 
die Substitutionen J., 2?, C . . . der Gruppe S an- 
gewandt werden. 

Durch Formeln wird diese Eigenschaft so ausgedrückt: 

(3) V[A(xJ] = *W(x), W[B(x)] = ßiP(x), V[C{x)\ = V V{x)..., 

worin die Coefficienten a, /3, y . . . von den x unabhängig sind. 

Wenn eine Unterscheidung nöthig ist, wollen wir die in 1. 
definirten Formen absolute Invarianten und die in 2. rela- 
tive Invarianten der Gruppe S nennen. 

Aus den Formeln (3) ergiebt sich: 

(4) W[AB{x)] = *ßW(x), 

und daraus folgt, dass die Factoren a, /3, y, . . . in ihrer Gesammt- 
iefy bei der Zusammensetzung durch Multiplication, eine Gruppe 
bilden müssen. 

Zwischen dieser (commutativen) Gruppe und der Gruppe S 
besteht ein im Allgemeinen mehrstufiger Isomorphismus, da ver- 
schiedene Substitutionen aus Szu demselben Factor a führen können. 
Ist ft der Grad der Gruppe S, so ist der Grad eines jeden 
Elementes JL, 2?, . . . von S ein Theiler von ft, und folglich ist 
A* = B* = . . . gleich der identischen Substitution. 

Hieraus folgt, dass die Factoren a, /3, y . . . ji* Einheits- 
rurzeln sind. 



220 Siebenter Abschnitt $.55. 

Ist e die kleinste positive, der Bedingung 

(5) a e = ß e = f = • • • = 1 

genügende Zahl, so sind die a, /J, y, . . . zugleich e* Einheite- 
wurzeln und e soll der Index der Invariante *F(x) heissoi. 
Ist « eine primitive c te Einheitswurzel, so können wir 

a = s% ß = e b , y = 6 e . . . 

setzen, und die Exponenten a, 6, c . . . können keinen gemein* 
schaftlichen Theiler mit e haben. Daraus folgt, dass man 
ganzen Zahlen rr, y, £, . . . so bestimmen kann, dass 

ax -f- by -f- c-er -f- • • • = 1 (mod c) 

wird (Bd. I, §. 126). Da nun wegen der Gruppennatur 
den Factoren a, 0, y, . . . auch die Zahl 

oFßvy* • • • = b 

vorkommt, so folgt, dass die Gesamtheit der Factoren «,fty,... 
mit den Potenzen von s . 

1, c, £,•••,£ 

zusammenfallen muss. . 

Suchen wir in S alle Substitutionen A y die der Bedingung ] 

(6) «W«)] = ^0*0 

genügen, zu denen gewiss die identische Substitution gehört, so 
erhalten wir eine neue Gruppe T, die ein Theiler von S ist 
Bedeutet dann E eine der Bedingung 

(7) ^[ß{x)\ = s W(x) 

genügende Substitution aus S, so haben alle Substitutionen AS 
und EA die gleiche Eigenschaft, und wir erhalten die«Zerlegung 
von S in die Nebengruppen 

(8) 8 = T + TE -f T£ 2 -| h TE7~ l ; . 

der Index (S, T) des Theilers T ist also = e. Zugleich ergiebt 
sich noch, da jede Substitution ET X AE der Bedingung (6) genügt, 

(9) JST 1 TE = T, 

woraus hervorgeht, dass T ein NormaltheUer von S ist Wir 
haben damit den Satz bewiesen: 

3. Ist W(x) eine Invariante der Gruppe S vom 
Index e, so bilden alle Substitutionen von S, 
durch die W(x) ungeändert bleibt, einen Normal- 
theiler T von S vom Index e. 



\, 65. Absolute und relative Invarianten. 221 

Für die Gruppe T ist Wix) absolute Invariante. Die 
[nrarianten vom Index 1 sind die absoluten Invarianten von S. 
Die Gruppe T beisst die zur Invariante W(x) gehörige 
jruppe. 

Hat die Gruppe S vom Grade p eine Invariante vom Index ft, 
o wird T die Einheitsgruppe und S ist eine cyklische Gruppe, 
lie aus den Elementen 1, E, £ a , . . ., J0*- 1 besteht. 

Betrachten wir als Beispiel die symmetrische Permutations- 
[ruppe P von n Elementen x u x 7 , . . ., #„, die ja nach §. 47 unter 
len Gruppen linearer Substitutionen enthalten ist, so haben wir 
ds absolute Invarianten die symmetrischen Functionen der 
i Variablen x. Das Differenzenproduct 

]/4 = (x 1 — x 2 ) (x x — x 3 ) . . . (#*_! — s„) 

st eine relative Invariante vom Index 2, zu der die alternirende 
Jruppe gehört. Da die Gruppe P ausser der alternirenden 
iruppe keinen Normaltheiler hat und auch nicht cyklisch ist, 
o giebt es keine relativen Invarianten von höherem Index als 2. 

Die absoluten Invarianten, d. h. die symmetrischen Func- 
ionen, sind hier durch eine endliche Anzahl solcher Formen 
ational darstellbar, nämlich durch die symmetrischen Grund- 
mctionen, und die Invarianten vom Index 2 sind das Product 
od V~2 mit absoluten Invarianten. Dass analoge Sätze auch 
n allgemeinen Falle gelten, werden wir in der Folge beweisen. 

Wir schliessen hier mit dem Beweise eines allgemeinen Satzes, 
er bei allen Anwendungen für die Bildung der Invarianten einer 
nippe S von grossem Nutzen ist. 

Im §. 66 des ersten Bandes haben wir für irgend eine Form 
er n Variablen F (x u x % , . . ., x n ) = F(x) gewisse Formen der- 
Jben Variablen C (x x , # a , . . ., x n ) = C (x) als Covarianten 
efinirt, die dadurch charakterisirt waren, dass, wenn F{x) durch 
gend eine lineare Substitution in eine neue Form F'(y) trans- 
>rmirt wird, die Form C der Bedingung genügt 

C (y) = r> C (x), 

o C ebenso von den Coefficienten von F\ wie C von den 
>efficienten von F abhängt. Darin bedeutet r die Substitutions- 
tterminante, ist also eine Constante. Die Coefficienten der Form 
kommen in C nur homogen vor. Beispiele von Covarianten 
id in den §§. 65, 66 des ersten Bandes enthalten. 



222 



Siebenter Abschnitt. 



Wenn nun F(x) eine Invariante der Gruppe S ist, 
y mit den je gleichfalls durch eine Substitution aus S zusam 
hängen, so unterscheiden sich die Coel'ficienten von F nur il 
einen gemeinschaftlichen constanten Factor von den Coefficien 
von F', und Gleiches gilt also auch von den beiden Fonnep 
und C Daraus schliessen wir, dass auch C zu den Invarkn 
der Gruppe S gehört, und sprechen dies als Satz aus: 

4. Bildet man aus einer invarianten Form 
Gruppe S beliebige Covarianten, so erhält n 
neue invariante Formen der Gruppe. 



Der Satz von Hubert. 



Der Beweis des Satzes von der Endlichkeit des Inv;i 
Systems einer linearen Substitutionsgruppe beruht auf ein 
allgemeinen Satze über Formen Systeme irgend welcher 1 
Hubert entdeckt und in mannigfachen Untersuchungen i 
die Endlichkeit von Invariantensystemen mit ausgezeichne 
Erfolge angewandt hat, zu dessen Ableitung wir jetzt überge 
wollon '). 

I. Bedeutet S irgend ein System von Formen 
n Veränderlichen Xi,x 3 ,...,x n in endliche: 
unendlicher Anzahl, so lässt sich aus © 
endliche Anzahl von Formen F lt F 3 , . . 
auswählen, dass jede Form F von <5 durch eini 
Ausdruck 

(1) W=A l F i + A a F, H 1- A^F» 

dargestellt werden kann, worin A t , A^, 
Formen der Variablen Xj, x t , . . ., x n sind. 
Die Definition des Formensystem es © muss so vollst» 
sein, dass von jeder einzelnen Form der Variablen x entschi 
ist, ob sie zu © gehört oder nicht, ist aber übrigens an 1 
Voraussetzung gebunden. 

Besteht © nur aus einer endlichen Zahl von Formen, 
unser Satz selbstverständlich, denn man kann ja in diesem I 

') Hubert, „lieber die Theorie der algebraischen Formen*, 
matisohe Annalen, Bd. 36 (1690). 



I* 56. Satz von Hubert. 223 

fie sämmtlichen Formen von © für F t , F^ . . ., Fp nehmen. Der 
Beweis wird sich also nur noch mit dem Falle eines unendlichen 
Systemes © zu befassen haben. 

Zur Vereinfachung des Ausdruckes wollen wir das Formen- 
ijstem F x , JF a , . . ., -F% eine Basis des Systemes © nennen. 
)ie Functionen A x , A 2y . . ., A^ müssen so beschaffen sein, dass 
lie p Producte A X F U A 2 F 2 , . . ., A^F^ alle von gleichem Grade, 
lern Grade von F sind. Natürlich aber wird im Allgemeinen 
dcht gefordert, dass umgekehrt alle Functionen von der Form 

l l F l -{-A 2 F 2 -\ \-ApFp bei beliebigen Ai zu dem Systeme © 

;ehören l ). 

Der Satz, den wir zu beweisen haben, ist evident, wenn es 
ich um Functionen einer einzigen Veränderlichen x x handelt. 
)enn dann sind alle Formen eines Systemes © Potenzen der 
r ariablen x x mit nicht negativen Exponenten und mit irgend 
reichen constanten Coefficienten multiplicirt. Identisch ver- 
chwindende Functionen brauchen wir nicht zu berücksichtigen. 
iehmen wir dann für F x eine dieser Functionen von möglichst 
iedrigem Grade, so kann jede andere Function von © in 
er Form eines Productes A X F X dargestellt werden, worin A x 
benfalls eine Potenz von x x mit nicht negativem Exponenten 
nd constantem Coefficienten ist. 

Um also durch Anwendung der vollständigen Induction zum 
Ugemeinen Beweise zu gelangen, nehmen wir zunächst an, der 
atz I. sei als richtig erwiesen für jedes System © von Formen 
on n Variablen x und betrachten zunächst ein System © r von 
ormen F, die ausser den x noch eine (n -{- 1) 1 * Variable y, aber 
icht in höherer als der r* 611 Potenz enthalten, wenn r irgend 
ine positive ganze Zahl ist. Jede Function F lässt sich dann 
of eine einzige Art in die Form setzen : 

8) F=y'(p + il>, 

> dass die Variable y in q> gar nicht mehr und in 1> höchstens 

8 zur (r — l) 1 * 11 Potenz vorkommt. 

Wenn F das System © r durchläuft, so durchläuft <p ein 
wisses System © , das sich nach unserer Voraussetzung durch 
le Basis darstellen lässt, nehmen wir an in der Form 

1 9> = Oi 9>i -f" a 2 9» "4" • • * "I" a j" 9V 



') Dies findet nur bei besonderen Systemen 6 statt, die man Moduln 
nt. 



224 Siebenter Abschnitt j, M. 

Da nun $>,, tp 3i . . „ tp« zu dem System S„ gehören, so giebt 
es Functionen F„ F s , . . ., F u in S r , so dass 

(4) F, = t/'<j>, + ^, F t = yip a -\-t, F„ = j/*"T« + *„ 

und dass t/ in i(',, t(>j, . . ., «■„ höchstens his zur (r — 1)''" Pofajj 
vorkommt. 

Aus (2), (3), (4) ergieht sich aber, wenn wir noch 
y = ^ — o, i\ — fl» ^ a • ■ ■ — u - <*'.» 
setzen : 

(5) F= «.F, -f- fl^JP» H f- o^JF, + V, 

worin y die Variable 1/ höchstens bis zum Grade r — 1 enthalt 
Alle Functionen V, die der Bedingung (5) genügen, bilden ein 
System €v— i- 

Wir machen nun weiter die Annahme, das Theorem I. sä 
bewiesen für Functionen eines jeden Systeraes ©,_i. Dann 
können wir also W durch eine Basis darstellen in der Form: 

(6) W = &! W x + b t W t -\ f- b, V*, 

worin *P"„ W v ..., y, specielle Functionen unseres Systemes S r -i 
sind. Man kann also über die Coefncienten a,,* so verfügen, dass 
die Functionen 

Fi : =a l , 1 F 1 -r-a a ,,F, H -+- o», , F ß -f W t 

Fi = a t ,a-\ + a^F, -\ f- «,,,F, + W, 



Fi = a,.,F, + «, 


F, + ... 


+ o,,.F, + T. 


in @ r enthalten Bind. 








Mnltiplicirt man mit A, 


b, ,4, 


und setzt iu der Summe 1 


nach (5) und (6): 








'<■ V, + 6, 


5% 


H h 


>. 'F. = *P 


= F — o 


F, 


- a,F, — 


a,F„ 


so folgt 








(6) F = 1, K 


+ 


b,Fi +■ 


■ + b,F; 


+ A-f 


+ 


A,F, + ■ 


■ + A,F r , 


worin 








4«=.%" 


- Ol 


, ii 


— Oi, .6» 










A, = o, - 


- Of, 


■ 6, 


— a a ,,b r . 


Die Formen Fi,... 


Fi, 


r, r 


gehören dem Systeme S, ; 


an und bilden eine Basis dieses Systemes, und das Theorem L 


ist also unter der Voraussetzung, dass 


es für <S gilt, für jede« , 


System © r bewiesen. 

















§.56. Satz von Hubert. 225 

Es sei nun © ein beliebiges System von Formen von n + 1 
Variablen. Wir greifen irgend eine Form F vom Grade r aus 
diesem Systeme heraus, und setzen für die Variablen, von denen 
das Systekn abhängt, 
[10) t/, x Y 4- k x y, . . ., x n -f k n y, 

forin iL,, . . ., k n Constanten sind, über die wir so verfügen, dass 
ler Coefficient von .y in F nicht verschwindet, d. h. dass 
Fi (1, ij, . . ., Xn) von Null verschieden wird. Dann geht das 
System © in ein System von Formen der Variablen y, x u . . ., x n 
iber, und umgekehrt kann jede Form, die von diesen Variablen 
.bhängt, auch als Form von den linearen Verbindungen (10) dar- 
stellt werden. 

Irgend eine Form F des Systems © wird nun nach Potenzen 
od y geordnet und dann in Bezug auf y die Division mit F 
oggeführt, wobei sich 
11) F=a F + & 

rgeben mag, so dass a der Quotient und O der Rest der 
ivision ist. a und O sind ganze Functionen der Variablen 
, y, weil der Coefficient der höchsten Potenz von y im Divisor F 
>nstant ist. <P übersteigt in Bezug auf y nicht den Grad r — 1. 
archläuft nun F das System ©, so bildet die Gesammtheit der 
irch (11) definirten Functionen & ein System © r -i, von dem 
r die Darstellbarkeit durch eine Basis als schon erwiesen an- 
hmen. Wir können also setzen: 
2) 9 = A l 9 l H \-Au&p, 

dass & u . . ., &p dem Systeme © r _i angehören, d. h. so, dass 
h in dem Systeme © die Formen 
I) F, = a,F + *„ . . ., F, = a^F + % 

stimmen lassen. Setzen wir also 
t) Aq = a — (h A x — ... — a^A^ 

folgt aus (11), (12) und (13): 

>) F = A F + A X F, + • ; • + ApF„ 

durch das Theorem I. allgemein bewiesen ist. 

§. 57. 

idlichkeit des Invariantensystems einer endlichen 
linearen Substitutionsgruppe. 

Der im vorigen Paragraphen gegebene Beweis des Satzes I. 
an sich keinerlei Ausnahmen unterworfen. Wir verlieren aber 

Weber, Algebra. IL ]§ 



226 



Siebeut« 






nichts Wesentliches an seiner Allgemeinheit, wenn wir ein- fi 
allemal identisch verschwindende Formen ausschliessen. 
ferner das System © Formen len Grades, d. h. von Null < 
schiedene Constanten enthält, so ist, da wir für F, eine s 
Constante nehmen können, unser Satz selbstverständlich, da, w 
A t = F : F, gesetzt wird, F = A, F, ist. In dieser Form u 
aber der Satz inhaltslos. Wenn wir aber von © alle c 
Formen ausschliessen, so bleibt ein System ©', das keine Für 
d»n G ra d es mehr enthält, für das unser Satz gleichfalls s 

Die Basis T tt F t F„ enthält dann gleichfalls keine Fom 

qicd Grades, und wir können daher den Satz 1. auch so ; 
drücken : 

II. Alle Formen des Systems © von positiv 

Grade lassen sich durch eine Basis F,, F tt . 

deren Elemente von positivem Grade sind, 

Form ausdrücken: 
(1) F = «D.F, + 3 F t H -f- #,,F„. 

Die Grade von <P, , <J> a , . . ., <P? sind dann niedrig 

als der Grad von F. 
Die wichtigsten Anwendungen findet dieses Theorem I 
Untersuchungen ober die Möglichkeit, alle Formen eines gewi 
Systems © als ganze rationale Functionen einer 
liehen Anzahl unter ihnen darzustellen. Man nennt ein s 
Formensystem ein endliches (nicht in dem Sinne, dass es u 
aus einer endlichen Zahl von Formen besteht). Es gilt der t 
gende Satz: 

III. Wenn sich die Coefficienten <!>,, *,, ...,*„ 

Darstellung (1) des Theorems II. fü r jede Form 

in © so wählen lassen, dass sie, wenn sie 

constant sind, selbst dem Systeme © angehÜr« 

so ist daß System © endlich. 
Dies ergiebt sich unmittelbar daraus, dass die Grade i 
Formen <&,, </>,, . . M <J) U niedriger sind, als der Grad 
Wendet man also die Darstellung (1) auf die nicht consta 
unter den Functionen fl» an, so gelaugt man zu Coei'liciente 
noch niedrigerem Grade und muss also schliesslich bei i 
holter Anwendung dieses Verfahrens auf Constanteu kommet 

Daraus folgt nun durch eine sehr einfache Schlusswei 
ich einer mündlichen Mittheilung von Hurwitz verdanke. 



§.67. Endlichkeit des Invarianfensystems. 227 

Endlichkeit des Invariantensytems 3 einer endlichen Gruppe 
linearer Substitutionen S. 

Es sei JFj, i^, . . ., Ffx eine nach IL bestimmte Basis des 
Systems 3 t und F irgend eine andere nicht constante Invariante 
ran S. Dann lassen sich die Formen A u A 2y . . ., A ß so be- 
timmen, dass 

2) F= A X F X + A 2 F 2 H h ^F„ 

rird. Wendet man auf diese identische Gleichung sämmtliche 
ubßtitutionen der Gruppe S an, so bleiben nach Voraussetzung 
7 , F u F,, . . ., Fp ungeändert, während A x in J. x , A! x , Äi . . . 
hergehen mag. Bildet man die Summe der so aus (2) ab- 
eleiteten Gleichungen und setzt, wenn tn den Grad der Gruppe S 
edeutet, 

3) mO x = 4, + X + 4M 1 

) folgt: 

i) F= O l F 1 + 2 F 2 H h % Fr 

Die Functionen 9 ly <P a , . . ., O^ sind aber nach §. 55 In- 
arianten von &, und damit ist nach III. die Endlichkeit des 
ystems 3 bewiesen. 

Derselbe Schluss lässt sich. auch auf die relativen Invarianten 
nwenden, wie folgt: 

Wir bezeichnen mit F(x) das ganze System der Functionen, 
ie den Bedingungen §. 55, (3) 

F[A{x)] = aF{x), F[B(x)] = ßF{x), . . . 
ei feststehenden Factoren a, 0, . . .. die, wie wir gesehen haben, 
inheitswurzeln sind, genügen. 

Nach dem Hubert' sehen Satze lässt sich ein specielles 
p&tem solcher Functionen J\, jF 2 , • . ., F m derart auswählen, 
188 man 
.) F = A X F X + A 2 F 2 H f- A m F m 

tzen kann, worin A x , A 2 , . . ., Am Formen der Variablen (x) 
ad. Behandelt man diese Formel so wie die Formel (2), indem 
in die Substitutionen der Gruppe S darauf anwendet und dann 
e Summe bildet, so erhält man, entsprechend der Formel (4): 

F=0 1 F 1 + 2 F 2 -\ f- O m F mi 

um die Coefficienten O^ 2 ,..., O m absolute Invarianten sind. 
Zur Vervollständigung ist noch hinzuzufügen, dass inhomogene 
netionen der Variablen nur dann Invarianten sein können, 
nn ihre einzelnen homogenen Bestandtheile Invarianten sind. 

15* 



228 Siebenter Abschnitt. §.58. 

Endlich können wir auch noch nach gebrochenen Invariante! 

fragen. Ist 

F(x) 

F x (x) 

eine solche gebrochene Invariante, so nehmen wir zunächst an, 
die beiden ganzen rationalen Functionen F(x), F x (x) von den 
n Variablen x seien von gemeinschaftlichen Theilern befrei 
(Bd. I, §. 20). 

Beschränken wir uns fürs Erste auf absolute Invarianten, 
und ist demnach 

F(x) _ F [ A (x)] 
F^x)- F t [Ä(x)y - 

so haben , da die x hier als unabhängige Variable angesehen 
werden, weder rechts noch links Zähler und Nenner einen gemein* 
schaftlichen Theiler, und es folgt: 

F[A (x)] = *F(x) 9 F x [A(x)] = *F t (*), 

worin a ein constanter Factor ist, der, wie wir früher gesehea 
haben, eine Einheitswurzel ist. Zähler und Nenner einer ge- 
brochenen Invariante müssen daher selbst, wenn auch nir 
relative, Invarianten sein. 

Wenn wir aber nicht gerade die einfachste Darstellung 
suchen, so können wir absolute gebrochene Invarianten auch ik 
Quotienten von absoluten ganzen Invarianten darstellen. Wir 
brauchen den Bruch nur durch eine geeignete Potenz des Nennen 
zu erweitern, also wenn die a e 1 * Einheitswurzeln sind, 

F(x ) _ F(x)F 1 (xy- 1 j 

F x (x) - [F, (x)Y ; 

zu setzen. Hiernach können wir auch alle relativen Invarianten \ 
mit einem bestimmten Factorensysteme a, /3, . . . darstellen ab - 
Product von einer von ihnen mit absoluten Invarianten, die aber 
gebrochen sein können. 

§. 58. 
Das Formenproblem. 

Im vorigen Paragraphen ist nachgewiesen, dass es zu ein« 
endlichen Gruppe linearer Substitutionen eine endliche Anzahl 
unabhängiger Invarianten giebt. Ist n die Dimension der linearen 



5& Das Formenproblem. 229 

Substitution, so sind diese Formen homogene Functionen von 
» Variablen, und es können also nicht mehr als n von einander 
unabhängige existiren. Damit ist nicht gesagt, dass sich alle 
diese Formen rational durch n unter ihnen ausdrücken lassen, 
aber zwischen n -f- 1 Invarianten muss immer eine rationale 
Gleichung bestehen, die sich durch Elimination der n Variablen 
ergiebt 

Es ist aber noch die umgekehrte Frage zu untersuchen, ob 
es wirklich für eine lineare Substitütionsgruppe von der Dimen- 
sion n immer n unabhängige Invarianten giebt. 

Wenn wir für die Variablen feste Werthe setzen, so erhalten 
dadurch die sämmtlichen Invarianten der Gruppe gleichfalls 
bestimmte Werthe. Die Frage, die wir noch zu beantworten 
haben, ist nun die, ob zu einem Werthsysteme der Invarianten 
bestimmte Werthsysteme der Variablen, und zwar in endlicher 
Anzahl, existiren. Wenn dies bewiesen ist, so können wir die 
Variablen als (mehrwerthige) algebraische Functionen der In- 
varianten auffassen, und die Anzahl der von einander unab- 
hängigen Invarianten kann nicht kleiner sein, als die Anzahl 
der Variablen, weil sonst ein Theil der Variablen, wenn die 
Werthe der Invarianten gegeben sind, noch willkürlich bleiben 
würde. 

Wenn (x) ein einem bestimmten Werthsysteme der Invarianten 
entsprechendes Werthsystem der Variablen ist, und A eine Sub- 
stitution der Gruppe S, so entspricht nach der Natur der 
Invarianten das System A(x) demselben Werthsysteme der 
InTarianten, und unser Problem hat also mindestens so viele 
Losungen, als der Grad der Gruppe beträgt. Dass dies aber die 
genaue Anzahl der Lösungen ist, geht aus den folgenden Be- 
trachtungen hervor. 

In besonderen Fällen, d. h. für besondere Werthe der 
[n?arianten, können von diesen Werthsystemen der Variablen 
mehrere zusammenfallen. Dies kann aber nur für solche Werth- 
systeme der (x) geschehen, für die eine Relation von der Form 

x) = A(x) besteht, denn aus A{x) = B{x) würde {x) = A~ l B{x) 
blgen, was in der Form (x) = A(x) enthalten ist. 

Wir nehmen eine lineare homogene Function der Variablen 
ii ^21 ...,#* an, die wir so bezeichnen : 






230 Siebenter Abschnitt. % K 

Bedeutet A eine Substitution der endlichen Gruppe 8, so 
können wir aus ©(xj eine neue Function 

(2) &[£(*)] = «!*, + <4*i H h &*• 

ableiten, deren Coi. : f 6 deuten ej nach §. 41, 10. mit den ursprüng- 
lichen Coeffidenten c,- durch die zu (A) transpouirte Sub- 
stitution 

(O = M«) 

zusammenhängen. 

Wenn nun A, B, C, . . . die sämratlichen Substitutioneu der 
Gruppe S sind, so kann man in gleicher Weise die Functionen 

(3) 0{A(xj\, ®[B(I)], 9[C(D], ... 
bilden, die wir auch kürzer durch 

(4) ®, ®i, ©g, • ■ ., Ö.H-1 

bezeichnen, wenn ft der Grad der Gruppe S ist. 

Nun kann man über die Coefticienten c, die bis jetzt nocli 
ganz willkürlich sind, so verfügen, dass keine zwei der Func- 
tionen (4) mit einander identisch werden (Bd. I, §. 43, 1.). Aus 
(3) aber ergiebt sich: 

1. Wenn man in den (t Functionen (4) gleichzeitig 
irgend eine Substitution aus S amrend 
ändert sich die Gesammtheit dieser Functionen 
nicht, sondern sie erleiden nur eine Permutation, 

Daraus ergiebt sich ferner: 

2. Jede symmetrische Function der Grössen (4) i' 
eine absolute Invariante der Gruppe S. 

Wir bemerken noch, dasa man an Stelle der Function 
irgend eine andere auch nicht lineare, selbst eine gebroc! 
oder inhomogene Function setzen könnte, wenn nur die (t 
tionen (4) von einander verschieden sind. 
Bilden wir nun das Product 

(5) «(*) =(( — &)(t — @,)... ((-©„_,) 

= P + A.t—t + Ait—*^ \-A p , 

welches eine ganze rationale Function fi 1 *" Grades von t ist, »' 
sind die Coefticienten Au -4j> • • ■, A* nach 2. Invarianten der 
Gruppe S, und die Grössen &, 0,, . . ., &p-, sind die Wurzel* 
der Gleichung 

(6) Q(t) = 0. 



§.58. Das Formenproblem. 231 

Wir betrachten nun als Rationalitätsbereich ß den Körper, 
der aus den absoluten Invarianten der Gruppe S und allen 
Zahlen 1 ) besteht. Diesem Rationalitätsbereich gehören die 
Coefficienten von &(f) an, und wir beweisen zunächst den Satz: 

3. Die Function &(t) ist in ß irreducibel. 

Ist nämlich *P(t) irgend eine Function in <ß, die für t = 
verschwindet, so können wir in der Gleichung *P(0) = 0, da 
die *!, 2j, . . ., #„ unabhängige Variable sind, das System (x) 
dieser Variablen durch A{x) ersetzen, wenn A irgend eine Sub- 
stitution aus S ist. Dadurch kann in jede der Functionen 
0n 0*> • • •* ®A*— i übergeführt werden, während die Coefficienten 
ron V ungeändert bleiben, und folglich ist ^(©i) = 0, 
P(0,) = 0, . . .. ^(©^-i) = 0. Es muss also V(jt) durch 0(t) 
heilbar sein, wodurch die Irreducibilität erwiesen ist. 

Es bedeute nun o irgend eine Function der Variablen x und 

trögen die Functionen sein, die aus o durch Anwendung der 
ubstitutionen von S entstehen, von denen nun nicht voraus- 
esetzt zu werden braucht, dass sie alle von einander verschieden 
nd. Ist t eine Variable, so ist 

ie ganze rationale Function (fi — l) ten Grades von £, und Zü- 
rich ist es eine Invariante von S, also eine Function in £1. 
tzen wir darin t = ®, so folgt durch einen schon früher oft 
gewandten Schluss (Bd. I, §. 150, 162) 

— o>'(0)' 
rin der Satz enthalten ist: 

4. Jede rationale Function der Variablen (x) kann 
rational durch ausgedrückt werden, gehört 
also dem Körper £1(0) an. 

Die Gleichung (6) ist also nach der Definition Bd. I, §. 152 
e Normalgleichung. 

Aus diesem Satze können wir einen zweiten Beweis dafür 
eiten, dass alle Invarianten der Gruppe S rational durch eine 

! ) Man kann sich auch auf einen besonderen Zahlkörper beschränken, 
n nur darin die Substitutionscoefficienten der Gruppe S enthalten sind. 



232 Siebenter Abschnitt. 5.! 

endliche Anzahl von ihnen, nämlich die Coefticienten der Fun 
tion #(t), darstellbar sind. Denn wenn wir eine absolute I 
Variante J nach dem Satze 4. als rationale Function von 
darstellen, so kann sich diese nicht ändern, wenn eine der Sa 
stitutionen (0, ©,), (0, S ), . . . ausgeführt wird, und die» Für 
tion ist also rational durch die Coel'ficienten von Q(t) im 
druckbar. Ob diese Darstellung freilich durch ganze Function 
möglich ist, würde bei diesem Beweise unentschieden bleiben. 

Unter den Functionen a der Variablen x sind auch i 
Variablen x selbst enthalten, und die Frage, von der wir ai 
gegangen sind, oh die Variablen x als algebraische Function 
der Invarianten angesehen werden können, ist damit bejahe 
entschieden. 

Die Aufgabe, die Variablen z als algebraische Function 
der Invarianten der Gruppe S darzustellen, also die Bestimm« 
des Körpers <fl(0), heisst nach F. Klein das Fortnenprobh 
der Gruppe S 1 ). Ist die Anzahl der Variablen n, so nenn 
wir das Formen problem von der »i 1 ™ Dimension. 

Der Körper ß(©) ist ein durch die Gruppe S völlig I 
stimmter algebraischer Körper über il. Er ist ein Normal köqi 
denn nach 4. sind die conjugirten Grössen 0, 0,, S t , . . ., 8, 
alle im Körper £1(0) selbst enthalten. Die Gleichung <P(f) s 
ist eine Normalgleichung und ist die Galois'sche Resolve 
des Formenproblems (Bd. I, §. 152). 

5. Die Galois'sche Gruppe des Fornieuproble 
d. h. die Galois'sche Gruppe der Gleicht 
<2»|():=0, ist mit der Gruppe S isomorph. 

Um dies nachzuweisen, bezeichnen wir mit A, B zwei i 
stitutionen aus S und mit AB == C die daraus znsmnii 
gesetzte Substitution. Ist nun 

@, = &[A(x)], 3 = @[B(x)], & 3 = &[C(x)\, 
so ist die Substitution 

(0, 0,) = (0„ ® 5 ), 
und folglich 

(0, 0,) (0, 0,) = (0, 0,) (0„ 0,) = (0, Öj,), 
d. h. die Gruppe der Substitutionen (0, 8 t ), (0, S ), , . 
der Gruppe der A, B, , . , isomorph. 



') Vorlesungen über das Ikosaeder, ü. 123. (Leipzig 1884.) 



§.59. Gruppen linearer Substitutionen und Collineationen. 233 

Nehmen wir statt der Function eine Function 17, die nicht 
lauter verschiedene Werthe hat, sondern die Substitutionen eines 
Theilers S' von S vom Index j, aber keine anderen gestattet, so 
genügt ri einer Gleichung j ten Grades, die als eine Resolvente 
des Formenproblems zu betrachten ist. Jede Function, die die 
Permutationen von S' gleichfalls gestattet, ist dann eine ratio- 
nale Function von 17 und von den Invarianten der Gruppe & 
Die Resolvente der t\ ist eine Partial- oder Totalresolvente , je 
nachdem die Gruppe S' mit den zu ihr conjugirten Theilern 
von 8 einen gemeinschaftlichen Theiler hat oder relativ prim 
ist (Bd. I, §. 163). 

§. 59. 
Gruppen linearer Substitutionen und Collineationen. 

Die Sätze 1. bis 5. bleiben unverändert bestehen, wenn wir 
unter den Coefficienten Cj, c,, . . ., c n der Function ein System 
unabhängiger Variablen verstehen. Nur muss dann der Ratio- 
nalitätsbereich & auch diese Variablen enthalten. Es kommt 
aber unter dieser Voraussetzung noch der folgende wichtige Satz 
hinzu, der die Umkehrung des Satzes 1. ist: 

6. Wenn die Function &(t) durch eine von den c, 
unabhängige, auf die Xi ausgeübte lineare Sub- 
stitution A ungeändert bleibt, so gehört A zu 
der Gruppe S. 

Denn wenn &(t) durch A ungeändert bleibt, so muss 0(A (x)) 
unter den ©, ö lf © 2 , ..., ©,,__! enthalten sein, und die Formeln 
§. 58, (2) zeigen dann, dass A zu S gehört. Ist 

(1) 0(t) = p + O.t—i + «> f *«-» -| f- cD u , 

so ist & h , wenn es nicht identisch verschwindet, vom Grade h in 
den Variablen x^ und wenn wir also die Aehnlichkeits - Sub- 
stitution (#,-, vxi) machen, so geht 

(2) O h in ifi&h 

über. Wir nehmen jetzt an, wie im §. 46, dass die Substitutionen 
der Gruppe S alle die Determinante 1 haben. Dann sind für 
alle in S vorkommende Aehnlichkeits -Substitutionen die Multi- 
plicatoren n* Einheitswurzeln, und nach (2) können wir die 
Gruppe Ri aller dieser Aehnlichkeits -Substitutionen bestimmen. 



Es s 
(3) 



i nämlich 



, *(... *;., 






die nicht verschwindenden unter den Functionen O h und », der 
grösste gemeinschaftliche Theiler von », ä-, , A 3 , . . ., dann wird 
(#,-, Pi^i) nach (2) und 6, dann und nur dann zu S gehören, 
wenn p?' = 1 ist, und die Gruppe ß, ist daher vom Grade «,. 
Die aus S abgeleitete Colli neationsgruppe iS/ü, ist vom Grade 
(t.rij. Da man nach §. OS alle Invarianten von S rational durch 
die Functionen (3) darstellen kann, so sind die Grade aller 
Invarianten durch », theilbar, und in der Invariante 

(4) V es 0^ *£ 4>^ . . . 
vom Grade 

m = A,I, -j- M» + Vi + ■ ■- 
kann man die ganzen Zahlen !,, 'i< ?a> - - • so bestimmen, 
der grösste gemeinschaftliche Theiler von m und « ist, 
ist bewiesen: 

7. Ist die Gruppe B, der in S enthaltenen Ae 
lichkeits-Substi tutionen vom Grade ti,, so i 
Hi der grösste gemeinschaftliche Theiler, den 
die Grade aller absoluten Invarianten von 
mit n haben, und es giebt unter diesen 
Varianten auch solche, deren Grad mi 
grössten gemeinschaftlichen Theiler n, hat. 

Daraus ergiebt sich für den Fall, dass n-, = 1 ist (§. i 

8. S ist dann und nur dann eine reine Grup| 
linearer Substitutionen, wenn sie eine abifl 
lute Invariante hat, deren Grad relativ pn 
zu » ist. 

Es sei nun B, wie in §. 46, die Gruppe der mit t 
n ttu Einheitswurzeln gebildeten Aehnlichkeits-Substitutionen, ' 
es werde aus S eine erweiterte Gruppe 

(5) S, = BS 
vom Grade ft, abgeleitet. Wir haben dann die beiden iBOmotyM 
Collineationsgruppen S l: /B, S/Üj vom Grade fain = |»:fl|> Di* 
absoluten Invarianten der Gruppe S sind dann relative Invarianten 
der Gruppe S„ und es folgt, wenn wir jR, -= 1 annehmen: 

9. Wenn in der Gruppe S i eine mit der Colli- 
neationsgruppe S,/B isomorphe reine GrnpfM 



0. Klein'8 Erweiterung des Grundproblema. 235 

enthalten ist, so rauss es unter den Invarianten 
von Si eine geben, deren Grad relativ prim 
zu n ist. 

Wenn umgekehrt J eine Invariante der Gruppe S x ist, deren 
I relativ prim zu n ist, so ist J eine relative Invariante von 
od ihr Index ist durch n theilbar, weil sie durch die Sub- 
ionen von B eine primitive n to Einheitswurzel als Factor 
Dmt (§. 55). Nehmen wir ausserdem noch an, dass der 
: von J gleich n ist, so bilden die Substitutionen von S x , 
r ungeändert lassen , eine Gruppe vom Grade f* x : n. Diese 
pe kann aber ausser der Einheit keine Substitution aus B 
.Iten, und ist daher rein. Da nun auch umgekehrt eine 
ute Invariante der reinen Gruppe S, deren Grad zu n 
jrfremd ist, zugleich relative Invariante von S^ mit dem 
: n ist, so können wir, wenn wir die Invarianten von S x als 
ianten der entsprechenden Collineationsgruppe bezeichnen, 
Satz 8. in folgender Weise umkehren: 

). Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass es eine zu einer Collineations- 
gruppe isomorphe reine Gruppe linearer Sub- 
stitutionen giebt, besteht darin, dass unter 
den Invarianten der Collineationsgruppe eine 
ist, deren Grad relativ prim zu der Dimen- 
sionszahl n, und deren Index gleich n ist. 

§• 60. 
n's Erweiterung des algebraischen Grundproblems. 

)ie Betrachtungen, die im vorigen Paragraphen durchgeführt 
bilden eine directe Verallgemeinerung der Galois'schen 

ie für eine allgemeine Gleichung n ten Grades; und diese 

ie ist als Specialfall in der Theorie der linearen Sub- 

ionsgruppen enthalten. 

!s sind nämlich nach §. 55 die symmetrischen Functionen 
unabhängigen Variablen x x , # 2 , . . ., x n die Invarianten der 

»e S, die aus den Permutationen dieser n Variablen besteht, 

ie Gleichung &(t) = ist also für diesen Fall nach Bd. I, 

die Galois'sche Resolvente der Gleichung n ten Grades, 

Wurzeln die Grössen X{ sind. Wir können also die all- 



ne Gleichung n 1 ™ Grades a 
ner linearen Substitutionsgru 
ebt es aber specielle Gleichui 



AW'l" 



236 Sie 

gemeine Aufgabe der Algebra, ein 
lösen, als ein Formenproblem ein 
»*•* Dimension auffassen. Nun gie 
die durch Formen probleme von niedrigerer Dimension 
werden können, so insbesondere die reinen Gleichungen, 
durch ein Formenproblem der ersten Dimension lösbar sind. 
Lineare homogene Substitutionen von einer Dimension i 
nämlich nur von der Form 

(i) > 

und wenn diese eine endliche Gruppe vom Grade p bilden b 
so müssen die Coe'Iticienten « Einheitswurzeln vom Grade p 
Lassen wir umgekehrt sc in (1) sämmtliche (i u Einheitsw 
durchlaufen, so haben wir eine Gruppe vom Grade p. 
Gruppe hat eine absolute Invariante x>*, und wenn diese 
ist, so erhält man x als u 18 Wurzel daraus. 

Die Auflösung der allgemeinen Gleichungen 2'™, ; 
4*™ Grades ist also auf Formenprobleme von nur einer 1 
sion zurückführt) ai\ Wir werden in einem späteren i 
sehen, dass die allgemeine Gleichung 5 tcn Grades auf ein 1 
Formenproblem zurückführbar ist, und man kann sich i 
eine unmittelbare Erweiterung der Aufgabe, die Losung i 
Gleichung auf reine Gleichungen zurückzuführen, die 
stellen: welches ist die geringste Dimension enzahl eines Fora 
problems, durch das sich eine gegebene Gleichung lösen 1 
Die Aufgabe würde dann so formulirt werden müssen: 

Es sollen aus den Wurzeln einer gegebenen ( 
chung rationale Functionen X,, X lt ... in mÖgli 
kleiner Zahl so gebildet werden, dass sie in ho 
lineare Functionen ihrer selbst übergehen, w 
Wurzeln den Permutationen der Galois'scheu Gm; 
P der gegebenen Gleichung unterworfen werden. 

Die linearen Substitutionen, die hiernach die Function« 
X a , ... erleiden, bilden eine Gruppe S, die mit der Gruppe J 
oder mehrstufig) isomorph ist. Die Invarianten dieser Subj 
tionsgruppe gehören daher dem Rationalitätsbereioh an, i 
Bestimmung der X, , X 3 , . . . ist also das zugehörige l 
problem. 

Die Adjunction dieser Functionen X v , X 2 , . . ., oder i 
§. 58 eingeführten Function wird dann die gegebene Glei 



•. 60. Klein's Erweiterung des Grundproblems. 237 

jntweder vollständig lösen, oder wenigstens ihre Gruppe P auf 
sinen Normaltheiler Q reduciren, d.h. die Gleichung (6) (§. 58) 
irird eine Total- oder Partialresolvente sein, je nachdem der Iso- 
morphismus zwischen den Gruppen P und S einstufig oder mehr- 
stufig ist (§. 5 und Bd. I, §. 163). 

Auf diese Weise hat F. Klein die Aufgabe der algebraischen 
Auflösung einer Gleichung erweitert. Er hat, um die Beant- 
wortung der Frage anzubahnen, für die allgemeine Gleichung 
&** und 7**° Grades bewiesen, dass sie auf quaternäre Formen- 
probleme zurückgeführt werden können *). 

Die allgemeine Gleichung n*** Grades ist, wie wir gesehen 
haben, unmittelbar einem Formenproblem von n Dimensionen 
äquivalent und dieses lässt sich allgemein auf n — 1 Dimensionen 
reduciren, wenn man zwischen« den zu permutirenden Variablen 
«i, %i, . . ., x n die Relation festsetzt: 

Zi + x* H h x n = 0. 

Dann erleiden nämlich die Variablen x u x % , . . ., a? n -i bei den 
Permutationen der x x , x^ . . ., x n eine lineare Substitution. 

Da für mehr als vier Variable die alternirende Gruppe ein- 
fach ist (Bd. I, §. 185), so kann sich die Gruppe einer allgemeinen 
Gleichung n 16 * Grades durch ein Formenproblem nur dann weiter 
als auf die alternirende Gruppe reduciren lassen, wenn die alter- 
nirende Gruppe mit der entsprechenden Substitutionsgruppe iso- 
morph ist, und dann ist die Gleichung zugleich vollständig auf 
das Formenproblem zurückgeführt. Dass die alternirende Gruppe 
fon acht Ziffern nicht mit einer Substitutionsgruppe von sechs 
oder weniger Variablen isomorph ist, ist neuerdings von Wimann 
bewiesen 2 ), und daraus folgt also, dass die allgemeine Gleichung 
achten Grades keine Reduction durch einfachere Formenprobleme, 
als die Permutationen, gestattet. Dies ist eine schöne Verallgemeine- 
rung des von Abel zuerst bewiesenen berühmten Satzes, dass die 
allgemeine Gleichung fünften Grades nicht algebraisch lösbar, 
d. h. auf ein Formenproblem von einer Variablen, zurückführbar 
ist. Wir kommen weiterhin auf den Beweis dieses Satzes zurück. 



l ) F. Klein, Zur Theorie der allgemeinen Gleichungen 6 ten und 
7tea Grades; Mathematische Annalen, Bd. XXVIII, S. 18. Vergl. auch „The 
Svanston Colloquium, Lectures on Mathematics by Felix Klein", Lec- 
ure IX, London and New York, Macmillan and Co. (1894). 
*) Göttinger Nachrichten 1897. 



I 









§. 81. 

Einfluss relativer Invarianten. 

Bei der Definition des Formenproblems im g. 58 haben wir 
nur die absoluten Invarianten der Gruppe S benutzt. Nun giebt 
es, wie wir gesehen hahen, auch Fälle, in denen ausser deo ab- 
soluten auch relative Invarianten existiren, und diese können zur 
Vereinfachung des Formenproblems benutzt werden. 

Ist r eine Bolche relative Invariante, so wird eine gewisse 
Potenz von r, deren Exponent e ein Theiler des Grades /i von S 
ist, eine absolute Invariante, und r wird also durch eine reine 
Gleichung in Sl (g. 58) bestimmt. 

Alle Substitutionen von S, durch die r ungeändert bleibt, 
bilden für sich eine Gruppe T r , und die Gruppe T r ist, wie wir 
im g. 55 gesehen haben, ein Normal theiler von S. 

Ferner aber sehen wir, dass jede Function der Variablen x, 
die durch die Substitutionen der Gruppe T r ungeändert bleibt, 
rational durch r ausgedrückt werden kann, d. h. in dem durcb 
Adjunction von r aus fl abgeleiteten Körper ß r enthalten isi. 

Nach §. 55 nämlich giebt es eine Substitution E in S, und 
eine primitive e 1 * Einheitswurzel s, so dass r durch E in tt 
übergeht, und alle Werthe, die r annehmen kann: 

r, tr, s a r, . . ., s*~*r, 
erhält mau durcb Wiederholung der Substitution E. Bedeutet 
ferner t eine Function der x, die die Substitutionen der Gruppe 
T r gestattet, und durch E und seine Potenzen in 



übergeht, so gestatten alle diese Functionen gleichfalls die Sub-1 
stitutionen von T Ti weil T r ein Normultheiler von S ist Die 
Function 

(1) («-», t) = t + i-> r, -f ... -f 6-»<-»r._ u 

(h = 0, 1, 2, . . ., e — 1), 
die nach Analogie der Lagrange'schen Uesolventon (Bd. I, 
g. 171) gebildet ist, nimmt durch Anwendung der Substitution £ 
den Factor t h an, und wenn wir also 

(2) (*-*, t) b *;• W h 

setzen, so ist '1\ eine absolute Invariante, also im Körper & ' 
enthalten. 



§.62. Der erweiterte Invariantenbegriff. 239 

Aus (1) und (2) ergiebt sich aber 

(3) ex = W + rW x + r'*F 9 H 1- r*-*W e - u 

wodurch die Behauptung erwiesen ist. 

Setzen wir 

(4) (i = ev, 

so ist v der Grad der Gruppe T n und wenn die Function ®, die 
wir im §. 58 zur Lösung des Formenproblems angewandt haben, 
durch die Substitutionen von T r in 

übergeht, so ist 

r (t) = (t — ©) (t — & x ) . . . (t — ®r-l) 

eine Function von t in dem erweiterten Rationalitätsbereiche Ä r ; 
der Körper ß(®) ist identisch mit ß r (@). Er ist aber ein alge- 
braischer Körper p*** Grades über ß und v ten Grades über ß r . 
Das Formenproblem ft** 1 Grades wird demnach durch Adjunction 
eines Radicals auf ein Formenproblem v*** Grades zurückgeführt. 

§. 62. 
Der erweiterte Invariantenbegriff. 

Die relativen Invarianten sind im Grunde ein specieller Fall 
eines allgemeineren Begriffes, den wir in ähnlicher Weise, wie 
die relativen Invarianten, zur Reduction des Formenproblems 
anwenden können. 

Wir suchen nach Systemen von homogenen Formen gleichen 
Grades der Variablen x^ x 2 , . . ., x n : 

Ton der Beschaffenheit, dass durch die Anwendungen der Sub- 
; Stationen der Gruppe S die Functionen X x , X 3 , . . ., X m ein 
-System 27 von linearen Substitutionen erleiden; die Sub- 
liitutionen H bilden dann gleichfalls eine Gruppe, und zwar 
One Gruppe, die mit S ein- und mehrstufig isomorph ist Ist 
*= 1, so erhalten wir, wie man sieht, den Begriff der relativen 
brarianten. Wir suchen nun alle Substitutionen von S, die 

• 

Jede einzelne der Functionen (1) ungeändert lassen. Diese Sub- 
ventionen bilden eine Gruppe, die wir mit T bezeichnen, und 
to der wir nachweisen wollen, dass sie ein Normal theiler von 
ist. Bezeichnen wir mit s eine Substitution aus S, durch die 



210 Siebenter Abschnitt. 

die A* die Substitution ö erleiden, so erleiden die X durch 
die Substitution ff -1 . Ist dann ferner r eine Substitution ai 
so bleiben durch r die X ungeändert. Demnach erleiden 
s~ l is die A die Substitution ö _1 ö = 1, d. h. si<.' bleiben 
geändert s~ 1 rs ist also auch in Z" enthalten, und T ist 
lieb ein Normaltheiler von S. 

Wir bezeichnen mit ji, v die Grade von S und T und sutütn 
(i = ev\ 
dann ist e der Index von T und zugleich der Grad der Grup] 

Jede absolute Invariante der Gruppe T, d. h. jede Fqi 
von x, die die Substitutionen von T gestattet, kann ratiom 
H durch die X ausgedrückt werden. 

Dies folgt durch das schon oft angewandte Seh luss verfahren; 
wenn wir mit g eine Function der X bezeichnen, die 
schiedene Werthe p, p lf . . ., p,_, annimmt, und 
(2) *(() = (t- Q )(t- 9l )...(t- Q,-,) 

setzen, so ist &(t) eine rationale Function der Variablen ( in !'. 

Eine absolute Invariante r von T nimmt höchstens 
schiedene Werthe an, die den Werthen <>. p,, . . ., p f _ 
sprechen, nämlich r, r„ . . ., r,-i, wobei unter Umständen auch 
gleiche Werthe vorkommen können. Die Function von (: 
•tQr fcfflr, »rpr... 

F— p <-p, T t— e.-i " 

ist dann in il enthalten, und für t = p ergiebt sieh: 

wodurch, da (P'{p) von Null verschieden ist, r rational durch j 
ausgedrückt ist. Es ist also r im Körper Sl (A' I ,X a ,...9 
enthalten. 

Die Invarianten der Gruppe T sind zugleich Invariant« 
der Gruppe S; durch die Lösung des Formenproblems für d 
Gruppe £ sind dann die X, , . . ., A'„, bekannt, also auch die h 
Varianten der Gruppe T, und das Formenproblem der Gruppe 
ist also zurückgeführt auf die successive Lösung der 
Formen probleme der Gruppen £ und T, die von niedrig* 
Grade als das Formenproblem für S sind. Ein Formen prahle 
was in dieser Weise in zwei Formenprobleme niedrigeren Gm 
zerlegbar ist. können wir ein imprimitives Formenprob! 
nennen. Da es für eine solche Reduction nöthig ist, dass ' 




§• 63. Normalformen. 241 

Ton S und von der Einheit verschiedener Normaltheiler von S 
i sei, so ist, wenn S eine einfache Gruppe ist, das entsprechende 
; Formenproblem stets primitiv. 

Wir können aber auch umgekehrt schliessen, dass, wenn S 

einen Normaltheiler vom Index e besitzt, das Formenproblem 

imprimitiv ist Wir brauchen nämlich nur, um ein System der 

Functionen X u . . ., X m zu erhalten, eine Invariante q der Gruppe 

\T zu nehmen, die e verschiedene Werthe in S erhält, und 

können für X n . . ., X m geradezu die Werthe 9, q 11 . . ., Q e - 1 

.nehmen. Die Gruppe H ist dann die durch S unter den q 

' hervorgerufene Permutationsgruppe. 

Im Sinne des §. 59 wird es aber immer darauf ankommen, 
* so klein als möglich zu machen, und eine Reduction des 
•Problems in diesem Sinne wird nur dann erzielt sein, wenn 
» < n ist. 

§. 63. 
Normalformen. 

Noch eine allgemeine Betrachtung müssen wir anstellen, ehe 
i 'wir zu speciellen Anwendungen übergehen. Wir haben schon in 
§. 41 gesehen, dass wir aus jeder Gruppe S von linearen Sub- 
- «titutionen unendlich viele isomorphe Gruppen ableiten können, 
indem wir mit einer willkürlichen Substitution L von derselben 
Dimension transformiren, also die transformirte Gruppe 

<1) L- X SL 

bilden; und dies ist gleichbedeutend mit der Einführung anderer 
Variablen y an Stelle von x durch die Substitution 

<2) (x) = L (y). 

Diese Transformation können wir dazu verwenden, um die 
Gruppe S in einer einfachen Normalform darzustellen, und dann 
erhalten auch die Invarianten gewisse feste Normalformen, die 
in manchen Fällen sehr einfache Gestalten annehmen können. 
Buden wir für die Normalform die Resolvente des Formen- 
problems [§. 58, (6)], die wir jetzt in der Form schreiben wollen : 

i) O (0, Ä v A 2 . . .) = 0, 

rorin J. x , -4j, . . . Invarianten der Gruppe S bedeuten, so wird 
nch diese, wenn wir die Normalform benutzen, eine einfache 

Weber, Algebra. IL 16 



I 



- 




242 Siebenter Abschnitt. 

Gestalt erhalten. Die Variablen a\ lassen sich, wii 
haben, rational durch und die A* ausdrücken, und wir 

(4) « = <p, (8, A u A+, . - -). 
Auch diese Ausdrücke werden, wenn über die Functii 

verfugt ist, für die Normalform feste Gestalten annehmen. 

Nun kann aber auch der Fall vorkommen, dass die 
Varianten nicht in der Normalform, sondern in einer beliel 
anderen Form, die wir die allgemeine Form nennen 
gegeben sind. Dann wird es sich darum handeln, die £ 
tion L zu finden, durch die die allgemeine Form in eine 
vornherein als möglich erkannte Normalform transformirt 
Diese Aufgabe ist, wie wir nun sehen wollen, keine andere, als 
das für die Normalform gestellte Formenproblem selbst. 

Nehmen wir au, die Invarianten in der allgemeinen Form, 
als Functionen von y, seien B u B t , . . ., so dass durch die Sub- 
stitution (2) die Identitäten 

(5) Ai = B lt A 3 = B t> ... 

hergestellt werden. Es ist die Aufgabe, wenn die Functionen 
Ai, Bi der Form nach gegeben sind, die Substitution £ zu be- 
stimmen, die die Gleichungen (5) zu identischen macht. Diese 
Aufgabe ist gelöst, wenn wir die Gleichung (3) für ein passend 
gewähltes specielles Werthsystem der Ai als gelöst voraussetzen. 
Um dies nachzuweisen, bilden wir die vollständigen Differentiale 
der Gleichungen (3) und (4): 

ü = ®'{&)d® -\- v <X>'(A,)dA. 
tlXi = <p\{@)d & -f- v >p'i(A.)dA„ 
worin &(&), &'(A,), tp'i(@), tp'i(A t ) die partiellen Ableitungen 
bedeuten. Eliminiren wir d&, so folgt: 

(6) <* = ± *W<%-f<*>«» iA.. 
Nun ist in Folge der Gleichungen (5): 

(7) dA, = lB;('J,)d Vln 
und wenn wir also 

(8) 3, = Hüft H (-««,<». 

(9) dxi = «i,idyi -(-■■■ + « n .idy K 
setzen, so ergiebt die Vergleichung von (6) mit (9): 






§.63. Normalformen. 243 

(10) a M = ^j ^r^ if,(y k ). 

Die rechte Seite dieser Gleichungen muss sich also auf eine 
Constante reduciren, und wir können ihren Werth finden, wenn 
wir für die y irgend ein specielles Werthsystem setzen, das nur 
an die eine Bedingung gebunden ist, dass O' (®) nicht ver- 
schwindet. Für dieses specielle Werthsystem sind die Werthe 
ler Ai durch die Gleichungen (5) bestimmt, und ist bekannt, 
renn wir für dies specielle Werthsystem der Ai das Formen- 
Hoblem (3) als gelöst voraussetzen. Dann sind durch (10) die 
Joefficienten a k>i und damit die Substitution L vollständig be- 
timmt 



16 



Achter Abschnitt. 



Gruppen binärer linearer Substitutionen. 



§. 64. 
Ternäre orthogonale Substitutionen. 

Es ist nun unsere Aufgabe, aus der Gesammtheit der linearen 
Substitutionen engere Gruppen auszusondern, um schliesslich 
zu endlichen Gruppen zu gelangen. Solche engere Gruppen, die 
immer noch unendlich sein können , erhält man , wenn man die 
Forderung stellt, dass gegebene homogene Functionen der 
Variablen invariant bleiben sollen. Wir wollen aber die Aufgabe 
nicht in dieser Allgemeinheit weiter verfolgen, sondern gleick 
zur Betrachtung des wichtigsten speciellen Falles übergehen. Wir 
wollen uns auf ternäre Substitutionen beschränken und forden, 
dass eine quadratische Form von nicht verschwindender Dettt- 
minante invariant bleiben soll. Da, wie wir früher gesehei 
haben (Bd. I, §. 63), jede solche quadratische Form durch lineare 
Transformation in eine Summe von Quadraten verwandelt werf« 
kann, so beschränken wir das Problem nicht weiter, wenn wir 
für diese quadratische Form die Summe der Quadrate annehme* 
Solche Substitutionen heissen orthogonal. 

Die Substitution 

(1) Öfi, 2/ji 2/s) = A (*i, *2, Ss) 

ist also orthogonal, wenn die Substitutionscoefficienten so be- 
stimmt sind, dass die Identität besteht: 

(2) tf + y? + y? = x* + x* + x*. 

Wenn man die Ausdrücke (1) in (2) substituirt und di 
Coefficienten entsprechender Glieder einander gleich setzt, * 



\ 



4. Orthogonale Substitutionen. 245 

iält man sechs Relationen zwischen den neun Coefficienten 
1 A~ 

Diese Relationen lauten, wenn 

b x , b 2 , 6 3 

ngenommen wird: 

o/ + *i 2 + ^ a = 1, <H<h + b 2 b 3 + c 2 c s = 
[4) o/ + & 2 2 + c 2 a = 1, «»«i + Mi + <*Ci==0 

«3 + h ? + <t? = 1> «i«2 + 6163 + ^ = 0, 

und sind aus der analytischen Geometrie wohl bekannt. Für das 
Quadrat der Substitutionsdeterminante \A\ ergiebt sich aus diesen 
Relationen nach der Multiplicationsregel der Determinanten der 
^Werth 1, und folglich hat \A\ den Werth + 1. 

Aus den Formeln (4) ergiebt sich, dass die inverse Sub- 
stitution zu A 

A" 1 = o*, b 2 , c 2 

mit der transponirten identisch ist, und diese Eigenschaft könnte 
auch als Definition der orthogonalen Substitutionen dienen. 

Die Gesammtheit der orthogonalen Substitutionen bildet 
eine Gruppe. Darunter ist eine engere Gruppe enthalten, die 
durch den Werth 

(5) 14 = + 1 

ausgezeichnet ist, die wir als die Gruppe der eigentlichen 
orthogonalen Substitutionen bezeichnen wollen. 

Man kann die lineare Substitution (1) als den Uebergang 
von einem rechtwinkeligen Coordinatensysteme zu einem zweiten 
mit demselben Anfangspunkte deuten, wenn man x x ^ x 2 , x 3 und 
&> Vn V% a l s rechtwinkelige Goordinaten eines und desselben 
(veränderlichen) Punktes in dem ersten und zweiten Coordi- 
natensysteme ansieht. Durch A ist die gegenseitige Lage der 
beiden Coordinatensysteme bestimmt und umgekehrt. Besteht 
die Bedingung (5), wie wir jetzt voraussetzen wollen, so kann 
das erste Coordinatensystem mit dem zweiten zur Deckung ge- 
bracht werden durch Drehung um eine feste Axe mit einem 
bestimmten Drehungswinkel. 



i Achter Abschnitt 

Denn setzen wir 



(l, — 1, ßj, Oj 

&!, £. — 1, 6, 

c, . c c . — 1 



so erbalten wir aus den Relationen (4): 
|^| D = - D, 
also, wenn (5) besteht, iJ = 0. Demnach lassen sich drof I 
Grössen A, (t, v aus den Gleichungen : 

X = a l X-}-.a t (i-\-a 3 v 
, (t = b l X + b 3 ft + b a v 

v =c 1 i + cr + cv 

1» -j- p" -+- V* == 1 

bestimmen, und diese drei Grössen A, p, v bestimmen die Rich- 
tung einer geraden Linie, die mit den Axen y lt y t , y 3 dieselben ] 
Winkel einschliesst, wie mit den Axen x u x 3 , Xj. Eine in dies« ( 
Richtung durch den Coordinatenanfangspunkt gelegte Linie ist 
die Drehungsaxe. 

In dem Falle 1^1 — — 1 trifft dieser Schluss nicht mehr m 
Daneben besteht noch eine andere Deutung der orthogonalen 
Substitution (y) = A (x) , wonach (x) und (j/) die Coordhiattn 
zweier verschiedener Punkte x und y sind, bezogen auf ein und 
dasselbe Coordinatensystem. Wenn x einen Raumtheil (Linie, 
Fläche oder Körper) überstreicht, so erfüllt der entsprechende 
Punkt y einen congruenten Raumtheil (wenn |ji| = — 1 ist, einen 
spiegelbildlich gleichen). Dies wird durch die folgende Betrach- 
tung dargethan. 

Die Gruppe der eigentlichen orthogonalen Substitutionen 
ist äquivalent mit einer Gruppe, die man aus den verschiedenen 
Stellungen eines um einen festen Punkt drehbaren Körpers bilde» l 
kann. Diese Gruppe erhält man, wenn man eine beliebige Stel- 
lung E als Einheit annimmt, aus der mau in irgend eine andere 
Stellung A gelangt durch Drehung um eine bestimmte Axe mit 
einem bestimmten Winkel. Ist B eine dritte Stellung, so hat 
man unter der zusammengesetzten Stellung AB die Stellung in 
verstehen, die man erhält, wenn man die Drehung, die za A 
geführt hat, nicht von der Einheitsstellung, sondern von da 
Stellung B aus vollführt. Denn nimmt man ein mit dem Körper 
in starrer Verbindung stehendes Axensystem an, z. E. das System 
der Hauptträgheitsaxen , und bezeichnet mit (x) die Conrdinaten 



$• 64. Reguläre Körper. 247 

eines beliebigen, im Räume festen Punktes, bezogen auf dies 
. Axensy&tem in der Einheitsstellung U, so erhält man die 
Coordinaten desselben Punktes, bezogen auf das Axensystem in der 
Stellung A oder B durch zwei orthogonale Substitutionen A(x) 
und B (x). 

Demnach sind AB(x) die auf das System A bezogenen 
Coordinaten eines Punktes y mit den Coordinaten (y) = B(x) 
im Systeme E. Der Punkt y hat also im Systeme E dieselben 
Coordinaten, wie der Punkt x im Systeme JB, d. h. y liegt/zur 
Einheitsstellung so wie x zur Stellung B. Führen wir nun die 
Drehung, die von E zu B führt, so aus, dass wir den Punkt x 
festhalten, aber den Punkt y und das Axensystem A die Drehung 
legleiten lassen, so gelangt der Punkt y nach x, und die Coordi- 
naten von x, bezogen auf die neue Lage des Systemes A, sind 
dieselben, wie die des Punktes y in Beizug auf die ursprüngliche 
Lage von A, d. h. AB(x). Diese neue Lage des Systemes A kann 
nan aber offenbar auch so erreichen, dass man die Drehung, 
die zu der Stellung A fuhrt, nicht von der Einheitsstellung, 
aondern von der Stellung B aus vollzieht. 

Aus der Gruppe der eigentlichen erhält man die Gesammt- 
heit aller orthogonalen Substitutionen durch Zusammensetzung 
mit einer uneigentlichen, etwa mit {x u x^x z ) = (t/j, y 2 , — t/ 3 ), die, 
nach der zweiten geometrischen Auffassung, eine Spiegelung an 
der Ebene x Xj x* ist, bei der der Punkt y das Spiegelbild des 
Punktes x ist. 

Von besonderem Interesse sind nun die in der Gesammtheit 
der eigentlichen orthogonalen Substitutionen enthaltenen end- 
lichen Gruppen, auf die wir später noch näher eingehen 
werden. Wir wollen hier nur noch über die geometrische Seite 
dieser Frage Folgendes bemerken. Einer solchen endlichen 
Gruppe G vom Grade g von orthogonalen Substitutionen ent- 
spricht eine endliche Gruppe von Stellungen eines Körpers. Denkt 
man sich den Körper in diesen verschiedenen Stellungen gleich- 
zeitig fixirt und das Ganze zu einem neuen starren Körper ver- 
einigt, so erhält man ein Gebilde, das sich in einer endlichen 
Anzahl g verschiedener Stellungen selbst decken kann. Man kann 
foi jede Gruppe Körper von unendlich vielen verschiedenen 
Gestalten finden. Die anschaulichsten und bekanntesten Ver- 
hältnisse ergeben sich, wenn man den Körper von ebenen Flächen 
begrenzt annimmt. 



248 Achter Abschnitt. 

Solche Gebilde sind die regulären Pyramiden, die Doppel 
Pyramiden und die regulären Körper (Tetraeder, Octaedei 
Würfel, Dodekaeder und Ikosaeder). 

Die reguläre Pyramide von g Seiten gelangt durch Drehuni 
um die Hauptaxe mit einem Winkel 2 jt : g und durch Wietier 
holung dieser Drehung auf g verschiedene Arten mit sich zu 
Deckung. 

Ist g gerade, so kann man eine reguläre DoppelpyramiA 
von g Seitenflächen ausser durch Drehung um ihre HaupUl 
mit dem Winkel 4 jf : g noch (auf 1 /. i g verschiedene Arten 
durch Drehung um eine in der Aeijuatorialobene liegende An 
mit einem Drehungswinkel von 180 Grad mit sich zur Deckuni 
bringen. 

Das Tetraeder gestattet 12 verschiedene Stellungen, in denei 
es denselben Raum einnimmt. 

Um sie zu erhalten , bezeichne man den Ort einer Ecke i 
der Einheitsstellung mit 1. Dann erhält man drei Stellungei 
des Tetraeders, bei denen die Ecke 1 fest bleibt Mau kan: 
aber jede Ecke an die Stelle von 1 bringen, wodurch die Zsl 
sich vervierfacht. 

»Dieselbe Zahl findet man auch, wenn man die Ebene eine 
Seitenfläche festhält, wobei man noch drei Stellungen de 
Tetraeders tindet, und dann jede Seitenfläche in die Ausgang! 
ebene bringt. 

Endlich kann man auch 30 zählen, dass man jede Kant 
auf zwei Arten mit einer festen Strecke zur Deckung bring 

L Ebenso verfährt man bei den übrigen regulären Körpern. Ma 
findet so den Grad der Gruppe 



gleich dem Producte auB der Anzahl der Ecken mit der Anzal 
der in einer Ecke zusammenstossenden Kanten oder Seiten 
flächen, oder 

gleich dem Producte aus der Zahl der Seitenflächen mit aV 
Anzahl der Seiten oder Ecken einer Grenzfläche, oder 

gleich der doppelten Anzahl der Kanten. 
Jede dieser Zählungen ergiebt 
für das Tetraeder 12 Stellungen, 
für das Octaeder und den Würfel 24 Stellungen, 
für das Dodekaeder und Ikosaeder 60 Stellungen. 



■ 






§.€5. 



Lineare gebrochene Substitutionen. 



249 



Es sei schliesslich noch bemerkt, dass,^ anstatt der Stel- 
lungen des Körpers, auch die Drehungen selbst als Elemente 
der Gruppe aufgefasst werden können. 



§. 65. 
Lineare gebrochene Substitutionen. 

Die Gruppe der orthogonalen ternären Substitutionen ist, 
wie jetzt nachgewiesen werden soll, isomorph mit der Gruppe 
der linearen gebrochenen Substitutionen einer Veränderlichen, 
oder der binären Gollineationen (§. 46). 

Wir bezeichnen eine ternäre orthogonale Substitution mit 

(1) Öfi, y* V*) = A fa, «a, x z ), 

(2) tf + yi + y? = */ + xj + x*. 

Hierauf wenden wir zunächst nach §. 41, (22) die Trans- 
formation durch die feste (nicht orthogonale) Substitution 



(3) 



0, 



0, 
1 





1 



L = \ ' VT V2 



o, 



1 



— «i o, o 

o -L =! 

o -i- -i- 



V2' V2) 
an, worin % = V — 1 ist, deren Determinante den Werth 1 hat, 



und setzen 

W 

(5) 
worin 

(6) 



ton sfo &) = i (y'u y* yd 

(x u x 2 , x z ) = L (x[, x 2 , x' 3 y 
(y'h y* J/i) = A! (x\, a?i, 4), 



4' = IT 1 -4L 

gleichfalls eine lineare Substitution bedeutet, deren Determinante 
|i'| = |.4|, also gleich ± 1 ist. Die Relation (2) geht durch die 
Substitutionen (4) in 

(7) - y'i 2 + 2yiyi = — *!» + 2*i*i 

aber, woraus sich sechs Relationen zwischen den Coefficienten 
von A! ergeben, die wir aber hier nicht aufstellen wollen, da 
wir die Substitution A! auf andere Weise einfacher finden 
können. 



250 



Achti 



ichnitt. 



Wenn wir nämlich unter £,, £ g neue Variable verstehe 

(8) *\ = Va" i, fo & = £» 4 = g 

setzen, so verschwindet x[ a — 3a&a£ identisch und yi,y'a,j/i 
durch (5) und (8) in binäre quadratische Formen der Vi 
£,, gj über, die nach (7) der Gleichung 

(9) !/i a - *2j/i!/3 = 

identisch geniigen müssen, d. h. j/äyä muss ein vollstäni 
Quadrat werden. Die quadratischen Formen yi,yj,yj zerl 
wir nun in je zwei lineare Factoren. Dabei können y'i un 
keinen gemeinsamen Factor haben, da sonst auch der au 
Factor nach (9) in beiden Functionen übereinstimmen und 
die drei Coefficienten von yi und j/j mit einander proporti 
sein müssten. Dann würde aber \A'\ verschwinden, was i 
möglich ist. Demnach ergiebt sich aus (9), dass j/j und jfi 
drate linearer Functionen sein müssen. Setzen wir 

(10) ,,= *ti + ß& li = ?& + »*. 
so künnen wir also hiernach mit Rücksicht auf (0) 

(11) j/I = V2 1 j,^, y\ = ril y 3 = rii 
setzen; wenn wir die Multiplicationen ausfuhren und da 
Substitution (8) im umgekehrten Sinne ausführen, so erhalt« 
aus (10) und (11): 

y\ = (ad + ßy) x\ 4-Vä »VÜ + V* ß&**, 
yi =V2 ttßx'i + a*z* + ß^x's, 
yi = V2 ytfiri -f- r»arä 4- Ä**i- 

Also lautet die Substitution A': 

/aS + ßy, ViT«y, V*ß8\ 

(«) ^' = V2«ft «*, /I» ]■ 

V V2 y$, y», ö» / 

Durch diese Substitution ist die Bedingung (7) noch 
völlig befriedigt, sondern es folgt nur, dass die rechte und 
Seite sich durch einen constanten Factor unterscheiden, 
den Coefficienten a, ß, y, ö abhängt. Nun ist aber der Coe: 
von x\ s in der Verbindung i/i* — 2 y i y i : 

(«* 4- ßy)* — iaS ßy = (ad — ßy)*, 



$.65. Lineare gebrochene Substitutionen. 251 

und wir müssen also die Determinante ad — 0y = + 1 setzen. 
Berechnet man die Determinante \A'\, so ergiebt sich dafür 
(«4 — ßy) 3 , so dass wir also, wenn wir nur die eigentlichen 
orthogonalen Substitutionen berücksichtigen, 

(13) ad — ßy = 1 

setzen müssen, während 

(H) ad — ay = — 1 

den uneigentlichen orthogonalen Substitutionen entspricht. Da- 
durch ist die Substitution AI völlig bestimmt, und ist zurück- 
geführt auf die binäre Substitution 

15) Oh, ih) = (£ §) «i, U aS-ß r = ±l, 

ider, wenn ifc : 1fr = *7> £i : £* = £ gesetzt wird, auf die lineare 
ebrochene Substitution 

Hierzu ist aber nun noch Folgendes zu bemerken. Die 
riden Substitutionen A,A! sind Transformationen von einander, 
id entsprechen sich also gegenseitig eindeutig. 

Durch A! sind aber die Zahlen a, ß, y, d nur bis auf das 
meinsame Vorzeichen bestimmt. Wenn wir also die lineare 
bstitution 



? ' GS 



t einer der beiden Bedingungen (13) und (14) betrachten, so 
zwar hierdurch die Substitution AI und daher auch A ein- 
utig bestimmt; aber umgekehrt entsprechen jedem AI zwei 
Lbstitutionen der Form (17): 



ft J) - (Z J =?) 



Wir erhalten aber wieder ein eindeutiges Entsprechen, wenn 
ir diese beiden Substitutionen zu einer Collineation , die wir 
dt A" bezeichnen, zusammenfassen. 

Die Substitution (16) endlich bleibt ungeändert, wenn wir 

ie Zahlen a, ß y y, d mit einem beliebigen gemeinschaftlichen 

ictor multipliciren, und wir können diesen Factor nach Belieben 

bestimmen, dass die Bedingung (13) oder (14) befriedigt wird. 

zeichnen wir diese Substitution mit 




. 



252 Achter Abschnitt. 

es) A- = (;•£), 

so bekommen wir aus jeder Substitution A'" zwei 
Substitutionen A, vou denen die eine eigentlich 
uneigentlich ist. 

Die drei Substitutionen 
(111) A, A', A" 

entsprechen sich also hiernach gegenseitig eindeutig, die 
stitutionen 

(20) A, A\ A'" 
aber nur dann, wenn wir noch die Forderung stellen, ( 
eine eigentliche orthogonale Substitution sein soll. 

Ist nun 

(21) B, B\ B" 
ein zweites System von Substitutionen der Form (19) 
auch AB, A' B' zwei einander entsprechende Substitution! 
unmittelbar aus der Bedeutung der A' als transformirte 
stitution der A hervorgeht. Es ist aber noch nachzu 
da ss auch 

(22) AB,A , B\A"B" 
ein zusammengehöriges System von der Form (19) ist, da» 
die Gruppen der A, A', A" isomorph sind. Daraus ergie 
dann von selbst aus der Beziehung, in der A" und A" 
ander stehen, dass (hei Beschränkung auf eigentlich ortho 
Substitutionen -4) auch die Gruppe der A'" damit isomoi 

Setzen wir, um dieses zu beweisen: 

(23) (,„ ,,) = r ({„ i,\ (£„ S,) = B" ({„ {,). 

80 folgt 

(24) ( Vl , Vl ) = A"B"tt lt t 3 ). 

Aus A", B", A"B" leiten wir nun nach (12) drei 
Substitutionen A', B\ C her. So erhalten wir nach (S) 

(Vä w»v:,<ij) = A' (Vi f,t„ b tt> 

(25) (VI {, t„ {• g) = B' (V2 {, £„ (,', {,') 

(V2 <hi,,<i!.'i,') = C (Vi s,£„ {?, tfi. 

Diese Formeln sind in Bezug auf £, , £ a identisch , 
müssen also richtig bleiben, wenn V'i £i£j. £?, £* durc 



§,66. Realitätsbedingungen. 253 

UDabhängige Variable z\, z'%, z z ersetzt werden. Bezeichnen wir 
die Ausdrücke, die sich dadurch für 

ergeben, mit 

x\, x 2 , x'z, yi, y' 2 , t/i, 

so werden die Formeln (25) : 

(tfu »2, y's) = A' (zi, x* x 3 ) 
(26) (z' u x' 2 ,Xs) = B'(s' 1 ,s' 2 ,z*) 

(yi, j/2, yd = C' (/i, z 2 , *i), 

d. h. es ist 

C = A!B\ 
i. z. b. w. 

§. 66. 
Realitätsbedingnngen. 

Es bleibt uns noch eine Frage zu beantworten. Bisher haben 
wir nirgends auf die Realität der Coefficienten Rücksicht ge- 
nommen. Wenn aber irgend welche geometrische Anwendung 
gemacht werden soll, so ist es nöthig, dass die orthogonale Sub- 
stitution A reell sei. Es ist also noch zu untersuchen, welchen 
Bedingungen die Substitutionscoefficienten a, 0, y, Ö in A" zu 
unterwerfen sind, damit die Coefficienten von A reell werden. 

Um diese Frage zu entscheiden, bilden wir nach §. 65, (3), (12) 

die Zusammensetzung 

A = LA'IT\ 
und erhalten : 

ctd-{-ßy, i(ay-\- ßd), ay — ßd 

(i) Ä = \—*("ß+r*)> § ' f 2 

aß — yd, % 2 , 2 

Die Coefficienten dieser Substitution sollen also reell sein, 
und ausserdem 

(2) ad — ßy = ± 1. 

Wenn von den vier Coefficienten a, ß, y, d einer verschwindet, 

o muss auch noch ein zweiter verschwinden. Denn wenn z. B. 

= ist, so muss iay und ay reell sein. Dies ist aber mit (2) 



254 



■ Abschnitt 



nur verträglich, wenn y = ist. Ebenso können « und i 
zugleich verschwinden, 

Ist nun ß und y = 0, so müssen os a -|- <J* und * (et* — * 
reell sein, also a* und 6* conjugirt imaginär, und wegen ( 
Product = 1. Je nachdem also in (2) das obere oder 
Zeichen gilt, müssen «, + 3 conjugirt imaginär sein. E 
ergiebt sich, dass, wenn « und Ö = sind, ß und ^ y conjoj 
imaginär sein müssen. 

Nehmen wir also jetzt an, dass keine der vier Zahlen a, ß 
verschwinde. Dann müssen, damit die Grössen 






«* + 0y, i(ay + ßd), -i( tt ß + r S) 

aÄ — ßy, ay — ßS, aß — yS 

reell sein können, 

«d und ßy reell, 

ay conjugirt imaginär mit — /Jö, 

sein, und danach ist auch 

kv. aß ■ ._, s „ ßd.yä 

a 1 = — '-ä — - conjugirt imaginär mit o J = c - ~— 

ßy py 



aß .8 ß 
~~~a~d~~ 



y* 



yS.ay 
aS ' 



I 



also rauss a conjugirt mit + Ö, ß conjugirt mit + y sein. 
beide Male das gleiche Zeichen stehe, widerspricht der For 
rung, dass ay und —ßS conjugirt sein sollen. Da das Pro 
zweier conjugirt imaginärer Grössen stets positiv ist, sc 
die oberen oder die unteren Zeichen, je nachdem in i 
obere oder daB untere Zeichen steht, d. h. je nachdem A eigen 
lieh oder uneigentlich orthogonal ist. Wir kommen also i 
folgendem allgemeinen Resultate, in dem auch die speeiell« 
Fälle von verschwindenden a, ß, y, S mit enthalten sind: 

Die nothwendige und hinreichende BedingUDgl 
dafür, dass die orthogonale Substitution (1), (2) reell! 
sei, besteht darin, dass a, + S und ß,^f y zwei coujugir 
imaginäre Paare bilden, worin die oberen Zeichen t 
den eigentlich, die unteren bei den un eigen tli< 
orthogonalen Substitutionen gelten. 



,67. Endliche lineare Gruppen. 255 

§. 67. 

indliche Gruppen linearer gebrochener Substitutionen. 

Pole der Gruppen. 

Aus den bisherigen Entwickelungen ergiebt sieb, dass, wenn 
ile endlichen Gruppen linearer gebrochener Substitutionen ge- 
inden sind, daraus ohne Weiteres alle endlichen Gruppen 
igentlich orthogonaler ternärer Substitutionen und alle endlichen 
nippen binarer linearer Substitutionen mit der Determinante 1 
efonden werden können. 

Ausserdem giebt es noch endliche Gruppen, die neben den 
igentlichen auch uneigentlich orthogonale Substitutionen ent- 
alten. 

Diese Gruppen, auf die wir später zurückkommen, können 
icht aus den Gruppen linearer gebrochener Substitutionen allein 
bgeleitet werden, weil sich bei den gebrochenen Substitutionen 
er Unterschied zwischen eigentlich und uneigentlich ortho- 
malen Substitutionen verwischt. 

Wir suchen also jetzt zunächst alle endlichen Gruppen 
nearer gebrochener Substitutionen zu ermitteln 1 ;. 

Wir bezeichnen mit G eine solche Gruppe vom Grade n, 
ld mit 

) ^»i (*).»! (*>...> ®»-i 0*0 

re Elemente, worin die Symbole für lineare Functionen 

» . •« = jT& 

ld, die auch mit 

» —GS) 

zeichnet werden. 

Aus jeder Gruppe von der Form (1) können wir nach §. 41 
le ganze Schaar isomorpher Gruppen ableiten, wenn wir mit L 
le willkürliche lineare Substitution bezeichnen: 

1, L®^" 1 , L9 % IT\ . . ., LBn-xIT 1 , 

*) Ueber die Theorie dieser Gruppen ist besonders zu vergleichen: 
twarz, „lieber diejenigen Fälle etc.". Crelle's Journal, Bd. 75 (1872); 
ßhs, „Ueber die linearen Differentialgleichungen etc.". Crelle's Journal, 
81 (1875); Gordan, Ueber endliche Gruppen linearer Transformationen 
r Veränderlichen. Mathem. Annalen, Bd. XII, S. 23 (1877); Klein, 
Lesungen über das Ikosaeder (Leipzig 1884). 



256 Achter Abschnitt. §.67. 

und wir betrachten unsere Aufgabe als gelöst, wenn von jeder 
dieser Schaaren ein Repräsentant bestimmt ist. 

Wir werden diese Freiheit später benutzen, um die ge- 
fundenen Gruppen möglichst einfach darzustellen. 

Die Determinante 

KÖ — ßy = 4 

muss von Null verschieden sein, und wenn es die Einfachheit 
verlangt, können wir sie immerhin = 1 annehmen, was wir bis- 
weilen thun werden. 

Wir bezeichnen im Sinne der Gruppentheorie die Wieder- 
holung einer Substitution durch Exponenten: 0, 0-, &*, . . , 
worunter also nicht Potenzen, sondern immer wieder lineare Sub- 
stitutionen der Gruppe (1) zu verstehen sind. Die identische 
Substitution x = x, die als die Einheit der Gruppe anzusehi 
ist, wird auch mit 0° oder mit 1 bezeichnet. 

Zwei iuverse Substitutionen 0, ® -1 können in der Form 
dargestellt werden 



a "=(-"'~0' 






Da die Gruppe nach der Voraussetzung endlich ist, so bi 
jedes ihrer Elemente einen bestimmten Grad, d. b. es gielit für 
jedes eine bestimmte kleinste positive Zahl t, für die 0' = l 
ist. Diese Zahl t muss ein Theiler von « sein. 

Für die Folge ist es von Wichtigkeit, für jede der Sub- 
stitutionen der Gruppe (ausgenommen die identische Substitution) 
die Werthe der Variablen zu betrachten, die ihren Transformirtea 
gleich werden, also die Wurzeln der Gleichungen 

(5) x = 0(*). 

Diese Werthe wollen wir die Pole der Substitution 
nennen (§. 42). 

Die Gleichung (5) ist quadratisch und nimmt, wenn 
für den Ausdruck (2) einsetzt, die Form an: 

(6) yx* + (ä — u)x — ß = 0. 
Diese Gleichung hat zwei Wurzeln, die nur dann ein; 

gleich sind, wenn 

(7) (« - «)> + iß, = 
oder 

(8) <«+d)° = U 
ist. Dass dieser Fall nicht vorkommen kann, wenn einer 



■m 
tut 



5-67. 



Endliche lineare Gruppen. 



257 



liehen Gruppe angehört, ergiebt sich schon ans den oben abge- 
leiteten allgemeinen Sätzen (§. 45). 

Wir können es in dem vorliegenden Falle einfach so nach- 
weisen: 

Ist zunächst ß oder y = 0, so folgt aus (7), dass a = 8 
sein muss, und beide können = 1 angenommen werden. 

Wenn nun eine der beiden Substitutionen , 

C:MJ:0 

Bt, so ist für jedes X: 

wie man leicht durch vollständige Induction findet Es kann 
tbo, da ß und y nicht zugleich Null sein können, wenn nicht 
die identische Substitution ist, X für kein positives X gleich 1 
werden, wie es doch sein müsste, wenn X gleich dem Grade von 
wäre. 

Ist aber ß von Null verschieden, so setzen wir, indem wir 
jetzt jd = 1 und nach (8) a -f- S = 2 annehmen, 



L== d-a,r 1 ) 1 



und erhalten 

L'^BL 



-(r\ 



also 



und daraus 



//r\ o\/«,/jw0, o \ 
V«-i, pAy, <V\i— «, rv 

-ftO- 

8 - L (o, f ') L_ ' ' 



was wieder für kein positives k gleich 1 werden kann. Wir 
haben daher den Satz: 

1. Jede der n — 1 nicht identischen Substitutionen 
einer Gruppe n* 611 Grades hat zwei von einander 
verschiedene Pole. 

Jede nicht identische Substitution der Gruppe G giebt uns 
lllio zwei Pole. Es kann aber ein und derselbe Werth bei 



Weber, Algebra. IL 



17 



258 Achter Abschnitt. §. 67. 

mehreren verschiedenen Substitutionen als Pol auftreten. Zählen 
wir einen dieser Werthe Amal, wenn er in h Substitutionen der 
Gruppe als Pol vorkommt, so ergiebt sich die Anzahl der Pole 
gleich 2n — 2. Diese Werthe sollen die Pole der Gruppe 
heissen. Die genaue Abzahlung dieser Pole giebt uns die wichtig- 
sten Aufschlüsse über Zahl und Beschaffenheit der möglichen 
endlichen Gruppen. 

Wenn die Substitutionscoefficienten 0, y gleich Nnll sind, so 
ist eine multiplicative Substitution 






Damit diese Substitution von endlichem Grade sein kann, 
muss der Quotient a : S = s eine Einheitswurzel sein, 
deren Grad ein Theiler von n ist. Als Pole dieser Sub- 
stitution hat man x — und x = od anzusehen, die der Be- ; 

dingung 

x = ex 
geniigen. 

Nach (4) kann man aus G eine isomorphe Gruppe 

LGL'~ 1 = G' 
ableiten, wenn für L eine beliebige lineare Substitution 

A, B 



-GS 



genommen wird. Die Pole dieser Gruppe erhält man, wenn man 
auf die Pole von G die Substitution L anwendet. Wenn also i 
einer der Pole von G ist, so ist 

, _ Aa + B 
a —JJT+D 
der entsprechende Pol von G'. 

Man kann die Substitutionscoefficienten J., 2?, (7, 2> so be- 
stimmen, dass drei der Pole von G' vorgeschriebene Werthe er- 
halten. Um z. B. den Polen a, 6, c von G die Pole 0, a>, 1 von G' 
entsprechen zu lassen, setze man 

r , N c — b x — a 
v/ c — a x — o 

Wenn a und b die Pole einer und derselben Substitution 9 
von G sind, so ist also die entsprechende Substitution von G 9 
multiplicativ. 

Wir erhalten hieraus den Satz: 



§.68. Mögliche Gruppen. 259 

2. Zu jeder Gruppe linearer Substitutionen kann 
man eine transformirte Gruppe finden, in der 
einer beliebigen, nicht identischen der gege- 
benen Substitutionen eine Multiplication ent- 
spricht. 

Die transformirende Substitution L ist durch diese Forde- 
rung noch nicht vollständig bestimmt, da die beiden Pole a, b 
aacfa mit einander vertauscht werden können, und L ausser- 
dem noch mit einer beliebigen Multiplication zusammengesetzt 
ferden darf 

§. 68. 

Die verschiedenen Arten möglicher Gruppen. 

Es sei a einer der Pole der Gruppe G, und wir wollen 
inehmen, es gebe ausser der Einheit v — 1 und nicht mehr 
lemente in 6r, U 2 , . . ., ®,_ 1? so dass 

) a = ©i(a) = @ 2 ( a ) = • * • = ®*-i(a) 

. Ein solcher Pol soll ein v-zähliger Pol heissen. Es ist 

n zunächst klar, dass die Elemente 

I 1, ®i, 0„ . . ., ©r_i 

• sich eine Gruppe, und zwar einen Theiler von G bilden; 

an aus 

a = ®i (a), a = © 2 (a) 

gt, wenn man auf der rechten Seite der zweiten Gleichung a 

rch das ihm gleiche x {a) ersetzt: 

a t= © 2 ®i (a). 

Es muss also v ein Theiler von n sein: 
i n = vjt. 

Wir bezeichnen die Gruppe (2) mit Q. 

Es lässt sich beweisen, dass diese Gruppe cyklisch sein muss, 
© aus den Wiederholungen eines ihrer Elemente besteht. 

Denn wenn wir durch Transformation nach dem Satze 2. 
nach Unendlich werfen, so erhalten die Substitutionen (2) die 
rm: 

1 die Composition von zweien unter ihnen giebt: 
1 2 = s x e 2 x -\- {c 2 e x + c x ) 
0* = e*x + c (e ? - 1 -f £^- 2 -] (- 1) 

1 = B~ 1 X — C £ —1 . 

17* 



260 Achter Abschnitt. §.& 

Daraus schliesst man, dass alle £ x , «,, . . ., £,_i Einheit* 
wurzeln vom Grade v sein müssen. Ausserdem können nicht zwei 
der s einander gleich sein. Denn wäre z. B. € x = %, so wäre 

@ x ©7 1 = x 4- fa — c a ). 

Diese Substitution muss in $ vorkommen, und nach den 
Satze 1. muss ^ = c 2 , also ^ mit a identisch sein. Die Zahlet 
1, £}, £ a , ..., f r _i müssen also zusammen alle */*** Einheitswuneh 
enthalten, und also mit den Potenzen einer primitiven unter 
ihnen übereinstimmen. Da andererseits alle Potenzen von einer 
der Grössen in der Gruppe Q vorkommen müssen, so wird, 
wenn das in vorkommende e eine primitive v* Einheitswund 
ist, die ganze Gruppe Q dutch die Potenzen von erschöpft 
Also besteht diese Gruppe Q aus den Elementen 

(4) 1, 0, 2 , . . ., 0'- 1 . 

Nehmen wir (nach dem Satze 2.) als multiplicative Sab-, 
stitution an, so ist der zweite Pol von und zugleich der 
zweite Pol der sämmtlichen Substitutionen (4). Es ist daher 
dieser Pol gleichfalls ein mindestens v-zähliger. Da aber beide 
Pole von in dieser Betrachtung vertauscht werden können, 
so erhalten wir die Sätze: 

3. Ein v-zähliger Pol bestimmt eine in G ent- 
haltene cyklische Gruppe Q vom v Ugk Grade. 

4. Die beiden Pole irgend einer Substitution •] 
der Gruppe G sind gleichzählige Pole und sind 
die beiden einzigen Pole der Gruppe Q. 

Nach §. 2 lassen sich fi — 1 Elemente 

(5) *!, * 2 , . . ., Tfv-i 

in G so auswählen, dass t[f x (), ♦» Q, . . ., ^u— i Q die Nebe»*; 
gruppen zu Q sind, und dass also 

(6) G = Q + * x Q + tl> 2 Q -\ h «V-i Q 

wird. Wir setzen nun 

(7) Oj = ^(a), a a = * 2 (a), . . ., a^-t = ^ M -i(a). 

Die Grössen a x , a 2 , . . ., a M _ x sind nicht nur alle von §& 
sondern auch unter einander verschieden. Denn wäre etwa 

tf i («) = * 2 (<*), i 

so würde folgen: 

a = VT 1 *i(a) = ♦r^iCaX i 

und t^r 1 ^ wäre in § enthalten, also i> % in ^ x (>, was gegen did 



§.68. Grenzen der Anzahl der Gruppen. 261 

Voraussetzung ist. Es ist nun leicht nachzuweisen, dass diese 
Werthe a lf 02, . . ., a M _! sämmtlich v- zählige Pole der Gruppe 
sind Es genügt, dies für a L zu zeigen. 

Wir nehmen irgend eine der Gleichungen (1) 

(8) a = 0(a) 

f und setzen in der Gleichung 
f (*) ai = ^{a) 

fär a den ihm gleichen Werth (a). So erhalten wir 

(10) o l = « 1 e(a). 

Nach (9) ist aber a = 1>T l (<h), un d folglich ergiebt sich 
aus (10): 

(11) a 1 = !(; 1 0*r 1 (ai). 

Wenn umgekehrt für irgend eine Substitution % von G 

ist, so folgt nach (9): 

a = VT 1 %1>i(a) 

und folglich ist 1>7 l %il>i = ® in der Gruppe Q enthalten, und 

Daraus ersieht man, da wir v — 1 verschiedene Substitu- 
tionen haben, dass a^ ein v-zähliger Pol ist, und zwar zu der 
mit Q conjugirten Gruppe ^ Qil>Z l gehörig. Aus diesem Grunde 
nennen wir 
(12) a, Ox, a 2 , . . ., a^.-i 

ein System conjugirter v-zähliger Pole von G. 

Eine beliebige Substitution % von G kann nach (6) immer 
in die Form ^0 gebracht werden, so dass zu Q gehört, und 
daraus folgt, dass %(a) = ^,0(a) = a, ist, und ebenso, wenn 
man #» qf>* = il>h 0' setzt, so dass auch 0' zu Q gehört : 

*(«*) = ^<0*k(a) = il>h@'(a) = «h- 

Da ferner zwei Grössen %(a^), %( a k) nur dann einander 
;loich sein können, wenn a/, = a k ist, so folgt der Satz: 

5. Die beiden Reihen 

a, a x , 02, . . ., a,p—i 
Z(a),Z(<ti), %{<*2), • - ., %((*u-i) 
stimmen, welche Substitution aus G auch für % 
genommen werden mag, abgesehen von der 
Reihenfolge, mit einander überein. 



262 Achter Abschnitt. §.68. 

Ist dann b ein in dem Systeme (12) nicht enthaltener Pol, 
so kann auch %(b) nicht in (12) vorkommen, und daraus ergiebt 
sich, dass zwei Systeme conjugirter Pole, wenn sie nicht ganz 
identisch sind, keinen Pol gemein haben. 

Hiernach können wir die sämmtlichen Pole der Gruppe G 
in Systeme conjugirter Pole anordnen, und wir erhalten nach 
§. 67 ihre Gesammtzahl 2 n — 2, wenn wir jeden v-zähligen Pol 
(v — l)mal mitrechnen. 

Diese Bemerkung giebt uns eine wesentliche Begrenzung der 
Zahlen v. Es ist nämlich danach 

(13) 2w— 2 = f*(v — l)-f(*'(v'— 1) + p"(v" — 1)H 

oder, wenn wir mit h die Anzahl der Systeme conjugirter Pol« 
bezeichnen, und w = (iv = /tcV = • • • setzen, 

(14) 2 n — 2 = nh — (i — (i 1 — p" 

Die Zahlen v, v' v", . . . sind mindestens gleich 2, also ist 

und daher nach (14) 

^^2n-2^(n-l)A, 
oder 

2 ^A <4 — — 

Es kann also A nur einen der beiden Werthe 2 oder 3 habei 
und wir finden fünf Arten, die Gleichung (13) zu befriedigen. 
Wenn zunächst 7* = 2 ist, so folgt aus (14) 

\i -f- (i' = 2, p = p' = 1, v = v' = n. 

Wir haben also: 

I. Kreistheilungsgruppe oder cyklische Gruppe 
v = v' = w, n beliebig. 
H = (i' = 1. 

Ist ferner h = 3, so folgt aus (14): 

(15) ii -f p' + p" = n + 2. 

Daraus ist zu schliessen, dass mindestens eine der Zahlei 
v, v\ v" gleich 2 sein muss. Denn wären sie alle ^ 3, so wä« 

— w . — n „ — n 
^^ 3~' ** ^ 3"' ** ^ 3"' 

also ft -I- ft' -f- /i" ^ r?, was mit (15) im Widerspruch steht 



§.fc 



Grenzen der Anzahl der Gruppen. 



263 



n 



Ist also v = 2, (i = — , so folgt aus (15): 



(16) 



n 



*»' + **" = t + 2 



Wir nehmen zunächst an, dass auch noch 1/ = 2 sei. Setzen 
wir dann v" = m, so folgt aus (16): 

p" = 2, w = 2 m, 
ood wir erhalten eine zweite Möglichkeit: 

EL Diedergruppe, v = v' = 2, v" = tw, w = 2 *n, m ^ 2, 

p = ^' = m, ft" = 2. 

Ist ferner keine der Zahlen t/, v" gleich 2, so muss eine von 
Omen gleich 3 sein. Denn sind sie beide |>-4, so ist 

was mit (16) im Widerspruche steht. Ist also v f = 3, p' = — , 
so folgt aus (16): 

(17) 



ft - 6 i- A ^ ~ n + 12 * 



woraus folgt, dass v" < 6 sein muss, also nur einen der Werthe 
3, 4, 5 haben kann. 

Danach bekommen wir noch drei mögliche Fälle: 



HL Tetraedergruppe: v = 2, v 

f* = 6, ft 

IV. Octaedergruppe: 1/ = 2, v 

ft = 12, ft 

V. lkosaedergruppe: v = 2, v 



= 3, v" = 3, n= 12 

= 4, ji" = 4. 

= 3, v" = 4, n = 24 

= 8, p" = 6. 

= 3, v" = 5, n = 60 



p = 30, jt' = 20, y," = 12. 

Hiermit sind alle Möglichkeiten erschöpft. 

Es ist freilich noch nicht bewiesen, dass diese Gruppen, die 
ir einstweilen mit dem gebräuchlichen Namen aufgeführt haben, 
nd die wir unter dem gemeinsamen Namen der Polyeder- 
rappen zusammenfassen, wirklich existiren, noch wie gross 
Ire Mannigfaltigkeit ist. Zu diesem Beweise führen erst die 
Agenden Betrachtungen. 



I 



Achter Abschnitt. 



■ 



- 



Transformation der Substitutionen von G ■ 
einfache Formen. 

Ehe wir zur definitiven Aufstellung dieser Gruppen 
leiten wir einen Satz ab, der die Möglichkeit der vorkom 
Substitutionen noch weiter beschränkt. 

Ist a ein v-zähliger Pol der Gruppe G und 

(1) o = &(a) = &(a) = ■■ ■ = &" l (a), 
ao ist der zweite Pol a' von nach §. 67, 4. gleichfalls i 
und es ist 

(2) „' = «(<■') = 8>(o') = ... = ©— („'). 
Giebt es nun in der Gruppe G mehr als ein Syste 

jugirter v-zähliger Pole, so können a, a! entweder in dei 
oder auch in verschiedenen dieser Systeme vorkommen. 

Giebt es aber nur ein System v-zähliger Pole, so m 
und o' in demselben Systeme vorkommen, und es muss also 
eine nicht unter den Potenzen von ® enthaltene Substitut 
existiren, so dass 

(3) a' = i}>(a) 
ist. Daraus folgt mit Anwendung von (1) und (2): 

woraus zu schliesseu ist, dass ij!~ '©tu unter den Potenze 
& vorkommt, und dass daher nach (2) auch 

a' = i/r 1 ©*«}, if-(a') = ©V>(<0 
sein muss. Es ist also auch $(a') ein Pol von ©, und ■ 
nicht = o' sein kann, weil sonst a' ein Pol von $ w 
nicht sein kann, da ip nicht unter den Potenzen von 
kommt, so ist 

(4) #(«') = «• 
Wenn man nun durch Transformation der Gruppe i 

a und a' nach und co bringt, so erhält & die Form 

&{x) = ex, 
worin e eine primitive v w Einheitswurzel ist, und if> mai 
(ß) und (4) die Form haben : 



§.70. Die Grundformen. 265 

worin c eine Constante ist. Durch eine abermalige Transformation 
der Gruppe kann man der Constanten c jeden beliebigen Werth, 
i B. durch Transformation mit der Substitution x Vc für x, den 
Werth 1 geben. Wir erhalten also folgenden Satz: 

1. Wenn in der Gruppe G nur ein System con- 
jugirter v-zähliger Pole vorkommt, so kann man 
die Gruppe so transformiren, dass sie die beiden 
Substitutionen 

® = e x. 1> = — 

x 

enthält, worin £ eine primitive v** Einheitswurzel 
bedeutet, und c ein beliebig vorgeschriebener 
Werth, z. B. auch 1, sein kann. 

Die Voraussetzung dieses Satzes ist bei den in §. 67 auf- 
gezählten Fällen immer für einen der verschiedenen Werthe v 
erfüllt, ausgenommen bei der cyklischen Gruppe und bei der 
Diedergruppe mit m = 2. 

Endlich beweisen wir noch den folgenden Satz: 

2. Sind a,o! die Pole einer Substitution & von G, 
so sind die mit a und al conjugirten Pole 

worin % eine beliebige Substitution aus G ist, die 
beiden Pole einer und derselben Substitution, 
nämlich der Substitution X®X~~ 1 > 

Die Richtigkeit ergiebt sich unmittelbar aus dem Anblick 
?r Gleichungen: 

a =0 (a), %&%-* %{a) = % (a) = %(a) 
a! = 0(a'), %®%-*%(a') = % ®{a') = X {a'). 

§. 70. 
Die Grundformen. 

Um zu der endgültigen Aufstellung aller endlichen Gruppen 
zu gelangen, ist es nothwendig, auf die Invarianten der ent- 
rechenden binären Substitutionsgruppen näher einzugehen. 
Wir müssen daher neben den linearen gebrochenen Sub- 

itutionen 

ax -\- ß 



266 Achter Abschnitt §. 7a 

die wir im §. 65 mit A'" bezeichnet haben, noch die binären 
Collineationen 

(2) (*, y 8 ) = ("; J) (*i, *,) 

betrachten, die dort mit A" bezeichnet waren, und die, wenn man 
y 1 : y 8 = y, ^ : #j = x setzt, wieder auf die Substitution (1) 
führen. In (2) ist immer 

(3) ad — ßy = 1 

vorausgesetzt. 

Es kann nicht zu einem Missverständniss fuhren, wenn wir 

beide Arten von Substitutionen übereinstimmend durch ein 

Symbol wie 

'*, ß' 







a 



bezeichnen, da ja dann in beiden die Compositionsregel genau 
dieselbe ist. 
Wenn nun 

(4) a, a 1? a 2 , . . ., a M _i 

ein System conjugirter Pole der Gruppe G ist, so ist 

(5) f{x) = (x — a)(x — a{)... (x—a^i) 

eine ganze Function /Lt ten Grades, deren Wurzeln jene conjugirten 
Pole sind. Diese Function f(x) hat folgende Eigenschaft: 
Nehmen wir irgend eine Substitution der Gruppe G 

VW — y X + 8' 
so sind die Wurzeln der Function 

(6) (yx + *>"/[> (x)] 

die Grössen ^"~ 1 (a), ^~" 1 (a 1 ), . . ., ^ 1 (a ft ^ 1 ). Diese aber stim- 
men, von der Reihenfolge abgesehen, nach §. 68, 5. mit den 
Grössen a, a u 03, . . ., a^—! überein, und folglich können sich die 
Gleichungen (5) und (6) nur durch einen constanten Factor 
unterscheiden. Wenn wir also 

(7) *S/ (§)=/(*!,*,) 

setzen, so bleibt diese Form /, von einem constanten Factor ab- 
gesehen, ungeändert, wenn auf (x^ x t ) irgend eine Substitution 
der Gruppe G angewandt wird. 



§. 7a Die Grundformen. 267 

Nach der Definition §. 55, 2. ist also f(x x ,x 2 ) eine In- 
rariante der Gruppe Cr, und wir haben den Satz: 

1. Jedem Systeme conjugirter Pole der Gruppe G 
entspricht eine invariante Form, deren Grad 
| gleich der Anzahl der Pole des Systemes ist, und 

deren Wurzeln eben diese Pole sind. 

Wir bezeichnen mit f l9 / 2 , . . . die zu den verschiedenen 
Systemen conjugirter Pole gehörigen invarianten Formen, die 
Ton den Graden p, [i\ . . . sind und die wir die Grundformen 
der Gruppe nennen wollen. 

Ist dann F(x 1 ^x i ) irgend eine invariante Form der 
Gruppe G und f(x l ^ x 2 ) eine Grundform, und hat F(x, 1) = 
mit/(a;, 1) = eine gemeinsame Wurzel, so müssen alle Wur- 
zeln von / = zugleich Wurzeln von F = sein. Denn 
nach Voraussetzung haben die beiden Functionen Ffa 1) und 
F[1>(x), 1] dieselben Wurzeln. Wenn also F(a, 1) = und 
h = i>{a) ist, so ist auch F[H>{a), 1] = F^, 1) = 0. Wir 
taben also den folgenden Satz: 

2. Hat eine zu ©gehörige invariante Form F(x x , x 2 ) 
mit einer der Grundformen/^, x 2 ) einen Theiler 
gemein, so ist F{x^x 2 ) durch f(x t ,x 2 ) theilbar. 

Ist F(Zi, X}) eine invariante Form der Gruppe 6r, und £ 
ine Wurzel der Gleichung F(x, 1) = 0, so sind auch, wenn 
i die Elemente der Gruppe G durchläuft, die sämmtlichen 
\ Grössen ^(£) Wurzeln derselben Gleichung. Wenn also der 
xrad von F niedriger. ist, als der Grad der Gruppe, so können 
liese Grössen nicht alle von einander verschieden sein, und es 
olgt für irgend zwei von einander verschiedene Substitutionen 
, if von G 

der 

h. £ muss unter den Polen der Gruppe G vorkommen, und 
\ ist also F nach dem Satze 2. durch eine der Grundformen 
teilbar. Da wir auf den Quotienten der Division dieselbe Schluss- 
sise anwenden können, so folgt: 

3. Eine invariante Form F der Gruppe 6r, deren 
Grad niedriger ist, als der Grad der Gruppe, 



268 



Achter Abschnitt 



§. m 



ist, von einem constanten Factor abgesehen, ein 
Product von Potenzen der Grundformen. 

Es ist hierbei immer angenommen, dass die Coefficienten 
von F(x^x 9 ) nicht alle gleich Null sind. Wir können also, 
wenn wir von dieser Voraussetzung absehen, den Satz 3. auch 
so aussprechen: 

4. Ist F(x u x i ) eine invariante Form der Gruppe 
von niedrigerem Grade als Cr, die sich nicht als 
Product aus den Grundformen darstellen lässt, 
so mu8S -F(#i, Xz) identisch verschwinden. 



Neunter Abschnitt. 

Die Polyedergruppen. 



§. 71. 
Die cyklischen Gruppen und die Diedergruppen. 

Wir gehen nun dazu über, die allgemeinen Principien zur 
wirklichen Bildung der verschiedenen Polyedergruppen anzu- 
wenden, zunächst also zu zeigen, dass die in §. 68 als möglich 
erkannten Arten dieser Gruppen alle existiren. 

Bei den cyküschen Gruppen »- Grades haben wir nur zwei 
Systeme conjugirter Pole, deren jedes nur einen (n — 1) fachen 
Pol enthält Diese beiden Pole müssen also die gemeinsamen 
Pole aller Substitutionen der Gruppe sein und können nach 
§. 67, 2. als und oo angenommen werden. Wir haben dann 
nur die beiden linearen Grundformen 

(1) /i = *n A = #2- 

Alle Substitutionen der Gruppe sind multiplicativ, und der 
Hultiplicator muss eine n te Einheitswurzel sein. Sie müssen also 
die Form haben: 

(2) x, sx, £ 2 #, . . ., s n - 1 x^ 

wenn s eine primitive n* 6 Einheitswurzel ist. 

Wir erhalten also in der That für jedes n eine cyklische 
Gruppe, die wir mit C n bezeichnen wollen : 

(3) G n = (£ J), r = 0, 1, . . ., n - 1, 

oder mit der Determinante 1 geschrieben: 



r 
k 

i 



270 Neunter Abschnitt. §. 7L 

Bei der Diedergruppe vom Grade n = 2m, die wir mit D» 
bezeichnen wollen, haben wir nach §. 68 zwei Systeme von je m 
conjugirten zweizähligen Polen und ein System von zwei con- 
jugirten m-zähligen Polen. Die letzteren müssen also nach dem 
Satze §. 68 die Pole einer Substitution sein. Wenn wir sie mit 
und oo zusammenfallen lassen, so erhalten wir die Grundform 
zweiten Grades: 

Dies kann aber nur dann eine invariante Form der Gruppe 
sein, wenn alle Substitutionen in einer der beiden Formen 



/«, 0\ /0, ß\ 

\o, 8) ' Vr, o; 



enthalten sind, und hierin müssen a:d und — ß:y m* Einheits- 
wurzeln sein. Wir bekommen also die Substitutionen der Gruppe, 
wenn e eine primitive w to Einheitswurzel ist: 

•fr, C Xm c •&, • • . , c •&, 

1 6 £* S» 1 - 1 

#' #' x' 1 ' ' ' 9 X ' 

(V' *.=Q. (?:ö> 

oder, mit der Determinante -\-l dargestellt: 

^ ^f ü-vXJUr * '* , ),r = 1 l,.. n «-L 

Man sieht sofort, dass diese Substitutionen wirklich eine 
Gruppe bilden. 

Ausser und oo haben wir hier noch die aus den Glei- 
chungen 

e h 

x = — 
x 

hervorgehenden Pole ± £l/ *\ aus denen man noch die beiden 
Grundformen *w ten Grades 

(7) / 2 = x? + z* / 3 = x? — ary 

erhält. 

Hieraus ersieht man, dass die Diedergruppen und die cykli- 
schen Gruppen von einander verschieden sind, da ihre Grund* ' 
formen verschiedene Grade haben. i 



1. biedergruppe. 271 

Durch Transformation mittelst der Substitution 




,0, 
lt die Diedergruppe D m in 




(s x <*\ \ / 0, e l/ * l \ 



it in 

«A/j C «& ■ C **/ • • • • * C i^* 

— 1 — S £ a 6 m - 1 



— . • • • , 



XXX X 

?r, und die Grundformen für diese Darstellung sind: 

i — •*'i a '2T ya — "^i i * "21 J& — ""i * ^a* 

Die Diedergruppe D m enthält als Theiler die cyklische 

lppe C m , und zwar ist C m ein Normaltheiler von D m . 

Durch Transformation mit irgend einer multiplicativen Sub- 

ution 

a, > 



« 



ert sich C m nicht, während die nicht in C m enthaltenen Sub- 
ltionen von D m ihre Form ändern; denn es ist: 

/<>, 0\ /a, 0\ /«, 0\ _ /£, 0\ 

Vo, «Ao, iAo, <y VO, \)' 

(8 % 0\ /0, A /*, 0\ _/0, £$'\ 

Vo, «Mi, oAo, s) V« 8 , o a 

Abgesehen von einer solchen multiplicativen Substitution ist 
• die Gruppe D m durch die darin enthaltene Gruppe C m 
commen bestimmt. Denn setzen wir 

Dm = C m -f- <P C m , 
n 



*=C;Ö 



tzt ist, so mus8, da C m Normaltheiler von D m sein muss, 
% = C m (p sein, d. h. es muss sich zu jedem Exponenten r 
Exponent s, und umgekehrt, bestimmen lassen, so dass 



Vy, s) Vo, i; - Vo, i) Vr, <v 



272 Neunter Abschnitt §. 1 

oder 



\ys r , ä) \y, d ) 



Wären ß und y = 0, so wäre q> selbst von der Form «; 
und s eine 2 w* Einheitswurzel, und D m wäre also eine cyklisct 
Gruppe und keine Diedergruppe. Ist aber ß oder y von Na 
verschieden, so folgt e* = r~ r und a = j = 0, also 

was durch eine multiplicative Transformation auf die Fon 

(in) 8 e ^ rac ^* werden kann. 

Unter den Diedergruppen ist die Gruppe D % besondei 
hervorzuheben, in der drei Systeme von je zwei zweizählige 
Polen vorhanden sind. Sie besteht aus den vier Substitution* 

/l, 0\ /— 1, 0\ /0, 1\ / 0, 1\ 

Vo, \)> \ o, ir \i,(V' V-i,oy 

und wird die Vierergruppe genannt. Wenn auch die Vorar 
setzung des Satzes §. 69, 1. für die Gruppe B % nicht zutrifft, 
kann man doch leicht direct einsehen, dass dies die einzig m< 
liehe Form der Gruppe D 2 ist, wenn man darin die beic 
Substitutionen 



«• ra 



annimmt, und dann die Bedingung aufsucht, dass in der Gm 
nur noch Elemente zweiten Grades vorkommen. 



§. 72. 
Die Tetraedergruppe. 

Bei der Tetraedergruppe haben wir nach §. 68, IIL 
System von sechs conjugirten zweizähligen Polen. Wir kön: 
also nach §. 69 annehmen, dass in der Gruppe die beiden S 
stitutionen 

®(x) = — x, tl>(x) = — 

vorkommen, und folglich auch 

*i 0*0 = * ® oo = — — • 

X 



§. 72. Tetraedergruppe. 273 

Die beiden Substitutionen i> und ^ geben die Pole ±1 
und zfc », und diese müssen, da ^ und ^ vom 2 ten Grade sind 
und in 6r überhaupt nur zwei- oder dreizählige Pole vorkommen, 
zu den zweizähligen gehören (§. 68, 3.). Die Substitution ®{x) 
giebt die zweizähligen Pole 0, oo. Demnach lautet die Gleichung, 
von der die zweizähligen Pole abhängen, x (# 4 — 1) = 0, und wir 
erhalten die erste Grundform 6** Grades: 

(1) / fo, x 2 ) = x x x* (x{ — xf). 

Um die übrigen Substitutionen der Gruppe zu finden, be- 
merken wir, dass wir nach dem Theorem §. 69, 2., wenn wir ^f 1 
für a, a' und 0, od für 6, V nehmen, auf die Existenz einer Sub- 
stitution % in G schliessen können, die den Bedingungen genügt: 

Z(-1) = 0, *(+!)= oo, 

und dass also % die Form haben muss: 

(2) Z (x) = A?-±i, 

wo X ein constanter Factor ist 

Wenn wir in % die sechs conjugirten Pole 0, oo, + 1, — 1, 
+- », — i einsetzen, so müssen wir dieselben Werthe in einer 
anderen Reihenfolge erhalten (§. 68, 5.). Diese Werthe sind aber 

— A, A, cd , 0, — k i, k i. 

Es muss also k = + 1 oder = ± i sein. Der Werth + 1 
ist nicht zulässig, weil sonst 

und also + i die Pole von % oder von S % wären , während sie 
doch nur zweizählig und die Pole von Sty sind. Es muss also 
X = + i sein, und wir können ohne Beschränkung der All- 
gemeinheit das obere Zeichen nehmen, denn das untere Zeichen 
entspricht dann der Substitution ®%. Es ist daher 

« 

Daraus erhält man 

imd es ergeben sich die zwölf in der Form 

(3) © r *- tt zS 

k = 0, 1, 2, ii = 0, 1, v = 0, 1 

enthaltenen Substitutionen 

Weber, Algebra. XL 13 



274 Neunter Abschnitt. §. 75 

1, 0, ^, 0^ 

2, 0%, ^x» ®*X 

oder 

(4) ±*,±-, +*— p ±»^FI' **=?• ± ^H' 

Dass diese Substitutionen wirklich eine Gruppe, die Tetra 
edergruppe, bilden, von der 0, #, % & e erzeugenden Element« 
sind, ergiebt sich aus 

(5) 20=0*2, 2 a = *2 2 i *®=®*, Z* = *Z. Z 8 * = Ö*Z', 

die sich mit Rücksicht auf 0* = ** = 2 S = 1 &us den dre 
Relationen 

*0 = 0*, 2® = 0*z, %i> = ®z 

ableiten lassen. Mit Hülfe dieser Relationen lassen sich in irgenc 
einer aus Potenzen von 0, *, % zusammengesetzten Substitutioi 
zunächst alle Potenzen von % an die letzte Stelle schaffen, dam 
die Potenzen von * an die vorletzte, wodurch die Substitutioi 
in die Form (3) gebracht ist. 

Aus (5) geht noch hervor, dass die Vierergruppe 

(6) 1, 0, *, 0* 

ein Normaltheiler der Tetraedergruppe ist. Ausser dieser ent- 
hält die Gruppe nur noch Substitutionen dritten Grades. 

Die Substitutionen der Tetraedergruppe können auch in 

der Form 

2*^. a v 

k = 0, 1 JJ, (i = 0, 1, v = 0, 1 

dargestellt werden. 

Um die zu den dreizähligen Polen gehörigen beiden Grund- 
formen vierter Ordnung & u & 2 zu erhalten, kann man entwedei 
aus (4) die noch fehlenden Pole berechnen, oder man kann sc 
verfahren : 

Da die Grundformen fl^, <& 2 die Substitutionen und 4 
gestatten müssen und nicht durch x x und x 2 theilbar sein können 
so können sie nur von folgender Form sein: 

a>! = x} + m x x*x* + x* 
2 = x} -f- m^x\xl -j- tfi 

worin m u m 2 noch zu bestimmende Constanten sind. Wendet mai 
aber auf 1 und d> 2 die Substitution % an, indem man a? n x 



'2. Tetraedergruppe. 275 

rch i (x x + a? 2 ), (Xi — # 2 ) ersetzt, so müssen diese beiden 
nctionen bis auf einen constanten Factor ungeändert bleiben, 
1 dies führt für tr^ und m, zu der quadratischen Gleichung 

(12 + 2 m) = m (2 — w), 
raus 

fih = — m, = ± 2V— 3 
linden wird. Die beiden Grundformen sind hiernach: 



0>i = x* + 2 V— 3*^ + xj 
® 2 = x* — 2V^^d x*x* -f x}. 

Zwischen den drei Grundformen /, 4> 19 & 2 kann man eine 
lation herleiten, wenn man x u x 2 eliminirt. Man findet aus (7) 

2 (x* + xg) = O x + <P, 

4 V— 3 a^» = «Px — #„ 
d aus (1) 

iraus man leicht berechnet 

) 12 V— 3/» = <P» — O*. 

Die Substitutionen 0, V> Z erhalten, wenn sie mit der Deter- 
inante 1 dargestellt werden, den Ausdruck: 

/ \ — i \—i\ 
0\ /0, i' 



> (U< Q- 



2 ' 2 
1+« 1 + t 
\ 2 ' 2 / 



oraus nach den im §. 66 aufgestellten Bedingungen folgt, dass 
e entsprechende Gruppe orthogonaler ternärer Substitutionen 
»eil ist 

Wendet man die Substitutionen (9) mit der Determinante 1 
lf die Grundform f(x^x 2 ) an, so ergiebt eine sehr einfache 
echnung, dass die Grundform/ eine absolute Invariante 
jr binären Gruppe G ist. 

Dieselbe Eigenschaft hat auch die Hesse' sehe Determinante 
n/: 

H= - ^ U"(*»*i)f "(*»**) -/"(*ii*2)'] 

= fo 4 + *2 4 ) a + l 2 *i 4 *»i 

18* 



Neunter Abschnitt, 



ler beiden Für 



die nichts Anderes ist, als das Product der 1 

0,, <5 a , während die Functionen 0, und <P 2 selbst bei der 

der Substitutionen (tt) eine dritte Einheitswurzel als 

annehmen. 






Bei der Oetaölergruppe kommt ein System von see 
jugirten vierzähligen Polen vor. Wir haben dem 
stitution 4 ,en Grades, deren Periode 



ein Paar dieser coujugirten vierzähligen Pole giebt. Nach 
können wir in der Gruppe die Substitutionen annehmen: 



(i) 

und es ist 
(2) *■ = 1, 



©l/> = ty®\ 01 if) = $&■ 




. 



Die Substitutionen &, il> erzeugen eine Diedergruppe 8 l ™ 
Die zu dem Systeme der vierzähligen Pole gehörige 
form 6 wn Grades muss bis auf einen constanten Facto: 
ändert bleiben durch die Substitutionen ® und ^, und 9 
ausserdem den Factor #, x 2 enthalten, also von einer der 
Formen sein 

x l x l (xj — x*), j^a;, t** - ! - *»)* 
Es ist gleichgültig, welche der beiden Annahmen 
folgen, da die eine durch die Substitution ij., für a^, n 
Uebergange zu einer transformirten Gruppe entspricht, 
andere übergeht. Nehmen wir 

(3) f(zu*t) = Xiih (x* — x}) 

als Grundform 6 Wq Grades an, so sind die s 

(4) 0, », 1, — 1, t, — i. 
Da i 1 die Pole von V sind, so muss es nai 

eine Substitution % geben, so dass 



§.73. Octaedergruppe. 277 

ist, und man kann also 

setzen. Da die Werthe % (0), % (oo ), % (± 1), % (± i) nur eine Per- 
mutation der Werthe (4) darstellen können, muss k = ± 1 oder 
= ±t sein. Man kann nun unbeschadet der Allgemeinheit 
l = 1 annehmen, da man % durch ®£, @ 2 ^, ® 3 # ersetzen kann, 
und findet so 

( 5 ) *(*) = *£-=ri" 

Hieraus erhalten wir 

*'(*) = JzH-, *'(*) = *. 

und die Relationen 

(6) @X = Z 2 4>@ 8 , ® 2 Z = Zl>, © 3 z = Z 2 ® 

1, x = Xl> &2 , 4>Z 2 = Z 2 ® 2 - 
Diese Relationen in Verbindung mit (2) zeigen, dass die 
Substitutionen 

(7) ^f^i 4 = 0,1,2; ^ = 0,1; v = 0, 1, 2, 3 

in der That eine Gruppe bilden, weil man mit ihrer Hülfe jede 
Substitution der Form 

Z x ^0 v Z, i l ^®*i\), 

und folglich durch Wiederholung auch jede Substitution 

%*il>n® v tf-' typ' ©»' 

in die Form (7) bringen kann. Die Gruppe kann explicite in 
der Form 

(S) t^, £,*£=*!, ^^ = 0,1,2,3 

X X -\- t 

largestellt werden und ist vom 24 8ten Grade. Es ist die Octaeder- 
gruppe. 

Die Gruppe hat einen Normalth eiler 12 ton Grades, den man 
i der Form % x il>t l ® 2v darstellen kann und der eine Tetraeder- 
ruppe ist. 

Die Darstellung wird in gewisser Beziehung einfacher, wenn 
tan an Stelle von tf; ein neues Element 

)\ co = ip S = 

J X 



278 Neunter Abschnitt. §. 

einfuhrt, was ebenso wie i> vom zweiten Grade ist. Dann kai 
die Gruppe dargestellt werden durch 

und an Stelle der Relationen (2) und (6) treten die folgenden 

(10) 0% = %*a>9*, ®*%=%g>®\ 0*% = %*9, 0»x* = %*(»0 

0a = G)®\ 2 a>=ra0 2 , 0*0 = ©0. 

Alle diese Relationen aber ergeben sich als Folgerunger 
aus den vieren: 

(11) g>% = %*&, ®o = gj@3, 0x = x a o0 2 , ®*x = %a&, 
in Verbindung mit den die Grade ausdrückenden Formeln : 

(12) j» = 1* <° 2 = 1) ® 4 = 1- 

Es folgt nämlich zunächst aus der zweiten der Relationen (11) 

02© = 0GJ03 = O0«, ©SfiJ = 0002 = ©0, 

ferner aus der letzten (11): 

03^ — 0£0 0S = ^2 002(9 08 = j^S ©^ 

und weiter: 

02^2 = ^0 03^ = ^OJ^ 2 = %*G)0. 

Wenn wir nun irgend drei Elemente %•> ©i ® haben, die sicli 
nach irgend einer Regel componiren lassen, wenn dabei % vom 
dritten, o vom zweiten, vom vierten Grade ist, so folgt aus 
dem Bestehen der Relationen (11), dass die Elemente % 1 §P& 
eine Gruppe 24 8t€n Grades bilden, die mit der Octaedergruppe 
isomorph ist. Dazu ist nur noch nachzuweisen, dass aus diesen 
Voraussetzungen folgt, dass die 24 Elemente % x (o> u & w alle toi 
einander verschieden sind. Nehmen wir an, es sei 

X 1 cj^@ v = £*'©"' V ', 
so würde folgen: 

yk-V _ ©U'0»' — »ß,— /^ 

und nach (11): 

X 1 - 1 ' = ©"'-" ± < v -»'>. 

Nun folgt aber aus (11), dass cd®, ö© 2 , o© 8 vom zweit« 
Grade sind, und da % vom dritten Grade ist, so kann diese B 



i. 73. Octaedergruppe. 279 

iehung nur stattfinden, wenn X — V durch 3, ft — ft' durch 2 und 
-v' durch 4 theilbar, also % x = % x \ w* 4 = ra'*', 0* = 0* ist. 

Nach der aus (10) folgenden Relation 

co = %0%0* 

innen wir co aus % und zusammensetzen und daher % und 
^erzeugende Substitutionen der Gruppe ansehen. 

Die noch fehlenden beiden Grundformen achten und zwölften 
ades findet man sehr leicht, wenn man zunächst die Hesse' sehe 
Variante von / bildet 

Man erhält so die Grundform achten Grades: 

\) W=x\ + Uatxi + xl, 

i wenn man aus / und W die Functionaldeterminante bildet, 
\ ja wieder eine Covariante von / ist (Bd. I, §. 65, 66), so 
,nebt sich die Grundform zwölften Grades: 

t) K = xi — 33a?i x* — 33 Xi x^ -f- x% . 

Die Wurzeln von / entsprechen den sechs Octaederecken 
er den sechs Würfelflächen; die Wurzeln von W den acht 
teederflächen oder Würfelecken, und die Wurzeln von K so- 
hl beim Octaeder als beim Würfel den 12 Kanten (vgl. §. 64). 

Wenn man die Formen TT, K so darstellt: 

= W + * 4 ) 2 + 12 x}x*, K = (** + x*)* - 36 *X (*i 4 + «2 4 )i 

lässt sich leicht die zwischen den drei Functionen /, W, K 
itehende identische Relation ableiten: 

) W* _ £2 — 108/4. 

Die Octaedergruppe enthält, wie man sieht, die Tetraeder - 
ppe und entsteht aus ihr durch Hinzunahme der einen Sub- 
ition 0(x) = ix. Die Grundformen des Octaeders sind also 
leich invariante Formen des Tetraeders, und in der That 
men die Formen / des Tetraeders und Octaeders mit ein- 
?r genau überein, und es ist 

W=O l O t , JT = i (*i 3 + ®#i (§.72). 

Mit der Determinante 1 geschrieben, lauten die beiden er- 
enden Substitutionen der Octaedergruppe so: 



Neunter Abschnitt. 



VI, o 
1 



Väi Vi 



"' vi/ \.vi7iV2 

worin 1/2* = 1 -f- i zu setzeii ist 

Durch die Substitution & ändert nun die Form /(x,, j,), 
wie die Formel (3) unmittelbar zeigt, ibr Vorzeichen. Durch 
Anwendung von % werden die linearen Factoren von / folgender- 
maassen verändert: 

x x a^, x, -(- «j #i — ar», »t -+- tiCii x, — <*t 

x, 4- x a x, — x, ., . . , , . , 2x, 2i, 

und daraus geht hervor, dass /(#[, x,) durch Anwendung der 
Substitution % ungeändert bleibt, und dadurch sind die 
Aenderungen der Form / durch alle anderen Octaedersubstitu- 
tionen zugleich mit bestimmt. 

Die Hesse'sche Covariante W von / bleibt ungeändert, 
wenn / in — / verwandelt wird, und folglich bleibt TV bei den ' 
Octae der Substitutionen absolut ungeiindert, wahrend K wieder 
die gleichen Vorzeichenänderungen wie / erleidet. 

§■ U. 
Die Ikosaedergruppe. 

Da wir bei der Ikosaedergruppe nur ein System conjugirter 
fünfzähliger Pole haben, so können wir (§. 69, l.j in dieser Gruppe 
die beiden Substitutionen 

(i) •(■) = ■* +w = ^ 

annehmen, worin s eine primitive fünfte Einlieitswurzel bedeutet 

Wir nehmen hier, was freisteht, die Substitutionen $ in der 

Form — 1 : x an , weil dadurch die Formeln einfacher werdet 

Die zu dem Systeme der fünfzähligen Pole gehörige Grundform 

12" n Grades muss, da sie die Substitutionen (1) gestattet, )■ 

der Form sein: 

(2) /(*n*i) = *i«» (*i° + mx*xj — xf), 

und es handelt sich noch um die Bestimmung des e od stauten 

Factors m. Die beiden anderen Grund formen sind vom 20*1 



I- 74. 



Ikoeaedergruppe. 



281 



und SO» 1011 Grade. Wir können nun m nach dem Satze §. 70, 4. 
bestimmen, wenn wir eine Covariante von f(x) bilden können, 
deren Grad niedriger als 60 ist, und die sich nicht als ein Pro- 
dnct aus Potenzen von drei Functionen 12 ten , 20 8ten , 30 8ten Grades 
darstellen lässt, die nach dem erwähnten Satze identisch Null 
sein muss. 

Nun lässt sich leicht eine Covariante 16 Uai Grades von der 
Form f bilden, wenn wir nach Bd. I, §. 66 die vierte Polare der 
Form f (#!, z 2 ) nehmen: 

12 . 11 . 10 . 9P 4 (s,£) = 



worin 



l 



u« = 



dz? 



— A d *f 



dxfdxf 



u 9 = 6 



A d V 



114 = 83 • 



Daraus erhalten wir eine Covariante lö* 611 Grades von f als 
«rate Invariante der in Bezug auf die Variablen &, | 2 biquadra- 
täachen Form, nämlich (Bd. I, §. 70): 

(3) w 2 2 — 3 Ui Uj -f- 12 1* w 4 . 

Da aber eine Form Iß^ 11 Grades sich nicht als Product von 
Formen 12* 611 , 20 sUn und 30 sUm Grades darstellen lassen kann, so 
muss diese Covariante identisch verschwinden. Nun ist hier 

u = 11.10.9.8^X2 + 6.5.4. 3mx?x$, 
Uj = 4.11.10.9a?» + 4.6.5.4.6m***, 5 , 
ü, = 6*.5*mz}z£, 

i*3 = — 4.11.10.9a, 8 + 4.6.5.4.6ma a 3 a; 1 5 , 
u 4 = — 11 . 10 . 9 . 8 x\x x -\- 6.5.4.3 mxfxf, 

und wenn wir daraus die Covariante (3) bilden und den Coeffi- 
cienten von zfzj gleich setzen, so ergiebt sich m = ± 11. 
;Beide Zahlen sind hier zulässig. Die eine Annahme wird auf 
andere zurückgeführt durch die Vertauschung von z 1 mit 
[*- X\ , also durch eine Transformation der Gruppe. Wir setzen 
: demnach : 

(4) /(«n*») = ^1^2 (*i° + \\x\xi — 4°). 

Die zehn noch fehlenden fünfzähligen Pole erhält man also 
durch Auflösung der Gleichung 

x™ -f IIa 3 — 1=0, 



Neunter Abschnitt. 

der man __ __ 



2 
adet. Setzen wir demnach 



_ (=1 ±y.y 



, . 2« — 1 

CO = 6 -j- 6 4 = 2 COS — = 




(5) •» ^ 

o,' = b» + «• = 2 cos ^ = -^^ 

so dass 

(6) GJ a -f- CO = 1, O -}" ®' = 1? Od' = — 

ist, so sind die fünfzähligen Pole ausser und oo: 

(7) £ = «*©, «*a' = ^-, A = 0, 1, 2, 3, < 

Nun wenden wir den Satz §. 69, 2. an, nach dem 
zwei Pole einer Substitution sind, und 6 ein zu a 
Pol ist, eine Substitution % in der Gruppe existire 
dass 6 = % (a) , V = % (a') die beiden Pole der 
X~ x 0% sind. Darin können wir oo und für a und 
und o für b. Dann wird V ein noch näher zu 1: 
Pol £ aus der Reihe (7), und für % erhalten wir die 



7(x \ - ax + ? - (* ß\ 



worin 

(8) ._£. 1 = 1 

zu setzen ist. 

Nun können wir für jede der Substitution 
wenn nur h nicht durch 5 theilbar ist, und erh 
stitution 

_/ e h ad — ßy, (s h — 
\ — (e h — 1) ay, ad — 

deren Pole co und £ sein müssen. Nach §. 
co und £ die Wurzeln der quadratischen Gh 

ayx* + {ab -f ßy)x + ß«* 
"°in. woraus 



Ikosaedergruppe. 283 

Aas der zweiten dieser Gleichungen ergiebt sich mittelst (8): 

(a + ö) (ad + /5y) = 0, 

a ^ + ßy nicht verschwinden kann, weil sonst ra -}- | = 
sste, was nach (7) nicht möglich ist, so ist a -f- ö = 0. 
erhalten wir für % % wenn wir der Einfachheit halber 
annehmen : 

rin ist /J, was nach (8) den Werth — ©| hat, noch zu 

3n. 

in wir die Substitution % als bekannt annehmen, so 

wir die ganze Ikosaedergruppe bilden. 

l hat nämlich, wenn man r und s die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 

fen lässt, in dieser Gruppe die Substitutionen 

>h\ gerade 60 beträgt. Dass sie alle von einander ver- 
sind, sieht man, wenn man sie in der Form darstellt: 



0»* 



=o- 



♦— UJ). 

^ _ /8 r cj, e r -'ß\ 
U * \1, —B—aJ' 

0r ^ 0, = ( .... i ) 

~ \ 1, e—a-0' 

3n, da — ö 3 keine Potenz von 6 ist, ersichtlich keine 
mder gleich sind. 

Ikosaedergruppe hat, wie wir gesehen haben, 12 fünf- 
*ole. Je zwei dieser Pole sind die Pole von vier Sub- 
2n 5 ien Grades, die mit der Identität zusammen einen 
rigen Cyklus bilden. Folglich giebt es in der Gruppe 
ente ö 1611 Grades. Ebenso giebt es 20 dreizählige Pole, 
>0 Substitutionen dritten Grades führen, und 30 zwei- 



284 



Neunter Abschnitt. 



zählige Pole, die zu zweien die Pole von je einer Substil 
zweiter Ordnung sind, so dass es 15 Substitutionen zweit 
Grades giebt. Dies giebt mit der Identität zusammen 

24 + 20 -f 15 + 1 = 60. 

Die Bestimmung von ß in der Substitution % ergiebt 
nun durch Betrachtung der Grade von (13) und (14). Wir bü< 

dazu zunächst für eine beliebige lineare Substitution 8 = ( 

die zweite und dritte Wiederholung: 

° — \c(a + d), bc + d*J 

— Vc(a2 + 6c + ad4-d2), d* + abc+2bcd )' 

und wenn wir von dem Falle absehen, dass b oder c 
schwindet, der hier nicht in Betracht kommt, so erhalten wir 
nothwendige und hinreichende Bedingung: 

für eine Substitution zweiten Grades 

(15) a + d = 0, 
und für eine Substitution dritten Grades 

(16) a* + bc + ad + * = 0. 

Nun sind die Substitutionen (11), abgesehen von der darunl 
enthaltenen identischen, vom fünften Grad. Die fünf Substil 
tionen (12) sind vom zweiten Grad. Von den Substitutionen (11 
sind nach (15) die fünf in der Form ® r %€>- r enthaltenen (i 
nur diese) vom zweiten Grad, und folglich müssen noch 
von den Substitutionen (14) vom zweiten Grade sein. 
ist aber nach (15) nur möglich, wenn ß eine Pot6i 
von e ist. 

Die Substitutionen dritten Grades müssen sich nun auf 
Formen (13) und (14) vertheilen. Für diese ergeben sich 
(16) die Bedingungen: 

dass (13) vom dritten Grade sei 

(17) ö 2( £ r + *__|_ 6 -(r + #> _ i) — _ß 

und dass (14) vom dritten Grade sei 
(18) ö 2 = ß — «-(»" + •> — 02 s'-m 



. 74. Ikosaedergruppe. 285 

Soll aber auch nur eine der beiden Bedingungen (17) oder 
8) befriedigt werden können, so muss 

in. Denn © a ist reell und die ganze linke Seite von (17) ist 
so gleichfalls reell; folglich muss ß reell, und da es eine Potenz 
n s ist, gleich 1 sein. 

Soll aber (18) befriedigt werden, so darf sich die linke Seite 
it ändern, wenn man zu den conjugirt imaginären Grössen 
ergeht; d. h. es muss 

(ß — ß- 1 ) (1— /J- 1 £-<' + •) — /j£'+') = 

q, und dies ist, weil ß eine Potenz von e ist, nur möglich, 
an ß = ß* 1 , also ß = 1 ist. 

Hiernach sind fünf von den Substitutionen (14) vom zweiten 
ide, nämlich &%$&-*, und es ergiebt sich, dass (13) vom 
tten Grade ist, wenn 

>r, wenn man mit ©'* multiplicirt, nach (5) und (6) 

s + s- 1 -f «* + • -f «-<* + •> -fl = 0, 

e Bedingung, die dann und nur dann erfüllt ist, wenn 
f s=±2 (mod 5) ist. 

Wenn (14) vom dritten Grade sein soll, so muss nach 
und (5) 

£ * 4_ £ -2 __[!_ £ r + s _|_ £ -<r + a) 4. i _ o 

in, und diese Bedingung ist dann und nur dann befriedigt, 
tnn r -f- s =+1 (mod 5) ist. 

Hiernach erhalten wir, wie es sein muss, in (13) und (14) 
rade 10 Substitutionen zweiten und 20 Substitutionen dritten 
•ades, und die anderen Fälle bleiben also für den fünften 
•ad übrig. 

Fassen wir das Resultat dieser Betrachtung zusammen, so 
ben wir: 

Die Substitution % muss den Ausdruck haben: 



286 Neunter Abschnitt. 

und unter den 60 Substitutionen (10): 

(20) ©»-, ^©r, ® r x®\ ^xifS 9 
kommen ausser der Identität vor: 

15 Substitutionen 2 ten Grades: 
#0 r , &%&-*, 0^0-', r = 0, 1, 2, 3, 4, 

(21) 20 Substitutionen 3^ Grades: 

® r X ® 5 » r + s=±2 (mod 5) 
® r %$® 9 , r -j- s =+ 1 (mod 5), 
24 Substitutionen 5 ten Grades: 

r , r £0*, r -+- s =+ 1 (mod 5) 
r Z# 0*, r-j-s=+2 (mod 5). 

In expliciter Form erhält man für die Substitutionen (! 
den Ausdruck: 

w u i> v-i,o> U —-•> v «••, i ) 

— e r e r ax4-s r - 8 — e r + 8 x-i-e r G> 
# # — 6~ 8 a e*G)x-\-l 

Um also endlich die Existenz der Ikosaedergruppe fe 
zustellen, ist noch nachzuweisen, dass die Gesammtheit der Si 
stitutionen (20) eine Gruppe bildet. Dies folgt aber aus i 
nun abzuleitenden Compositionsgesetzen. 

Zunächst ergiebt sich sehr einfach aus der Bedeutu 
von 0, ^, X' 

-ß!> *=U:J)-=(r;-i) 

(23) ^0»-=0-»"^, x1> = VX- 

Ferner erhält man für jeden beliebigen Exponenten r: 

x x ~ \(* r — i)o, f + o 3 p 

oder, indem man nach (5) und (6) 

(24) ö = S -f- 6" 1 , ö' = £ 2 + £~ 2 , Ott' = — 1 

setzt: 

e r co — ö', £ r — 1 



_/£ r ö — ö', £ r — 1 \ 



§.71 Ikosaedergruppe. 287 

Setzen wir darin zunächst r = l, so folgt nach (24), (13), (14): 

voraas, wenn man beiderseits zur entgegengesetzten Substitution 
äkergeit, 

olgL Setzt man andererseits r = 2, so folgt: 

-«,- _ /« — «». «»— 1\ _ /«»(«*+!). i \ 

1 Z ~ V«»-l, «-l/~\ 1, — e(«» + l)/ 

= C -1.-) - •"■**-• 

rin wieder durch 0- 1 ersetzt werden kann. Man hat daher 
Compositionsformeln : 

) x 9±1 Z = &±1 %1> &±l i % &± *Z = ®+*%®+ 2 . 

Durch Anwendung der Formeln (23) und (25) kann man 
i je zwei der Substitutionen (20) componiren und gelangt 
ner wieder auf eine Substitution von der Form (20), wodurch 

Gruppennatur nachgewiesen und die Ikosaedergruppe ge- 
let ist 

Aus der ersten Formel (25) ergiebt sich noch 

•aus man schliesst, dass 4> aus % und abgeleitet werden 
in, dass also % und allein schon als erzeugende Sub- 
tutionen der Ikosaedergruppe betrachtet werden 
tnen. 

Wollen wir die Substitution % mit der Determinante 1 dar- 
len, so beachten wir die Relation 

— CO 2 — 1 = o — 2 = (6 2 — £- 2 ) 2 , 

l erhalten, wenn wir noch e + s~ l für o einsetzen: 



288 Neunter Abschnitt. §.7 

§. 75. 
Die Theiler d^r Ikosaedergruppe. 

Die Theiler der Ikosaedergruppe müssen unier den niedii 
geren Polyedergruppen gesucht werden. Darunter finden sie 
zunächst die cyklischen Gruppen C m deren jede aus der Period 
einer der Ikosaedersubstitutionen besteht. Die Anzahl diese 
Gruppen ergiebt sich sofort aus der Zusammenstellung der Sul 
stitutionen nach ihren Graden, wie wir sie im vorigen Pan 
graphen gegeben haben; nämlich: 

15 Gruppen C s , 
10 „ C„ 

Es sind ferner in der Ikosaedergruppe Diedergruppen D 2 , D s , 1 
enthalten, als deren Repräsentanten wir folgende aufstellen: 

A : li ♦* Zi * X, 

A : 1, %®\ ®-*%, 1>%, ^02, ®-*^©*, 

A : ® r , ^0', r = 0, 1, 2, 3, 4. 

Die Anzahl der Diedergruppen erhalten wir daraus, dass di 
Diedergruppe durch die in ihr enthaltene cyklische Gruppe toE 
ständig bestimmt ist (§. 71). Bei der Vierergruppe A ist abe 
noch zu beachten, dass man dieselbe Gruppe erhält, wenn mal 
von ^, von % oder von ty% ausgeht, und dass also die direo 
erhaltene Zahl durch 3 zu dividiren ist. Die Anzahl der D, iä 
also 5, die der A ist 10 und die der A ist 6. 

Von besonderer Wichtigkeit sind aber die in der Ikosaeder- 
gruppe enthaltenen Tetraedergruppen. Wir wollen eine ka 
ihnen, die wir mit Q bezeichnen, bestimmen. 

Die Tetraedergruppe muss (nach §. 72) eine Vierergruppe D% 
enthalten. Wir gehen von einer solchen Gruppe A aus uni 
wählen dazu 

1> *i Z, *Z- 

Es muss nun weiter in Q eine Substitution dritten Grad« 
vorkommen. Diese können wir in einer der beiden Forma 
("PX® 8 oder @ r %il>® 8 annehmen. Da beide Annahmen zu dem 
selben Resultate führen, wählen wir als Substitution drittel 
Grades 

<p = r %0% r + s = ± 2 (mod 5) [§. 74, (21)]. 



§.75. Theiler der Ikoeaedergruppe. 289 

Von den Zahlen r, s kann aber keine = sein, weil sonst 
| eDtweder %ip oder ip% eine Potenz von 0, also vom ö* 611 Grade 
wäre, während doch in Q kein Element 5 ten Grades vorkommen 
f kann 
■ Wir bilden ferner nach §. 74, (23), (25): 

\ 29 = 0'X^® r + *i r = ±l, 

f X<p = e~ r Z&- r + a > r = ±2 f 

wodurch ans dem oben angeführten Grunde im ersten Falle 
r= — s, im zweiten r = s ausgeschlossen ist, und nach §.74, (21) 
im ersten Falle 2r -f- s = ± 1 , im zweiten — 2r + $ = ± 2 
gefordert wird. Danach bleiben die vier möglichen Fälle 

r = +l, s = +2 

r = — 1, « = —2, ,_ x 

rEEE+2 , s = + i ( mod5 ) 

r = — 2, s = — 1 
brig. 

Wenn von den so bestimmten vier Substitutionen dritter 
)rdnung eine in Q vorkommt, so kommen auch die drei anderen 
or. Denn setzen wir 

1) <p = ®%®\ 
o ergiebt sich nach §. 74, (23), (25): 

2) gr-i = ö-^©- 1 , y% — 0-^0-2, %<p- 1 = 0^0. 

Bildet man ausserdem noch qp^, qp" 1 ^, <p%il>, Z9 -1 ^ 
o folgt: 

<pj; = 0^0-*, (p— *tl> = &— a %#0, <p## = 0~ ^t^© 2 , 

X^p- 1 ^ = ®*%t\>®-\ 

voraus man sieht, dass man zu keinem anderen Resultate kom- 
nen würde, wenn man die Substitution dritter Ordnung, von 
lcr man ausgeht, in der zweiten Form r #^0* annehmen 
rollte. Die ganze Gruppe Q ist also durch die angenommene 
ifierergruppe D 2 völlig bestimmt, und man erhält sie in der Form 

1 ty 

<p = 0£0*, (pil> = 0^|^0- 2 , 

g>-* = 0-2^0-1, y 1 ^ = 0- 2 £^0, 

;3) % %i> 

<p% = 0- 1 ^0~ 2 , (p%tl> = 0-^^02, 

9~1^ = 02^^0-1, V -1 Z* = 0*%®. 

Weber, Algebra. IL 29 



- 



Man kanu diese Gruppe aus den Substitutionen 93, 4\ % ais 
den Erzeugenden ableiten und sie in die Form setzen: 
,., r. , , ,. r = 0, 1, 2, 

( 4) Q-rr* 1 . s=0 , 1; ' ( = 

Dass dadurch wirklich eine Tetraiülergruppe dargestellt i 
ergiebt sich aus den Zusammensetzungen, die man mitU 
% 74, (23), (25) leicht aus (1) findet: 

«.gj* = qn*];, 2 9* = V'-'Z*. *Z = Z*- 
Da in der Ikosaedergruppe fünf Vierergruppen D., enthalten 
sind, so hat die Ikosaedergruppe fünf Tetraedergruppen zu 
Theileru, Diese können wir aus (J durch Transformation mittelst 
der Potenzen von ableiten und erhalten sie in der Form 
@-'Q® r r= 0, 1, 2, 3, 4. 
Diese Gruppen haben, ausser der Identität, keine Substitution , 
mit einander gemein. Denn die beiden Gruppen Q und @~ l Q% I 
haben ausser der Identität nur die beiden Elemente 
0-*Z&-\ 0^0' 

mit einander gemein, und von diesen kommt keines in ®Q0-> vor. I 

Daraus ergiebt sich nun nach dem Satze 2. in §. ß, dtf 
die Ikosaedergruppe isomorph ist mit einer Permutationsgrupp* 1 
60 ■*™ Grades von fünf Ziffern. Diese Permutationsgruppe ergiebt | 
sich, wenn wir mit den Nebengruppen 

Q, Q0, Q&, Q0,, Q®< 
die sämmtlichen Elemente ö der Ikosaiidergruppe verbinden, also I 

Qu, Q0o, Q@ 2 0, Q@*e, Q@*a 
bilden, und die dadurch bewirkte Permutation dieser Neben- I 
gruppen untersuchen. Für die erzeugenden Substitutionen der! 
Ikosaedergruppe u = 0, f, % erhalten wir so die Permutationen . 
(1, 0, 0-, ©'S 0*) = & 

/ft Q@, Q&\ Q®\ Q@*\ 
\Q, <?©', Q®\ Q®\ Q0J 
/V, Q®, Q®\ Q®\ V®*\ a _ 

\Q, q&\ Q®\ Q&, Q®*) -*■ 

Letzteres findet man aus den Formeln (1) und (2), wonach] 
0% = rp®\ 0*% = jjqj*© 1 , 0*X = f" 1 ®, ®*x = <PX&'- I 



§.76. 



Grundformen des Ikosaeders. 



291 



d: 



Man sieht, dass diese Permutationen alle zur ersten Art 
gehören, und dass also die Permutationsgruppe, um die es sich 
iandelt, keine andere als die alternirende Gruppe von fünf 
Ziffern (Bd. I, §. 185) sein kann. Daraus ergiebt sich auch, dass 
die Ikosaedergruppe einfach ist, und folglich mit der Gruppe 
fibereinstimmt, die wir schon in §. 38 vorläufig als Ikosaeder- 
gruppe bezeichnet haben. 



§. 76. 
Die Grundformen der Ikosaedergruppe. 

Wir haben oben die eine der drei Grundformen der Ikosaeder- 
gruppe / gefunden : 

(1) / = *i *t (x\* + 11 x*x* — 4°). 

Es fehlen uns also noch zwei dieser Formen, eine vom 
20*» und eine vom 30 8ten Grade. 

Die Grundform 20 Bten Grades ergiebt sich als die Hesse 'sehe 
Covariante von /. Wir setzen sie 

md finden durch einfache Rechnung: 

(5) H = — (af* + af ) + 228 (z\* x$ — x 1 * x*) — 494 x\° x\\ 

Die Grundform SO 8 * 11 Grades können wir als die Functional- 
■ Determinante von H und / definiren. Setzen wir 

w T = ^ [/ ' (Xi) H ' {Xi) - f ' ( * a) H ' (Xl)l 

findet sich 

}) T= (af -f af) -f 522 (a* 6 a* — x{x?) 

— 10005 (x*> x\° + xfx] ). 
Aach zwischen diesen drei Formen besteht eine identische 
ttion. Um sie zu finden, setzen wir 

erhalten, wenn wir bei T den Factor x\° -\- x\° heraus- 
ien und dann T* bilden: 

/s = p(A+ 11^)\ 

H= — A 2 -(- 228 Aj* — 41)6^ 

T» = (A a + 4ft 2 ) (A 2 -f 522 Afi — 10004^)*. 

19* 



292 Neunter Abschnitt. §. 76. 

Daraus erhält man durch die numerische Berechnung 

(6) T* + H* = 1728/>, 

was die gesuchte Relation ist. 

Da die lkosaedergruppe , wie wir gesehen haben, einfach 
ist, so kann sie nach §.55 keine relativen Invarianten haben. 
Daraus ergiebt sich, dass die lkosaederformen /, jET, T absolut 
ungeändert bleiben, wenn man sie den mit der Determinante 1 
dargestellten binären Ikosaedersubstitutionen unterwirft. Das- 
selbe lässt sich aber auch, ohne jene allgemeinen Sätze zn 
benutzen, in folgender Weise direct nachweisen. 

Die Relation (6) lässt sich in der Form darstellen: 

T 2 -ff 8 

(7) j; + jt = 1728, 

und die beiden Quotienten T 2 :/ 5 , R*:f* können wir als Func- 
tionen der einen Veränderlichen x = x x : x % auffassen. Wenden 
wir auf diese Variable eine Substitution der lkosaedergruppe an, 
so ändern sich diese beiden Quotienten nur um constante Fac- 
toren, d. h. wenn wir 

(») £ = •<*> /? = *«■ * = ^l 

setzen und mit A, k zwei Constanten bezeichnen, so ist 

a, ß 

Da nun aber y sowohl als x eine unabhängige Variable ist, so 
besteht nach (7) die Identität 

0(x) + W(x) = hQ(x) + kW(x) = 1728, 

und da und W nicht in constantem Verhältnisse stehen, so 
muss h = fc = 1 sein , d. h. die Quotienten Q und ÜF bleiben 
bei den Ikosaedersubstitutionen absolut ungeändert. 

Daraus ergiebt sich weiter, dass /, -ö, T bei den homo- 
genen Ikosaedersubstitutionen mit der Determinante 1 
absolut ungeändert bleiben. 

Denn wenn / durch eine solche Substitution in cf übergeht, 
so gehen H und T in c*H und c*T über [nach (2) und (4)], und 
die Quotienten & und W in c<& und cW. Da andererseits • 
und W ungeändert bleiben, so ist c = 1. 



vorausgesetzt, dass ( ' *! j eine der Ikosaedersubstitutionen ist 






5, 77. Invarianten des Ikosaeders. 293 

Setzen wir *P(x) = z, so wird &(x) = 1728 — #, und wir 
erhalten aus (8) die beiden Gleichungen: 

(9) m — zp = 0, 

(10) T* — (1728 — z)p = 0, 

tod denen wegen der Identität (6) die eine aus der anderen 
folgt, so dass £s eigentlich nur zwei verschiedene Formen für 
eine und dieselbe Gleichung sind. Betrachten wir nun darin z 
als gegeben, so haben wir eine Gleichung 60 sten Grades für #, 
die die Ikosaedergleichung heisst. 

Auf die Eigenschaften dieser Gleichung und ihre Beziehung 
zu der allgemeinen Gleichung 5 ten Grades kommen wir in einem 
späteren Abschnitte zurück. 

§. 77. 
Die Invarianten des Ikosaeders. 

Durch die Grundformen der Polyedergruppen, die wir bisher 
fennen gelernt haben, ist, wie wir jetzt beweisen können, das 
Gebiet der Invarianten der betreffenden Gruppen erschöpft. Wir 
beschränken uns bei diesem Beweise auf die Betrachtung der 
Ikosaedergruppe , da für die anderen Gruppen ganz ähnliche 
Schlüsse zu machen sind, die wir dem Leser überlassen können. 
Der Umstand, dass bei der Tetraeder- und Octaedergruppe neben 
len absoluten auch relative Invarianten vorkommen, während die 
[kosaedergruppe als einfache Gruppe nur absolute Invarianten 
rat, ist hierbei von keinem wesentlichen Einflüsse. 

Wir beweisen also, dass alle Invarianten der Ikosaeder- 
gruppe sich als ganze rationale Functionen der drei Formen 
r, H, T darstellen lassen. 

Dazu führt uns folgende Schlusskette : 

1. Keine zwei der Ikosaederformen /, H, T haben 
einen gemeinschaftlichen Theiler. 

Dies folgt unmittelbar aus der Definition dieser Functionen, 
wonach die Gleichungen / = 0, H = 0, T = die fünfzähligen, 
dreizahligen und zweizähligen Pole liefern, die alle von einander 
verschieden sind. 

2. Eine Doppelwurzel der Ikosaedergleichung 
(1) JET» — zp = 



L 



ist nothwcndig eine Wurzel von /, H oder T und 
katin also nur für einen der Werthe z = 0, <a, 1728 
eintreten. 
Wenn nämlich (1) eine Doppelwurzel hat, so müssen i . 
der Function zugleich die erste Ableitung, oder, wenn man die 
homogene Form anwendet, nach dem Euler'sclien Theorem [Bill, 
§. 19, (5)] die beiden Ableitungen nach x x und x a zugleich ver- 
schwinden, also 

SH*H'(x l )-5zf<f'(x l ) = Q, 

3H*H'(x t ) — &*/*/ (*0 = 0; 

folglich bleiben, da H und /nach 1. nicht zugleich verseil winden, 

nur drei Möglichkeiten: entweder II=:0, s = 0, oder/ = 0, 

s = oo , oder endlich 

ffw/w - JFfcarw = o. 

d. h. T = 0, e = 1728 [§. 76, (4)]. Hieran schliesst sieh auch 
der evidente Satz: 

3. Wenn J (ar„ #,) irgend eine invariante Form der 
Ikosaedergruppe ist, und £ eine ihrer Wur: 
so dass -7 (I, 1) = ist, so sind auch alle 
Grössen Wurzeln von J, die aus | durch die 
gebrochenen Ikoaaedersubstitutionen hervor' 
gehen. 

Wenn daher J mit einer der Functionen/, H, reinen Theiler 
gemein hat, so ist J durch die betreffende Form tbeilbar. 

Wir denken uns nun zunächst aus J möglichst, ha 
Potenzen der drei Grundformen/, //, T wegnehoben, so dass . 
zu diesen Functionen theilerfremd ist. Ist dann £ eine Wune 
von J, so können wir jj so bestimmen, dass | eine Wurzel dt 
Form 

& = H* — i}f> 
ist, und £ ist dann nach 2. eine einfache Wurzel von 9. 1 
müssen dann auch nach 3. alle übrigen Wurzeln von zugleich 
Wurzeln von J sein, d. h. J ist durch @ theilbar. Der Quoti« 
ist wieder eine invariante Form des Ikosaeders, und der Schi' 
lässt sich wiederholen. Wir kommen so zu dem Satze: 

4. Jede Invariante des Ikosaeders lässt sich in d» 
Form darstellen: 

(2) J(.r„a-,) — Cf'BK TrF(B\ /*), 



§.78. 



Gruppen der zweiten Art. 



295 



worin a, /9, y nicht negative ganze Zahlen, C eine 
Constante und F eine ganze homogene Function 
bedeuten. 

Es möge hier noch die folgende allgemeine Bemerkung Platz 
finden. Die Polyedergruppen, die wir hier betrachtet haben, sind, 
als Gruppen binärer linearer Substitutionen aufgefasst, Colli- 
neationsgruppen. Stellen wir sie als Substitutionen mit der 
Determinante 1 dar, so verdoppeln sich alle Grade, und es entsteht 
noch die Frage, ob in diesen Gruppen reine Substitutionsgruppen 
von den Graden der Polyedergruppen enthalten sind (§. 46). Nach 
§. 59, 10. ist hierzu nothwendig und hinreichend, dass unter den In- 
varianten der Collineationsgruppe eine von ungeradem Grade 
und vom Index 2 vorkomme. Dies findet aber nur bei der 
cyklischen Gruppe (7 n , und auch da nur bei ungeradem n statt, 
wo man die reine Gruppe hat: 








2*i> ' 



r = 0, 1, 2, . . ., w — 1. 



n 



§. 78. 

Tolyedergruppen der zweiten Art. Krystallographische 

Gruppen. 

Wir haben schon im §. 67 auf Gruppen linearer ternärer 
Substitutionen aufmerksam gemacht, die ausser den eigentlichen 
auch uneigentlich orthogonale Substitutionen enthalten, und die 
wir Gruppen der zweiten Art nennen. 

Wir wollen die endlichen unter ihnen jetzt als Polyeder- 
gruppen der zweiten Art oder auch als erweiterte Polyeder- 
Gruppen, und die darin enthaltenen Substitutionen mit der 
sterminante — 1 als Substitutionen der zweiten Art 
dehnen. 

Nach den Resultaten des §. 65 sind diese Gruppen isomorph 
den Gruppen binärer linearer Substitutionen mit der Deter- 
inante -(-1 und — 1, während bei den gebrochenen Substitu- 
ten, die uns auf die Polyedergruppen geführt haben, die beiden 
rten nicht unterscheidbar sind. 

Die endlichen Gruppen der zweiten Art sind, abgesehen von 
rem allgemeinen gruppentheoretischen Interesse, wichtig wegen 



296 Neunter Abschnitt {f. 7* 

ihrer Anwendung in der Kry stall ograpbie. Ihre vollständige 
Bestimmung bietet jetzt keine wesentlichen Schwierigkeiten mehr 
Wir verstehen unter Substitutionen schlechtweg binare lineare 
Substitutionen mit der Determinante ^ 1, und erinnern daran, 
dass zwei solche Substitutionen, deren Coefficienten Bich diu 
durch das gemeinschaftliche Vorzeichen unterscheiden, wie 



£»■ C 



. nur 



nicht verschieden sind (§. 65). 

Da eine Gruppe linearer Substitutionen die identische Sub- 
stitution enthält, die von der Determinante -}-l ist, so müssen 
in jeder Gruppe Q der zweiten Art neben den uneigentlicba 
auch eigentliche Substitutionen vorkommen, und diese eigrnt- 
liehen Substitutionen bilden für sich eine Gruppe P. Ist <-, 
irgend eine in Q vorkommende Substitution der zweiten Art,« 
kommt jede Composition von ip mit einer Substitution aus Q 
der zweiten Art in P vor, und daher können wir Q immer so 
zerlegen : 
fl) Q = P + Pf. 

Die Gruppe P muss eine der früher betrachteten Polyeder- 
gruppen sein. Es muss <p—'P(p = P sein, und P ist also öl 
Normaltheiler von Q. Ist umgekehrt P eine Polyedergruppe und 
(p eine Substitution zweiter Art, die der Bedingung <p~ l Ptp =t 
genügt, so ist Q = P -\- P<p eine Gruppe der zweiten Art 

Auch hier betrachten wir zwei Gruppen, die durch Trtu*- 
formation aus einander hervorgehen, als nicht wesentlich ver- 
schieden. Wir haben, um alle Q zu bilden, die verschiedenen 
Fälle durchzugehen. 

I. Ist P die Einheitsgruppe, die wir als cyklische Grupj* 
ersten Grades mit C, bezeichnen, besteht also P nur aus la 
identischen Substitution, so muss tp* = 1 sein, und dies i»( ;<■: 
ausreichend. Wir können hier durch Transformation tp auf du 

Form ( ' A bringen und erhalten als Bedingung o' = ±l 

und demnach zwei Formen der Substitution tp: 






von denen die erste die Inversion, die zweite die Spiegelun 
genannt wird. Ueherträgt man sie nach §. 66, (1) auf ein 



^m 



§.78. Gruppen der zweiten Art. 297 

rechtwinkelige Coordinatenstransformation, so bedeutet q>' die 
gleichzeitige Vorzeichenänderung aller drei Coordinaten, qp" die 
Vertanschung von x mit — x. Es ergeben sich hieraus die beiden 
Gruppen der zweiten Art: 

» 6 Ho/*> ^=(J; ( _V)' ä =°- 1 - 

IL Es sei P eine cyklische Gruppe C n , n > 1. 
Setzen wir 

1 » c = (o, ^V * = '• • 

»ist nach §.71: 

(4) 0, = 1, c, c», . . ., c»- 1 , 

wenn nun 

(5) * ""(£?)• aÄ -^ = - 1 

ist, so bilden wir zunächst 

w v y \— ay(« — s- 1 ), ade- 1 — ßye)' 

(7) „, = («' + *'. <« + W\. 

K ' 9 V« + 8)r, ßr + »V 

Diese beiden Substitutionen müssen in der Reihe (4) vor- 
kommen, und es muss also ßd = 0, ay = sein; also müssen 
entweder ß und y oder a und ö = sein. Ist ß = y = 0, so 
folgt aus (7), dass a von der Form £ v « r , also 

v = r ' ° ni 




"2^ r 



A — e 

sein muss, worin r eine ganze Zahl bedeutet. Je nachdem r 
ungerade oder gerade angenommen wird, erhalten wir zwei ver- 
ichiedene Gruppen, die sich nicht durch Transformation auf 
»inander zurückführen lassen: 

TTlh 

1) C B = [ c9B ' u „ ih \, A = 0, 1,..., 2»-l, 



c 2n , 







rtih M 


o, (- 


l) Ä e *"/ 


tft'/l 


\ 


r»~ 


^ 




*i* I' 


o, 


±e n 1 



2) £,' = ( ' u „J, A = 0, 1, ..., n-1. 

(beide Vorzeichen) 



298 



Neunter Abschnitt. 



§*i 



Wenn n gerade ist, so kommen C[ und CJ' beide unter CJ 
vor; ist aber n ungerade, so kommt C\ in d,, C'i in C£ vor. 

Ist sodann a = # = 0, /Jy=l, so können wir g> durch 
die Transformation 

//3-V«, \ /0, 0\ (fit* \ _ /O, 1\ 

Vo, /sv.; Vy, oy Vo, p-v.) - Vi, <v' 

durch die die Gruppe P ungeändert bleibt, umformen, und er- 
halten noch eine dritte Gruppe: 



3) 








o, 

_nih 
e " , 

h =• 0, 1, . . . , n — 1. 



III. Es sei P die Diedergruppe Z)„, die aus den Sub- 
stitutionen 

D n = 1, c, c\ . . ., c»- 1 , _ /0, t\ 
w rf, crf, c*d . . ., c»"^' — V», 0/ 

= <?n + C„d 

besteht. Die Substitution c ist vom n ten , die &d sind alle vom 
2 ten Grade. Es ist aber <p~ 1 c<p vom n* 611 Grade, und muas 
daher, wenn n > 2 ist, unter den Potenzen von c enthalten 
sein. Folglich sind zur Bestimmung von q> die vorigen Betrach- 
tungen anwendbar, und in der Gruppe Q muss eine der Gruppen 
CJ,, Cil, C'n enthalten sein. Da d nicht in diesen Gruppen vor- 
kommt, so ergeben sich für die Diedergruppen zweiter Art die 
Formen 

(9) C'n +C' n d, (2 4- C" n d, (% + C„d y 

von denen die beiden ersten 



1) D„ = 



nih 
In 



nih 

0, — e"*"" 



±) n: = 



e 2n 

nih I ' I nih 

0, (—l) h e~**J \(— l) h ^ n e~^ 

A = 0, 1, . . ., 2w — 1, 

nih \ I ni(2 h + n) 

\ ( € 2w 

±e 2n "", 



n 



nih \ i 

0, + r~ ~ 



ä = 0, 1, . . ., n — 1 



§- 7a 



Gruppen der zweiten Art. 



299 



sind, 'während die dritte Gruppe (9) 




nih 



o, 



«£<"+"> 




\ 



*>* h+n \ o 



9 in 



,o 



o, 



— e 



-i 1 > + * ) 



h = 0, 1, . . ., n — 1 

ergiebt, was bei geradem n mit DJ, bei ungeradem n mit D n 
übereinstimmt. 

Der Fall n = 2, wo c = ( ' . J ist, bildet nur eine schein- 
bare Ausnahme, weil in diesem Falle 
(10) tp" 1 cq> = d oder q>^ 1 cq> = cd 

sein kann. Verfolgt man diese Annahmen durch einfache Rech- 
nung, so ergeben sich noch zwei Gruppen: 

1, c, d, cd, qpj, qpxC, 9id, <p x cd 
1, c, d, cd, qp a , (piC, qpjd, qp 3 cd, 



(ii) 

worin 



9>i = 



- --\ 
VI' V2"' 



1_ ZU: 
VT' Vi/ 



<p 2 



VT V2 

_i 1_ 

VT V2> 



Es ist aber 



>— 1 



9a 9>i 9« = 



9i ^«Pi = 




cyj = q> t d y dq>x = 9> x c, cdcjpx = <p x dc, 
C(p 2 = qpjdc, dqp 2 == 92^1 cd<p 2 = <p$c, 
und aus diesen Formeln folgt, dass die Gruppen (11) durch 
Transformation mit qpx und qp 2 * n ^2 transformirt werden. 

Bei der Bestimmung der übrigen Polyedergruppen zweiter 
iit sind die folgenden allgemeinen Bemerkungen von Nutzen. 

He Inversion j = i ' .) ist eine Aehnlichkeitssubstitution (§.41) 



300 Neunter Abschnitt. 

und daher mit jeder anderen Substitution vertauschbar, ar* 
folglich können wir aus jeder Polyüdcrgruppe erster Art weni^ 
stens eine Gruppe zweiter Art herleiten: 
(12) P + Pj. 

Um die anderen etwa noch vorhandenen Gruppen dieser An 
zu finden, erinnern wir uns, dass nach dem Sylow'schen SjLo 
(§. 33, IV.) in jeder Gruppe G eine Gruppe enthalten sein mus^ 
deren Grad die höchste Potenz von 2 ist, die im Grade vou tf 
aufgeht Die erweiterten Tetraeder-, Octaeder- und Ikosseder- 
gruppen haben aber die Grade 24, 48, 120, müssen also einen , 
Theiler vom Grade 8, 16, 8 enthalten. 

Es sei nun T die Tetraeder-, die Octaeder- und J dit 
Ikosaedergruppe. In T und J ist eine Vierergruppe Dj ent-l 
halten, aber keine Substitution vierter Ordnung, in eine Diedet* j 
gruppe D t und keine Substitution achter Ordnung, und es mu» 1 
daher unter den erweiterten Polyedergruppen eine der unter ULI 
betrachteten erweiterten Diedergruppen enthalten sein. 

Von den erweiterten Diedergruppen entsteht aber IF t aus D] 
durch Inversion, wührend 



'-Vo, 1M0, +iV~i) Vo, -,/' Vo, + vfl| 

/0,-lN /o, -,VÄ f0. >\ (o, -VT, 

\\, e)' \VJ, o >' V, o)' \iVi, o i 

durch Composition von I} t mit 

entsteht, also 

b; = D, + DJ, 
ergiebt. Nun ist allgemein: 

,--. ('• f>\; —( ä . I"*\ 

3 > {r,s) J <~(-ßi,«)' 

und daraus schliesst man nach §. 72, (4), dass j~* Tj, = 1 I 
dass also aus der Tetraedergruppe zwei erweiterte Gruppen 
T = T + Tj und T" = T -+- Tj x abgeleitet werden können;! 
aber auch nur zwei, weil nach g. 72 die Tetraedergruppe durch 
eine darin enthaltene Vierergruppe völlig bestimmt ist DetfJ 
wenn wir statt der Erweiterung I)\ die Erweiterung der Yitrer- 
gruppe zu einer der Gruppen (11) wählen, so erhalten wir <iae 



§. 78. Gruppen der zweiten Art. 301 

erweiterte Tetraedergruppe T"', die durch Transformation mit 
9x oder g> 2 in T" übergeht 
Da die Substitution 







ni 


o, 


ni 


e* 


c 


8 
1 






mit der Octaedergruppe §. 73, (8) nicht vertauschbar ist, so lässt 
r aich aus der Octaedergruppe, ausser durch Inversion, keine weitere 

Gruppe zweiter Art ableiten, und dasselbe gilt von der Ikosaeder- 
gruppe. Man muss, um diese Schlussweise anzuwenden, die 
Äosaedergruppe so transformiren, dass eine der darin enthaltenen 
Tierergruppen die einfachste Gestalt annimmt, was etwas weit- 
läufig, aber durchaus nicht schwierig ist, und hier nicht weiter 
msgeführt werden soll. 

Wir erhalten also noch folgende Gruppen zweiter Art: 

7. 1) T = T+ Tj, 2) T" = T+ Tj x . 

7. 0'=0+ Oj. 

I. J'=J+Jj. 

Hierin sind die 32 Symmetriesysteme der Krystallographen 
thalten. Es sind die Gruppen 

Ci? Ci, C\ Z) 2 , Da, -DJ 

C a , Ca» Ci\ C% D%, Z/^, D$ 

^3) ^8i C$\ Ci" D 4 , 2/ 4 

Ca Ca, Ci' D 6 , Z) 6 

CSV fl» rp rpt rptt 

0, Ct. 

Die übrigen Polyedergruppen sind in der Krystallographie 
irch das krystallographische Gesetz der rationalen Indices aus- 
schlössen l ). 



x ) Der Erste, der diese 32 Symmetriesysteme erkannt hat, ist J. F. C. 
es sei, dessen Schrift „Krystallometrie" (1830) in Ostwal d's Sammlung 
m Classikern der exaeten Wissenschaften von Hess neu herausgegeben 
t (Leipzig 1897). Ein neueres ausführliches Werk darüber ist: Schön- 
iets, Krystall System und Erystallstructur (Leipzig 1891). 



Zehnter Abschnitt. 
Congruenzgruppen. 



§.79. 
Functionen-Oongmenzen. 

Aus deu linearen Substitutionen, deren Bildung und ! 
sammensetzung wir in den früheren Abschnitten kennen gel 
haben, lässt sich noch eine ganz andere Art endlicher Grup| 
ableiten, die Congruenzgmppen. 

Diese Cougruenzgruppen haben ein mannigfaches Inter 
Sie stammen aus der Theorie der elliptischen Functionen, wo ■ 
sich als Galois'sche Gruppen der Modulargleichungen einste 
Sie sind aber auch für die allgemeine Gruppentheorie von Wie! 
keit, weil sie uns ein Mittel geben, ganze Reihen von einfach) 
Gruppen zu bilden. Dies ist um so bemerkenswerther, als, ■ 
wir im vierten Abschnitte gesehen haben, die einfachen Gruppe 
wenigstens unter den niedrigeren Gradzahlen, sehr ßeltei 

Die Theorie dieser Congruenzgruppen wird nicht nur ausser- ] 
ordentlich verallgemeinert, sondern die herrschenden Gesetze | 
treten weit schärfer hervor, wenn man sich auf eine von Gaus! 
herrührende Erweiterung des Congruenzbegrifi'es stutzt, die seit- 
dem mehrfach für die Probleme der Gruppentheorie, besonders 
von Galois, ausgebildet und angewandt worden ist 1 }. 



') Galois, „Sur 1b tbeorie des notabres". Bulletin des aoiences n 
de Feniüsac. 1830. (Vergl. die Not« iu §. IM de» ersten B».ides. 
Schönemann, Grundzüge einer allgemeinen Tbeorie der höheren I 
gruenzen, deren Modulua eine reelle Primzahl ist. (Grelle' 
Mathemaiik, Bd. 31, 1846.) — Dedekiud, Abrins einer Theorie der hol 
Congrnencen in Bezug auf einen reellen rrimzablmodalus. (C r 
Jouni. f. Mathematik, Bd. 54, 18G6.) 



9- Functionen-Congruenzen. * 303 

Um eine Grundlage für diese Theorie zu gewinnen, betrachten 
eine ganze Function einer veränderlichen Grösse t: 

en Coefficienten ganze Zahlen sein sollen. Wir wählen ausser- 
i eine Primzahl p als Modulus, und nehmen an, a sei durch 
icbt theilbar. 

Zwei ganze Functionen von t, in denen die Coefficienten 
icber Potenzen von t nach dem Modul p congruent sind, sollen 
38t nach dem Modul p congruent genannt werden. 

Die Function /(*) heisst nach dem Modul p reducibel, 
an es zwei ganze ganzzahlige Functionen (p(t), 4>(f) giebt, in 
ren jeder wenigstens ein von t abhängiges Glied einen durch 
ücht theilbaren Coefficienten hat, so dass 

> /(*) = v (*)♦(*) (modp) 

„ In q>(t) und *l>(t) kann man alle Glieder, deren Coefficienten 
irch p theilbar sind, weglassen, und dann muss der Grad von 
(()♦(*) mit dem Grade von f(t) übereinstimmen. Es müssen 
Lao die Grade von q>(t) und 4>(t) niedriger als n sein. Giebt 
» keine solche Functionen q> (Q, ^(J), 80 heisst f(t) nach dem 
lodul p irreducibel. 

Eine nach dem Modul p irreducible Function ist gewiss 
immer im Körper der rationalen Zahlen absolut irreducibel. Das 
Umgekehrte ist aber nicht nothwendig. 

So ist z. B. die Function 2 ten Grades t 2 — R reducibel nach p, 
Penn R quadratischer Rest von p ist; denn ist a 2 = R (mod p\ 
lo ist 

P — R = (t — a) (t -f a) (mod p). 

Dagegen ist t* — JT, wenn N Nichtrest von p ist, irreducibel, 
kQ sonst t* — N für ein rationales t durch p theilbar werden 
liisste. 

Ein anderes Beispiel bieten die Functionen 

P + * + 1, t> + t + 1, 

ie für den Modul 2 irreducibel sind. Denn wären sie reducibel, 
I müsste einer der Factoren linear sein, und es müsste eine 
laze Zahl geben, die, für t eingesetzt, diese Functionen zu 
leiden Zahlen macht. Das aber ist offenbar unmöglich, da beide 
ionen für t = und t = 1 ungerade Zahlen sind. 




304 Zehnter Abschn 

Bedeutet 

.(3) p»s*-f- R i.-i+ A **-«4....4.ffc_,t + jfr 

eine nach dem Modul p irreducible Function n ,ea Grad« 
der wir der Einfachheit halber den Coefticienten der höi 
Potenz t" gleich 1 annehmen, so lilsst sich aus jeder 
ganzen Function F(t) mit ganzzahligen Cocfficienten 
#(() ableiten, dessen Grad niedriger als « ist, indem mi 
§. 3 des ersten Bandes) 

(4) F(t) = QP+4>(t) 
setzt. <&(*) hat hierin ganzzahlige Coi>fficienten , und 
zeichnen ihre Beziehung zur Function F(t) als eine Cong 
nach dem Modul P. 

Es heissen also zwei Functionen F(t), .F, (()> die denst 
Rest <P(() haben, congruent nach dem Modul P, was 
die Formel 

F(t) m Fi (t) (mod P) 
ausgedrückt wird. Damit ist gleichbedeutend, dass F(t) — 
durch P theilbar ist. 

Wenn zwei Functionen F(t) und JFjfi) nicht gleichen 
geben, sondern zwei Reste, die nach dem Modul p conj 
sind, so heissen die Functionen F, F, congruent nach dem D 
modul P, p, und man drückt dies durch eine Formel so ai 

(5) F(t) = -Fi<f) (mod P,p). 
Für diese Art der Congruenz gilt der Satz: 

1. Das Product zweier Functionen F(t), F^t 
nicht mit Null congruent sein, wenn nie 
eine Factor mit Null congruent ist. 
Der Beweis ergiebt sich aus dem Algorithmus des 
gemeinschaftlichen Theilers. Ist nämlich Pi eine ganze F 
von niedrigerem Grade als P, die nicht nach dem Modu 
Null congruent ist, so kann man eine Reihe von eben s< 
Functionen P 2 , P a , . . . von abnehmendem Grade, und die 
tienten Q lt Q } , . . . gleichfalls als ganze Functionen 
stimmen, dass 
<6) P=Q X P,+ P„ P, = Q t P, + P s , . 

P,_ a = Q,- t Pv_! -r P. (mod p) 
wird, und die Reihe dieser Gleichungen bricht ab, i 
Constante (ganze Zahl) geworden ist. Diese Constante . 



» 80. Congruenzkörper. 305 

kber nicht = (mod p) sein ; denn sonst liesse sich aus (6) eine 
Kongruenz ableiten: 

P = rP y _ x (mo&p), 

in der T eine nicht constante Function von t ist, und P wäre 
nicht irreducibel nach dem Modul p. 

Ist nun Q irgend eine ganze Function von t, die der Be- 

Ofllff11T)g 

QP X =0(mod P,p) 
genügt, so folgt aus (6) durch Multiplication mit Q: 

QP, = 0, QP Z = 0, . . ., QP V = (mod P, p), 

■Iso Q = 0. Und wenn wir also für P lf Q die Reste der Func- 
tionen jF(J), J\(Q setzen, so ist hiermit der Satz 1. bewiesen. 

Die Reste aller Functionen F(t) nach dem Modul P sind 
ron der Form 

[7) X = X(0 = x + s x * H h «w-i<— S 

md wenn man nur die nach dem Modul p incongruenten unter 
hnen haben will, so genügt es, die Coefficienten x , x u . . ., x n —i 
Be Reihe der Zahlen 0, 1, 2, . . ., p — 1 durchlaufen zu lassen. 
Es giebt also p n und nicht mehr nach den Moduln 
P, p incongruente Functionen. 

§• 80. 
Congruenzkörper. 

Die im vorigen Paragraphen durchgeführten Betrachtungen 
gewinnen an Einfachheit, wenn man irrationale Zahlen zu Hülfe 
limmt. Es sei e irgend eine Wurzel der Gleichung 

^) P(«) = 0. 

Es geht dann jede Function F(t) durch die Substitution 
= b in eine Zahl der Form über: 

a = a + «i« + «2* 2 + • • • + On-iS n ~ 1 , 

zwar kann F(e), da P(t) irreducibel ist, nur auf eine Weise 
diese Form gebracht werden. Die Coefficienten a , a x , . . ., a w _i 
ibd hier ganze Zahlen. 

[ Zwei Zahlen a, in denen die entsprechenden Coefficienten 
peh dem Modul p congruent sind, sollen hier congruent 
■nsen, und da der Modul p immer festgehalten wird, so wollen 

i Weber, Algebra. II. 20 

i 
i 

t 



l 



306 



Ze 



[ Abscbn 



wir zwei congruente Zahlen geradezu als gleich 1 
Object der Rechnung sind dann nicht eigentlich die '• 
selbst, sondern die aus allen unter einander congruenten Zab 
bestehenden Zahlclassen. 

Diese Zahlen a werden die Galois'schcn Imagii 
genannt '). Das zu einem bestimmten r gehörige System s 
Zahlen bezeichnen wir der Abkürzung wegen mit (E. 

Wir haben dann zunächst den Satz: 

2. Es giebt p* und nicht mehr verschiedene Zahl 



Aus dem Satze 1. aber folgt noch: 
;i. Das Product von zwei oder mehr Zahlen i 
ist dann und nur dann gleich Null, wenn w 
stens einer der Factoren gleich Null ist. 
Wir erhalten das vollständige Zahlensystem 6, wenn : 
die rationalen Zahlen a m a s , . . ., a„_! in (2) je ein volles ] 
system nach dem Modul p durchlaufen lässt. Jedes System I 
enthält die Reste der natürlichen Zahlen 0, 1, . . ., p — 1,1 
ffa « s» 1 ist 6 mit diesem Systeme identisch. 

Ist a eine feste von Null verschiedene Zahl in 6, so dur 
läuft a£ zugleich mit g das volle System S. Denn aus 3, I 
dass «! nur dann gleich «|' sein kann, wenn % = |' ist. D« 
folgt: 

i. Sind a, ß zwei gegebene Zahlen in 6 und i 
Null verschieden, so giebt es eine und i 
Zahl y in 6, die der Bedingung 

ay = ß 
genügt. 

Damit ist auch die Operation der Division iu dem Syste 
als erlaubt nachgewiesen. Wir bezeichnen die Zahl y, ■ 
Existenz in 4. ausgesprochen ist, mit 

ß : a oder *- 

Man kann das System CS einen endlichen Körper nei 
da es nur eine endliche Anzahl von Zahlen enthält, die i 



') G&lois benutzt statt einer Wurzel der Gleichung (1) eine J 
imaginärer Zahlen, die durch die in reellen ganzen Zahlen uunviglic 
Congrueni P(i) = (mod p) definirt ist. Dana die Wurzeln der Gleich« 
i* = dieselben Dienste thuti, verdanke ich eiiu-r Mittheilung von Dedekin) 



§.80. Congruenzkörper. 307 

charakteristische Merkmal eines Körpers, nämlich die unbe- 
schrankte Ausführbarkeit der Rechenoperationen, ausgenommen 
, die Division durch Null, aufweisen (Bd. I, §. 146) J ). Wir wollen 
'6 einen Congruenzkörper nennen. 

Es soll n der Grad und p der Modul des Körpers 6 

heissen. 

Ist a eine von Null verschiedene Zahl in 6, so durchläuft 

das Product ag = rj zugleich mit £ das volle Zahlensystem 6. 

Schliessen wir £ = aus, so kommt auch t] = nicht vor, und 

das Product 77 aller £ stimmt mit dem Producte aller r\ überein 
[und ist von Null verschieden. Durch Multiplication aller Glei- 
; drangen a| = rj folgt aber: 

a ^- 1 77=77, 
und nach Abwerfung des gemeinsamen Factors 77 ergiebt sich 
5. der Fermat'sche Satz: 

(3) a*"- 1 = 1. 

Multiplicirt man mit a, so erhält man diesen Satz in der 
Form 

(4) «* n = a, 

in der er auch noch für a = besteht. Ist a von Null ver- 
schieden, so giebt es wegen (3) einen kleinsten positiven 
Exponenten e, für den 

(5) a« = 1 

ist, und für den folglich die Potenzen 1, a, a 2 , . . ., a e_1 von 
einander verschieden sind. Man sagt dann, a gehört zum 
Exponenten e. Dieser Exponent e muss ein Theiler von 
|>* — 1 sein. Denn ist a m = 1 für irgend einen Exponenten m, 
«o setzen wir m = qe -\- e', worin q eine ganze Zahl und e' <e 
ist Dann ist auch ot? = 1, und folglich muss e' = 0, d. h. m 
durch e theilbar sein. Unter diesen Exponenten m findet sich 
auch p n — 1. Setzen wir also 

p n — 1 = ef, 
io wird a h immer dann zum Exponenten e gehören, wenn h 
relativ prim zu e ist. Denn dann und nur dann ist he das 
Ideinste positive, durch e theilbare Vielfache von ä. 



*) Man sehe des Verfassers Abhandlung : Die allgemeinen Grundlagen 
ler Galois 'sehen Gleichungstheorie. Mathematische Annalen, Bd. 43. 

20* 



308 Zehnter Abschnitt 

Giebt es also überhaupt eine zum Exponenten e gehörig* 
Zahl k, so giebt es so viele wie relative Primzahlen zu f. die 
positiv und kleiner als c sind, eine Zahl, die wir schon früher 
mit tp(e) bezeichnet haben, und die, wenn e alle Divisoren tob 
p" — 1 durchläuft, der Relation 
(6) £y(e) = p* — l 

genügt [Bd. I, §. 141, (1)]. 

Ist t/j(e) die Anzahl der Zahlen ec, die zum Exponenten < 
gehören, so ist ii>(e) = <p(e) oder = 0, und da die Anzahl aller 
Zahlen k gleich /i" — 1 ist und jede Zahl a zu einem und nur 
zu einem Exponenten gehört, so ist auch 
(7( Z4>(e) = p« — 1, 

und aus (6) und (7) folgt, dass i/>(e) immer gleich q>(e) ist 

Es giebt also y{p n — 1) Zahlen y in (5, die zum Exponenten 
j)" — 1 gehören, und die folglich die Eigenschaft haben, das* 
die Potenzen 

(8) i, r,r 3 . • ■■,/""* 

alle von einander verschieden sind. Durch diese Reihe ist daher 
die Gesammtheit der von Null verschiedenen Zahlen in 6 er- 
schöpft. 

Solche Zahlen y heissen primitive Wurzeln von 6. 

Unter den Zahlen in 6 giebt es solche, die als Quadrat 
einer anderen Zahl in @ darstellbar sind, die wir Quadrat« 
nennen, und andere, bei denen dies nicht zutrifft, die wir Nicht- 
quadrate nennen. 

Wenn p = 2 ist, so ist jede Zahl iu @ ein Quadrat, wie die 
Formel (4) zeigt. 

Wenn aber p ungerade ist, so besteht die eine Hälfte du: 
von Null verschiedenen Zahlen in 6 aus Quadraten, die ändert 
aus Nichti|uadraten. 

Denn zwei entgegengesetzte Zahlen, wie -\-a und — a. afl 
hei ungeradem p von einander verschieden, und geben trotzdea 
dasselbe Quadrat. Wenn man also die sämmtlichen Zahlen I 
6 zum Quadrat erhebt, so erhält man höchstens Vit/'" — '' Vf * 
schiedene Quadrate. Nun kann andererseits ß 3 nur dann gleic 
<% s sein, wenn ß~ + a ist; denn aus ß'' — cc s = (ß — «) (fJ-(-aj = 
folgt, dass ß — « oder ß-\-K verschwinden niuss. Es giebt als 
wirklich 1 / i {p n — 1) Quadrate und ebenso viele Nicht <|uaJraU 



§. & Congruenzkörper. 309 

Wenn man die Null mit zu den Quadraten zählt, so erhält man 
den Satz: 

6. Wenn p = 2 ist, so sind alle Zahlen in S Qua- 
drate. Ist p ungerade, so giebt es 1 / 2 (p n + 1) 
Quadrate, l U(j> n — 1) Nichtquadrate in 6. 

Bei ungeradem p muss eine primitive Wurzel immer ein 
Nichtquadrat sein und in der Reihe (8) sind die Zahlen mit 
geraden Exponenten die Quadrate, die mit ungeraden Exponenten 
iie Nichtquadrate. 

Das Product und der Quotient zweier Quadrate ist offenbar 
rieder ein Quadrat 

Daraus folgt, dass das Product aus einem Nichtquadrat und 
inem von Null verschiedenen Quadrate ein Nichtquadrat ist. 
)enn ist das Product aß ein Quadrat und der eine Factor a ein 
juadrat, so muss auch ß = aß : a ein Quadrat sein. 

Weiter schliesst man daraus, dass das Product von zwei 
tichtquadraten ein Quadrat ist. Denn bedeutet ß irgend ein 
ichtquadrat, so lasse man in dem Producte ߣ den Factor £ 
ie sämmtlichen von Null verschiedenen Zahlen von 6 durch- 
iüfen. Das Product durchläuft dann dieselbe Zahlenreihe, und 
i für alle quadratischen £ das Product ߣ Nichtquadrat ist, so 
uss es für die nichtquadratischen £ Quadrat sein. 

Alles dies ergiebt sich auch sehr einfach aus der Dar- 
ellung (8) der Zahlen von 6 durch eine primitive Wurzel. 

Wir schliessen diese allgemeinen Betrachtungen mit dem 
tze, den wir später brauchen werden: 

7. Jede nicht quadratische Zahl ist die Summe von 
zwei Quadraten. 

Hierbei ist p als ungerade vorauszusetzen, da es nur dann 
;htquadratische Zahlen giebt. 

Es lässt sich dann zunächst jede Zahl ß als Differenz zweier 
Ladrate darstellen, wie die Identität 

(ß + l UY -iß- V,) 2 = ß 

gt. Ist nun — 1 ein Quadrat in 6, so setze man 

(ß + V4) 2 = I 2 , —(ß — VJ 2 = n\ 

d erhält 

ß = I 2 + V 2 ' 
Ist aber — 1 und also auch p — 1 Nichtquadrat, so suche 
in in der Reihe der natürlichen Zahlen 1, 2, . . ., p — 1, deren 



310 Zehnter Abschnitt §. 8t 

erstes Glied ein Quadrat und deren letztes ein Nichtquadrat ist, 
ein quadratisches Glied, auf welches ein Nichtquadrat folgt 

Ist dann also a = £ 2 ein Quadrat und |* -|- 1 ein Nicht- 
quadrat, so ist, wenn ß ein Nichtquadrat ist, /}:(£*-|- 1) = if* ein 
Quadrat, und daraus folgt: 

ß = &n 2 + i? 2 , 
w. z. b. w. 

§. 81. 
Congruenzgruppen im Körper (5. 

In jedem Congruenzkörper 6 kann man eine endliche Gruppe 
von linearen Substitutionen bilden, wenn man in 

a> ä - £ {) 

die Elemente a, /}, y, d alle Zahlen von 6 durchlaufen lässt, 
deren Determinante ad — ßy von Null verschieden ist, und 
wenn man je zwei dieser Substitutionen nach der Vorschrift 

K) Vy, *y V, v) - W + */, y /r + ««■; 

componirt. 

Darin ist aber eine Gruppe niedrigeren Grades enthalten. 
Nennen wir ad — ßy die Determinante der Substitution (1), » 
folgt aus (2), dass die Determinante der aus A und A com- 
ponirten Substitution AA1 gleich dem Producte der Deter»- 
minanten von A und AI ist. Wenn wir daher den Zahlen o,/3,ftd 
die Bedingung auferlegen, dass 

(3) ad — ßy = 1 

sein soll, so bilden auch diese Elemente A eine Gruppe. Der 
Grad dieser Gruppe ist gleich der Anzahl der Lösungen von (3)* ^ 
Um diese Anzahl zu finden, bemerken wir zunächst, dass wir fit 
a, ß irgend zwei Zahlen aus (S setzen können, die nicht beide 
gleich Null sind. Denn ist etwa a von Null verschieden, so kani 
man y = 0, ö = 1 : a setzen und hat so die Bedingung (ty 
erfüllt. Die Anzahl der brauchbaren Zahlenpaare a, ß ist altt 
p 2n — 1. Hat man aber zu einem Zahlenpaare a, ß eine Lösung 
y , d von (3) gefunden, so müssen alle übrigen der Bedin 

*{Ö — ö Q ) = ß(y — r*) 



F 



§.81. Congruenzgruppen. 311 

genügen, und wenn man also y — y = a£ setzt (falls a von 
Null verschieden ist), so folgt ä — d = /3J, also 

• 7 = 7. + «*, * = * + «, 

und umgekehrt genügt auch jedes in dieser Form enthaltene 
Zahlenpaar y, ä. Dies gilt offenbar auch noch in dem aus- 
genommenen Falle a = 0. Da wir nun p n verschiedene Zahlen 
für | setzen können , so ergiebt sich der Grad unserer Gruppe 
gleich 
(4) p» (tf* — 1). 

Ist p ungerade, so können wir eine noch kleinere Gruppe 
ableiten: 

Ist nämlich p = 2, so ist eine Zahl a von — a nicht ver- 
schieden, es sind also auch die Elemente 

nit einander identisch. Wenn aber p ungerade ist, so sind die 
beiden Elemente (5) von einander verschieden, und das ganze 
System dieser Substitutionen zerfällt in Paare von der Form (5). 
Wenn wir zwei solche Paare nehmen und componiren je 
ein Element des einen Paares mit je einem Element des anderen 
nach der Regel (2), so erhalten wir nur zwei verschiedene Elemente, 
die wieder ein solches Paar bilden. Diese Paare können also 
«elbst als Elemente einer neuen Gruppe vom Grade 

(6) i> w (P 2n - *) 

aufgefasst werden. Wir können uns auch so ausdrücken, dass 
iwei Elemente A, deren entsprechende Zahlen nur durch das Vor- 
leichen unterschieden sind, als nicht verschieden anzusehen sind. 

i. Die so definirte Gruppe, deren Grad für p = 2 durch (4) 
md für ein ungerades p durch (6) ausgedrückt ist, wollen wir 
zum Körper 6 gehörige Congruenzgruppe nennen 

lud mit E bezeichnen. 

Für die genauere Untersuchung dieser Gruppe ist es von 

Wichtigkeit, ein System erzeugender Substitutionen zu kennen. 

ftellen wir nach §. 80, (2) die Zahlen von 6 in der Form dar: 

1) & = x -\-x 1 6-\ f- x n - x e n ~\ 

)rin die x { rationale, nach dem Modul p genommene Zahlen 






312 Zehnter Abschnitt §. i 

bedeuten, so erhalten wir ein System erzeugender Substitution« 
in der Form: 

(8) A„ = (_£ J), B h = (£ °), h = 0, 1, . . ., n - 1. 

Um dies nachzuweisen, bemerken wir, dass 

/l, 0\ /l, 0\ _/ 1,0\ 

Vy, iy V/, 1/ ~ \r+/, V 
ist; und durch wiederholte Anwendung hiervon folgt, wenn 

y = Co + c i e H h tfn-i**"" 1 

mit ganzen rationalen Coefficienten c eine beliebige Zahl in 6 

0) QJ) = jb? ap . . . *..-«. 

Ferner folgt durch Zusammensetzung mit A : 
/ 0, 1\ / 1, 0\ /0, - 1\ _ /l, /*\ 

V- 1, o) \- ß, \) Vi, q) ~~ \o, i; 

Daraus geht hervor, dass man aus den Elementen (8) t 
Substitutionen von der Form 

Uö-Gö-O-C-Xi) 

zusammensetzen kann, worin «, /}, y, d beliebige Zahlen in 6 si 
Ferner ist 

( n\ ( «,i\/i,/»\/i, o\ _ /«+y+«/Jy.«^+i\ 

(ll) Ui,ojvo,i.Ky,i;-v-/j y -i, -/» ;• 

Nimmt man ß von Null verschieden an, so kann man 
und y so wählen, dass aß -f- 1, — 0y — 1 beliebige Zah 

werden, und nach (11) kann man also alle Substitutionen (*• 

worin ö von Null verschieden ist, aus i ? -B* zusammenseti 
Die Beschränkung, dass ö von Null verschieden sei, kann a 
nach der Formel 

/«. 0\ _ (- ft *\ /°i — *\ 

\r, <v V o, y ) Vi, <v 

fallen gelassen werden. 



§.$l. Congruenzgruppen. 313 

Die Gruppe E enthält einen Theiler vom Index p n -\- 1, der 
aus allen Substitutionen der Form 

/«, ß\ 

besteht, worin ß jede beliebige, a jede von Null verschiedene 
Zahl in 6 bedeutet, und d = ar 1 ist 

Diesem Theiler entspricht eine der Gruppe E isomorphe 
Permutationsgruppe von p n -{~l Ziffern, die man so bilden kann : 

Der lineare Ausdruck 



(12) n = 4+| oder £ = J± 



ß 



vi + * - yv + a 

giebt für jede Zahl £ aus 6 eine entsprechende Zahl 17, aus- 
genommen, wenn y£ -f- d = ist. Ebenso giebt es zu jedem 17 
ein bestimmtes |, ausgenommen für yrj — a = 0. Um diese 
Ausnahme zu beseitigen, genügt es, das System 6 durch Hinzu- 
fugung eines Elementes, das wir „Unendlich" nennen und mit 00 
bezeichnen, zu erweitern. Mit diesem Zeichen wird nach den 
folgenden Regeln gerechnet, worin a irgend ein Element des 
erweiterten Systemes 6 bedeutet: 



a -f~ °° =« — oo =oo, ausser für a = 00 



a-oo=oo „ „ a = 



a:0=oo „ „ cc = 

a:co=0 „ „ « = co. 

Dann führt das Ergebniss jeder Rechnung mit den vier 
Species immer zu einer bestimmten Zahl des Systemes @ und 
nur die Verbindungen 00+00, O.oo, 0:0, 00 :oo bleiben ohne 
Bedeutung. 

Nach (12) entspricht dann der Zahl £ = — d : y die Zahl 
q = 00 , und der Zahl £ = 00 die Zahl rj = a : y, und jeder 
Substitution A in E entspricht eine bestimmte Permutation der 
j/» -f- 1 Elemente des erweiterten Systemes 6. Man sieht leicht, 
dass nur die identische Substitution alle diese Elemente un- 
geandert lässt, und dass folglich auch zwei verschiedene Sub- 
stitutionen aus E immer verschiedene Permutationen hervorrufen. 
Der Isomorphismus ist also einstufig. 



314 Zehnter Abschnitt §. 

§. 82. 
Einfachheit der Gruppe E. 

Die erste Frage bei einer eingehenderen Untersuchung der 
Gruppe E ist die nach einem etwa vorhandenen Normaltheiler. 
Es lässt sich beweisen, dass ein solcher Normaltheiler, von zwei 
ganz einfachen Ausnahmen abgesehen, nicht vorhanden ist 

Nehmen wir an, es sei G ein Normaltheiler von U, der 
wenigstens eine von der Identität verschiedene Substitution 

« '-£?) 

enthält Nach dem Begriffe des Normaltheilers ist dann, wenn T 
ein beliebiges Element in E ist, 

(2) TAT- 1 

auch in G enthalten, und es ist zu zeigen, dass man auf diese 
Weise und durch Zusammensetzung solcher Substitutionen alle 
Elemente von E ableiten katin, woraus dann folgt, dass G mit 
E identisch sein muss. Es genügt aber dazu, das Vorkommen 
der erzeugenden Substitution -4 , B h [§. 81, (8)] in Q- nach- 
zuweisen. 

Wir gehen dazu schrittweise vor. 

I. In G kommt eine Substitution von der Form 



(-SJ) 



vor. Um dies nachzuweisen, setzen wir in (2) 

und haben dann die unbekannten Zahlen k, ft, v, p, £ so zu 
bestimmen, dass 

A f*\ M ß\ _ ( 0, i\ /A, p\ 

\v, Qj \7, Sj - V- 1, V U 9/ 
wird. Dies giebt folgendes Gleichungssystem: 

1. ka -f- fty = v 

2. kß+lLd = Q 

w 3. i/a+py = — k + v£ 

4. vß + P* = — 4 u -f- $>£, 

(4) Ä0 \LV = 1. 



5-82. 



Einfachheit der Gruppe E. 



315 



® 



Aus den beiden ersten der Gleichungen (3) erhalten wir 
wegen ad — ßy = 1: 

X = vd — Qy, 

11 = — Vß -f- QU, 

und wenn man dies in die beiden Gleichungen (3) 3., 4. einsetzt: 

v(* + d — ß = o, 
<>(« + * — £) = o, 

folglich, da v und $ nicht beide verschwinden können: 

(6) I = « + d; 

ferner ergiebt sich aus 1. und 2.: 

(7) Kß + kp(d — a) — p*y = 1. 

Bestimmt man A, ft irgendwie, so dass dieser Gleichung genügt 
wird, und dann v und q aus den beiden ersten Gleichungen (3), so 
sind alle Bedingungen befriedigt, und es kommt nur noch darauf 
an, nachzuweisen, dass die Gleichung (7) befriedigt werden kann. 
. a) Wenn zunächst ß = 0, y = ist, so ist d — a von Null 
verschieden (weil sonst ß die identische Substitution wäre), und 
nan kann Aft aus (7) bestimmen, und eine der beiden A, ft be- 
liebig wählen. 

b) Ist aber ß oder — y ein von Null verschiedenes Quadrat, 
so setze man in (7) 



oder it 2 = 



f*' = — V 



— i 



A = 0, 



jt, = 0, A3 = ß- 1 

wodurch (7) befriedigt ist. 

Damit ist der Fall p = 2 erledigt und wir nehmen jetzt p 
ungerade an. 

c) Wir behandeln jetzt zunächst den besonderen Fall 

(8) «4-0 = 2, 

|anf den auch durch Aenderung aller Vorzeichen in A der Fall 
-f- 8 = — 2 zurückgeführt wird. 

In diesem Falle findet man die durch vollständige Induction 
icht zu beweisende, für jeden positiven Exponenten m gültige 
formel 

/«, ß\ m hna — m -f 1, mß\ 

\Yi ä/ Wy, mö — m -|- 1/ 

Wenn es nun eine rationale Zahl m giebt, die ein Nicht- 

tt ist, so sind, wenn ß oder — y Nichtquadrate sind, mß 

ler — my Quadrate, und wir kommen auf den Fall b) zurück. 



316 



Zehn 



r Abschnitt. 



Dies triflt immer zu, wenn tl = 1, also alle Zahlen des Kör- 
pers rational sind. Ist aber n > 1, so kann der Fall eintreten, 
dass alle rationalen Zahlen Quadrate sind, und dann ist dieser 
Schluss nicht mehr richtig. 

Wählen wir aber eine Substitution 
0, OA 



\—0->, o) 



und bilden die in (? vorkommende Substitution 

S' + a'r', — ß! 



vi «•) " 



SAS-'A- 



ßl, a' + «-=/)■/ 
so folgt, wenn die Gleichung (S) besteht: 

«•+j' = „i + j.+«s,i+«-^i = («+4)i-f(«i.— o-'«'-a 

= 2 +(«,/ — «-•«•. 

Nun können liier ß und j- nicht beide verschwinden, da 
sonst A die identische Substitution wäre. Lassen wir also 6 die | 
ganze Reihe der p n — 1 von Null verschiedenen Zahlen durch- 
laufen, so kann «' -)- <3' den Werth 2 höchstens zweimal und 
den Wertli — 2 höchstens viermal erhalten ; und wenn also I 
j)">7 ist, so kann man über ö so verfügen, dass nach dieser 1 
letzten Formel a! -\- &' nicht = +2 wird. Dies findet immer' 
statt, wenn n > 1 ist, da dann p n mindestens = 9 ist. 

d) Demnach können wir für das Folgende annehmen, daa| 
in der in G vorausgesetzten Substitution (1) a -f- ö nicht = — 'i, 
und von den Zahlen ß, — y wenigstens die eine ein Nichtijuadrat 
sei. Ist dies ß, so multipliciren wir (7) mit ß, und erhalten die 
Bedingung 

( 3) ( lf) + /-«Y_«_...r,_,'» + «Y 

Wenn jetzt 1 - 
stimmen wir u aus 



'»(ö -|- «)* ein Nichtquadrat ist, 



be- 



,. 1. 



■m\- 



wodurch (9), und folgHch auch (7), befriedigt ist. Ist 
1 — y*(tS -f- a) a ein Quadrat, so zerlegen wir ß nach i 
"i Summe zweier Quadrate 





,82. Einfachheit der Gruppe E. 317 

d bestimmen ft, X aus den beiden Gleichungen 

4-m"]=-. 

lurch (7) gleichfalls befriedigt ist. Der andere Fall, dass — y 
Nichtquadrat ist, der nur noch dann zu berücksichtigen ist, 
in ß = ist, wird auf diesen zurückgeführt durch die Be- 
ttung, dass auch 

/ 0, 1\ /«,/J\ /0,— 1\_/ Ä, -y\ 

v- 1, <v Vy, sj Vi, <v _ V- a *) 

Leich mit -4. in G vorkommen muss. Damit ist L bewiesen. 
IL Die Gruppe G enthält 

0,1 



* = (-?. S) 



alleiniger Ausnahme des Falles n = 1 , jp = 2. Zunächst 
en wir in G die Substitutionen 



auch 



mithin 



/O,— 1\ / 0, 1\ / 0, 1\ _ / {, 1\ 

Vi, o; V- 1, V \- 1, (V ~~ V- 1, 0/ 

(-1,'|) (— i' o) = (2^ l)' 

/ 1, 0\ / 0, 1 \ _ / 0, 1 \ 
V2|, lj \-l,i )-\-l,3£)' 

G&l) (-l'3|) = (-l',5|)' U - S - f -' 

(- 1] tn V 

jede ungerade ganze Zahl m; wenn also p ungerade ist, so 
nen wir m = p annehmen und erhalten A . Ist aber p = 2, 
laben wir, wenn wir mit q eine noch zu bestimmende Zahl 
i bezeichnen, folgende Substitutionen in G: 

/ 0, p\ / 0, 1\ /0, -p\ _ / |, p«\ 



318 Zehnter Abschnitt. §. & 



( * Q ) 



Da hier nun jede Zahl ein Quadrat ist, so kann man f* 
auch durch q ersetzen, und findet also, dass in G die Sub- 
stitution 

i, 

für jedes beliebige von Null verschiedene p, und folglich auch 
die entgegengesetzte Substitution 

(0, -Q\ 

\Q-\ V 
vorkommen muss. Bedeuten also p, <J zwei von Null verschiedene 
Zahlen, so haben wir in G auch 

m (_?^D(_*n(-^Ö 






Wenn nun n grösser als 1 ist, so kann man q und 1 -f- 9 
von Null verschieden annehmen und dann 6 = — 1 : (1 -|- 9) 
setzen, wodurch die Substitution (10) in A^ übergeht 

Ist aber n = 1 und p = 2, so tritt der erste Ausnahme« 
fall ein; denn dann ist immer eine der beiden Zahlen q und 
1 -\- q gleich Null. Dieser Fall führt auf eine Gruppe 6*** Grades 

in der ein Normaltheiler 3 ten Grades enthalten ist: 

-Q.Q.(!:J)- 

Von diesem Ausnahmefalle sehen wir jetzt ab. Wir haben 
dann weiter: 

III. Die Gruppe G enthält jede Substitution von 
der Form 

<»> o- 

worin £ eine beliebige Zahl in 6 ist, ausgenommen in dem Falle 
n = 1, p = 3. 

Denn nach II. enthält G die Substitution 

/ 0, q\/ 0, l\/0, —q\( 0, 1\ _/<>», \ 

V-^oA-i^oAr 1 , oA-1,0/ Vo, p-V' 



1 



$.82. 



Einfachheit der Gruppe E. 



319 



(i -> V-A, \) VO, 9 *J \A, \) VO, 9 -*J - VA(p4-l), \) 



wenn q eine beliebige von Null verschiedene Zahl in 6 ist. 
Daraus folgt, dass auch 

q->, 

für jedes beliebige k in Cr vorkommt. Kann man nun 9 von 
Null verschieden so annehmen , dass p 4 — 1 nicht verschwindet, 
80 kann man für jedes £ die Zahl X aus k(g* — 1) = £ be- 
stimmen, und erhält also aus (12) jede Substitution der Form (11). 
Lassen wir aber q alle p n — 1 Zahlen durchlaufen, so kann 
q * — 1 den Werth Null höchstens für vier Werthe von q an- 
nehmen. Wenn daher p n > 5 ist, so können wir q dieser For- 
derung gemäss bestimmen, und es bleiben also nur noch die 
beiden Fälle n = 1, p = 3 und n = 1, p = 5 zweifelhaft. 

In dem Falle n = 1, p = 5 haben wir aber in G nach (2) 
nnd IL die Substitution 

/l, 1W 0, l\/-2,-l\/ 0, l\_/-2,0\ 

V2,-2A-i,oA-2, iA-1,0; — V 0,2;' 

nnd folglich auch 

«"> U:?)raOG:J)=UD- 

also, da | und folglich auch — 2£ beliebig ist, wieder die Sub- 
stitutionen (11) und damit also alle Erzeugenden der Gruppe E, 
nnd also ist in allen diesen Fällen G mit E identisch und 
folglich die Gruppe E einfach. 

Der Fall n = 1, p = 3 bietet aber die zweite wirkliche 
Ausnahme. In diesem Falle ist die Gruppe E vom 12 ten Grade 
nnd sie hat den Normaltheiler 4 ten Grades 

Um sich davon zu überzeugen, braucht man nur die beiden 
Bebengruppen 

mit <3r ( | f , )i ^(i' 1 ) zu vergleichen. Diese Gruppe E ist 



320 Zehnter Ab BC hnit(. 

mit der alternirenden Perrautationsgruppe von vier Ziffern 
isomorph. 

Damit ist also allgemein bewiesen, rlass, von den beiden 
Fällen n = 1, p =a 2 und n = 1, p = 3 abgesehen, die Gruppe E 

einfach ist. Für die ersten Fälle erhält man für die Grade y 
dieser einfachen Gruppen: 

« = 1, p = 6, g = 00 » = 2, p = 2, # = CO 

p = 7, y = 168 p = 3, g = 360 

p = 11, g = 660 p = 5, j = 7800 

p = 13, 5 = 1002 n = 3, p = 2, (/ = 504 

p = 3, p = 9BSJ 

n = 4, p = 3, ^ = 40S0 1 ]. 



Congvuenzkörper zweiten Grades. 

In jedem Cougruenzkörpcr (5„, t für den Modul p vom h"" 
Grade ist der Congruenzkürper ersten Grades & Uv , der aus da 
nach dem Modul p genommenen rationalen Zahlen besteht, als 
Theiler enthalten. Daher ist auch in der Gruppe der linearen ■ 
Substitutionen £„ :J , eine Gruppe als Theiler enthalten, die am 
allen Substitutionen der Form 



« *-£%■ 



ab — cd = 



besteht, worin ä, b, c, d nach dem Modul p genommene ganie 
rationale Zahlen sind. 

Diese Gruppe, die als die Gruppe der Modulargleichuugen 
in der Theorie der elliptischen Functionen auftritt, ist dal 
eigentliche Ziel unserer Betrachtungen. Es bietet aber für die .^ 
Untersuchung dieser Gruppe, und besonders für die Aufsuclinng 
ihrer Theiler, den grössten Vortheil, diese Gruppe nicht selbst- 
ständig für sich zu betrachten, sondern als Theiler ein« 
Gruppe E iiP . Bezeichnen wir nämlich mit N irgend einen fe« 
stehenden quadratischen Nichtrest von p, so ist, wie schon obew 
bemerkt, (* — A" nach dem Modul p irreducibel, und wir erhalten 

') Siehe Bulletin of the New York math. Society. October 1693. I»! 
de' Berichte über den mathematischen C'ougress in Chicago finden lidl 
Notizen über diese Gruppen von Cole nnd Moore. 



§. 83. Congruenzkörper zweiten Grades. 321 

einen Congruenzkörper 2 ton Grades, wenn wir noch die Quadrat- 
wurzel 

(2) a = VN 
einfuhren. 

Es soll der Deutlichkeit wegen für die nächsten Betrach- 
tungen festgesetzt sein, dass die kleinen lateinischen Buchstaben- 
ganze rationale Zahlen (nach dem Modul p genommen), die wir 
lier auch reelle Zahlen nennen, die griechischen Buchstaben 
Zahlen des Körpers 6u tJ , bedeuten sollen. 

Dieser Körper 6 3 , p hat die für uns sehr wichtige Eigen- 
schaft, dass in ihm alle reellen Zahlen Quadrate sind. 

Wenn nämlich a quadratischer Rest von p ist, so können 

» 

mia = x 2 setzen, und wenn b quadratischer Nichtrest ist, so 
kann x* = bN befriedigt werden, also b = (xs- 1 )*. 

Eine Zahl von der Form as soll eine rein imaginäre 
Zahl heissen, zwei Zahlen der Form a-f-6a, a — be con- 
jngirt imaginäre Zahlen. Die Uebertragung dieser Be- 
zeichnungen aus der Theorie der gewöhnlichen complexen Zahlen 
auf die Zahlen des Körpers 6^ rechtfertigt sich durch die 
Cebereinstimmung der Rechenregeln und kann zu keinem Miss- 
terstandniss führen, da in diesen Betrachtungen von den gewöhn- 
lichen complexen Zahlen nicht die Rede ist. Da N nur nach 
dem Modul p bestimmt ist, so kann e im gewöhnlichen Sinne 
reell oder imaginär angenommen werden. Nun ist noch (nach 
Bi I, §. 145) 

lind also folgt aus (2): 

(3) sp = — s. 

Wendet man den binomischen Satz auf die p** Potenz des 
Binoms a = a -\-be an, und beachtet, dass alle Binomial- 
ftefficienten, mit Ausnahme des ersten und des letzten, durch p 
^heilbar, also hier = sind, dass ferner nach dem Fermat'- 
*chen Satze aP = a, V = b ist, so ergiebt sich nach (3) : 

(4) a = a -[- 6 £, otP = a — be, 
lud folglich durch Multiplication : 

5) «P + 1 = a 2 — Nb*, 

toraus folgt, dass o* + 1 immer eine reelle Zahl ist. 

Ist y eine primitive Wurzel des Körpers @a iP [§. 80, (8)], 
o ist y 1 * dann und nur dann reell, wenn r durch p -f- 1 

W«b«r, Algebra. IL 21 



I 



322 Zehnter Abschnitt. §. U. 

theilbar ist, und y + l ist eine primitive Wurzel der 
Primzahl p im gewöhnlichen Sinne. 

Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
dafür, dass eine Zahl « in %^ p reell ist, besteht in der 
Gleichung of = «. 

Jede reelle Zahl ist als (p + 1)» Potenz einer Zahl 
in @a >p darstellbar. 

Denn dass y r reell ist, wenn r durch p + 1 theilbar ist, 
folgt aus (5). Dass es aber nicht anders reell sein kann, ergiebt 
sich daraus, dass nach dem Fermat'achen Satze jede reelle wo 
Null verschiedene Zahl der Bedingung a*"* 1 = 1 genügt, da« 
also, wenn f reell ist, yü>-» = 1 sein muss, und es mu* 
daher r(p — 1) durch p a — 1 und folglich r durch p-\- 1 theilbar 
sein. Da ferner y(r+*i nur dann = 1 ist, wenn r durch p — l 
theilbar ist, so ist y + l primitive Wurzel von p. 

Auch der Begriff der Einheitswurzeln lässt sich auf 
die Zahlen des Körpers 6 SiJ , übertragen. 

Ist m ein Theiler von p i — 1, und 



so ist Q n = 1 , und es giebt keine niedrigere als die tu" Poteus 
von g, die gleich 1 wird. Daher nennen wir g eine primitive 
m w Einheitswurzel (in 6j iP ). Alle anderen m ,<n Einheitswuneln 
sind dann Potenzen n" von g, und unter diesen sind die und nur 
die primitiv, bei denen s relativ prim zu m ist. 

Dies folgt daraus, dass jede von Null verschiedene Zahl f J 
in der Form | = }"" darstellbar ist, und dass £™ = y m dann J 
und nur dann = 1 ist, wenn rm durch p a — 1 theilbar ist 

Jede von Null verschiedene Zahl in Q^,, ist eine Einheit* 
wurzel vom Grade p 1 — 1. 



Die reelle lineare Congruenzgruppe L r . 

Wir gehen nun, mit diesen Hiilfsmitteln ausgestattet, s 
Untersuchung der reellen Congruenzgruppe L p , die 
Substitutionen der Form 



■CS) 



§.84. Reelle Congruenzgruppe. 323 

besteht, worin a, 6, c, d reelle, nach dem Modul p genommene 
ganze Zahlen sind, die der Bedingung ad — bc = 1 genügen. 
Die Gruppe L p ist nach der früheren Bezeichnung mit E hp zu 
bezeichnen, und ihr Grad ist, wenn wir den Fall p = 2 aus- 
schliessen, 

P (p 2 - 1) 

— — — — — — —— — • 

2 

Sind .4, 17 irgend zwei Elemente aus einer Gruppe, so haben 
tir schon früher 

TT X ATJ = A! 

das durch U aus A transformirte Element genannt A' 2 , A' 3 , . . . 
and transformirt aus J. 2 , A s , . . . woraus folgt, dass alle aus 
einander durch Transformation gewonnenen Elemente denselben 
Grad haben. Entnehmen wir die Elemente A aus irgend einer 
Gruppe 6r, so bilden die transformirten Elemente eine mit G 
[ isomorphe Gruppe 

U-*GU= G\ 

die wir die transformirte Gruppe von G nennen. 

Es möge nun A irgend ein Element der Gruppe L p sein, 

und ü = ( ' i ein Element aus E 2 v . Wir wollen aus A durch 

Transformation mit U eine gewisse Normalform ableiten. 

Es soll zunächst versucht werden, A in die Normalform 

» s = (S 1-) 

& transformiren. Aus der Gleichung 

/o, b\ /A, p\ _ /A, p\ /<?, \ 

Vc, dy \v, 9/ _ \v, Qj \0, tf-7 
erhält man 

, (a-(J)A + 6v = 0, (a — tf" 1 ) /* + 6p = 0, 

W c ^ _|_ (d _ <,) v _ o, C [i + (d — ö- 1 ) 9 = 0, 

Und daraus ergiebt sich, dass 6 und 6~ l die Wurzeln der qua- 
dratischen Gleichung 

(a — tf ) (d — ö) — 6 c = 
Oder 
(8) 0* — <* (a + d) + 1 = 

lein müssen. Hat man tf und tf -1 hieraus bestimmt, so findet 
man aus (2) die Verhältnisse A : v und p : q. Die Grössen A, /a, v, p 
leibst sind dann noch so zu bestimmen, dass Ap — ftv = 1 wird. 

21* 



324 Zehnter Abschnitt. §. Ä 

Dies ist immer möglich, wenn die aus (2) bestimmten Werthe 
nicht die Gleichung Xq = pv erfüllen. Sind b und c beide = Q 
so hat A schon die Form (1). Ist aber eine der beiden Zahlen 
6, c, etwa 6, von Null verschieden, so ergiebt sich aus (2): 

v^ _ (a— 6) q _ (q — 0-*) 
W k—~b'p— b ' 

und es kann nur dann Iq = ftv oder v : X = q : p sein, wenn 

tf = <T _1 , also tf = + 1 ist, d. h. nach (3), wenn a-j-d = + 2 ist 

Die Gleichung (3) ist aber im Körper @3 tP immer lösbar, weil 

jede reelle Zahl in diesem Körper ein Quadrat ist, und ergiebt 

Wir kommen also zu dem ersten .Resultate: 

1. Eine Substitution A ist immer auf die Normal- 
form S transformirbar, wenn a + d nicht = + 2 
ist. 6 ist reell oder imaginär, je nachdem 
(a -|- d) 2 — 4 quadratischer Rest oder Nichtrest 
von p ist 

In dem noch übrigen Falle, wo a -f- d = + 2 ist, lässt sich 
die Normalform S nicht herstellen; dagegen können wir A in 
diesem Falle auf eine andere Normalform, nämlich 

bringen, in der t reell ist. 

Um dies zu beweisen, können wir zunächst 

(7) a + d = + 2 

annehmen, weil der andere Fall a + d = — 2 durch Aenderung 
aller Vorzeichen von a, 6, c, d auf diesen zurückgeführt wird. 
Aus (7) aber folgt noch 

(8) a — 1 = - (d — 1), (a — 1) (d — 1) = 6c 

Wenn also zunächst b oder c = ist, so ist a = d = ],] 
und wir haben entweder 

was schon die Normalform T hat, oder 



$. 84. Reelle Congruenzgruppe. 325 

MiiH-tSKirDGri)- 

so dass ( ' j A ( ' n ) die Normalform T hat. Sind aber 

b und e von Null verschieden, so erhalten wir aus (8) die Trans- 
formation 



/(d — 1)&-\ \ /a, b\ /(a — l)<r-», 0, \ 

V — 1, (a-l)rVlc,i/\ 1, (d-l)6~V 

-GrO- 

was die Form T hat Damit ist also bewiesen: 

2. Eine Substitution J., in der a-|-d = ± 2 ist, kann 
immer durch Transformation auf die Normal- 
form T gebracht werden. 

Hiernach lassen sich leicht die Grade der Elemente unserer 
Gruppe bestimmen. Wir haben dabei drei Fälle zu unterscheiden. 

L a -|- d = + 2. Jede Substitution dieser Art lässt sich 
in die Normalform T transformiren. Es ist aber für jeden 

Exponenten r 

r _ /l, rt\ 

~V0, 1/' 
und folglich ist der Grad dieser Substitution p, ausser 
wenn t = 0, also T die identische Substitution ist. 

Die Anzahl der Elemente dieser Art in der Gruppe L p ist 
leicht zu bestimmen. Nehmen wir zunächst c = 0, so können 
wir 6 beliebig wählen und für a, d erhalten wir aus a -f- d = + 2, 
ad = 1 die beiden Bestimmungen a = d = + 1. Dies giebt 
2 p Formen, die identische Substitution eingeschlossen. Nehmen 
wir sodann a und c beliebig, jedoch c von Null verschieden, was 
p(j> — 1) Möglichkeiten giebt, so folgt aus ad — bc = 1: 

b = — er 1 -\- adcr 1 , 

und zu jedem a kann d aus a -\- d = ± 2 auf zwei Arten bestimmt 
• werden. Die Gesammtzahl 2p 2 , die wir so erhalten, ist noch 
zu halbiren, weil hier die Substitutionen als zwei verschiedene 
auftreten, in denen alle Zeichen entgegengesetzt sind, und wir 
erhalten also p % Substitutionen dieser Art (die identische ein- 
geschlossen). 



II. (a -f- i/) ä — 4 quadratischer Rest von p. Eine solche 
Substitution liisst sich in die Normalform S transformiren 
mit reellem ff. 

Verstehen wir unter y eine primitive Wurzel des Körpers 
©j,,,, so ist 

Y~ = - 1, 
und wir können r so bestimmen, dass 

= /"*", «TT =( _ 1) , 
wird (§. 83). Nach (5) erhalten wir dann 

(9) a +d = y<r+t) _f. y-r lP + i> T 

und weil nach (5) die beiden Werthe ff, ff -1 , von der Reihen- 
folge abgesehen, durch a -j- d bestimmt sind, so werden zwei 
Werthe des Ausdrucks (9) nur dann einander gleich, wenn die 
entsprechenden Werthe von r, mit positivem oder negativem 
Zeichen genommen, nach dem Modul l / t (jt — 1) congruent sind. 
Mau erhält daher alle vou einander und von ± 2 verschiedenen 
Werthe dieses Ausdruckes, wenn man 

(10) r = 1, 3, • • ■, i=i 

setzt. Zwei Werthe r und 1 / 2 (p — 1) — r geben gleiche and 
entgegengesetzte Werthe von a -f- d. Da hier für jeden Expo- 



&•■ 



/ff*, \ 



- 



ist, so ist der Grad von S, und also auch von jeder Substitution 
der Il lon Art entweder '/s(P — 1) oder ein Theiler davon, je 
nachdem r relativ prim zu i/,(jj — 1) ist oder nicht. 

Um die Anzahl dieser Substitutionen zu bestimmen, ver- 
fahren wir wie oben. Ist zunächst c = 0, so ergiebt sich 

a = y±r(p + D t d = yT--(p + l) | 

und & kann p Werthe haben. Die Zahl r hat die Werthe (Ifl 
und also ergeben sich hiernach p(p — 3) Substitutionen. 14 
dann c von Null verschieden, so ist p(p — 1) die Anzahl del 
verschiedenen Annahmen über a, c. Ist a angenommen, so könni 
wir d ans (9) bestimmen und 

b = — c~ l -\- ade 1 



I 



Imaginäre Form der Gruppe Lp. 327 

i, woraus wir x Up(p — 1) (p — 3) Bestimmungen erhalten, 
mit den für c = gezählten zusammen 7«pCp — 3) (p-\-l). 
diese Zahl ist noch zu halbiren, so dass wir 

l /*P(P - 3) (p + 1) 
itutionen der II 1 * 1 Art erhalten. 

1 (a -j- d) a — 4 quadratischer Nichtrest von p. In diesem 
Falle ist tf nicht reell, aber mit seinem reciproken Werthe 
conjugirt Also ist nach §.83, (4) tf* = tf- 1 , und folglich 

tf 3 = ± 1. 
)arau8 ergiebt sich, dass der Grad einer solchen Substitu- 
ts (P + 1) 0< kr e i n Theiler dieser Zahl ist. 
n diesem dritten Falle setzen wir 

tf = yrü» — 1), a -j- ä = yd» — x > -j- y— r (P— J ) 

r= 1, 2, ..., V,(i> — 1). 
lier kann der Fall e = oder 6 = nicht vorkommen, 
mter jeder dieser Annahmen ad = 1 und mithin 

(a + d)» — 4 = (a — d) a 

atischer Rest wäre. Also nehmen wir für a und c, wie 
die p(p — 1) verschiedenen Werthsysteme, und erhalten 
11) für jedes von ihnen l l % (p — 1) Bestimmungen von b 
!; auch diese Zahl ist zu halbiren und es ergeben sich 

x Up{p — 1)(P- 1) 
itutionen der III* 11 Art. Die Gesammtzahl aller Substitu- 
i der Gruppe L p ist hiernach, wie es sein muss, 

{ + \Up (P - 3) (p + 1) + l l<P (P ~ l) 2 = Vi* ( P 2 - 1). 

§. 85. 
Imaginäre Form der Gruppe L p . 

>ie Substitutionen der beiden ersten Arten der Gruppe L p 
die Eigenschaft, dass die ihnen entsprechende Normalform 
r S gleichfalls in L p enthalten ist, und dass man sie in diese 
ilformen transformiren kann durch reelle Substitutionen, 
iurch Substitutionen, die selbst in L p vorkommen. Beides 
jei den Substitutionen der dritten Art nicht zu. 
[an kann aber, wie wir jetzt beweisen werden, die ganze 
e L p in eine andere Gruppe A p so transformiren, dass A p 



328 Zehnter Abschnitt §. 8& . 

ein mit L p isomorpher Theiler der Gruppe E^p ist, dass die i 
Normalformen der Substitutionen dritter Art in A 9 enthaltet i 
sind und dass jede Substitution dritter Art in A p in die Normal- 
form transformirt werden kann durch Substitutionen Ton Ap 
selbst. 

Um eine solche Transformation von L p zu finden, betrachten , 
wir die Substitution 



<» *- G: ^.) 



unter der Vorausssetzung, dass 6 und 6~ l conjugirt imaginär 
sind, und suchen die Substitution j 

m * = £ J) 

so zu bestimmen, dass 

(3) RS IT 1 

reell wird. Es ergiebt sich aber nach (1) und (2) 

und dies wird reell, wenn kp und qv rein imaginär, Xq und 
— \lv conjugirt imaginär sind. Diesen Bedingungen kann man 
auf mehrfache Art genügen: am einfachsten wohl, und zwar zu- 
gleich so, dass die Determinante R = 1 wird, wenn man. 

( 4) ij =(!;"! r " 1 ) 

setzt. Ist andererseits 



-a 



eine beliebige reelle Substitution aus L p , so ergiebt sich nach (4) 

wegen £ 2 = N: 

it 1 ar = 

wofür wir auch 

» A = (- m i) = (- 5* £,).««•+ w = i 

setzen, worin «, a' und 0, /3' zwei conjugirt imaginäre Paare] 



§. 85. Imaginäre Farm der Gruppe L p . 329 

sind, so dass nach §. 83, (4) od = cU>, ß' = ßp gesetzt werden 
kann. 

Wenn wir umgekehrt irgend eine Substitution A von der 
Form (6) nehmen, so ergiebt sich 

A = RAR- 1 = 

als eine reelle Substitution aus L p . 

Daraus geht hervor, dass, wenn A die ganze 
Gruppe L p durchläuft, die durch (5) und (6) bestimmte 
Substitution A eine mit L p isomorphe Gruppe durch- 
läuft, die wir mit A v bezeichnen. 

In der Gruppe A p ist die Normalform S für die Substitu- 
tionen dritter Art enthalten. 

Nehmen wir nun eine Substitution A von der dritten Art 
in der Gruppe A p an, so können wir sie, wie jetzt noch nach- 
gewiesen werden soll, durch Transformation mit einer Sub- 
stitution C, die selbst der Gruppe A p angehört, in die Normal- 
form transformiren. Denn setzen wir 

« A =(-kf')- "-(-£*:•)• 

(9) aa' + Nßß' = 1, kk' -f- N^' = 1, 

worin A, A' und ft, ft' conjugirte Paare sind, so erhalten die 
Gleichungen (3), (4), §. 84 die Form: 

(10) (<J — a) (6 — a')-\-Nßß' = 6* — 6 («-)-«')+ 1 = 0, 

und die Gleichung (10) muss, da A von der dritten Art sein 
soll, zwei zu einander reciproke, conjugirt imaginäre Wurzeln 
haben. 

Die Auflösung von (10) ergiebt 



d2) * = ^' ± y («_^y _ w , 

md es muss daher 



330 Zehnier Abschnitt. % BS. 

ein Nichtquadrat sein. 

Aus der zweiten Gleichung (11) folgt aber durch Uebergang 
zu den conjugirt imaginären Zahlen 



und dies ist nach (10) eine Folge der ersten Gleichung (11). 

Setzen wir also 

. fff»' = x(« — tf), 2v>=x'(«' — ö-'i. 

(U) A = *ft *' = *'# 

worin x, x' zwei conjugirt imaginäre Zahlen sind, so sind drt 
Gleichungen (11) befriedigt, und man kann dann xx' noch » 
bestimmen, dass AA'-f- N(ip,'= 1 wird. 

Hierfür findet sich nach (13) und (!)) die Bedingung 
N = xx' (2 — «ff-'— a'ö), 
was nach (12) in 

übergeht, woraus zu ersehen ist, dass der Factor von 2xx' t 
dann verschwinden kann, wenn « = k' = 1, also A die identii 
Substitution ist. 

Daraus ergiebt sich noch ein wichtiges Resultat. Bezeichne 
wir mit y eine primitive Wurzel des Körpers Ga, p , so könii 
wir für die zweite und dritte Art der Substitutionen 
Normalform die Ausdrücke annehmen (§. 84): 



s:-- 



■ V,0, y-tr + HrJ* °* ^ j,— Cj. — «r^* 



Ist nun A eine Substitution zweiter Art aus L p und A einsl 
Substitution dritter Art aus A p , so können wir die Substitutionen 1 

TJ aus L t , und V aus A p so bestimmen, ilaas 

a = üs'i ü~\ a = vs; v~\ 

Setzen wir also, dem Werth r = 1 entsprechend, 

A = Z7S a ö~\ A, = r& r-\ 
so ergiebt sich 

A = A\, A = a;, 

und A, kommt in L„, A, in A„ vor. 



Die Cyklen der Gruppe L p . 331 

; ferner B eine Substitution erster Art aus L p , so kann 
ieder, wenn man- 

U aus L p so bestimmen, dass 

B = ÜTIU' 1 = B[ 
Hieraus ergiebt sich der Satz: 

an kann in der Gruppe L p (oder A p ) die Sub- 
ionen der ersten, zweiten und dritten Art mit 

t) ~~ 1 t) —\"~ 1 
ziehung der Identität in Cyklen von j), ^ — , ^-5— 

2t It 

srn anordnen. 

rei solche Cyklen können ausser dem Einheitselemente 
lied gemein haben. 

es ist zunächst evident bei den Substitutionen der ersten 
eren Grad gleich p ist; denn bei diesen lässt sich der 
Cyklus durch Potenzirung aus einem beliebigen von der 
: verschiedenen Elemente ableiten. 

enn aber in zwei- Cyklen der zweiten oder dritten Art ein 

sames Element vorkommt, so kann die Gruppe so trans- 

werden, dass die beiden Cyklen die Gestalt bekommen: 

1, U8TT\ us 2 ü-\ ... 
1, s, S, . . ., 

S = ( ' j j die Normalform hat. 

; nun für irgend zwei von Null verschiedene Expo- 
rt 

S r = US 1 ü~\ 

äbt sich, wenn U = ( ) gesetzt wird, als Bedingung 
6 r k = + <j*A, 6 r ti = + <*~ e m 

Ö~ r V = + 6*V, <5~ r Q = + <S-*Q, 

;rall dasselbe Zeichen gelten muss. Daraus folgt, dass 
3r 

<T = + tf ', v = 0, ^ = 0, A q = 1 

ö r = ± 6-*, A = 0, q — 0, ilv = — 1 
iss, und dann ergiebt sich 



332 



Zehnter Abschnitt. 



£ 



USir 1 = S oder = &~\ 

und in beiden Fällen stimmen also die beiden Cyklen (12) vofrj 
ständig mit einander überein. 

Hiernach ergiebt sich aus den Zahlen am Schluss des §. 
für die Anzahl der Cyklen erster, zweiter und dritter Art: 

P + 1, ä ' 2 

Es ist zweckmässig, neben den Gruppen L p und Ap 
eine dritte Gruppe in E itP zu betrachten, die mit diesen isom 
ist, wenn sie sich auch nicht durch Transformation darauf zurück 
führen lässk 

Da N reell ist, so können wir nach. §. 83 eine Zahl y 
@a, p so bestimmen, dass N = vt> + 1 ist. Wir lassen nun 
Substitution 

A = (_ N ß*, J) 
aus A p eine Substitution B entsprechen, die so gebildet ist: 

( 15 ) B.= (_5^^), «» + ' + 2^ = 1. 

Setzen wir zwei Substitutionen B, Bi von der Form (15) 
zusammen, so erhalten wir 

BB _/ ■ «,' v ß\ ( «n v/SA 
1 \— v*ß*i « p / \— vp /Jf , af / 

/ *<H-Nßß\, v("ßi + ß"t)\. 
X—vPißPOi+aPß?), tt?c#—NßpßJ' 
darin sind 

atXi — NßßP, aPcq — NßPßL und aft-f-zSaf, /»»aj+af/Jj . 

zwei conjugirte Paare, und daher hat BBj auch die Form (15) 
und steht in derselben Beziehung zu AA n wie B zu A und Bi 
zu A x . 

Daraus geht hervor, dass die Gesammtheit der Snb- 
stitutionen B eine mit A p isomorphe Gruppe bildet, und 
diese Gruppe wollen wir mit r p bezeichnen. ] 

Setzen wir ß an Stelle von vß und bezeichnen mit «*, /P die 
zu a, ß conjugirten Grössen, so können wir die Substitutionen 
der Gruppe r p auch in der einfacheren Form annehmen: 

(16) B = (__J/f,), ua' + ßß'= 1. 



{.86. 



Divisoren der Gruppe L p 



333 



Um von einer dieser Substitutionen B zu der entsprechenden 
reellen Substitution A überzugehen, leitet man zunächst aus (16) 
die entsprechende Substitution A her: 

m A-UrT"). 

und bildet daraus nach (3) und (7): 

[(18) A = RAR~\ 

Trotz des Isomorphismus lässt sich die Gruppe JT P nicht in 

oder A v transformiren, wenigstens nicht durch Substitutionen, 

[deren Zahlen dem Körper 0% p angehören. Man müsste, um die 

tsformation auszuführen, in einen höheren Körper gehen, in 

alle Zahlen von @a iP Quadrate sind. 

§. 86. 

Divisoren der Gruppe L p , deren Grad durch p 

theilbar ist. 



Es ist ein Problem von grösstem Interesse, alle Divisoren 
Gruppe L p zu bestimmen. Von der Lösung dieses Problems 

igt es ab, in welcher Weise man die Gruppe L p durch Per- 
itationen von Ziffern darstellen kann, bei welchen algebraischen 

ichungen also diese Gruppen auftreten können (§. 6, 2.). 
Die cyklischen Gruppen, die in L p enthalten sind, haben 
in den vorangehenden Paragraphen schon betrachtet. Wir 

m gesehen, dass der Grad einer cyklischen Gruppe entweder 
ach p oder ein Theiler von Vi (P — 1) °der von Vi (P + I) 

und jeder Theiler dieser Zahlen tritt auch unter den Graden 

cyklischen Gruppen auf. Der Index eines cyklischen Theilers 

niemals kleiner sein als ViCP 2 — 1)» P(p-\~ 1)* p(P — !)• 
Wenn der Grad eines Theilers G von L p durch p theilbar 
so enthält er eine cyklische Gruppe vom Grade p, und wir 
ien nach §. 84 die Gruppe G so transformiren, dass diese 

:he. Gruppe aus den Substitutionen 

T=Q\y t = 0, 1,2, ...,i>— 1 

rht. Wenn nun G noch eine Substitution 



— ( a > b \ 

~ \C d) 



334 



Zehnter Absohnitt. 



}.8t 



enthält, in der c von Null verschieden ist, so kommt darin auch 

« GrrwGrn-crn 

vor. Daraus folgt weiter, dass auch 

/0, -cr*\ /l, A / 0, c-*\ _ / 1, Ö\ 
\c, / \0, 1/ V— c, / — \— c*<, 1/ 

und mithin jede Substitution 

ü= (u, l)' U = °' *' 2» •••»»-! 
vorkommt. Setzt man 17 für w = — 1 an Stelle von A in die 
Formel (1), so folgt, dass (? auch die Substitution f ' ft J ent- 
hält, die mit U zusammen ein System erzeugender Elemente 
von L p giebt (§. 81), so dass also G mit L p identisch ist &. 
folgt hieraus, dass 6r, wenn es nicht mit L p identisch sein 8ofl, { 
nur Substitutionen von der Form 



_/a, b \ 

~ Vo, o-V 



enthalten kann. Umgekehrt bilden alle diese Substitution»] 
eine Gruppe vom Grade x / 2 p (p — 1), also einen Theiler 
Index p -f- 1. 

Es sind darunter noch gewisse Theiler von grösserem 
enthalten, die man erhält, wenn man für a nicht alle W< 
nimmt, sondern alle Werthe von der Form o # , wenn $ 
Theiler von y 2 (p — 1) ist. Der Grad einer solchen Gruppe 

1 UP(P — 1):s. 

Fassen wir die Gruppe L p als Gruppe der linearen Si 

stitutionen 

_ al±b 



n = 



c| + d 



auf, und lassen darin |,ij nach §.81 die Zahlen ao,0, 1, . . . 9 j>— ] 
durchlaufen, so giebt uns G die Gruppe der ganzen lin< 

Substitutionen 

r\ = a 2 | -}" a ^ m 

Das sind die Substitutionen, die die Ziffer oo ungea: 
lassen, und also eine Permutationsgruppe von nur p 



J7. Divisoren der Gruppe Lp. 335 

fern. Es sind dies dieselben speciellen metacyklischen Gruppen, 
i wir im §. 188 des ersten Bandes betrachtet haben. 

Die verschiedenen ans G transformirten Gruppen lassen 
;end einen der übrigen p -|- 1 Indices ungeändert, und die 
sammtzahl dieser Gruppen ist p -\- l. 



§. 87. 

yisoren der Gruppe L p , deren Grad nicht durch p 

theilbar ist. 

Um die übrigen Theiler von L p zu finden, deren Grad nicht 
*ch p theilbar ist , können wir Schritt für Schritt denselben 
ig gehen, der uns im achten und neunten Abschnitte zu 

Bestimmung der Polyedergruppen geführt hat. Wir können 
; hier damit begnügen, die Hauptmomente der Ableitung 
rorzuheben, und wegen der Beweise auf die genannte Stelle 
verweisen, wo ganz dieselben Schlüsse zu machen waren. 

Es ist hierzu erforderlich, die Gruppe L p , wie im §. 81 aus 
inder gesetzt, als Gruppe linearer gebrochener Substitutionen 

;u fassen, und darin der Veränderlichen | alle p 2 -f- 1 Zahlen- 
bhe des Congruenzkörpers 6^, einschliesslich <x> , beizulegen. 
urch gewinnen wir den Vortheil, dass die Gleichung 

5 ~ c|+rf 

er zwei Wurzeln hat. Diese beiden Wurzeln sind von ein- 

3r verschieden, wenn wir Substitutionen p ten Grades aus- 

iessen, die ja in einer Gruppe, deren Grad nicht durch p 

bsiT ist, nicht vorkommen können, und die nach §. 84, 1., 2. 

einzigen sind, für welche die beiden Wurzeln von (2) zusammen- 

n. 

Diese beiden Wurzeln nennen wir die Pole von &. 

Wir untersuchen eine Gruppe 6r, deren Grad n nicht durch 

eilbar ist, die ein Theiler von L p sein soll. Wenn in G die 

Stationen 



aber keine anderen vorkommen, die denselben Pol a haben, » 
nennen wir a. einen v-zähligen Pol (§. 68). 

Ist nun S irgend eine Substitution der Gruppe C«,,, »(& 
halten wir, wenu wir L p durch S -1 transformiren , eine mit L, 
isomorphe Gruppe SL P S~~ S , und G geht durch dieselbe Trans- 
formation in eine isomcrphe Gruppe SGS -1 über. 

Obwohl die Substitutionen dieser letzteren Gruppe kein« 
reellen Coefticienten haben, so hat doch jede von ihnen zwei 
Pole, die man erhält, wenn man die Substitution S auf die Pol« 
von Q anwendet. Denn es ist, wenn « ein Pol von © ist: 

S®S- 1 S{a) = S@(a) = S(u). 

Wir haben also, "wie in §. 67, 2.: 

1. Die Gruppe G lässt sich so transformiren, dftss 
eine beliebige ihrer Substitutionen die Polen 
und co erhält, dass also diese Substitution 
multiplicativ wird, 

Wir führen nun der Reihe nach die Sätze des §■ 
soweit sie hier in Frage kommen, und werden nur da, 
veränderten Voraussetzungen es erfordern, eine Ausruht 
hinzufügen : 

2. Ist a ein v-zähliger Pol, so bilden die Substi 
tionen 1, ©,, @ 31 . , ., ©,_ t eine cyklische Grup] 
Ihre Substitutionen können alle (durch Trans- 
formation) in die Form gesetzt werden: 

(3) ®(£) = /""£, Ä =0, 1,. . ., v— 1 (§. 68, :;j. 

Hierin bedeutet y eine primitive Wurzel, also y ' 
primitive v lB Einheitswurzel des Congruenzkörpers (ij,, (?:. 9 

3. Beide Pole einer Substitution ® sind glei 
zählig (§. 68, 4). 

Ist Q die cyklische Gruppe w Mn Grades der Potenzen vt 
und n = vp, so erhält man 

G= Q+ 1>>Q-\ hUv-i<2, 

worin $ u . . ., ^„_! Substitutionen aus G sind, und 



. ein« - 

.eselbe 

Grupi* 



§.87. 



Divisoren der Gruppe Xp. 



337 



*airet 

2 b » tfrri 



5- r- 



da. 
Ais 



4 die Zahlen 

(4) a, ^ (a) = «!, ^ a (a) = «,,..., ^-lfa) = a u _! 
bilden ein System gleichzähliger conjugirter 
Pole der Gruppe O. 

Die sämmtlichen Pole der Gruppe G lassen sich also in 
Systeme conjugirter Pole zusammenfassen, und wir bekommen so 
die anbestimmte Gleichung 

(5) 2n— 2 = ft(v— 1) + ft'(v' — 1) + ft"(v" — 1) + . . .' 

= nh — ft — (i f — fi" — . . ., 

wenn h die Anzahl der Systeme conjugirter Pole ist, und von 
dieser Gleichung haben wir in §. 68 gesehen, dass sie nur eine 
beschränkte Anzahl von Lösungen zuläsfet. 

Um die diesen Lösungen entsprechenden Theiler der Con- 

graenzgruppen zu finden, können wir geradezu in den Formeln 

der Polyedergruppen, die im neunten Abschnitte aufgestellt sind, 

für die darin vorkommenden Einheitswurzeln die in §. 83 defi- 

nirten Einheitswurzeln des Körpers @2,p setzen, mit denen ja 

nach denselben Regeln gerechnet wird. Dabei können natürlich 

mir solche Einheitswurzeln vorkommen, deren Grad ein Theiler 

von p* — 1 ist. Es ist schliesslich bei jeder solchen Gruppe 

aoch zu untersuchen, ob ihre Substitutionen in L p oder in einer 

damit isomorphen Gruppe enthalten sind. Wir haben dann 

folgende Fälle von Lösungen der Gleichung (5), wobei y stets 

eine primitive Wurzel des Körpers 6a, p bedeutet (§. 71). 

L Cyklische Gruppen vom Grade n, ' ~ '~ 

Diese Gruppe ist reell, wenn w ein Theiler von 1 / 2 (p — 1) 
jtt, weil dann und nur dann die Exponenten 7 von y durch;;-)- 1 
theübar sind. Die Gruppe ist in r p und zugleich in A p (§. 85) 

enthalten, wenn y a * , y in conjugirt sind, wenn also 



9n 



'V oder ./»+«V 



y »n -—. y- *n oder y * n = 1 

st, d. h. wenn n ein Theiler von l / 2 (p + 1) ist. Dies stimmt 
nit §. 84 überein, wonach andere cyklische Gruppen, als solche, 

Waber, Algebra. IL 22 




338 Zehnter Abschnitt. §.87. 

deren Grad gleich p oder ein Theiler von Va (p — 1) oder 
VäCp + 1) ist, nicht vorkommen. 

In den übrigen Polyedergruppen ist h = 3, und wir haben: 

IL Diedergruppen vom Grade 2m, . ' #,""« 

Diese Gruppe ist in L p enthalten, wenn p = 1 (mod 2m), 
und in 1"^, wenn p = — 1 (mod 2 m), wie im Falle L 

Hier ist die in §. 71 gegebene zweite Darstellung der Dieder- 
gruppe gewählt, in der die Unterscheidung der Fälle etwas ein- 
facher wird, als bei der ersten. 

TTT rp , .., v = 2, 1/ = 3, v" = 3, n = 12 

III. Tetraedergruppe, ' , / „ 

° r (i = 6, ft== 4, fi" = 4. 

Um diese Gruppe darzustellen, bemerken wir, dass im 

Körper (S^p immer eine 8** Einheitswurzel y 8 existirt. Wir 
erhalten also nach §. 72 die drei erzeugenden Substitutionen 



z = 




1) Ist j) = 1 (mod 4), so ist y 4 reell, und y 8 ist reell 
oder rein imaginär, je nachdem j) = 1 oder = 5 (mod 8) ist 

Uebereinstimmend damit ist auch V — 2 reell oder rein imaginär 
(Bd. I, §. 145, 4., 6.), und folglich ist in diesen Fällen 6, i>, %] 
und mithin die ganze Tetraedergruppe reell. 

2) Ist aber p = 3 (mod 4), so sind y 4 , y 4 conjugirt 
imaginär, weil y * = 1 ist. 



- 87. Divisoren der Gruppe Lp. 339 

Ist p = 3 (mod 8), so ist V^2 reell und y"«" Cp+1) = _ l, 
pt— i pt—i 

•lao y 8 und — y 8 conjugirt imaginär, und istp = 7 (mod 8), 

, j p*-i p 8 -i 

ist V — 2 rein imaginär, y 8 und y 8 conjugirt imaginär, 

id folglich gehört ®, ^ 1? % in diesen Fällen zur Gruppe r p . Es 

pebt also in allen Fällen in der Gruppe L p eine Tetraeder- 

ippe. 

Für jp = 5 z. B. kann man, da — 2 quadratischer Nichtrest 

dd 5 ist, s =V — 2, und, da ±2 die beiden primitiven Wurzeln 
?*ön 5 sind, etwa 

y* = - 2, y3 = VIZ2, y = 1 -f V=2 
ttzen, dann folgt 

> — a_j).-(j;).*-(-ti> 

z== W,— 2/' ** === \a| 

1 daraus ergiebt sich die gesuchte Tetraedergruppe für p = 5 
72, (3)]: 

/l, 0\ / 2, 0\ / 0, 2\ / 0, 1\ 
VO, 1/' V 0,-2/' V 2, 0> V-l, 0/' 

•1, 1\ / 2, 2\ /-l, 1\ /— 2, 2\ 
U-2J' l 1,-lj' V 2, 2J' v 1,0' 

(i-l)' ( l] 2)' ( l]-2J' ( 2]l)- 
Diese Gruppe ist ein Theiler von L b vom Index 5. 

IV. Octaedergruppe. 

In der Octaedergruppe ist eine cyklische Gruppe vom Grade 4 
«halten, und eine solche Gruppe kann also nur existiren, 
du VaCP — *) °^ er Vi(P + 1) durch 4 theilbar, d. h. wenn 

= ± 1 ( mod 8 ) ist - 

Unter dieser Voraussetzung führen die Formeln §. 73 zur 
Jstellung einer Octaedergruppe. 

Die erzeugenden Substitutionen sind: 

22* 



Zehnter ALischn 






(8) / I -*=! 1 _ 

,_m r ■ w 



\n 7 ■ vT' 

Diese Gruppe ist reell, wenn p = 1 (mod 8) ist, und 
ginär, aber in r p enthalten, wenn p = — 1 (mod 8) ist 

Das erste Beispiel ist p = 7. Hier ist — 1 quadratisch« 
Nichtrest, und man kann also s = V — 1 = i setzen. Nehme 
wir y = 2 -\- i, y» = 2 — 3i, y« = 2 (1 -f- 0, y' = 2 — 
ya = 5, y" = *i 80 i at ? e i ne primitive Wurzel, da y, y», . . 
von einander verschieden sind und 5 reelle primitive Wurzel 
7 ist, 80 dass jede nicht verschwindende Zahl des Körpers $ 
in der Form 

5 u y* = ySp-t-» 

dargestellt werden kann, wenn 

fi = 0, 1, 2, 3, 4, 6, 
v = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
t wird. 
Es ist dann ferner V~% =3, und folglich sind die ^ul* 
stitutionen ®, i/>, £ 



/2(l + 0, \ /0, ,\ / 4(l-i), 4(l-,)\ 
W V 0, 2(1-0/*' Vi. oj' V— 4(1+0, 4(1+0/ 

Will man zur reellen Form übergehen, so muss man 
§. 85 verfahren. Man geht von den Substitutionen B zu den 
über, indem man N = — 1 — y s *, v = y* = 2 — 3 i setzt, 
erhält aus (0) für ©, i(>, % in der Gruppe ^: 

1 "' Vo, 2-2.;' \3 + 2i, J' \l+4i, 4 + 4lJ 






Hier ist ferner 



-ßfl 



zu setzen, woraus sich durch Bildung von AAR -1 dit 
zeugenden Substitutionen der Octai'dergruppe in reeller 1 
ergeben : 



{•87. Ikosaedergruppe. 341 

Nun ist es leicht, nach §. 73 die vollständige Gruppe zu 
Oden, was nicht nöthig ist, weiter auszuführen. 

Die Octaedergruppe für p = 7 ist ein Theiler von 
r vom Index 7. 

V. Ikosaedergruppe. 

In dem Falle j> == 5 ist L p selbst eine Ikosaedergruppe. Für 
dere Werthe von p kann nur dann eine Ikosaedergruppe in L p 
thalten sein, wennj>* — 1 durch 5 theilbar, also 2>=:tl(mod5) 

Dann erhalten wir aus §. 74 die erzeugenden Substitutionen 
er solchen Gruppe. 

Setzen wir zur Abkürzung 

\p»-i 



y io = fi 



haben wir q 2 für e in die Formeln des §. 74 einzusetzen, und 
alten 



> 



-($•.). -(_;j). 




[§. 74, (26)1. 



Ist p = 1 (mod 5), so ist q, und damit die ganze Gruppe 
jIL Ist aber p = — 1 (mod 5), so sind q und q- 1 conjugirt, 
d folglich ist die gefundene Gruppe in r p enthalten, und um 
i Ikosaedergruppe in L p zu erhalten, müssen wir erst nach 
85 transformiren. 

Für p = 11 erhalten wir unmittelbar eine reelle Ikosaeder- 
iippe vom Index 11. 

Wir können für q = y 12 eine beliebige primitive Wurzel 
■l 11, z. B. 8, wählen. Dann wird q— 1 = 7 und 



t 



.-(*o.-(-ti)— ß-i) 



342 Zehnter Abschnitt. 

Damit ist also festgestellt, welche Arten von Theilern : 
Gruppe L p vorkommen können, und es ist auch gezeigt, 
alle diese Theiler wirklich vorhanden sind. Die Frage, wi< 
für jeden Typus alle überhaupt möglichen Theiler erhält, \ 
wir hier bei Seite gelassen. Wir wollen darüber nur 
folgende Bemerkungen machen. 

Wenn man eine gefundene Gruppe G durch irgend 
Substitution der Gruppe L p transformirt, so erhält man 
conjugirten Theiler. Wenn man aber durch eine imaginäre 
stitution der Gruppe E p transformirt, so kann es vorkoi 
dass die transformirte Gruppe von G trotzdem reell wirc 
nicht mit G innerhalb L p conjugirt ist (wiewohl beide conj 
Theiler von E p sind). So erhält man allgemein aus 
Octaeder- und der Ikosaedergruppe eine zweite nicht conji 

wenn man mit ( ' —1 j transformirt. Die zweite Gruppe e 

sich nach der Formel: 

Um diese Verhältnisse an den Beispielen p = 5, 7, l: 
zuweisen, ist es zweckmässig, die oben gefundene Gruppe 
für p = 7 so zu transformiren, dass die Substitution %, di 
der dritten Ordnung ist, die Normalform S erhält. Man 
diese Transformation leicht, und erhält für diesen Fall: 

/ 1, 1\ /0, 2\ /- 1, - 1\ _ / 3, 0\ _ 

V— 2,—i As, iA 2, i; — V o, 5;- 



<»)(-i-!)a J)(-ri)-(-l:-J)- 



u-!)(t-DrrD-rrj)- 

woraus man durch Zusammensetzung 

(i6) *'®'z'=(_J; J) 

erhält. Wir können demnach in den drei Fällen folgend 
zeugende Substitutionen der Tetraeder-, Octaeder- und Ikosj 
gruppe [(6), (13), (15)] annehmen: 



§. 87." Ikosaedergruppe. 343 

* = 5 - (oj)' (-i,'J)' ( l-t)- 

*= 7 - Gö)' (-51)« (-l;"s)' 

Durch wiederholte Zusammensetzung, die sich auf sehr ver- 
schiedene Arten anordnen lässt, ergeben sich hieraus leicht die 
Tollständigen Gruppen: 

p = 5. 
/jf, O \ / 0, x\ / x y y \ x = 1, 2, 
VO, ar-V' \— *"», <V' V«?- 1 , 3^V y = ± 1, ± 2. 

p = l. 

/x^O \ / 0, x\ / #, — z* \ / a;^, z \ 

VO,ar-V' \— *-*,()/ \— 2ar- 1 *- 1 , 3ar-V' \-3x-\-2x- 1 er 1 )' 

x = 1, 2, 3; * = 1, 2, 4. 

(# quadratischer Rest von 7.) 

V = U. 

\0,ar-V , \—x-\0j' \3F- l *-\ 2ar"V' \— 2x~\ x- 1 *- 1 )' 

x = 1, 2, 3, 4, 5; * = 1, 3, 4, 5, 9. 

(# quadratischer Rest von J.1.) 

Die Anwendung der Transformation (14) führt bei p = 5 zu 
keiner neuen Gruppe; bei p = 7, 11 erhält man je eine andere 
Gruppe, die aus diesen hervorgeht, wenn man für z die Reihe 
der quadratischen Nichtreste statt der Reste setzt *). 



l ) Die Eigenschaft der Congruenzgruppen, einfach zu sein, hat schon 
Galois gekannt. Ebenso waren ihm die Theiler vom Index p für 
. p = 5, 7, 11 bekannt. Eingehender untersucht sind diese Gruppen von 
8er r et (Coura d'algebre superieure) und von C. Jordan (Traite des Sub- 
i «tatutions). Vergl. Weber, Elliptische Functionen etc., §. 84 f. Die voll- 
ständige Aufstellung aller Theiler rührt von Gi erster her (Math. Ann., 
TU. XVIÜ). Ausführliche Behandlung der Congruenzgruppen in „Klein - 
'ricke, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen", 
Jd. 1, Leipzig 1890. 



Constitution der Gruppe L 7 vom Grade 1 




Unter den hier gefundenen einfachen Gruppen ist die näc 
nach der Ikosaedergruppe, die hier als L % wiederkehrt, 
Gruppe £, vom Grade 168, die, wie wir gesehen haben, 
Octaedergruppe als Theiler enthält Da uns diese merkwüi 
Gruppe später noch mehrfach begegnen wird, so wollen wir h 
noch etwas näher auf ihren Bau eingehen. 

Im §. 73 ist die Octaedergruppe durch drei Elemente jc»a,8 ' 
in der Form dargestellt: 

(1) t<o a ®\ l = 0, 1, 2; p = 0, 1; v = 0, 1, 2, 3. 
Zwischen diesen Elementen bestehen die Relationen : 

(2) mx = z*a>, ©<o = a&\ ®x = x i(a ®\ ® 3 X = %v>®\ 
und diese Bedingungen haben wir, wenn noch die Grade 3, 2, 4 
der Elemente £,1», & hinzukommen, als ausreichend nachgewiesen, 
um das System (1) als Octaedergruppe zu charakterisiren. 

Aus (2) haben wir im §. 73 als Folgerungen die Formeln 
abgeleitet : 

a X = x'a, w% - = X m > ®*%* = X 3a ®> 

(3) ® X = x*v®\ ®' ! X = X*®\ ® 3 X = X>®< 

&to = a®\ © j (d = co© 1 , 0*0) = 0)0, ®x* = X®*, 
die wir später mehrfach benutzen werden. 

Im §. 87 haben wir die Octardergruppe auch als Congruen* 
gruppe nach dem Modul 7 dargestellt und haben in den dortigen 
Formeln (U); 

(4) X- 



=Q.°=«.°=Q 



. 



gefunden. Für das Folgende ist es aber, im Interesse einer ein-l 
fächeren Rechnung, zweckmässig, diese Gruppe noch zu trans- 1 
formiren. Es hat sich nämlich früher schon gezeigt, dm in 
der Gruppe L T Theiler vom Grade 21 enthalten sind, deren I 
Index = 8 ist, und die gerade für unseren Zweck von besonder«« j 
Wichtigkeit sind. Unter den conjugirten Theilern des Index 9 I 
ist aber der einfachste und für die Rechnung bequemste der an» ( 
allen Subatitutioneu 

(5) 



ttJ-.)t™ d7 > 






j. sa 



Gruppe vom Grade 168. 



345 



»estehende, und wir wollen die Transformation also so ein- 
lebten, dass % in dieser Form auftritt. Dies erreichen wir durch 

Transformation der Substitutionen (4) mittelst ( ' ], und 
ladurch ergiebt sich aus (4) 

» — Gt_& — (tzD-— (-iö- 

Wir stellen hiernach noch zur besseren Uebersicht die ganze 
jtaedergruppe in einer Tafel zusammen, deren sechs Zeilen die 
emente 0*, ©0*, z©*, %*©*> Z 2 ®*, Z 2 ©®* für X = 0, 1, 2, 3 
;halten: 



( 



o, 

1,-3 
3 



l)' (-2,' 2)* 



( »( 



0, 
2, 



«)• 



( j_p. (_rp- 

( %— 3)' (-1' 0)' 

/ 3, 3\ /— 3, 1\ 

V 0,-2;* V-3, 3j' 



( 



2, 
1, 



2 
2 



)•( 



-1, 
3, 



»)• 



l -D- ( 



2, —3 

2, 



?> 



— i, 
-2, 

0, 
3, 

1, 
1, 



l)' {-^-b}' 

?)■ ( t -!> 



2 
3 



)■( 



-3, 

2, 



2/' 



2, OY /-2, 1\ 
— 2, —3;' V 3, —2/' 



2, 
3, 



Um die ganze Gruppe L 7 zu erhalten, müssen wir noch ein 
ment 7*"* Grades hinzufügen, und dafür wählen wir 

Dann ist die gesammte Gruppe Lj so dargestellt: 

q = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 
%9%*gF®*, Jl = 0, 1, 2; ft = 0, 1; 

v = 0, 1, 2, 3. 

Dass alle diese Elemente (9) von einander verschieden sind, 
riebt sich einfach daraus, dass keine Potenz von r, deren 
ponent nicht durch 7 theilbar ist, in der Octaedergrupfre ent- 
Iten sein kann, weil die Octaedergruppe kein Element vom 
n Grade hat. 

Die in der Gruppe L 7 enthaltene Gruppe (5) vom 21 Bten Grade 
dann in der Form zQ% x dargestellt. 



346 Zehnter Abschnitt. §. 8a 

Um die Composition der Elemente (9) zu charakterisiren, 
genügt es offenbar, wenn für jedes q die Elemente 

(10) 0r<?, rar<?, %x9 

in der Form (9) dargestellt sind, weil dadurch, zusammen mit 
den Gompositionen in der Octaedergruppe, das symbolische Pro- 
duct je zweier Elemente der Form (9) wieder in der Form (9) 
dargestellt werden kann. 
Da nun 



au - = G; 



ist, so erhält man zunächst sehr einfach aus (6): 

(12) % X9=*9 % , 

und daraus: 

(13) %H9 = zH'%*, 

und man sieht leicht, dass diese sechs Relationen eine Folge 
von der einen sind: 

(14) Z r = r*jr. 

Die übrigen Compositionen (10) erhält man aber nur durch 
wirkliche Ausrechnung in den einzelnen Fällen, wobei die 
Tabelle (7) gute Dienste leistet. Man wendet sie in der Weise 
an, dass man für jeden Werth q die Elemente 

r?'cor?, r?'®rf 

bildet, und q' so bestimmt, dass sich diese Elemente in der Ta- 
belle finden, was immer nur auf eine Art möglich ist. 

Man findet so durch leichte, wenn auch etwas umständliche 
Rechnung 

cor = z*% 2 a@ 2 , ®r = r s co®, 

G)z* = r# 2 ® 8 , ®r 2 = x%a>0\ 

, . cot 3 = r 5 ^® 2 , ®r 3 = r 5 %co, 

^ ' or* = r*% 2 ®, ®r* = r«co©*, 

cor 5 = r 8 # 8 co®, ®r 5 = r 2 ® 8 , 

cot 6 = r^co® 3 , ®r 6 = r*%*© 2 . 

Diese zwölf Relationen lassen sich aber alle aus vieren von \ 
ihnen, die man auf mannigfaltige Art auswählen kann, als Folge- 
rungen ableiten. Man kann z. B. für diese vier fundamentalen 
Relationen die folgenden wählen: 

(16) cor = r 2 z 2 co®*, cor 3 = r 5 £@ 2 , cor* = r*;^®, 

®r = r 3 co®, 






§. 88. Gruppe vom Grade 168. 347 

aus denen mit Benutzung der Formeln (3), (12), (13) alle anderen 
leicht folgen, z. B.: 

©r 5 = %*%*&% = r*% a r 3 ra© = r 3 % 3 ©@, 

und so die übrigen. 

Wie wir früher gesehen haben, dass wir als erzeugende 
Elemente der Octaedergruppe % und 9 betrachten können, so 
können wir jetzt als Erzeugende der Gruppe L 7 die zwei Ele- 
mente <d, r ansehen, denn es ergiebt sich aus (15): 

(17) 03 = orcire, % = r a ®r3©. 

Fassen wir zusammen, so ergiebt sich folgendes Resultat: 

L Sind vier Elemente r, %, co, ® der Grade 7, 3, 2, 4 
gegeben, bei deren Zusammensetzung die Rela- 
tionen bestehen: 

(o% = x a o, ®g>=g>®\ @x = x 9 o@ 2 f 

&*%= x©@3, rar = r 2 z a ©@ a , rar 3 = t*%0*, 
est 4 = t 4 £ 2 0, 9% = r 3 ra®, %x = r 4 %, 

so bilden die 168 Elemente 

6 = r^ra"®*, 

wenn p, A, jt, v volle Restsysteme nach den Mo- 
duln 7, 3, 2, 4 durchlaufen, eine einfache Gruppe 
168 Bten Grades, und ra und r können als er- 
zeugende Elemente dieser Gruppe angesehen 
werden. 

Unter den Theilern dieser Gruppe sind hervorzuheben die 
Octaedergruppe 

vom Index 7, sodann die Elemente 

die nach den Relationen (12) und (13) eine Gruppe 21 Bten Grades, 
also einen Theiler der Gesammtgruppe vom Index 8 bilden; 
ferner die Gruppe 8 ten Grades ra^®\ Die gesammte Gruppe 
lässt sich auch in anderer Reihenfolge so darstellen: 

X^aP&'zQ, & u 0*x l zQ, tQco^& y x ? \ 



DRITTES BUCH. 



ANWENDUNGEN 



BEB 



GRUPPENTHEORIE. 



Elfter Abschnitt 

Allgemeine Theorie der metaoyklisolien 

Gleichungen. 



§. 89. 
Die Resolventen der Compositionsreihe. 

Aus den Sätzen der allgemeinen Gruppentheorie, die im 
raten Buche dieses Bandes behandelt sind, ergeben sich wichtige 
Igebraische Folgerungen, wenn man sie auf die Galois'sche 
ruppe einer Gleichung anwendet. 

Es wird jetzt ein beliebiger Körper Sl als Rationalitäts- 
ereich angenommen, f(x) = sei eine Gleichung in diesem 
lörper ohne mehrfache Wurzeln und P ihre Galois'sche Gruppe. 
►iese Gruppe P habe einen Normaltheiler Q. Wir bezeichnen 
ait n den Grad von P und mit j den Index (P, Q), so dass 
^ : j der Grad von Q ist. 

Wir haben im ersten Bande (§. 163) gesehen, dass die Gruppe 
um f(x) durch die Adjunction einer Wurzel einer irreduciblen 
üormalgleichung j*** Grades auf Q reducirt wird, und diese Hülfs- 
ßeichung j*** Grades haben wir als Partialresolvente be- 
nennet. 

Die Galois'sche Gruppe dieser Partialresolvente haben wir 
10 erhalten: Bedeutet ^ eine zu der Gruppe Q gehörige Func- 
tion der Wurzeln von /(#), und ist P in die Nebengruppen 

P = Q -f Qa + Qb + Qc + • • - 

rlegt, wo also a, 6, c, . . . gewisse Permutationen aus P sind, 
geht i? durch die ganze Nebengruppe Qa in ein und dieselbe 
ictdon 1> a über, und die Galois'sche Gruppe der Resolvente 
;ht aus den Substitutionen 



352 Elfter Abschnitt. g. * 

Setzt man zwei dieser Substitutionen zusammen, so ist zu 
beachten, dass 

ist, so dass man 

(*> *«) (V. *») = (*, *•») 
hat. Es setzen sich also diese Substitutionen ganz in derselben 
Weise zusammen, wie nach §. 4 dieses Bandes die Nebengruppen, 
und es ergiebt sich daraus: 

1. Die GaloiB'sche Gruppe der zu Q gehörigen 
Partialresolvente ist isomorph mit der zu § 
complementären Gruppe P/Q. 

Nehmen wir jetzt irgend eine Compositionsreihe von P 
der zugehörigen Indexreihe (§. 8): 
(1) P, P„ F» . . ., P,„ M 1 

Jii Jai ■ • -i Jm — ii 3p > 
so wird nach dem soeben Gesagten die Gruppe der Gleichi 
/= von P auf P, reducirt durch Adjunction einer Wum( 
einer Normalgleichung vom Grade j t . Dann wird sie auf P ( 
reducirt durch eine Wurzel einer Normalgleichung vom Grad* 
jt u. s. f., und endlich wird die Gleichung vollständig gelöst durcfc 
eine Wurzel einer Normalgleichung vom Grade j h . 

Auf dies Auflösungs verfahren fällt nun von dem Satze ül 
die Unveränderlichkeit der Indexreihe (§. 8, I.) ein neues Lic 

2. Um die Gleichung / = zu losen, hat mau nao 
einander je eine Wurzel einer Normalgleicbul 
der Grade ji,j%, . . ., j? zu adjungiren. Die Gm 
dieser Resolventen können zwar in der Reih* 
folge, nicht aber in der Gesammtheit abgeäude 
werden. 

Die Zahlen _;',, _;,, . . ., j M hängen also weit tiefer mit i 
Natur einer Gleichung oder allgemeiner mit den durch die Gll 
chung detinirten Körpern zusammen, als etwa der Grad 
Gleichung ; denn während der Grad durch Transformation t 
mannigfache Weise verändert werden kann, wenn man Function 
der Wurzeln als neue Unbekannte einfuhrt, bleiben die Zi 
Juisi ■ ■ •! 3* immer erhalten und sind als wahre Invariai 
des durch die Gleichung definirten Normalkörpers zu betrachti 



89. Kesolventen der Compositionsreihe. 353 

in diesen Invarianten gehört auch der Grad n der Gruppe P 
elbst, der durch die j so bestimmt ist : 

2) » =kh • • -Jr-iJv 

Denn nach der Bedeutung der Indices ist n : j x der Grad 
on P 1} n ijijt der Grad von Pj u. s. f., und da der letzte der 
hrade gleich 1 ist, so ergiebt sich die Formel (2). 

Im Allgemeinen ist in einer Compositionsreihe von P jedes 
lied Normaltheiler nur des nächst vorangehenden. Es können 
ber auch einzelne Glieder vorkommen, die auch noch von weiter 
)rangehenden Gliedern Normaltheiler sind. Besonders wichtig 
nd solche Glieder, die Normaltheiler von P selbst und also 
ich von allen ihnen vorangehenden Gliedern der Gompositions- 
ahe sind. Wir wollen sehen, welche algebraische Gonsequenzen 
is diesem Umstände zu ziehen sind. 

Es sei P v ein Glied der Reihe (1), welches zugleich Normal- 
eiler von P ist. Der Index von P y in Bezug auf P ist 
h ' • • i»» un d dies Product ist der Grad der Partialresolvente, 
irch die die Gruppe P auf P v reducirt wird, die wir mit 
tf) = bezeichnen wollen. Die Gruppe dieser Resolvente, die 
ae Normalgleichung ist, erhalten wir nach dem Satze 1. in der 
>nn P/P,. 

Wir können nun leicht eine Compositionsreihe für diese 
nippe nebst der zugehörigen Indexreihe finden, nämlich: 

) P/P„ PJP V , P 2 /P„ . . ., P*-i/P*, 1 

• • • • 

Denn nach dem Satze 1., §. 8 ist Pi/P* ein Normaltheiler 
n P/P 9 vom Index j u und es ist ein grösster Normaltheiler, 
sil nach 2., §. 8 über PJP V kein Normaltheiler von P/P v stehen 
inn, wenn über P x kein Normaltheiler von P steht. Und 
enso kann man in Bezug auf die folgenden Glieder von (3) 
liliessen. 

Daraus ziehen wir noch eine wichtige Folgerung. Wir haben 
tion im §. 9 gezeigt, dass sich, wenn Q irgend ein Normal- 
eiler von P ist, eine Compositionsreihe von P finden lässt, in 
r Q vorkommt. Ist nun R ein anderer Normaltheiler von P 
d zugleich ein Theiler von §, so kann man die Compositions- 
ihe von P so einrichten, dass Q und R darin vorkommen. 

Wir denken uns eine solche Compositionsreihe bestimmt: 

1 •** Vi V •> • • • i V» • • • i -**• 

Weber, Algebra. II. 23 



I 



354 Elfter Abschnitt. $. V, ' 

Nach (3) können wir die Compositiousreihen der beulen 
Gruppen P/Q und P/R daraus herleiten, die wir so andeuten 
wollen : 

(5) P/Q, Q'/Q, Q"iQ,.., 1 

(6) P/R, C/fl, Q'IR Q/R, ■ - • 

Nun ist der Index (P/Q, Q'/Q) gleich (P, Q'), alaa nj 
gleich (P/R, Q'/R) (§. 8, 1.), und Gleiches gilt von den folgen- 
den Gliedern. Wir sprechen also den Satz aus: 

3. Sind Q und R Normaltheiler von P, und ist B I 
ein Theiler von Q, so ist die Indexreihe von PQ 
ein Theil der Indesreihe von P/R, 

Sind die Indices _;',, j. ]t . . ., j, lauter Primzahlen, so ist ilie 
Lösung der Resolvente %(y) = auf die Lösung einer Kette ] 
von cyklischen Gleichungen der Grade j lt j t , . . ., j, reducirbar; i 
diese Resolvente ist also metaeyklisch in dem Sinne, wie »ii | 
diesen Begriff im §. 184 des ersten Randes festgestellt hali«,] 
wonach die metaeyklischen Gleichungen mit den sonst algebraisch I 
lösbar genannten identisch sind. 

Eine irreducible Gleichung f(x) = ist metaeyklisch, weaJ 
die Indexreihe ihrer Gruppe aus lauter Primzahlen besteht. Will 
haben an der erwähnten Stelle die Bedingungen für metacyklisehM 
Gleichungen von Primzahlgrad untersucht, und müssen jetzt ili-M I 
Betrachtungen für den allgemeinen Fall durchführen, dass i/m 
Grad der Gleichung beliebig zusammengesetzt ist. 

§.90. 
Metacykliaohe Gleichungen. 

Wenn f(x) = eine irreducible Gleichung wi*™ Grades 
P ihre Galois'sche Gruppe ist, so ist P als Permutationsgrupp 
der m Wurzeln von/(a:J transitiv. Eine Compositions- und Inilt 
reihe für P sei 

(I) P, P n P,, . . ., P M _,, 1 

ju jt, ■ --.Jn-ii 3» 

Es wird, da die letzte Gruppe 1 intransitiv ist, in der Cofl 
positionsreihe einmal eine intransitive Gruppe auftreten, und 
sei also P* die erste intransitive Gruppe der Reibe (1). D» 



§.90. Metacyklische Gleichungen. 355 

sind auch alle folgenden Gruppen Px+i> Pa+2, . • .* die ja alle 
Theiler von Px sind, intransitiv. 

Es ist nun an die Sätze 1., 2., 3. im §. 165 des ersten Bandes 
zu erinnern. Da Px ein Normal theiler von Px-\ ist, so folgt 
aas jenen Sätzen, dass Px-\ im primitiv ist, und wenn durch 
die nöthigen Adjunctionen die Gruppe von f(x) = auf Px-i 
reducirt ist, so wird durch weitere Adjunction einer Wurzel einer 
Normalgleichung vom Grade jx die Function f(x) in . mehrere 
irreducible Factoren 

(2) f{*) = M*)M*) -••/*{*) 

verfallen, die alle von gleichem Grade sind. 

Bezeichnen wir mit m den Grad von /(#), mit r den Grad 
r ou J \{%), so ist 

3) m = rs. 

Nach dem angeführten Satze 1. im §. 165, Bd. I haben die 
rleichungen f x = 0, / 2 = 0, ...,/, = alle dieselbe Gruppe, 
ie wir mit Q bezeichnen wollen. Sind «, «i, a*, . . ., a r — i die 
Purzeln von f x = 0, so erhalten wir die Gruppe Q, wenn wir 
ie Permutationen der a sammeln, die durch Px hervorgerufen 
erden. Es handelt sich zunächst um das Verhältniss der Grade 
i und q der beiden Gruppen Px und Q. 

Es kann mehrere verschiedene Permutationen in Px geben, 
e dasselbe Element in Q erzeugen, die also dieselbe Permu- 
iion der a enthalten. Sind «j, it 2 zwei verschiedene Permu- 
tionen aus P^, die unter den a dieselbe Permutation hervor- 
ifen, so wird a^arf 1 = jr 'eine Permutation sein, die die a in 
iihe lässt, und es ist also jr a = it % x . Wenn umgekehrt jt 
jend eine Permutation aus Px ist, die die Wurzeln a nicht 
nrmutirt, so wird die Permutation it 2 = n^n^ dieselbe Aende- 
ng unter den a bedingen, wie it v 

Es folgt hieraus, dass jede Permutation der a gleich oft 
irch die Permutationen von Px erzeugt wird, nämlich ebenso 
t, als die a durch Permutationen aus Px ungeändert bleiben, 
aeichnen wir diese Zahl mit p , so ist also 

) Px=PoQ, 

ler der Grad p ? der Gruppe P A ist ein Vielfaches des 
irades q von Q. 

23* 



356 Elfter Abschnitt: §. 96t 

Wir haben nun im §. 169 des ersten Bandes den Satz 
bewiesen, dass der Grad einer transitiven Permutationsgruppe 
immer durch die Anzahl der permutirten Ziffern theilbar ist. 
Hier ist aber f x (x) irreducibel und demnach die Gruppe 
transitiv. Es ist also q durch den Grad von fi(x), d. h. durch 
r theilbar, und folglich ist nach (4) auch p x durch r theilbar. 

Ebenso ist (nach Bd. I, §. 165) die Gruppe der Gleichung; 
durch die die Zerfällung (2) bewirkt wird, also die Gruppi 
Px—x/Pi, als transitive Permutationsgruppe von s Elementen 
darstellbar, und folglich ist j x durch s theilbar. 

Den Grad p x _ t von P x _ x erhalten wir nach der Bedeutung 
von j x in der Form: 

( 5 ) Px-i =JxPr 
Nun ist p x ein Vielfaches von r, j x ein Vielfaches voni, 

und rs = m gleich dem Grade von/(#). Demnach ist 

(6) p x _ t = hm 
ein Vielfaches von m. 

Aus der Bedeutung der j ergiebt sich aber [§. 89, (2)] 
p x _ x = JxJx+x - • • j i un d folglich haben wir die Relation 

( 7 ) iaii + ii2+« ••••*, = *«•. 
woraus sich eine sehr merkwürdige Folgerung ziehen lässt 

Angenommen, es werde die irreducible Function f(x) durck 
successive Adjunction von Wurzeln cyklischer Gleichungen redt- 
cibel, dann lässt sich nach §. 184, III., Bd. I die Compositum- 
reihe (1) so geordnet annehmen, dass die Indices j x , j f , . . . J a 
Primzahlen sind. Es ist also, da s ein Theiler von j x ist, j x = s, 
und j x ist nach (3) eine in m aufgehende Primzahl. 

Wenn nun in m ausser j x noch eine zweite Primzahl p «fc 
geht, so muss nach (7) einer der Factoren j v i i+1 , i i+a > • • • J p 
durch p theilbar sein, und sie können also gewiss nicht all« 
gleich j k sein. 

Daraus aber folgt nach dem Satze III., §. 9, dass man eine 
Compositionsreihe von P x : 

(8) P/, -Pa+1, . . ., Pu— i, 1 

so finden kann, dass unter den Gruppen P*, Pa+i, . . ., P«-t 
eine, etwa P v , ein Normaltheiler von P ist. 

Dieses P v ist aber als Theiler der intransitiven Gruppe Pi\ 
selbst intransitiv, und daher muss P selbst imprimitiv sda! 
(Bd. I, §. 165, 2.). 






{.90. Metacyklische Gleichungen. t 357 

Wir sprechen dies in folgender Form als Satz aus: 

1. Wenn im Grade einer irreduciblen Gleichung 
mehrere verschiedene Primzahlen aufgehen, so 
kann diese Gleichung nur dann durch successive 
Adjunction von Wurzeln cyklischer Gleichungen 
reducibel werden, wenn sie imprimitiv ist. 

Wir können über die Art und Weise der Reduction, ihre 
Möglichkeit vorausgesetzt, noch einiges Nähere anführen. Ist 
P, die erste Gruppe der Reihe (8), die Normaltheiler von P ist, 

ist nach dem eben angeführten Satze III., §. 9 bei richtiger 
Anordnung der Compositionsreihe : 

9 ) Ji = Jx +1 = • • • = j*+v 

Iso alle gleich derselben Primzahl, und die Resolvente % = 0, 
arch die die Gruppe P auf P, reducirt wird, hat folglich eine 
letacyklische Gruppe. 

Bezeichnen wir mit -4, P, . .., S die Systeme der Intransitivität 
er Gruppe P n deren Anzahl s sei, und setzen 
0) m = rs, 

) wird durch Adjunction einer Wurzel von % = die Function 
x) in s Factoren r ien Grades zerfallen. 

Die -4, P, . . ., S sind Systeme der Imprimitivität von P 
Id. I, §. 165, 2.). 

Bezeichnen wir mit Q die Gesammtheit aller Permutationen 

m P, die die einzelnen Systeme A, P, . . ., S an ihrer Stelle 

ssen und nur. die Elemente der Systeme unter sich vertauschen, 

ist Q, wie wir im §. 165 des ersten Bandes gesehen haben, 

1 Normaltheiler von P, und durch Adjunction der Wurzeln 
ier Hülfsgieichung s** 11 Grades <p(y) = zerfällt f(x) in s Fac- 
ren r 1 * 1 Grades, denen die einzelnen Systeme A, P, . . ., S als 
urzeln angehören: 

f( x ) = /(*!»«) /(*!»,*) /(*i!fr) • • • 
Da durch die Hülfsgieichung q)(y) = die Gruppe P auf Q 
lucirt wird, so ist die Gruppe von q>(y) = isomorph mit 
Q. Andererseits ist aber auch die intransitive Gruppe P„ ein 
eiler von Q, da die Systeme A, P, . . ., S durch P v nicht ver- 
loben werden, und wir können also den Satz §. 89, 3. auf die 
?i Gruppen P, Q, P v anwenden. Da die Indexreihe von P/P v 
:h Voraussetzung aus lauter Primzahlen besteht, so gilt nach 
em Satze dasselbe von P Q. Diese Gruppe ist metacyklisch, 



358 Elfter Abschnitt. |. « 

und also ist auch die Hülfsgleichung <p(i)') = metacykhseh. Es 
folgt also der Satz: 

2. Wenn eine irreducible Gleichung, in deren 
Grad mehr als eine Primzahl aufgeht, durch suc- 
cessive Adjunction von Radicalen in Factoren 
zerfällt, so wird eine Zerfällung in s Factoren 
r Wo Grades herbeigeführt durch Adjunction 
der Wurzeln einer metacy kuschen Gleichung 
s" n Grades. 

Dieser Satz enthält als speciellen Fall den von Abel her- 
rührenden Satz, daas eine irreducible Gleichung, deren Grad« 
nicht die Potenz einer Primzahl ist, nur dann durch Itadirale 
lösbar sein kann, wenn sie durch Adjunction der Wurzeln ein« 
losbaren Gleichung niedrigeren Grades, deren Grad ■■in Ifetu 
von m ist, in Factoren zerfällt 1 ). Damit ist die Frage nach der 
Auflösung einer Gleichung durch Radicale oder auch nur der 
Reduction einer Gleichung durch Radicale ausserordentlich ver- 
einfacht. Man kann in der That die fernere Untersuchung auf 
Gleichungen beschränken, dereji Grad eine Primzahl oder eine 
l'rimzahlpotenz ist. weil darauf alle anderen Fälle durch wider- 
holte Anwendung des Satzes 2. zurückgeführt sind. 

So gestattet z. B. die Frage nach allen durch Radicale lösbar«» 
irreduciblen Gleichungen 6*" Grades eine geradezu triviale Antwort: 

Um alle metaeyklischen Gleichungen 6 1 ™ Grades in 
irgend einem Körper & zu erhalten, adjungire mal 
dem Körper £1 eine Quadratwurzel und bilde in den^ 
erweiterten Körper alle cubischen Gleichungen, oder 
man adjungire die Wurzel einer cubischen Gleichung 
und bilde in dem erweiterten Körper alle iiuadratiscliea 
Gleichungen. 

Als Beispiel einer solchen Gleichung fuhren wir die v.m 
Hesse behandelte an, von der die Kreisschnitte einer nicht auf 
die Hauptaxen bezogenen Fläche 2 l ™ Grades abhängen. Ih* 
Problem wird durch Quadratwurzeln gelöst, wenn vorher durch di*1 
Lösung einer cubischen Gleichung die Hauptaxen bestimmt sind'X' 1 

') Abel gk-bt den Satz ohne Beweis in der Abhandlung ,Snr 1» nfe 
ftlgebr. dea equations". Oeuvres completes 1681, Bd. II, S. 217 V^l. nfl 
die Abhandlung von Galois in Liouville's Journal, Bd. 11. 

*) Hesse, „lieber die Auflösung derjenigen Gleichungen i." 
Urelle's Journal, Bd. 41 (1851). (Gesammelte Werk e, München 18(7, 5.M 



; §.91. Metacyklische Gleichungen. 359 

§. 91. 

Metacyklische Gleichungen, deren Grad eine Primzahl- 
potenz ist. 

Nach den letzten Sätzen concentrirt sich das Interesse 
weiterer Untersuchungen über metacyklische Gleichungen haupt- 
sachlich auf den Fall, dass der Grad der Gleichung eine Potenz 
f 1 einer Primzahl p ist Wir setzen die Gleichung als irreducibel 
Toraus und beschränken uns auf die Betrachtung primitiver 
Gleichungen; denn die Auflösung der imprimitiven reducirt 
«ich auf die successive Lösung zweier (oder mehrerer) primitiver 
Gleichungen, deren Grade gleichfalls Potenzen von p sind, und 
die, wenn die ursprüngliche Gleichung metaeyklisch ist, auch 
metaeyklisch sein müssen. 

Wir nehmen also jetzt an, es sei P die Gruppe einer irre- 

dnciblen primitiven metaeyklischen Gleichung f(x) = vom 

Grade ]P. Nach Bd. I, §. 165, 2. muss nicht nur P selbst, 

sondern alle seine Normaltheiler (mit Ausnahme der Einheits- 

; <ruppe) noch transitiv sein. Nun wenden wir den in §. 10 all- 

; gemein bewiesenen Satz IV. an, nach dem P einen Normaltheiler 

^mit lauter vertauschbaren Elementen besitzt, und wenn mehrere 

lolche Theiler vorhanden sind, so verstehen wir unter Q einen 

TOn ihnen, dessen Grad möglichst niedrig, aber noch grösser als 

1 ist Diese Gruppe Q ist also gleichfalls noch transitiv. Q kann 

Jber keinen von der Einheit verschiedenen echten Theiler mehr 

laben, der zugleich Normaltheiler von P ist, weil sonst dieser 

; m die Stelle von Q treten würde. 

Wenn durch die gehörigen Adjunctionen die Gruppe unserer 

Gleichung von P auf Q reducirt ist, so ist f(x) = in dem 

eiterten Rationalitätsbereiche zu einer AbeTschenGleichung 

orden, und da sie noch irreducibel geblieben ist, so ist nach 

I, §. 169 der Grad der Gleichung gleich dem Grade der 

ppe, d. h. Q ist eine Abel'sche Gruppe vom Grade p k . Die 

e aller Elemente von Q sind also Potenzen von p. Wir 

en nachweisen, dass ausser dem Einheitselemente in ^ nur 

lemente vom Grade p selbst vorkommen. 

Nehmen wir an, es sei p x der höchste Grad, der unter den 
Bmenten von Q vorkommt, und es sei A > 1. Dann bilden 
e Elemente von Q, deren Grad ein Theiler von j> / — 1 ist, einen 



360 Elfter Abschnitt. §.91 

Theiler ($ von Q, der sowohl von Q selbst als von der Einheit* 
gruppe verschieden ist. Dieser Theiler Q[ muss aber ein Normal- 
theiler von P sein, weil, wenn % in Q, y in P enthalten ist> 
y- 1 ity, was vom selben Grade wie % ist, gleichfalls in () ent- 
halten sein muss, und also zu Qf gehört, wenn % zu Q gehört 
Da nun aber, wie oben bemerkt, Q keinen echten Theiler habet 
kann, der grösser als die Einheitsgruppe und zugleich Normal- 
theiler von P ist, so muss k = 1 sein. 

§. 92. 
Darstellung der Abel'schen Gruppe Q. 

Die Betrachtungen des vorigen Paragraphen haben gezeigt, 
dass in einer metacyklischen Gruppe P, die als Galois'scbft 
Gruppe einer irreduciblen primitiven Gleichung f(x) = des 
Grades n = pi* auftreten kann, eine Abel'sche Gruppe Q als 
Normaltheiler enthalten sein muss, deren Grad jp* ist, und die 
ausser dem Einheitselemente nur Elemente vom Grade p enthalt ' 

Nach §.11 lässt sich diese Gruppe Q durch eine Basis dar* 
stellen, die aus h Elementen A l9 A^ . . ., A* vom Grade p be- 
steht, so dass jedes Element von Q die Form erhält: 

(1) A? A? . . . Ai\ 

und hierin durchlaufen e u #,, . . ., z* von einander unabhängig 
je ein volles Restsystem nach dem Modul p. Wir gehen nun, 
um die entsprechende Permutationsgruppe zu finden, von einer 
beliebigen Wurzel x von f(x) aus, bezeichnen die Wurzel, in 
die x durch die Permutation (1) übergeht, mit 

(2) fo, z 2 , . . ., Zk], 

9 

und setzen fest, dass dies Zeichen seine Bedeutung nicht ändern 
soll, wenn die Zahlen z x% # 2 , . . ., z k beliebig um Vielfache von j 
verändert werden. Der Wurzel #, von der wir ausgingen, kommi 
dann das Zeichen [0, 0, . . ., 0] zu, und durch das Zeichen (3] 
ist jede Wurzel von f(x) ein und nur einmal dargestellt. 

Wenn x durch eine Permutation A! in x 9 und xf durch Jl 
in x" übergeht, so geht x durch die Permutation A f A" in at 
über. Daraus folgt aber, dass [z 1% z 2 > . . ., **] durch die Per« 
mutation 

(3) A = AI 1 AI" ... Äp 



j. 93. Analytische Darstellung der Permutationen. 361 

n [*i H~ *ii ** -f~ a 2> • • o #* 4" a *l übergeht. Demnach können 
fir die Permutation A auch so bezeichnen: 

'j\ /#1> ^2> • • •> #k \ 

and man erhält die ganze Gruppe Q, wenn man a l9 a a , . . ., a k 
je ein volles Restsystem nach dem Modul p durchlaufen lässt. 

Die Gruppe Q, deren Bildungs weise jetzt festgestellt ist, 
mnss ein Normal theiler von P sein, und daraus lässt sich eine 
allgemeine Form herleiten, in der alle Permutationen von P 
enthalten sein müssen. 

Dazu bedürfen wir eines Hülfssatzes über die analytische 
Darstellung der Permutationen, den wir zunächst ableiten. 



§. 93. 
Analytische Darstellung der Permutationen. 

Hülfssatz. Wenn bei irgend einer Permuta- 
tion der Grössen (2), §. 92, z x in z[, e % in *J, . . ., z k 
in z' k übergeht, so kann man immer 

z\ = <p x fo, Z 2 , . . ., Z k ) 

(1) * s ' l i (, ; , ' l, ; , ;, lk ! ( moA p) 

setzen, worin g? n <p 2 , . . ., <p fc ganze rationale 
Functionen der Variablen z x , * 2 , • • -i ^k m it ganz- 
zahligen Coefficienten bedeuten, die in Bezug auf 
keine der Variablen den Grad p — 1 übersteigen. 

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des entsprechenden 
tzes im §. 188 des ersten Bandes. Dort ist der Satz für k=\ 
wiesen. Dem allgemeinen Beweise, der auf der vollständigen 
duction beruht, schicken wir folgende Erwägungen voraus. 

Da wir in (1) für die Argumente z* alle Combinationen von 
Zahlen nach dem Modul p zu setzen haben, so ergeben sich 
3 (1) p* solcher Gleichungssysteme. Jede der Functionen <p 
t jp* unbestimmte Coefficienten, und wenn also die z k gegeben 
d, so erhalten wir &p* lineare Congruenzen für ebenso viele 
bekannte Zahlen, nämlich die Coefficienten der <p fc . Es ist nur 



362 Elfter Abschnitt. §. & 

noch nachzuweisen, dass diese Gongruenzen von einander unab- 
hängig sind. Hierbei können wir jede der Functionen <p für sich 
betrachten. Setzen wir also 

(2) s' = (p fa, * 2 , . . ., z k ) (mod p), 

so haben wir, wenn wir für jede Combination der ** den zu- 
gehörigen Werth von z' kennen, jfi lineare (Kongruenzen zur 
Bestimmung der Coefficienten von <p. Es ist zu beweisen, das 
diese Gongruenzen immer lösbar sind, wobei wir voraussetzen 
können, dass diese Möglichkeit für Functionen von weniger 
Variablen schon erwiesen sei. 

Wenn wir nun q> nach Potenzen der Variablen z x ordnen, 
so erhalten wir 

(3) z' = KZ!*-* + Xi^r 2 H h &-i ( mod *>)> 

worin die Coefficienten % , %u • • •> Xp— 1 ebensolche Function« 
sind wie <p, nur dass sie von einer Variablen weniger abhänge*. 

Halten wir irgend eine der Combinationen der z % , . . ., %. 
fest, und setzen e x = 0, 1, . . ., p — 1, so erhalten wir aus (5) 
ein System von p linearen Congruenzen, dessen Determinante 
nicht durch p theilbar ist, und wir können daraus, wie im §. 188 
des ersten Bandes, die Werthe von % 0l jji» . . ., % p —i für diese 
Combination der * t , . . ., ** bestimmen, und daher sind für jede 
Combination der Variablen die Werthe der Functionen # (nväi 
dem Modul p) bekannt. Der Voraussetzung nach- können wir 
aber die Coefficienten der Functionen #, die ja nur von & — 1 
Variablen abhängen, daraus bestimmen, und damit ist der Hülfe- 
satz bewiesen. 

Hiernach können wir jede Permutation der Wurzeln [fr 11 .. ., * k ] 
so darstellen: 

oder in noch abgekürzterer Schreibweise: 



(6) U) 



In dem Symbol (4) können wir, ohne seine Bedeutung zu 
ändern, z x , £ 2 , . . . durch irgend eine andere Combination *i, z' h ... 
ersetzen, und wenn also nach dem Hülfssatze 

Zi = 7\)i (Z„ Z 2 , . . .) 



j. 94. Darstellung der metacyklischen Gruppe. 363 

ist, so können wir (4) oder (5) auch so darstellen : 

rgx (*i ( *i, *i, • • Oi *a (*ll ^2, • • Oi • • A _ (* (*) V 

Dies fuhrt zur Zusammensetzung der Permutationen: 

(7) Um) Um) = U[*m])" 

§. 94. 
Darstellung der metacyklischen Gruppe P. 

Nun soll die Gruppe Q ein Normaltheiler der Gruppe P 
sein, d. h. wenn A eine Permutation aus Q, B eine Permutation 
ins P ist, so soll sich eine zweite Permutation A' aus Q so 
bestimmen lassen, dass 
[1) AB = BAI 

st Setzen wir in der abgekürzten Bezeichnung des vorigen 
Paragraphen 

A = C+«)' A ' = C+«')' B = C (#))• 

wird 

^ = C(#+«))' BA> = W(#)+«')' 

der 

9>(* + «) = ?W + «' 
Diese Congruenz aber ist nur ein abgekürztes Symbol für 
ts System der Congruenzen nach dem Modul p: 

9>i (*i + «n *r+ «,, - . = Vi (*n *ai • • + a 'i 
) <p 2 fo + «!, * 2 + «2, . . .) = <p 2 (* n # 2 , . . + «i 

Hierin kann das System der Zahlen a x , a 2 , ... nach dem 

>dul p beliebig gegeben sein, oi, «i, . . . sind dadurch bestimmt. 

Setzen wir in der ersten der Formeln (2) je eine der Zahlen 

Oä, . . . gleich 1, die übrigen gleich 0, so mag sich ergeben: 

9>i (#i + 1> *a • • = Vi (*n *«i • • + a M 

1 <Pi (*i> *2 + *i • • — <Pl (*1> ^2i • • + a i,a 

Wenn man die erste dieser Formeln c^mal, die zweite a a mal 
:h einander anwendet u. s. f., so folgt: 



364 



Elfter Abschnitt 



§.9L 



<Pi Ol + «u #2> • • •) = 9>i On *«i • • •) + «l «1,1 

9>i Oi> *j + «a, . . = 9>i (*n #2, • • •) + «i «i,i 

und wenn man in der ersten *, in * 2 + c^ verwandelt, und d» 
zweite anwendet und so fortfährt, so ergiebt sich schliesslich: 

(4) 9>i Oi + ai, * a + «a, . . .) = 

<Pi (*i, *2i • • + «1 «i,i + «2 «1,2 H- • • • 

Hierin setzen wir nun ^, # a , • • • = und schreiben dann 
an Stelle von c^, Og, ... wieder £ t , # s , ... Ferner bezeichne! 
wir <?! (0, 0, . . .) durch a x und erhalten so aus (4): 

(5) ?>1 Ol, *a, • • .) = Ol + *i «1,1 + ** «1,2 H , 

d. h. <p x muss eine lineare Function sein. 

Genau auf dieselbe Weise verfahren wir mit sämmtliehaij 
Congruenzen (2) und gelangen so zu folgendem Endresultate: 

I. Alle Permutationen der Galois'schen Gruppe t] 
einer primitiven irreduciblen metacyklischei 
Gleichung vom Grade ]P 



z'i, 4, • • ., ZkJ 



sind von der Form 

z\ = «!,! z v -f- 0^,2 #2 + 
#2 = «2,1*1 -f-«2,2#2-f- 



+ «l,k^fc + «l 
+ «2,*** + «2 



(6) ~" JM ~ 1 ' ~ a ' :i ~ a ' ■ ~*' Ä ~* ' ~ 1 (modi>> 

Das System der Congruenzen (6) stellt immer dann und nur ] 
dann eine Permutation dar, wenn die Determinante 

(7) 2 ± «i,i «2,2 • • • «*,* 

nicht durch p theilbar ist, weil dann und nur dann auch ntt- ; 
gekehrt zu jedem Systeme der z' ein bestimmtes System der 
(nach dem Modul p) gehört. 

Der Inbegriff aller Permutationen (6) ist in der That em* 
Gruppe, die die allgemeine lineare Congruenzgruppt 
heisst, und in ihr müssen die metacyklischen Gruppen P ehtr 
halten sein. Es sind aber nicht alle linearen Congruenzgruppen 
auch umgekehrt metacyklisch, und diese daraus auszusondern 



$.91 Lineare Congruenzgruppe. 365 

kt noch ein weiteres Problem, das bis jetzt nur in besonderen 
fallen gelöst ist 1 ). 

um aber das Problem wenigstens genauer zu formuliren 
fugen wir noch folgende Betrachtungen bei. 

Wir bezeichnen die vollständige lineare Congruenzgruppe 
(6) mit 22, und sondern daraus die darin enthaltene Gruppe der 
linearen homogenen Substitutionen 

Z\ = «!,! Z x -(- «1,2 #» + * ' ' + *1,*** 
^ «& = CC 2yl Z 1 + «2,2*2 4 h «M** ( mod ß 

Z\ = <*%\Z\ + a^2^ 2 4" * ' * 4~ «M** 

ait nicht verschwindender Determinante ab, die lineare 
lomogene Congruenzgruppe genannt, die wir mit S be- 
liehnen wollen. Ferner ist in (6) die fcfach cyklische Gruppe Q 
tnthalten, die aus den Substitutionen 

9) *i = z l 4- «!, $f % = z 9 + Oj, . . ., *l = * k 4- oc k 

gesteht. 

Bedeutet nun o* ein Element aus S und y ein Element 
ins Q, so ergiebt sich aus der Compositionsregel §. 93, (7) ohne 
Schwierigkeit, dass sich jede Substitution % aus der Gruppe R 
inf eine und nur auf eine Weise in jeder der beiden Formen 

[10) % = yö = 6y' 

darstellen lässt, worin, wenn 0, y durch (8), (9) bestimmt sind, 
y r die Substitution 

(11) *i = z x 4- «1, z' 2 = z % 4- ai, . . ., *; = z* 4- «i 

bedeutet, wenn die aj aus den «,- durch die Substitution ab- 
geleitet sind. 

Als Permutationsgruppe unter den Grössen [s n # 2 , . . ., #*] 
[§. 92, (2)] betrachtet, ist die Gruppe S intransitiv; denn sie 
lässt das eine Element [0, 0, . . ., 0] ungeändert. Dagegen sind 
die übrigen ]P — 1 Elemente [^, £ 2 , . . ., z k ] durch S transitiv 
verbunden. Um dies nachzuweisen, genügt es, zu zeigen, dass 
eines dieser Elemente, etwa [1, 0, . . ., 0], durch Substitutionen 
ans S in jedes andere, [a n a 2 , .. ., a fc ], in dem nicht alle a durch 
ji tbeilbar sind, übergeführt werden kann. Dies aber ergiebt 
[ach aus (8), wenn man die Coefficienten der ersten Verticalreihe, 



*) C. Jordan, Liouville's Journ. de Mathem. Ser. (2), Bd. XIII. 



366 Elfter Abschnitt. §. si. 

#i,ii «i,ii ■ • -. a t,n gleich der gegebenen «,, Kj, . . ., « k setzt, and 
dann die übrigen Coefficienten a n , irgendwie so annimmt, dass 
die Determinante (7) nicht durch p theilbar wird. Um dies zu 
erreichen, kann man z. B., wenn «j nicht durch p theilbar ist, 
die Elemente der Diagonalreihe durch p untheilbar, und alle 
Elemente über der Diagonalreihe gleich Null annehmen. 

Hieraus ergiebt sich, dass man, wenn y, y' irgend zwei rai 
der Einheit verschiedene Elemente der Gruppe Q sind, ein Element 
aus £ immer so bestimmen kann, dass 

(12) -/ = ö-Jj-cf 
wird, oder der Satz (§. 32) 

II. Alle von der Einheit verschiedenen Elenn 
der Gruppe Q sind innerhalb R mit einand 
conjugirt. 
Q ist ein Normalthciler von R; denn ist y t ein beliebigi 
Element aus Q, so ist bei mehrmaliger Anwendung von (10); 

tfyyj = y'y\o = y'y'i<Sy— l y = y' y\y'~ 1 y, 
also, wenn 

<iy = ir, /yl/-' — y'l 
gesetzt wird, 

jej", = y"n, 
und folglich 

(13) «-• Qn = Q. 

Wenn nun % irgend einen TUeiler Rj von 11 durchlauft, der 
seinerseits die Gruppe Q enthält, so ist Q Normalthciler von B^ 
und die in (10) vorkommende Substitution ö muss einen Theiler 
S l von S durchlaufen. Man kann setzen: 
R,= S,Q^ QS U 
und da die in der Form oy oder yO enthaltenen Substitutionen 
alle von einander verschieden sind, so ist der Grad von fi, gleich 
dem Producte der Grade von S, und Q. Ist R, ein Normal* 
theiler von ü„ der gleichfalls noch Q enthält, so ist ebenso 

R 2 = S t Q, 
und S 3 ist ein Normaltheiler von S L . 

Denn nach Voraussetzung ist für jedes Element jt, aus H 

also nach (13): 



der 
ige* I 






§. 94. Metacyklieche Gruppen. 367 

. *pi S 2 Qn, = xr*S % x l Q = S 2 Q, 

und folglich ist nj- 1 ^^ ein Theil von S 2 Q. 

Setzt man hierin für % x irgend ein Element ö 1 aus S n so 
folgt, dass auch tf- 1 S* 6 1 ein Theil von S 2 Q ist, und weil Q 
ausser dem Einheitselement kein Element mit S gemein hat, 
so ist 

tf" 1 S261 = S 2l 

A h. S, ist Normaltheiler von 5^. 

Umgekehrt ist, wenn S a ein Normaltheiler von fi»! ist, S 2 Q 
Normaltheiler von S t Q. Denn wenn S»,^ = ö 1 S 2 ist, so folgt 

und daraus: 

Y«iS 2 Q = yS 2 Qö 1 = S 2 y f Qö x = S.QÖ, 
= S 2 Qy~*y6 l = S 2 Qyö x 

weil y* Q = Qy- 1 = Q ist), also, wenn yö x = it x ist: 
. z. b. w. Hieraus aber ergiebt sich Folgendes: 

* 

III. Ist P die Galois'sche Gruppe einer primitiven 
irreduciblen metacyklischen Gleichung vom 
Grade f>*, so ist P in der Form darstellbar: 

P=TQ, 

worin 1 eine in der Congruenzgruppe S ent- 
haltene metacyklische Gruppe ist. 

Denn eine solche Gruppe muss zunächst nach §. 91 die 
anze Gruppe Q enthalten. 

Richten wir ihre Compositionsreihe so ein, dass Q darin 
orkommt (§. 9, IL), so muss der dem Q vorangehende Theil der 
ompositionsreihe von der Form 

14) TQ,S 1 Q,S 2 Q,... 

Bin, und hieraus ergiebt sich nach dem eben Bewiesenen, dass 

15) T, S ly &>> . . ., 1 

ine Compositionsreihe von T ist, deren Indexreihe dieselbe ist 
ie die der Reihe (14), die nach Voraussetzung aus lauter Prim- 
ihlen besteht. 



368 Elfter Abschnitt. 

Die Aufgabe der Auffindung aller dieser metacykliscl -ü 
Gleichungen ist also darauf zurückgeführt, alle raetacyklischen 
Tlieiler der homogenen Congruenzgruppe S zu finden. 

Nehmen wir als Beispiel den Fall p = 3, k = 2, fragen 
also nach den metacy krischen Gleichungen !)"" Grades, so handelt 
eB sich nach diesem Satze um die Gruppe S der nach dem 
Modul 3 genommenen linearen Substitutionen 

<« —CO- 

mit denen wir uns, unter etwas anderem Gesichtspunkte, im 
§. 82 (S. 319) beschäftigt haben. 

Wir haben dort zunächst einen Theiler E von S betrachtet 
der aus allen Substitutionen ö mit der Bedingung ad — 4c = I 
(mod 3) besteht, und haben ausserdem zwei Substitutionen 

zu einem einzigen Elemente zusammengefasst. Die so i 
sirte Gruppe war vom Grade 12 und hatte einen Kormaltr 
vom Index 3: 

«=(^.(_t;)- (-!:!)• C:-!)- 

aus dem E so zusammengesetzt war: 

E=G+(!: o )G + ( _; ; o )G . 

In der Gruppe S gelten aber die beiden Substitutionen ( 
als verschieden, und ausserdem müssen noch die Substitutionen fl 
deren Determinante ad — bc = — 1 (mod 3) ist, dazu , 
nommen werden, wodurch sich der Grad der Gruppe auf i 
erhöht. G erweitert sich durch die Aeiiderung der Vor. 
aller Elemente zu einer Gruppe 8" n Grades und E zu einer! 
Gruppe 24**™ Grades, von der das erweiterte G Normall .heilirl 
ist. Hier ist nun die ganze Gruppe S metacyklisch. wie lunn 
aus folgender Zusammensetzung sieht, in der die erweitert*! 
Gruppe G durch S t und die erweiterte Gruppe E durch S, b*J 
zeichnet ist: 



*-a-fS-3 






►5. Lineare CoDgruenzgruppe für den Modul 2. 369 

Sj = S 3 -[- (_ j' j S 8 , 

s = * + CJ: i) *• 

Wir haben hiernach die Compositions- und Indexreihe von S: 

S, S x , S 8 , S 3 , S 4 , 

2 , o , 2 , 2 , 

d wir kommen also hier zu dem Ergebniss, dass alle Glei- 
ungen 9*** Grades mit linearer Congruenzgruppe 
stacyklisch sind. 

Hier ist S^ Normaltheiler von S, und die Gruppe S/S^ ist 
an Grade 24. Man erhält diese Gruppe aus S, wenn man die 
tden Substitutionen (17) als nicht verschieden betrachtet; und 
mn man die Substitutionen §. 81, (12) anwendet, so ergiebt 
:h, dass S/S 4 mit der symmetrischen Permutationsgruppe von 
it Ziffern, also mit der Galois'schen Gruppe der affectfreien 
quadratischen Gleichung isomorph ist. 



§. 95. 
Ternäre lineare Congruenzgruppe für den Modul 2. 

Mannigfache interessante Beziehungen ergeben sich, wenn 
ir die ternäre lineare Congruenzgruppe B für den Modul 2 
«trachten, die als transitive Permutationsgruppe von acht 
lementen aufgefasst werden kann, und die Gruppe der meta- 
llischen Gleichungen 8* 611 Grades enthalten muss. Nach dem 
ben Bewiesenen kommt es vor Allem darauf an, die homogene 
loogruenzgruppe S zu betrachten, die aus den Elementen 

(a , b , c 
a 2 , 6 2 , c-2 

esteht, worin die Ziffern a, 6, c, . . . nach dem Modul 2, also = 
der = 1, anzunehmen sind, und die nach der im §. 41 gegebenen 

Weber, Algebra. II. 24 




370 Elfter Abschnitt. 

Vorschrift componirt werden. Es kommen dabei nur solch« I 
Systeme der Zahlen a, f>, c, . . . in Betracht, deren Determinante f 
es 1, d. h. ungerade ist. 

Um den Grad der Gruppe 8 zu ermitteln, beachte man. da« 

die erste Zeile von ö sieben verschiedene Formen haben kau: 

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, I. 

Für die erste Annahme (a, b, c) = (1, 0, 0) wird die Dn 
minante von ö gleich 6,c a — c,Ä s , was auf sechs verschied?» 
Arten = 1 werden kann, nämlich : 



(^)=(;;K:?>Q. (?:!)• Q'G: 



» 
B 

L 



Dann können noch o,, u 3 auf vier verschiedene Arteu an- 
genommen werden. Also hat man, wenn die erste Zeih* 1 1, 0*9 
ist, 24 verschiedene Formen von ß. Dieselbe Zahl ergiebt iiik 
fiir die Annahme der ersten Zeile in den Formen (0,1,0), (0,0,11 
Das Gleiche erhält man aber auch für die anderen Annahmen 
über die erste Zeile. Denn ist diese z. B. (0, 1, 1), so muss 

O] (b 3 — Cj) — «j (b, — d) = 1 (mod 2) 
sein, was wieder sechs Möglichkeiten für «,, t, — e,, <*,, 6, — (, 
ergiebt, und da man e,, c 3 auf vier Arten annehmen kann, w 
erhält man wieder 24 Möglichkeiten. Endlieh muss, wenn dw 
erste Zeile (1, 1, 1) ist, 

O, — q) Pi - C) - («, - c 3 ) (i, - c,) = * (mod 2) J 
sein, was zu derselben Zahl führt. 

Die Gesammtzahl aller verschiedenen Substitutionen a. d. h 
der Grad von S, ist also 168. Die Zahl 168 als Gradzahl ein 
Gruppe ist uns schon einmal begegnet, nämlich bei der Grupj 
L 7 (§§. 82, 88), und es liegt daher die Vermuthung nahe, da 
die Gruppen S und /.. isomorph sein möchten. Wenn sich dia 
Vermuthung bestätigt, so würde die Untersuchung der Gruppe 
dadurch wesentlich erleichtert sein, dass wir die Divisoren i 
Gruppe L 7 schon kennen. 

Diese Vermuthung zu prüfen, dient aber das Theorem L 
§■ 88. 

Wir suchen zu diesem Zweck erzeugende Elemente i.m,B, 
der Gruppe S so auszuwählen, dass sie den charakteristisch* 
Bedingungen des Theorems I., §. 88 genügen. Dies kann 
mehrfache Weise geschehen. Es fehlt freilich an einem 



— ^ 



« 




\ §. 96. Lineare Congruensgruppe für den Modul 2. 371 

gemeinen Verfahren dazu, gelingt aber leicht durch einige 
Versuche. 

Man wählt zunächst ein Element 7 ton Grades beliebig aus 
ud bildet daraus die Periode, etwa 

1, 0, 1\ /l, 1, 1 

i,o 4 o , *»= 1,0, i 
o, 1, o/ \i, o, o, 

1, 1, 0\ /0, 0, 1 

*« = [ 0, 1, 1 , r> = 1, 1, 1, r« = I 0, 0, 1 
1, 1, 1/ \0, 1, 1/ \1, 1, 

Hierauf sucht man unter den Elementen 2 ten Grades, deren 
s 21 giebt, ein passendes für g> aus; es eignet sich z. B. dieses: 

1, 0, 
) o = |0, 1, 0|, 

0, 1, 1 

id dann sind nach den Formeln §. 88, (17) die Elemente 
d x bestimmt: 

/l, 1, 1\ /l, 1, 0\ /l, 0, 1 

= 0, 1, , ©' = o, 1, , 03 = o, 1, |, 
\0, 1, 1/ \0, 0, 1/ \0, 1, 1 

/l, 0, 0\ /l, 0, 

X = 0,0, 1 , z a = 0, 1, 1|. 
\0, 1, 1/ \0, 1, o / 

Hierauf ist es Sache einer einfachen Rechnung, die Formeln 
s Theorems L, §.88 zu bestätigen, wodurch die Ueberein- 
immung der Gruppen S und L 7 nachgewiesen ist. 

Es folgt daraus, dass die Gruppe S ebenso wie L 7 ein- 
.eh ist 

Es ist schon in §. 88 bemerkt, dass x und o als erzeugende 
emente der Gruppe S betrachtet werden können; fügt man 
tu noch eine beliebige, nicht identische Substitution aus Q, etwa 

blgt aus §. 94, II., dass man die drei Substitutionen 

r, ö, y 

24* 



372 Elfter Abachnitt. §. 9i. 

als erzeugende Elemente der gesummten linearen Gruppe 
R = SQ betrachten kann. 

Bezeichnet man die Symbole [*r„ r„ s s ] 
[1,0,0], [0,1,0], [0,0, 1], [0,1, 1], [1, 0, 1], [1,1,0], [1,1, 1], [0,0,0] 
der Reihe nach mit 

1, 2, 3, 4, _ 5, 6, 7. 8. 

so entspricht den Substitutionen der Gruppe R eine Permn* 
tationsgruppe dieser acht Ziffern, und man erhält, wenn nuut 
die Permutationen durch ihre Cyklen darstellt, für die erzeugen- 
den Substitutionen dieser Gruppe: 

r = (1, 8) (2, 6) (3, 5) (4, 7), 
r = (1, 6, 7, 4, 5, 2, 3), 
« =(2, 4) (6, 7), 
und da diese Permutationen alle zur ersten Art geboren, so folgt 
dass die Permutationsgruppe R in der alternirenden Gruppt 
von acht Ziffern euthalteu iat. 
Der Grad der Gruppe R ist 

168 . 8 = 1344, 
und ihr Index ist in der symmetrischen Gruppe 30, in der alter- 
nirenden Gruppe 15. 

In diesem Falle, wo p = 2 und k = 3 ist, lässt sich Jen 
Theorem g. 94, II. noch eine wesentliche Erweiterung geben. Sind 
nämlich « u « 41 tt., und j3,, $,, ß s zwei Reihen nach dem Modul 3 
genommener, unter einander und von 0, 0, Ü verschiedener Zahlen, 

so kann man aus der Matrix ( „" ," ~M immer Blna ™> 

Vp„ ßa, |V 
Null verschiedene Determinante bilden, und daraus folgt. *ii 
aus g. 94, dass man die Substitution ö in S so bestimmen kai ■■■ 
dass durch a gleichzeitig [1, 0, 0] in [a„ «,, Oj] und [0, 1, i' a 
[ß u j3 a , ß 3 ] übergeht, oder, wie hieraus wieder geschlossen mr4 
so, dass durch zwei beliebige der von [0, U, 0] versi luci lern* 
[r„ *;, z 3 ] in zwei beliebige andere übergehen (die sieben Gros 
[e u z a , z s ] sind durch die Gruppe S zweifach transitiv verbun 
Hiernach lässt sich der Satz §. 94, II. für diesen Fall i 
weitern : 



IV. Sind y u y^, y\, y' a vier gegebene Elemente z 
Grades der Gruppe Q, y 1 verschieden von j*i 



rnadfl 

1 



f. & Allgemeine Gleichungen 8*«n Grades. 373 

y^ verschieden von y' a , so lässt sich ein Element 6 
in S so bestimmen, dass 

(8) /, = tf"" 1 * <*, / 2 = 6~ l Yi<i 

Hierin kann z. B. auch y\ = y Y sein, und y 8 , / 3 irgend zwei 
davon verschiedene (nicht identische) Elemente aus Q. 



§. 96. 

Beduction der allgemeinen Gleichung achten Grades 

auf ein Formenproblem. 

Die durch die Betrachtungen des vorigen Paragraphen ge- 
wonnene Einsicht in die Constitution der Permutationsgruppen 
von acht Ziffern gestattet nun mit Zuziehung der in §.41, 42 
abgeleiteten Sätze über lineare Substitutionsgruppen einen ein- 
lachen Beweis des schon in §. 60 erwähnten Satzes von Wim an, 
dass die alternirende Gruppe der Permutationen von acht Ziffern 
sieht mit einer Gollineationsgruppe von sechs oder weniger 
Dimensionen isomorph sein kann. 

Da man nach der Schlussbemerkung des §. 41 Substitutionen 
von weniger Dimensionen als specielle Fälle von solchen mit 
mehr Dimensionen betrachten kann, so genügt es, wenn wir die 
Substitutionen von sechs Dimensionen untersuchen. 

In der alternirenden Gruppe von acht Ziffern ist, wie im 
vorigen Paragraphen gezeigt ist, eine Abel'sche Gruppe 
• te Grades, Q, enthalten, in der ausser dem Hauptelement nur 
Elemente 2 ten Grades vorkommen, und die daher durch eine Basis 
«ifty in der Weise dargestellt werden kann: 

:(1) Q = 1, a, /?, y, aß, ay, ßy, aßy. 

Wenn nun die alternirende Gruppe mit einer Collineations- 
ppe sechster Dimension einstufig isomorph wäre, so müsste 
Gruppe Q mit einer Gruppe linearer Substitutionen 2, viel- 
ht mehrstufig, isomorph sein. Die Collineationsgruppe , mit 
Q einstufig isomorph ist, soll selbst durch Q, und ihre 
ente wie in (1) bezeichnet sein, so dass unter 1 eine Gruppe 
von Aehnlichkeits-Snbstitutionen, unter a, /3, y, . . . Collineationen 
m verstehen sind. Ist A eine repräsentirende Substitution aus 
«, so ist, da die Elemente von Q vom zweiten Grade sind, A 2 
m 1 enthalten. Wir bezeichnen jetzt mit Jf, M', M\ . . . Aehn- 







374 Elfter Abschnitt. §.96. 

lichkeits-Substitutionen , und machen von dem Satze Gebrauch, 
dass eine Aehnlicbkeits- Substitution mit jeder anderen linearen 
Substitution vertauschbar iat (§. 41, 4.). Sind A, B, C Repräsen- 
tanten von irgend drei verschiedenen Collineationen aus <j, so 
existirt nach dem Satze IV., S. 'J5, eine lineare Substitution L, so da» 



L-'AL = M'A, 

daraus: 

(3) 



(2) 

L-'BL =M"C, 
und daraus: 



L- , ABL = M'M'AC, 
L^BAL^M'W'CA. 

Da nun Q eine Abel'sche Gruppe ist, so ist auch 

(4) AB = MBA, 
und folglich nach (3) 

L"' ABL = MM' M" CA = WM" A < '. 
also: 

(5) J.C = MCA. 

Aus (4) folgt noch durch Zusammensetzung mit A: 
ABA = MA*B, 
A"B = SPJtS. 
Es ist also M* die identische Substitution, und folglich nach (4 

(6) BA = MAB. 

Hieraus und aus (ö) folgt aber, dass in (4) die Substitut* 
M ungeändert bleibt, wenn A, B beliebige ltepräsentanten a 
irgend zwei von einander und von 1 verschiedenen Elemer 
von Q sind. 

Hiernach ist auch 

A.BC = MB CA, 
andererseits aber auch 

ABC = MBAC = M*BCA, 
folglich muss M die identische Substitution sein, und 
giebt sich: 

Je zwei linenre Substitutionen aus 1' i 

mit einander vertausch bar. 

Nach §. 42 und §. 45 lässt sich eine nicht in 1 enthat 

Substitution der Gruppe £, etwa A, iu eine Multiplication t 

formiren : 

(7) A = (j*,, p,, fi t , (i 4l pi, u ö ), 






$.96. Allgemeine Gleichungen 8 ten Grades. 375 

und darin müssen, da A 2 eine Aehnlichkeits-Substitution ist, die 
Quadrate der p u ft 2 , . . ., p 6 alle einander gleich, also die Multi- 
plicatoren selbst nur im Vorzeichen von einander verschieden 
sein. Ist nun 
(8) B = «> ) 

üine zweite Substitution aus der Gruppe 2, so ergiebt sich aus 
ler Vertauschbarkeit mit A: 

9) ^a« = f i fc af, 

nd es muss also, so oft p* von p k verschieden ist, a,w = .0 
an. Wenn wir daher die ja so anordnen, dass die ersten r, 
amlich fh, ft 2 , . . ., p r unter einander gleich, und die folgenden 
— r wieder unter einander gleich sind, so hat B die Form, 
iss nur die in den beiden Ecken stehenden Quadrate von r* 
ld (6 — r)* Elementen von Null verschieden sind, und dann 
ssen sich nach §. 45, 1., 2. die beiden Substitutionen J., B 
eichzeitig in Multiplicationen transformiren. Ebenso sieht man, 
iss auch eine dritte Substitution C aus 2 gleichzeitig mit A 
id B in eine Multiplication transformirbar ist: 

Wir können also annehmen, dass alle Sub- 
stitutionen von 2 Multiplicationen sind. 

Wenn wir unter diesen Multiplicationen drei Typen 1, 2, 3 
aterscheiden, je nachdem unter den Multiplicatoren je 1 und 5 
der je 2 und 4 oder je 3 und 3 einander gleich sind, so folgt 
(machst, da die sämmtlichen von 1 verschiedenen Elemente der 
hruppe Q aus einem von ihnen durch Transformation entstehen, 
md da zwei aus einander durch Transformation abgeleitete 
beare Substitutionen nach §. 42, 4. dieselben Multiplicatoren 
toben, dass alle nicht in 1 enthaltenen Substitutionen von 2 
tom gleichen Typus sein müssen. Dies kann nur der Typus 2 
lern, da nur dieser die Gruppeneigenschaft hat, dass durch 
Domposition zweier seiner Elemente wieder ein Element desselben 
typus entsteht. 

Nehmen wir demnach an, in der Substitution A seien die 
leiden ersten Multiplicatoren einander gleich und von den übrigen 
toschieden, und deuten dies durch das Symbol 

A = (-~ ++ ++) 
, so muss es noch eine zweite Substitution in 2 geben, in der 
beiden ersten Multiplicatoren gleich sind; denn nehmen wir 
sie seien in zwei der übrigen Substitutionen von 2, etwa in 




376 Elfter Abschnitt. 

B t C, entgegengesetzt, so würde durch Composition i 

eine Substitution BC entstehen, in der die beiden ersten ' 
plicatoren gleich sind. Wir können demnach unbeschade 
Allgemeinheit 

B = ( h h ) 

setzen. 

Betrachten wir nun die Transformation (2); 
L- 1 ÄL = M'Ä, 
so folgt zunächst, durch Zusammensetzung beider Seiten mil 
seihst, dass M' 1 die identische Substitution sein ranss, 
folglich, wenn wir die Elemente von L mit 1&> bezeichnen, 
in (9): 

(10) pjw = ±n k l<£\ 

wo das obere oder das untere Zeichen gilt, je nacl 

M' = (1, 1 1) oder = (— 1, — 1, . . ., — 1) ist. ' 

aber die unteren Zeichen gelten, so ist /*' immer dann 
wenn fi h = u k ist. Dann aber würden alle Elemente vi 
die in einem Eck-Quadrat von 4 und einem von 16 Eiern 
stehen, gleich Null sein, und die Determinante von L > 
verschwinden, was nicht sein kann. Demnach gelten in (k 
oberen Zeichen; M' ist die identische Substitution und h n 
in zwei Theilmatrices von 4 und 16 Elementen. 

Nun können wir L nach dem Satze §. 95, IV. imn 
annehmen, dass in der Form L~ l BL = M"C jede von 
schiedene Collineation der Gruppe Q repräsentirt ist, und ( 
ergiebt sich, dass in allen diesen Substitutionen die 1 
ersten Multiplicatoren gleich sein müssen. Lassen wir a 
an Stelle von A treten, so können wir mit demselben 1 
schliessen, dass in allen Substitutionen von 2 der dritt 
vierte Multiplicator einander gleich sein müssen. Dann 
bleiben offenbar nicht genug Möglichkeiten übrig, um eine C 
8"" 1 Grades zu bilden. 

Es giebt also keine lineare Suhstitutionsgrupi 
weniger als sieben Variablen, die mit der alternir 
Gruppe (oder auch nur mit der linearen Gruppe 
acht Ziffern isomorph ist. Die Gleichung 8>™ G 
ohne Affect lässt sich also sicher nicht a-uf ein F 
problera von weniger als siebenter Dimension n 



; 



§.97. Gleichungen Q*** Grades. 377 

§. 97. 
Resolventen der Gleichung achten Grades. 

Wir gehen jetzt zur Betrachtung solcher Gleichungen 
8 1 * Grades über, deren Gruppe in der linearen Gruppe B 
enthalten ist. Durch Adjunction der Quadratwurzel aus der 
Discriminante und einer Wurzel einer Resolvente Ib*** Grades 
wird die allgemeine Gleichung 8 ten Grades auf diese specielle 
Art zurückgeführt 

Wir bezeichnen wie früher mit Q die cyklische Gruppe 
8* Grades: 

('".LI ^'-Ll ^l) ( m "° d2 )' 

oder kürzer 

und mit S die im §. 95 betrachtete ternäre Congruenzgruppe, 

und setzen 

B= SQ, 

•o dass R die gesammte ternäre lineare Gongruenzgruppe für 
den Modul 2 ist. 

Wir betrachten ein System von acht unabhängigen Ver- 
änderlichen X, l|It , f3 , worin die Indices g 1% # 2 , z 3 nach dem Modul 2 
zu nehmen sind. 

Hieraus bilden wir die sieben Functionen (Lagrange'sche 
Resolventen, Bd. I, §. 171): 

(i) ii-iY a \x^ H =v^ u , 

worin zur Abkürzung 

2*1; = z\t\ + *%U + *s& 
gesetzt ist, und £ t , | 2 i £3 J e e ^ n volles Restsystem nach dem 
Modul 2, jedoch mit Ausschluss der Gombination 0, 0, durch- 
laufen. 

Wenden wir auf die Indices Z{ der Grössen X die Substitu- 
tionen der Gruppe Q an, so erleiden die X die Permutationen 
einer Gruppe, die wir gleichfalls mit Q bezeichnen. Die Aende- 
rongen der 3^ die diesen Permutationen entsprechen, ergeben 
lieh aus (1), wenn wir auf die Indices der X die Substitutionen 
fai *i -f- hi) anwenden : 



1 X» 



378 

(2) v(-l)W.\-„ 

1. Die Funct 
mutationei 



= (- 1) ! 






Die Functionen *P ändern also durch dii 
mutationen von Q nur ihr Zeichen, und dii 
drate der f - bleiben durch Q ungeändert. 

Es ist ferner der Einfluss einer Substitution tf aui 

die Functionen W festzustellen. 

Bezeichnen wir zu diesem Zwecke mit p die transp 
Substitution zu ö und setzen 

(3) «■ = ««, { = (.«'), 
80 ist (§. 41, 10.): 

(4) XS» = vf 
Machen wir die Substitutionen ff der Gruppe S 

Indices von X, so erhalten wir eine mit S zu bezei 
Permutationsgruppe der X, und aus (4) ergiebt sich 



£(-l)*<EXi 



; (— ij-'X,;,^,,;. 



und da das System der <fj dieselbe Werthreihe durchläu 
das System der *(, se ist diese Summe gleich V&C^g 
erhalten : 

2. Die Anwendung der Permutation ff auf di 
den Functionen TP" ist gleichbedeutend 

Anwendung von p -1 auf die Indices |„ |, 



§■ «8. 
Die Tripelsyateme der Resolventen. 

Wir bezeichnen jetzt die Resolvente Vf,,^^ kürze 
'P: und bemerken, dass nach der Formel ( l 2) §. 97 auss 
Quadraten dieser Functionen auch noch gewisse Prod 
Per mutationen der Gruppe Q gestatten. Zu diesen ge 
nächst das I'roduct aller Grössen W, das wir mit A 
wollen ; 



(■) 



jl = |I<C,, 



S. 96. Tripelsysteme. 379 

sodann aber die Producte von dreien !P| ^ ?F;, und folglich 
auch ihre reciproken Werthe 

( 2 ) v = ^ jp n 5r c i 
wenn die Indices den Bedingungen gentigen: 

Si + vi + 5i = o 

(3) & + % + & = (mod 2). 

& + q, + & s 

Ein solches System von drei Functionen *¥ nennen wir ein 
TripeL Ebenso wollen wir drei Indexsysteme (£), (17), (£), die 
den Bedingungen (3) genügen, ein Tripel nennen. 

Es giebt im Ganzen sieben und nicht mehr solcher Tripel; 
denn unter den drei Systemen (£), (17), (g) können nicht zwei 
einander gleich sein, und durch zwei ist das dritte eindeutig 
bestimmt Man kann also für (£), (r\) jedes Paar aus den sieben 
möglichen Systemen (£) nehmen, erhält aber dann jedes Tripel 
sechsmal. Die Gesammtanzahl ist also 7.6:6 = 7. 

Um die einzelnen Tripelsysteme zu charakterisiren, fuhren wir 
drei nach dem Modul 2 zu nehmende Zahlen a a , a 2 , o^ ein, die 
nicht alle drei verschwinden, und bemerken, dass die Gongruenz 

W «1S1 + «2^2 + «aSs = (mod 2) 

für drei und nur für drei Systeme der Unbekannten &, £ a » £s 
befriedigt wird, und dass diese drei ein Tripel bilden, so dass 
das Tripel durch die drei Congruenzen 

(5) 2 «g = 0, 2 a V = 0, 1 *t = (mod 2) . 

bestimmt ist. Man erkennt dies ohne weitläufige allgemeine 
Betrachtungen, wenn man die Fälle, in denen nur ein a oder 
*ei oder alle drei az 1 (mod 2) sind, einzeln betrachtet. 

Da es sieben verschiedene Zahlensysteme a x , a 2 , ag giebt, so 
t durch die Relationen (5) aus jedem solchen Systeme der a 
n Tripel völlig bestimmt, und wir können die Function v ein- 
stig durch v axy a*a A oder kürzer durch v a bezeichnen: 

_ 1 

Va ~ Wi w n w- ' 

3. Die Functionen v a , als Functionen der X auf- 
gefasst, gestatten die Permutationen der 
Gruppe Q. 



38» 



r Abschnitt. 



Wenn wir auf die g eine Substitution a aus 9 anwende 
so erleiden nach 2. (§. 97) die |, »j, g gleichzeitig dir U 
stitution p- 1 ; daraus aber ergiebt sich nach (5), dass die « die I 
Substitution o* erleiden, und wir haben also: 

4. Die Anwendung der Substitution o ans S auf da 
IndiceB e von X bat die Anwendung derselbe» J 
Substitution auf die Indices a von v„ zur Folge. 1 

Setzen wir in den Summen (5), iu denen (!), (ij), {£) das n 
(a) gehörige Tripel ist, für (a) ein anderes System (0), so itt ■ 
wegen (3) 

Ist nun von « verschieden, so können diese drei Ssmaa 
nicht alle drei congruent mit sein, weil sonst zwei tri 
Systeme («), (0) zu demselben Tripel führen würden; folglich 
müssen von diesen Summen zwei ungerade und eine 
gerade sein. Wir haben daher den Satz; 

5. Durchläuft (!) das zu (a) gehörige Tripel, und 
ist (0) ein von (w) verschiedenes System, so sind 
unter den Summen 20! zwei ungerade und eine 
gerade. 

Wenn wir in der Summe 2 «! für das System (!) oHs I 
sieben möglieben Annahmen machen, so erhält man dreimal den 
Werth und folglich viermal den Werth 1. 

Die Congruenz 
(7) 2«! = I (mod 83 

hat also vier und nur vier verschiedene Lösungen für f. Dw 1 
Gesammtheit dieser vier Lösungen wollen wir ein Quadrupel I 
nennen. Jedes Tripel bestimmt eindeutig ein Quadrupel uud i 
umgekehrt, und es giebt also auch sieben verschiedene Quadrupel, I 
die nach (7) durch das Zahlensystem («) vollständig bestimmt I 
sind. Wir beweisen nun den Satz: 

6. Durchläuft (!) das zu (a) gehörige Quadrupel lij 
ist fß) ein von («) verschiedenes System, • 
unter den vier Summen 20! zwei gerade anl 
zwei ungerade. 

Denn wenn (!) die Gesammtheit aller sieben Systeme durch- ' 
läuft, so finden sich unter den Summen 2 0! drei gerade und 



j.96. 



Tripelsysteme. 



381 



rier ungerade; von diesen liefert das zu (a) gehörige Tripel nach 
5. zwei ungerade und eine gerade; es bleiben also für das 
Quadrupel zwei gerade und zwei ungerade. 

Wir ändern nun die Bezeichnung bei den Quadrupeln und 
nehmen für das System (a) ein anderes Zeichen (h u h 2 ,h^) = (A). 
Das zu (A) gehörige Quadrupel bezeichnen wir mit (a), (/3), (y), (ä), 
so dass die vier Gongruenzen: 

r 8) 2Äa = 1, Ihß = 1, Ihy = 1, ^hd = 1 (mod 2) 

Kstehen. 

Im Nenner des Productes der vier Functionen 

*>«, Vp, Vy, Vd 

ommen nach (6) im Ganzen 12 Factoren Wt vor, und zwar 
ommt jeder Factor *Pg so oft darunter vor, als die Anzahl der 
eraden Zahlen unter den Summen 

21«, 2 5Ä 2£y, 2S« 

»trägt, d. h. U 1 * kommt gar nicht vor, während jedes andere 
r j zweimal vorkommt (nach 6.). 

Wenn wir also noch die Relation (1) benutzen, so er- 
ebt sich: 



) 



Wh = A 2 V a Vp Vy V^ 



Wir stellen für die Anwendung die sieben Tripel zusammen, 
is denen man die Quadrupel als die Ergänzung zu dem vollen 
rsteme ablesen kann. In der ersten Golumne steht das Zeichen 
;), zu dem das Tripel gehört: 



1 


! 1 


1 ( 


) 1 1 


1 


1 100 


1 


L 1 


1 


i 1 00 


10 


L 1 


1 1 


10 


11 


L 1 1 


1 1 


i o i o 


10 1 


L 1 1 


1 1 


i o o i 


110 


L 1 1 ! 


1. 1 1 


i 1 1 


10 1 


L 1 1 



Bezeichnen wir die Symbole (a) in der Reihenfolge, in der sie 
der ersten Columne dieser Tabelle stehen, mit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
können wir die Tabelle für die Tripel und Quadrupel ein- 
ier so darstellen: 



Elfter Abuchu 



Anwendung auf Gleichungen achten Grade 

In den abgeleiteten Formeln setzen wir nun für die Vai 
■X,,,!,,/, die Wurzeln einer Gleichung 8'* u Grades, von i 
annehmen, dass ihre Galois'sche Gruppe P = TQ in dei 
gesetzten Rationalitätsbereiche Sl in der linearen Congr 
gruppe E = SQ enthalten sei, so dass T ein Theiler von t 
Alle Functionen, die die Permutationen dieser Gruppe gestatw 
sind rational. 

Dazu gehört zunächst die Summe der Xi 

ferner die durch (1) des vorigen Paragraphen detinirte Gros» 
sodann aber auch die symmetrischen Functionen der i 
Grössen W, und ferner, wenn wir nun der Einfachheit 1 
die Annahme hinzufügen, auf die wir noch zurückkommen, < 
von den Grössen W keine verschwinde, die symmetrischen ]'<\: 
tionen der Grossen v; aber nicht nur die symmetrischen Ftn> 
tionen der v, sondern alle F'unctioneu der u, die die Permi- 
tationen der Gruppe T gestatten. 
Die sieben Grössen 



(2) "..«--.. ■■....--=. -.,,.--., 

V||,t,l = V t , «1,0,1 = U S , «1,1,0 = «61 t>i,],i = U; 

sind alsdann die Wurzeln einer rationalen Gleichung 7"" Grad« 
mit der Gruppe T, und durch Addition der Gleichung (I) um 
der Gleichungen [§. 97, (1)]: 

ergieht sich mit Rücksicht aut (9) deB vorigen Paragraphen: 






. 100. Gleichungen 8*«* Grades. 383 

3) 8X0,0,0 = Aiv^y^y^y^ + y^y^y^y^ 

+ Vvi V*h Vv* \/v 6 + y v v y v, y^" y v 6 

Es giebt 15 Vorzeichenänderungen der sieben Quadrat- 
wurzeln yv, bei denen dieser Ausdruck ungeändert bleibt, 
nämlich, wenn alle sieben Vorzeichen gleichzeitig geändert werden 
oder wenn die Vorzeichen eines Tripels oder eines Quadrupels 
geändert werden. Folglich erhält der Ausdruck (3) nur 
acht verschiedene Werthe, wie man auch die sieben 
darin vorkommenden Quadratwurzeln bestimmen mag. 

§. 100. 
Metacyklische Gleichungen achten Grades. 

Um nun nach diesen Vorbereitungen die primitiven meta- 
cyklischen Gleichungen 8 ten Grades zu finden, haben wir zunächst 
die metacyklischen Theiler der Gruppe S zu ermitteln. Die 
Gruppe S selbst ist, da sie einfach ist, nicht metacyklisch. Ihre 
Theiler haben wir schon betrachtet (§. 86 bis 88), und alle 
echten Theiler von S sind metacyklisch. Darunter sind Theiler 
tum 21 ,ten und 7*"* Grade, die wir mit T 21 , T 7 bezeichnen wollen, 
ferner Theiler vom 24 ,ten Grade, und noch andere Theiler, deren 
Gradzahlen in 24 aufgehen, die wir hier alle in dem Zeichen T 34 
zusammenfassen wollen. 

Diese Gruppen T 24 können nicht die sieben Grössen 
(I) = (Jj, £ 2 , £ 8 ) transitiv mit einander verbinden, weil der Grad 
einer transitiven Permutationsgruppe von sieben Elementen durch 
' theilbar sein muss (Bd. I, §. 169). Wir wollen nachweisen, 
iass die den Gruppen T u Q entsprechenden Permutationsgruppen 
ler X imprimitiv sind, und dass diese Gruppen daher von unserer 
Betrachtung ausscheiden 1 ). 

Da alle Permutationen tf, die zwei der sieben Elemente (|) 



*) Aus der Literatur über die Gleichungen 8 ten Grades ist zn er- 
ahnen: Nöther, Mathem. Annalen, Bd. XV. Wilshaus, Ueber die 
^ebraische Auflösbarkeit der Gleichungen 8 ten Grades. Dissertation. 
urburg 1888. 



384 Elfter Abschnitt. g, l'M. 

un geändert lassen, oder nur unter einander permutiren. ein drittes 
Element, nämlich die Ergänzung zum Tripel, umgeändert lassen, 
so sind zwei Fälle möglich: 

1) die Gruppe T n liisst ein Element in Ruhe, oder 

2) die sieben Elemente werden in zwei Theile von drei und 
vier Elementen zerlegt, von denen jeder Theil nur unter 
sich permutirt wird. 

Im letzten Falle können wir die drei Elemente als einem 
Tripel, und demnach die vier Elemente als einem Quadrupel an- 
gehörig betrachten. Denn werden drei Elemente, die nicht einem 
Tripel angehören, unter sich permutirt, so werden auch dje drei 
Ergänzungen je zweier Elemente zum Tripel unter sich per- 
mutirt, und das eine übrig bleibende Element bleibt ungeändert. 
Wir kommen also auf den Fall 1) zurück. 

Wir fügen nun zu den sieben Systemen (!) noch das acht« 
(0, 0, 0) = (0) hinzu und bezeichnen die acht (rrösstn 

(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 

Im Falle 1) bleiben dann durch die Substitutionen von T u 
zwei dieser acht Elemente, etwa 0, 1, ungeändert. Es giebt ferner 
in Q eine und nur eine Substitution y , durch die mit 1 ver- 
tauscht wird. 

Die beiden Substitutionen 1, y a bilden eine Gruppe $. 
Irgend eine Substitution y, von Q, die nicht in Q vorkommt, 
führt 0, 1 in zwei davon verschiedene Elemente, etwa J. S, äM 
und durch die zwei Substitutionen (foy, geht 0, 1 in 2, 3 oder! 
in 3, 2 über. Wenn ferner durch y, das Paar 0, 1 in ein drittes 
Paar 4, 5 übergeht, so ist 4, 5 sowohl von 0, 1 als von 2, 3 
schieden, und so können wir Q in die Nebengruppen zerleg) 

Q= Q*+ fcft + fty.-hftr.. 

wodurch die acht Elemente (1) in vier Paare 

(2) 0, 1; 2, 3; 4, 5; 6, 7 
zerlegt sind, so dass durch die beiden Substitutionen einer 
Nebengruppen (? j\ das Paar 0, 1 in eines dieser vier Pi 
übergeht. 

Ist nun Ä - irgend eine Substitution aus der Gruppe 
P = T tt Q, 
so lassen sich die Elemente r , t,, r„ i„ aus T 2i und y' aH y\ 
aus Q so bestimmen, dass 



ver* 

gen: 

1 



Metacykliache Gleichungen S ien Grades. 385 

iese Darstellung zeigt, dass durch k irgend eines der 
(2) in ein Paar desselben Systems übergeführt wird; denn 
iirch y— * w ^ r ^ 2, 3 in 0, 1 übergeführt, durch x x bleibt 0, 1 
dert und durch yi, was zu Q gehört, wird 0, 1 in eines 
are (2) übergeführt 

e Gruppe 7 34 Q ist also imprimitiv, und zwar so, dass wir 
fsteme der Imprimitivität haben. Die Wurzeln 0, 1 ge- 
einer quadratischen Gleichung, deren Coefficienten von 
urzeln einer biquadratischen Gleichung abhängen. 
*hen wir nun zu dem Falle 2) über, in dem die Elemente 
s Tripels 1, 2, 3 und eines Quadrupels 4, 5, 6, 7 durch T u 
iv unter einander verbunden sind. Die acht Grössen (1) 
3n hier in zwei Quadrupel: 

0, 1, 2, 3; 4, 5, 6, 7, 

urch die Substitutionen von Q werden die Grössen eines 
Quadrupel entweder nur unter sich vertauscht, oder sie 
i in die Grössen des anderen Quadrupels übergeführt, 
m dies einzusehen, bezeichnen wir in der früheren Be- 
mgsweise 1, 2, 3 mit (£), Oj)» (£); da diese drei Grössen 
ipel bilden, so giebt es [nach §. 98, (5)] ein System (a), 

3 

2a£ = 0, 2ai? = 0, £«£ = (mod 2) 
r enden wir nun eine Substitution aus Q an: 



5i> 5a i la/ 



g = & -(- hi sein mag, so folgt aus (4) : 
Sag' = v ai? ' = 2uf = v«Ä, 

lie (g'), (1/), (£') bilden das zu (a) gehörige Tripel, wenn 
bst zu diesem Tripel gehört, oder im anderen Falle ist 
), (fl*), (£')* das zu (a) gehörige Quadrupel, 
»zeichnet also nun wieder h irgend eine Substitution aus 
l y eine Substitution aus Q, durch die das Quadrupel 
3 in 4, 5, 6, 7 übergeht, so können wir die Elemente r', r" 
! und y\ Y' aus Q so bestimmen, dass 

* = *'/ = y-Wy'\ 

er, Algebra. H. 25 



386 Elfter Aliachiiitt. 

wodurch, wie oben, bewiesen wird, dass die beteten System i 
durch k imprimitiv verhunden sind. 

Nach Adjnnction einer Quadratwurzel zum BationatifitJ 
hereiche sind dann die Grössen 0, I, 2, 3 die Wurzeln ein«r 1 
biipmd ratischen Gleichung. 

Durch diese Betrachtungen wird für primitive Gleichui 
8 1 ™ Grades auch die Möglichkeit ausgeschlossen, dass i 
sieben Grössen ^„i,,^ [§. 97. (1)] verschwinde. Diese 
tionen sind nämlich rationale Functionen der Wurzeln X; 
also eine von ihnen verschwindet, so kann auf die ratio: 
Gleichung W = jede Permutation der Gruppe der Gleicl 
angewandt werden. Daraus ergiebt sich nach dem Theo 
§. i)7, 2., dass entweder alle sieben Functionen W verschwiu 
müssen, iu welchem Falle die Wurzeln rational waren, 
dass die Substitutionen g~ 1 , auf die (|) angewandt, eine intri 
sitive Gruppe bilden müssen. Der Grad der Gruppe könnte d 
nicht durch 7 (heilbar sein. Nun ist die Gruppe der p _1 isoraor 
mit der Gruppe T der ff (t$. 41, !(.), und daher ist auch der G 
von T nicht durch 7 theilbar, und folglich ist auch T intransinr. 
Daraus folgt, wie oben gezeigt, dass TQ imprimitiv ist 

Als Gruppe für primitive metacykliscbo Gleichungen S 10 Grade 
bleiben also nur die beiden Typen 

übrig. Im ersten Falle sind die in der Formel §. 99, t'M ■■■-. 
kommenden Grossen v die Wurzeln einer cykhscheu Gleichnn 
7"° Grades mit der Gruppe (n, z -f- b), im /weiten einer mett 
cyklischen mit der Gruppe (e, aa -\- b) (§. 86, Ed. 1, 5. M 
worin .a, a, b Dach dem Modul 7 genommen sind und a & 
Werthe 1, 2, 4 durchläuft. 

Um eine Zuordnung der vj, wie sie in der Formel iH\ i.'t 
vorkommen, zu den v„ worin e der tu den Gruppen (z, 2 — \ 
oder {z, az -f- &) vorkommende Iudex ist, zu erhalten, könne 
wir von einer beliebigen Substitution siebenter Ordnung jivb 
gehen, etwa von 

/l, 0. H 
t = 1, (I, [§. 95, (2)]. 
\C>, 1, (l/ 

Nehmen wir dann ui l0l . für u„, so findet man dm 
holte Anwendung von i auf 1, 0, folgende Anordnung: 






|. 101. Biquadratiache Gleichungen. 387 

(1,0,0) = 0, (L1,0) = 1, (1,1,1) = 2, (0,1,1) = 3, (1,0,1) = 4, 

(0,1,0) =5, (0,0,1) = 6, 

und nach §. 99, (2) hat man daher 

v u v 2 , v 3 , v 4 , v 6 , v 6 , v 7 
. durch 

v , v 5 , v 6 , v 3 , v 4 , v x , v a 

n ersetzen. Dadurch ergiebt sich aus §. 99, (3): 

8 x = a £ W, V^l V^T* V^r* + b, 

0,6 

,. jvorin A, B rationale Grössen und v g die Wurzeln einer cykli- 
aehen oder einer metacy kuschen Gleichung von der Gruppe 
; (r, ae -|- i) vom Grade 7 sind. 

Umgekehrt ist es auch nicht schwer, nachzuweisen, dass die 

* acht durch Wechsel der Vorzeichen hieraus abgeleiteten Grössen 

fanmer die Wurzeln einer primitiven metacy klischen Gleichung 

^8 te Grades sind, worauf hier nicht näher eingegangen werden 

•oll (vgl. Bd. I, §. 193). 

§. 101. 
Biquadratische Gleichungen. 

Wir haben uns auf die Betrachtung der primitiven meta- 
leyklischen Gleichungen 8*** Grades beschränkt, weil die im- 
frimitiven auf Gleichungen 4 ten Grades zurückkommen. Um 
also auch die Wurzeln der letzteren in der Weise des vorigen 
Paragraphen darstellen zu können, haben wir noch eine analoge 
Darstellung der Wurzeln biquadratischer Gleichungen zu suchen. 
Hierbei sind dieselben Betrachtungen, wie im §. 99, nur in 
Wesentlich einfacherer Gestalt anwendbar. 

Wir bezeichnen die Wurzeln der biquadratischen Gleichung mit 

) ^o, Oi -3Li, o> X 0| i, X ltl , 

können dann die ganze Permutationsgruppe 24 8ten Grades 
binäre lineare Congruenzgruppe für den Modul 2 darstellen: 

!) P=SQ. 

Die darin enthaltene homogene Gruppe S ist vom 6*** Grade 
besteht aus den Substitutionen 

*> <,== Ui)' (lii)' (i!o> (i',i)' (i',o)' (<u)' 

25* 



und mau kann 

als die erzeugenden Substitutionen der Gruppe S ansehen 
Wir definiren nun wie im §. 97 die drej Grössen: 
»F. = X — X, , + A„ , - %,, 

(5) r M = x , + X,, - A' 0|1 — A\, 

ff,,, = X„, u — Xt, t — X„,, + A\,. 
so dass y"i%, yoji, y*i) a her auch das Prodact IP,^ 
durch die Substitutionen der cykliscben Gruppe Q unj 
bleiben. 

Wendet man auf die Indices £, t\ der A' die Substiti 
an, so erleiden die Indices der W (wie im §. 97, 2.) 
stitution p" 1 , wenn p die transponirte Substitution von ö 

Es ist aber, den Substitutionen (4) entsprechend, 

Indem wir nun der Einfachheit halber voraussetzen, 
drei Grössen (5) von Null verschieden sind, setzen wir 



«1,0 






9*1 o ffl i *P a i 9 r i B *F, , 

'Fi o y« i *F U i 'P", g 'Fi t 

V ''' = '•!•', ; " ~~ff£ 

Die Grössen w^i hleiben durch die Substitutionen 
ungeändert und erleiden durch tf,, <J, die durch (6) bes 
Permutationen: 



i "l,oi Wl.li 



Daraus ergiebt sich, dass die symmetrischen Functic 
drei Grössen i>i i0 , v 0ii} v ltl durch die Permutationen P un; 
bleiben, und folglich in dem Kationalitätshereiche d 
metrischen Functionen der X enthalten sind. Die drei Gl 
sind also die Wurzeln einer cubischen Gleichung, und 
keine Schwierigkeit haben, diese cubische Hesolvente 
gemeinen biquadratischen Gleichung zu bilden. 



§• 101. Biquadratische Gleichungen. 389 

Aus (7) folgt aber ferner 

önd demnach ergiebt sich aus (5), wenn wir noch die rationale 
Grösse 

»etzen, 

8) 4 X 0l0 = o + Vvi, Vv^ + Vv^ Vv^ + Vv^ Vv^. 

Der Ausdruck (8) giebt nur vier verschiedene Werthe, wenn 
rir die Vorzeichen der drei darin vorkommenden Quadratwurzeln 
rf alle möglichen Arten bestimmen, und man kann auch um- 
ekehrt leicht zeigen, dass die vier in der Form (8) enthaltenen 
rossen X, wenn die v ljQ , v ,i> v m die Wurzeln irgend einer 
ibischen Gleichung sind, einer biquadratischen Gleichung mit 
itionalen Coefficienten genügen 1 ). 



*) Diese Form der Lösung der biquadratischen Gleichung ist das 
tmlogon zu der Cayley'schen Form der Cardanischen Formel (Bd. I, 
39). 

Die Lösung findet sich nach einer Mittheilung von H. J. Baker wohl 
rrst in »The Theory of Equations" von G. W. J. Burnside und 
W. P an ton (second edition 1886). 



Zwölfter Abschnitt. 
Die Wendepunkte einer Curve drif 



Ternäre Formen und algebraische Curven. 

Um im weiteren Verlaufe unserer Darstellung dem '. 
einige von den mannigfaltigen und interessanten Anweuihn 
der Algebra auf geometrische Probleme vorführen zu 
ohne ihn auf andere Hülfsmittel zu verweisen, sollen 1 
notwendigen geometrischen Grundlagen für diese Anwendui 
in der Kürze abgeleitet werden. Wir beschränken i 
auf die Geometrie der Ebene und lassen auch da Alles bei S 
was für unsere Anwendungen nicht direct erforderlich ist '). 

Wir wenden die homogenen Dreieckscoordinaten 
dadurch erklärt sind, dass die Lage eines Punktes x durch * 
Abstände von den drei Seiten des Coordinatendreiecks , in i 
beliebigen Maassein he iten gemessen (oder mit drei beliebi 
constanten Factoren multiplicirt), bestimmt sind. Diese i 
Grössen heiBsen die Coordinaten des Punktes x, und wer 
meist mit x lt x„ x$ oder mit y u y*, y 3 etc. bezeichnet. 

Zwischen diesen drei Coordinaten des Punktes x bes 
eine lineare, nicht homogene Relation, die man erhält, wenn n 
den Flächeninhalt des Coordinatendreiecks (1, 2, 3) gleich < 
Summe der Inhalte der drei Dreiecke (x, 2, 3), (z % 3, 1|, ix, !,'■ 
setzt. Eine Coordinate und also auch der Ausdruck für ( 
Flächeninhalt des entsprechenden der drei letztgenannten 1 



') Ausführlicheres findet man in den Lehrbüchern der an&lytUc 
Geometrie, unter denen daa Werk von George Salinem, „Higher 
curve»", dautacb von Fiedler, hervorzuheben ist. 



Ternäre Formen und algebraische Curven. 391 

dern ihr Vorzeichen, so oft der Punkt x durch eine Seite 
rdinatendreiecks hindurchgeht. 

Hülfe dieser nicht homogenen Relation kann die Einheit 
ind homogen durch x x , # 2 , x z dargestellt und dadurch 
;ht homogene Function in eine homogene verwandelt 

Goordinaten x x , # a , x z sind nach diesen Bestimmungen 
-> nicht unabhängige Variable, sondern an die erwähnte 

gebunden. Wir erweitern ihre Bedeutung aber jetzt so, 
' sie als unabhängige Variable betrachten können, wenn 
setzen, dass wir sie nur in homogenen Formen oder 
igen benutzen wollen, und dass nicht x x , x 2 , x s selbst, 

nur die Verhältnisse x x : x 3 : x s die Lage des Punktes x 
en sollen. Dann können wir von der erwähnten Relation 
i den #], # s , x s ganz absehen, und die £ l9 x % , x z als 
gige Variable betrachten, für die nur die einzige Werth- 
tion x x = 0, x % = 0, x z = ausgeschlossen ist Die 
hx 11 hx % , hx z bestimmen dann für jedes von Null ver- 
e h einen und denselben Punkt x. Genau gesagt, sind 
3 Coordinaten x x , # 2l x 3 des Punktes x nicht die oben 
Irenen Abstände von den Coordinatenaxen selbst, son- 
end welche Grössen, die mit diesen Abständen propor- 
nd. 
3 lineare Substitution 



eterminante 

r ^ v + a (D «(2) a (3) 
— i i. ö 

l verschieden ist, kann in doppelter Weise geometrisch 
werden, einmal als eine Abbildung, indem wir x u # 2 , x z 
Vi, y* a l ß Coordinaten zweier Punkte x, y in demselben 
.tensystem ansehen, so dass jedem Punkte y ein Punkt 
lt und umgekehrt, sodann auch als Coordinaten- 
rmation, wenn wir x u # 2 , x z und y u y 2 , y z als Coordi- 
les und desselben Punktes, bezogen auf zwei verschiedene 
tensysteme, betrachten. Für die nächsten Betrachtungen 
vir an der letzteren Interpretation festhalten. 



392 



ölfter Abschnitt. 




Irgend eine ternäre Form n lca Grades /(ar,, fr, x t ) 
gleich Null gesetzt, eine Curve n 1 " Ordnung dar, die mit 
geraden Linie h Schnittpunkte hat. Diese Curve bezeichnen 
kurz als die Curve / 

Durch die Substitution (1) geht / in eine andere Form des- 
selben Grades in den Variablen y,, y 8 , y s über: 

(3) /(*ii *n fr) = »Öfi, y»i y*)> 

und <p = stellt dieselbe Curve dar, wie / = 0, bezogeu 
das Coordinaten system y u y 3 , y s . 

Bilden wir die Ableitungen der Identität (3) nach 
Variablen y u y u y 3 , so folgt mit Rücksicht auf (1): 

(4) <p'(./ a ) « a «'/'(x ( ) + «?f (&) + W&) 
tf&J = ««>/'(*■) + «f/*fcf) + "^fifri- 

§. 103. 
Singulare Punkte. Wendepunkte. Doppeltangei 

Wenn für einen Punkt x die drei Gleichungen 
(1) /'(*,) = 0, /'(*,) = 0, /'(*,) = 

zugleich erfüllt sind, so liegt nach dem Euler'schen Theore 
(3) n/ = xj'fr) + *,/'(>,) + *,/«*), 

(Bd. I, g. 11)) dieser Punkt auf der Curve/. Die Gleichungen §. Ifä 
zeigen, dass in demselben Punkte auch <p'(yi), <p'(#a)> ' 
verschwinden müssen, dass also die durch die Gleichungen 
charakterisirte Eigenschaft eines Punktes bei linearer 
formation erbalten hleibt, also, wie wir uns auch ausdrückt 
den invarianten Eigenschaften gehört. 

Nicht auf jeder Curve n 1 " Ordnung komnieu Punkte v 
den Bedingungen (1) genügen, wie z. B. die Annahme /(«j, U 
= x^ -J- £% -\- x% zeigt. Es wird vielmehr, wenn auch nur « 
solcher Punkt exisüren soll, eine Gleichung zwischen den t 
cienten von / erfüllt sein müssen, die man durch Elimini 
von ar„ x lt x 3 aus den drei Gleichungen (1) erhält (Bd. I, §. ä 
Man kann diese Relation in der Form darstellen, dass i 
gewisse ganze rationale und homogene Function der sämmtlid 
Coefficienten von/ gleich Null sein muss, und diese Funrt 






§. 103. Singulare Punkte. 393 

heust die Discriminante von /. Sie ist durch die Definition 
nur bis auf einen numerischen Factor bestimmt, und kann bis 
jetzt nur in den einfachsten Fällen berechnet werden. 

Der Grad der Discriminante lässt sich nach Bd. I, §. 57, II. 
bestimmen und ergiebt sich gleich 3 (n — 1)*. Dass die Dis- 
criminante, als Function der Coefficienten von /, irreducibel ist, 
kann man auf folgendem Wege aus einem speciellen Falle be- 
weisen. 

Man nehme an, es habe f(x 11 x % , x 3 ) die specielle Form 

(3) /(*!, tf 2 , £3) = a x Xi -(- OaJCa + <hx" — (x 1 -f" x % + x *) n - 
Dann ergiebt sich 

-/'(^i) = ai^i""* 1 — (*i + ** + Xs) n ~ l 

(4) -/'(**) = a % xf~* - (o?, + *i + **) n ~ l 

TT/ v^s) === ^^s""" — (#1 T^j + aJ s) n " r • 

7» 

Setzen wir noch 

(5) «i = «i , a% = aa , 03 = a 3 , 

so werden die drei Functionen (4) nur dann zugleich ver- 
schwinden, wenn 

x^ -\- x^ -{- x 3 = a l x 1 = a 2 x 2 = ccs x s 
ist, und daraus ergiebt sich, wenn wir 

(6) A = «! Oa «3 — O) a 3 — a 3 «! — a x <&, 

= a t 0^03(1 — of 1 — aä" 1 — «s" 1 ) 

^ setzen, die Bedingung -4 = 0. Nun aber sind die a 17 «j, Og durch 
L die Gleichungen (5) aus den a u a 2 , a% bestimmt, und jede dieser 
" Grössen hat daher n — 1 verschiedene Werthe, die man aus 
einer erhält, wenn man die Vertauschungen 

(7) . («!,«,«!), (a 2 , a a a 2 ), («3, £ 3 « 8 ) 

macht, in denen e^ « 3 , « 3 beliebige (w — l) 16 Einheitswurzeln sind. 

Die so gebildeten (n — l) 3 verschiedenen Ausdrücke A 9 sind alle 
J^tod einander verschieden, und unterscheiden sich auch nicht 

bloss durch einen constanten Factor. Sie sind überdies als 
^Functionen von a l9 «3, a 8 unzerlegbar. Das Product aller dieser 
Functionen A t : 

D = UA % 



391 Zwölfter Abschnitt. j I0& 

iat aber eine rationale Function der a it a,, a 3 vom Grade 3(m — lj'. i 
Diese Function ist ausserdem unzerlegbar. Denn irgend ein 
rationaler Factor D, von D miisste durch A theilbar sein, und 
da in D, alle Vertauschungen (7) gestattet sind, so muss I), 
auch durch alle A„ und folglich durch 1) theilbar sein. D geht 
aber aus der Discriminante von / hervor, wenn man darin über 
die Coefficienten die Annahme (3) macht. Da diese specielle 
Discriminante unzerlegbar ist, so gilt dasselbe auch von der 
allgemeinen. 

Die Punkte der Curve /, deren Coordinaten den Bedingungen 
(1) genügen, heissen singulare Punkte. 

Man kann auch die Frage aufwerfen, unter welcher Bedingung 
es möglich ist, dass auf einer Curve unendlich viele singulare 
Punkte vorkommen. Damit dies eintritt, muss zunächst das 
Eliminationsresultat von einer der Unbekannten, etwa von ay 
aus den zwei Gleichungen f'(x,) = 0, f'(x 7 ) = identisch ver- 
schwinden, d. h. die beiden Functionen /'(a^) undf'(x,) müssen, 
als Functionen von x$ betrachtet, einen gemeinschaftlichen Theiler 
haben, und nach Bd. I, §. 20 müssen sie daher auch einen (nicht con- 
stanten) gemeinsamen Theiler im Gebiete der Formen von *,,*|,*t 
haben. Dieser Theiler muss dann wieder, wie aus denselben 
Erwägungen hervorgeht, einen gemeinschaftlichen Theiler mit /, 
oder, was dasselbe ist, mit f'(x x ) haben, und es ergiebt sich 
also, dass nur dann unendlich viele singulare Punkte vorhftndeu , 
sein können, wenn die vier Formen /, /'(£,), f'(x 3 ), /'(j*,i) einen 
gemeinschaftlichen Theiler haben. 

Es sei nun u ein solcher gemeinschaftlicher Theiler, den iir 
als irreducibel voraussetzen. 

Wir setzen 



und 



/ft, X* *) = UV 




,,, . a« , du 

J'{X,) = M \- V 5 




„. . dv . du 

f (x<.) = w h v 3 — 




' . dv . du 

f {Xl) =u — + v—, 




diese Gleichungen zeigen, da u irreducibel 


ist und daher ■ 


du du du 

' d Xi ' d X t ' d iE-j 





103, Singulare Punkte. 395 

inen gemeinschaftlichen Theiler haben können, dass v durch u 
teilbar sein muss, d. h. es können nur dann unendlich viele 
Dguläre Punkte vorkommen, wenn f(x x , x 2 , x s ) einen quadra- 
schen Theiler hat. In diesem Falle sagen wir, dass die 
orve / einen doppelt zählenden Bestandteil enthält. 

Um die geometrische Bedeutung der singulären Punkte zu 
kennen, denken wir uns die Function / nach Potenzen der 
nen Variablen #3 geordnet: 

) /(^i, x a , x 8 ) = a£/ -\- a?i ""*/! + #?"*/« H 'i 

Drin fa /j, /»,.., binäre Formen der Variablen x u x 9 sind, 
nren Grad durch den Index angegeben ist, so dass f eine Con- 
ante, /1 eine lineare, f 2 eine quadratische Form ist u. s. f. 

Wenn nun ein singulärer Punkt vorhanden ist, so können 
ir wegen der Invarianz dieser Eigenschaft annehmen, dass 
ieser Punkt in die Ecke Xx = 0, x t = des Coordinaten- 
reiecks, die wir mit | 3 bezeichnen wollen, falle. Dann müssen 
und / 2 verschwinden, und wenn wir dann x x = setzen, so 
•hält Äie Gleichung /= den Factor x*. Dies besagt, dass 
rei der Schnittpunkte der Linie x v = in dem singulären 
unkte zusammenfallen. Die Linie x 2 = kann aber jede durch 
sn singulären Punkt hindurchgehende Gerade sein, und so folgt, 
1S8 der singulare Punkt die Eigenschaft hat , dass jede durch 
in hindurchgehende Gerade die Curve dort in zwei zusammen- 
Jlenden Punkten schneidet. 

Aus diesem Grunde nennt man die singulären Punkte auch 
oppelpunkte. Damit ist aber nicht ausgeschlossen, dass auch 
ehr als zwei Schnittpunkte zusammenfallen können, wodurch 
e höheren Singularitäten entstehen. 

An die Form der Gleichung (2) knüpfen wir noch einige in 
t Folge wichtige einfache Betrachtungen. 

Wenn der Punkt £ 3 auf der Curve / liegt, aber kein sin- 
lärer Punkt ist, so muss die Constante / verschwinden, und 
= ist die Gleichung der Tangente der Curve in diesem 
mkte. Nehmen wir diese Tangente für die Linie x x = 0, so 
itet die Gleichung der Curve, wenn wir einen constanten Factor 
ich 1 annehmen: 

/= zr 1 *! + 4~ 2 / 2 H = 0. 

Wenn die quadratische Form / 2 durch x Y theilbar ist, so 
alt die Gleichung (3) für x x = den Factor # 2 3 , und der 



396 Zwölfter Abschnitt, 

Punkt £ 3 zählt als dreifacher Schnittpunkt von it = 
Curve. Ein solcher Punkt heisst ein Wendepunkt oder 1 
flexionspunkt der Curve /, und x, = heisst die Wei 
tangente. Die Wendepunkte gehören nicht zu den singul 
Punkten. 

Ist der Punkt | s ein Wendepunkt und x t = die Wende 
tangente, so hat / die Gestalt 
(10J /«sfcv' + flf* 

worin <p eine Form (n — l)* ", i/j eine Form (n — 3)™ Grades ist ' 

Umgekehrt ist, wenn / diese Form hat, der Punkt |, eil 
Wendepunkt, und x } = die Wendetangente. 

Eine gerade Linie, die die Curve / in zwei getrennt» I 
Punkten berührt, heisst eine Doppeltangente. Nehm 
eine solche Doppeltangente zur Linie x a = und die Beriilirnni 
punkte als die auf x t = gelegenen Ecken des Coordm 
dreiecks, so muss, wenn *, = in / = eingesetzt wird. 
Gleichung entstehen, die sowohl x^ als x 3 zum quadratü 
Factor hat Die Function / muss also die Gestalt haben : 

(11) / = x 3 <p -\- x{x£il>, 
worin <p eine Form (« — 1) Uq Grades, ip eine Form (» — * 
Grades ist. 

Etwas allgemeiner können wir auch sagen: Wenn x, 
eine Doppeltangente ist, so kann / so dargestellt werden: 

(12) /■=*■» +1'*, 
worin jp = die Gleichung eines Kegelschnittes ist Die 1 
rührungspunkte der Doppeltangente sind die Schnittpunkte t 
;t s = und % = 0. 



Fund« 



§■ 104. 
nentale Covarianten einer ternären Form 



Im §. 66 des ersten Bandes haben wir den Begi 
Invarianten und Covarianten einer Form kennen gelernt 
in der Geometrie spielen diese Formen eine grosse Rolle. 

Wenn durch die lineare Substitution §. 102, (\) die tem 
Form /(#,, x„ x 3 ), die wir abgekürzt auch mit f(x) bezeichne 
ii 9 (?) übergeht, und wenn wir mit a die Coefficienten ton/ 
mit b die Coefficienten von ip und mit r die Substitution 



§.104. 



Covarianten der ternären Formen. 



397 



determinante bezeichnen, so beisst eine Form $>(x, a\ die sowohl 
in Bezug auf die x wie in Bezug auf die a homogen ist, eine 
Covariante von f(x), wenn sie der Bedingung 

(1) tf(y, 6) = *•'*(*, a) 

genügt Wenn insbesondere die Form von den Variablen x 
unabhängig und nur von den Coefficienten a abhängig ist, so 
wird sie zur Invariante. Der Exponent A, der das Gewicht 
der Covariante heisst, ist eine ganze Zahl. 

Wir haben im Bd. I, §.65 zwei bei allen Formen, deren 
Grad grösser als 1 ist, vorhandene Covariante kennen gelernt, 
nämlich die Hesse'sche Determinante 



(2) H{x x , x % , x z ) = 



/"(*!> *l), /"(*!, **)i /"(*H X z) 



und die zweite Covariante 

/"(*!, zi\ /"fa. * 2 )> f(xu *i), H'{x x ) 

to\ p( \ / \ X ** ^l)' / ( X **> X W f \ X M X W "■ (^») 

{) { ' a) ~ f" toi *& f" (x 3 , x 2 ), f" (*„ *,), H' (x 3 ) 

#'(*,), #'(*,). H'(x 3 ) , 

Endlich haben wir noch die in Bd. I, §. 66 betrachtete 

Covariante 

\ f (x,), H' (x t ), C'( Xl ) 

•4) K(x, a) = f (z 2 ), H' (x,), C ' (x 2 ) 

f'(x s ),E'(x 3 ),C'(x 3 ) 

Für diese drei Functionen drückt sich die Invarianteneigen- 
tchaft in den Gleichungen aus: 

H(y,b) = r'II(x,a), 
5) C(y,b) = r«C{x,a), 

K(y,b) = r»K(x,a)^ 

o dass wir, wenn wir das Gewicht mit A, den Grad in den 
r ariablen mit v und den Grad in den Coefficienten mit ft be- 
eichnen, die Zusammenstellung erhalten: 



f 


n, 


1, 





H 


3n— 6, 


3, 


2 


C 


8w — 18, 


8, 


6 


K 


12 n — 27, 


12, 


9 



Zwölfter Abschnitt. 



§. 105. 

Die Hesse'sche Curve. 

Die erste der eingeführten Covarianten // hat eine ein: 
geometrische Bedeutung, die wir jetzt kennen lernen 
Diese Untersuchung wird dadurch wesentlich erleichtert 
wir, wegen der In Varianteneigenschaft der Form H, 
Allgemeinheit verlieren, wenn wir dem Coordinatensy steine 
eine specielle Lage gegen die Curve / geben. 

Legen wir die Ecke £, des Coordinatendreiecks in 
Punkt der Curve /, der nicht zu den singulären gehört, 
wählen die Tangente in diesem Punkte zur j:,-Axe, so erhall 
nach §. 103, (8) die Form / den Ausdruck: 

(1) f =kxl~ 1 x i +x*~ i (ax%-\-2bx l x 1 + ex f)-\-x*~ */*-{-■■■. 
worin A, a, b. c Constanten sind, von denen h von Null ver- 
schieden ist, und /| eine binäre cubische Form von x t1 Xf. 

Wenn wir hiernach die nach absteigenden Potenzen von Jj 
geordnete Function // berechnen : 

(2) // = «!•-• //, + 4""' //, + ■•■, 

so findet sich 

,,, H = -2(n-l)*k*c 

W B,= — (n— l) , ÄV;'(a:a,a:»)+4(w— l)(n — 2)*(ft»~ ae). 

Die durch die Gleichung // = dargestellte Cur' 
die Hesse'sche Curve der Curve /. Die Formeln (3) um 
zeigen, dass die Hesse'sche Curve dann und nur dann durch 
Punkt | ä hindurchgeht, wenn H u =0, also c=0, d. li. nach §, 
wenn dieser Punkt ein Wendepunkt ist. Aus dem Ausdrucke 
//, kann man noch weiter schliessen, dass die Wendel 
X[ = dann und nur dann zugleich Tangente der Cnrve 11 
ist, wenn fi(x 3 , x t ) und folglich auch/, selbst durch r, tfel 
st. In diesem Falle wäre, wie aus (3) hervorgeht, x, = 
di Punkte !., vierpunktig berührende Tangente- 
Fall kann bei den Curven dritter Ordnung nur dann vorkoi 
wenn / durch x t tbeilbar ist, also niemals bei einer irredui 
Curve dritter Ordnung. 

Die Hesse'sche Curve geht ausser durch die Weodepi 
noch durch die singulären Punkte der Curve /, was hier 
weiter untersucht werden soll. 



§.106. Inflexionspunkte einer Curve dritter Ordnung. 399 

Wenn wir also unsere Betrachtungen auf Curven / ohne 
singulären Punkt beschränken, so können wir sagen, dass jeder 
Schnittpunkt der Curve / mit ihrer Hesse'schen Curve einen 
Wendepunkt der Curve / giebt, und dass die Curve / keine 
loderen Wendepunkte hat. Wenn Punkte mit vierpunktig be- 
rührender Tangente vorkommen, so berühren sich die Curven / 
and H, und wir können solche Punkte auffassen als durch das 
Zusammenfallen von zwei Wendepunkten entstanden. Wenden 
wir noch das Theorem von Bezout (Bd. I, §. 57) an, so erhalten 
wir das Ergebniss : 

Eine Curve n* 6 ' Ordnung ohne singulären Punkt 
hat 3n(n — 2) Inflexionspunkte; 

und speciell : 

Eine Curve dritter Ordnung ohne singulären 
Punkt hat neun getrennt liegende Inflexions- 
punkte. 

§. 106. 
Inflexionspunkte einer Curve dritter Ordnung. 

Es sei jetzt / = die Gleichung einer Curve dritter Ord- 
önng ohne singulären Punkt Wir legen zwei der Ecken des 
Coordinatendreiecks £ n £ a in zwei von den neun Inflexionspunkten 
Und nehmen die entsprechenden Inflexionstangenten für die 
8eiten a? 2 , x t . Dann muss sich /, wenn x x = oder x 2 = gesetzt 
*ird, auf das Glied hx.f reduciren, worin h eine Constante ist, 
und folglich müssen alle Glieder, die in der cubischen Form 
einen von Null verschiedenen Coefficienten haben, ausgenommen 
4*/, durch x x x t theilbar sein. Demnach erhält / die Form 

(1) /fei Xt, x z ) = x x x 7 {a x x x -\- a 2 r 2 + a 3 x s ) -f h ar 3 3 , 
"%orin öi, a 2 , Og Constanten sind. Daraus aber geht hervor, dass 
*tie gerade Linie 

BUchfalls Intiexionstangente der Curve / ist, und dass ihr 
Schnittpunkt mit der Linie x A = ein dritter Inflexionspunkt 
^L Dieser Punkt ist von den beiden ersten | n £ 2 verschieden, 
toeü weder 04 uoch a 2 = sein kann, wenn die Curve keinen 
Ingulären Punkt hat. Wir wollen dieses wichtige Resultat in 
Form eines Satzes aussprechen: 






400 Zwölfter Abschnitt. f. IM, 

1. Wenn man irgend zwei Inflexionspunkte einer 
Curve dritter Ordnung ohne singulären Punkt 
durch eine gerade Linie verbindet, so schneidet 
diese gerade Linie die Curve in eiuem dritte:. 
Inflexionspunkte. 

Da es neun Inflexionspunkte giebt, so gehen von jedem iiie-cr 
Punkte vier gerade Linien aus, deren jede noch zwei wintere 
Inflexionspunkte enthält. Es giebt neun solcher Büschel tat I 
vier Geraden, und weil jede dieser Geraden in drei Büschfl 
vorkommt, so ist die Anzahl der Geraden 9 . 4 : 3 = 12. Wir 
können demnach den Satz 1. so ergänzen: 

2. Die neun Inflexionspunkte einer Curve dritter I 
Ordnung liegen zu je dreien auf zwölf ger&dnfl 
Linien, und durch jeden Inflexionspunkt gehti 
vier von diesen Geraden. 

Aus dem Ausdruck (1) können wir eine canouische Dar- 1 
Stellung für die cubische Form / herleiten: 

Wir bezeichnen mit i eine imaginäre dritte Einheitswurzel I 
und fuhren zwei Variable ?j, 2 3 ein, die durch die Gleichuagei 

definirt sind, woraus noch folgt: 

(3) — (o, s, -f O..T, 4- (hXt) = -', -f « a — '/a «**■• 

Die Variablen jr,, *, sind durch (2) als lineare Funct 
von Xi, X t , x$ bestimmt, und die linearen Functionen z t , i 
sind als Functionen von #,, x 3 , x 3 linear unabhängig. Wenn i 
(2) und (3) in (1) einführen, so ergiebt sich 

— ayatf = z* + g* — (ai a^ h + |lW + «i*i*i«j. 1 

Diesem Ausdrucke giebt man eine mehr symmetrische fl 
stalt, indem man für z t , z % , x 3 drei neue lineare Functionen 
Vir y»i 9» einführt, die sich von diesen nur um coustante Factor«! 
unterscheiden : 

/ = vO/n .vi, ,v 3 ) = «ij/, 1 -t- utyS + «*}ft + 6m y>y*!f*. I 

worin «,, « a , a 3 , m Constanten bedeuten. 

Wenn kein singulärer Punkt vorhanden ist, so können <M 
Coefncienten «,, « a , « 3 nicht verschwinden, und man kann W 
ohne Beschränkung der Allgemeinheit einander gleich, etwa =■ 



§.107. 



Canonische Form. 



401 



annehmen. Man könnte sie sogar = 1 setzen, was aber, um die 
Homogeneität aufrecht zu erhalten, zunächst besser nicht ge- 
schieht Wir haben also die canonische Form für die ternäre 
cubische Form: 

W 9>(s/n y*> y%) = h (y* 4- vi + vi) + 6 m vi y*y*- 

Nach unserem Ausgangspunkte war die Linie x 3 , oder was 
dasselbe ist, y 3 die Verbindungslinie dreier Inflexionspunkte. 
Solcher Linien giebt es aber zwölf, und wir können daher die 
Linie y s auf zwölf Arten wählen. Setzen wir aber y x oder y, an 
Stelle yon y 5 , so bekommen wir dieselbe Darstellung in der 
canonischen Form, und es giebt also nur vier wesentlich ver- 
schiedene Arten dieser Darstellung (abgesehen von dem will- 
kürlichen h), d. h. vier Arten, die Linien y u y 2 , y 3 zu bestimmen. 
Wir haben daher den Satz: 

3. Eine ternäre cubische Form/^, # 2 , # 8 ), deren 
Discriminante von Null verschieden ist, lässt 
sich auf vier verschiedene Arten in die cano- 
nische Form 

9(y»!foys) = HVi + Vi 4- y 3 3 ) 4- 6wyj t/ 2 y 3 
transformiren. 

Da auf jeder der Linien y x = 0, y 2 = 0, y 3 = drei 
Inflexionspunkte liegen, so ist das Problem der Inflexionspunkte 
wesentlich identisch mit dem der Transformation der cubischen 
Form / auf die canonische Form, mit dem wir uns zunächst be- 
schäftigen wollen 1 ). 



§. 107. 
Transformation der cubischen Form auf die 

canonische Form. 

Um die Transformation der cubischen ternären Form auf die 
ionische Form durchzuführen, d. h. auf die Lösung gewisser 



*) Aus der Literatur über die Wendepunkte der Curven dritter Ord- 
Yimg und über die Theorie der ternären cubischen Formen erwähnen wir 
»er den älteren Arbeiten von Newton und Mac Laurin: Hesse, 
9 Ueber die ^Elimination etc." und „lieber die Wendepunkte der Curven 
? tter Ordnung", Crelle's Journal, Bd. 28 (1844). (Gesammelte Werke, 
rechen 1897.) Aronhold, Theorie der homogenen Functionen 3 ten Grades 
t drei Veränderlichen, Crelle's Journal, Bd. 55 (1858). Salmon, Higher 
ine curves (deutsch von Fiedler). 

W«b«r, Algebra. II. 26 



4M 



Zwölfter Abu 



algebraischer Gleichungen zurückzuführen, müssen wir zunächst 
die Covarianten für die canonische Form bilden. 
Es sei also 

»(»)=*(*/* + Vt+Vi) + 6my,y,y s , 
wofür wir zur Abkürzung auch setzen: 

(1) <p(if) = h£y* +6mjf, y 3 y t , 

indem wir unter dem Zeichen ^ eine Summe über drei durch 
cyklische Vertauschung der Variablen y, , y a , y t aus dem ersten 
gebildete Glieder verstehen. 

Die Hessc'sche Covariante wollen wir zur Vereinfachung 
der Formeln mit einem geeigneten numerischeu Factor multi- 
pliciren und demnach 

, 1/,,,/,,./,. 

(2) -*(«) = si /.../»./.. 

1 /.,./„./„ 

setzen, worin /, Ä fiir /"(£(, a,*) steht. Für die canonische Form 
erhält mau hieraus durch einfache Rechnung 
(S) ^(ü) = - Am*2y* + (*' t- 2t»*) &y,,v,. 

Daraus leiten wir die zweite Covariante C (tj. 104) her, 
der wir gleichfalls einen numerischen Factor einfuhren, und 
demnach 



(4) 



J(x) = 



u ^ 1 /# ^. 

z/„ ^,, ^,, 



setzen, worin A t iur <J'(x,) steht Auch diese Covariante mua 
in der canonischen Form dargestellt werden, was keine Schwierig- 
keit hat, wenn man die Determinante nach der Formel Bd. 
§, 26, (12) bildet. Man findet so: 
(5) J(y) = — huh* + Sm'yififi 

+ 3m* (ÖÄ S + 26A , m* — 4m») y-y?y* 
-\- hm (2A< -f 5A'»n' -f Wm«) ftjhfhXjß 
+ 9» «•££]$& 
Danach lassen sich die drei symmetrischen Fund 
yiifcS/s. ^y t \ S !/# «/* durch die drei Formen <p(y), -4(y), J(y\ 
also auch durch die entsprechenden Formen in den urs] 
liehen Variablen x, die wir kurz durch /, d, J bezeichnen. 
den Invarianten relationen 



107. 



Canonische Form. 



403 



<P(y) = f> 4{y) = r*4, J(y) = r*J 
nsdrücken. Man erhält zunächst aus (1) und (3): 

f) (fc3 4. 8 m») y x y, y 3 = m«/ + r*J, 

\) h (Ä* -f 8i»3) Sj/i 3 = (* $ + 2 m») / — Gmr*J, 

od sodann aus (5) 

I) A 2(Ä3 4-8m3)>2y^ 8 3 = 

(2** + m*) ms/a + m (2A 8 — 5m») r*/^+3mar<^ a --r6j. 

Sehr einfach ist nun die Berechnung der dritten Covariante 

1 (§. 104) für die canonische Form. 

Wir führen auch hier einen vereinfachenden numerischen 
actor ein, und setzen 

.0) 



K=K{x)=\ 



/ 2 , Z^j, J a 

/ 3 , z^s, J 3 

orin / k , ^ k , J k die Ableitungen nach a* bedeuten. Für die 
uionische Form ist dann 

1) JT(y) = r»K 

Um 2T(y) zu finden, brauchen wir nur die Functionaldeter- 
inante aus den linken Theilen der Formeln (7), (8), (9) zu 
ilden, woraus sich mit Anwendung einfacher Determinantensätze 
rgiebt (Bd. I, §. 25, §. 30): 



K(y) = — *» (ä» + 8 ms)» 



!i Vi Vi 
li Vh Vi 

h yl vi 



ad mithin ist 

2) r» K = A3 (»• + 8 »»3)3 (rf - y a 9 ) (tf - y») (y» - y|). 

Zu bemerken ist noch zu diesen Formeln, dass der in ihnen 
iftretende Factor h (A 3 4" $ w 8 ) dann und nur dann ver- 
bwindet, wenn die Curve / einen singulären Punkt hat Denn 
i singulärer Punkt wird bestimmt durch die drei Gleichungen: 

Ay 1 *+2my 2 y 3 = 0, hy* + 2my 3 t/ 1 = 0, Ät/ 3 2 + 2my 1 t/ 2 = 0, 

d diese drei Gleichungen sind mit einander verträglich, wenn 
-f- 8m 3 = 0. (Ist z. B. h = — 2m, so sind sie befriedigt, 

«h> Vi = y« = Vi ist -) 

Der Coefficient h kann für eine gegebene Form / jeden 
^geschriebenen von Null verschiedenen Werth haben, und erst 

26* 



(15) 



404 Zwölfter Abschnitt. $■ M 

wenn dieser Werth gegeben ist, ist das Problem bestimmt. Wii 
wollen der Einfachheit halber jetzt h = 1 setzen, und erhalt« 
auB (7) bis (9) das Resultat: 
Setzt man 

„ _ (2 +«*»)>»»/ «-(- (2 — b m*)mr*fA -\ -3m*r*^~r<'J 

(U) «=* — 1+8m , . 

1+8«! ' 
so sind jr*, &*, y* die Wurzeln der cubischen Gleichu 
(14) t*» — Qu" -f Pu - R> = 0, 

und die Discriminante dieser cubischen Gleichung ist nach (IUI; 

Die Coefficienten der cubischen Gleichung sind bekannt, 
sobald m', mr\ r'\ oder auch, wenn m und r 8 bekannt sind. 

Ist dann die Gleichung (14) gelöst, so sind y 1( y.. j/ s bis i 
dritte Einheitswurzeln, die aber der Relation y x t/ t y s •= 
genügen müssen, bestimmt, und weiter können auch diese Gros« 
der Natur der Sache nach nicht bestimmt werden. 

Wenn die Curve / eine reelle Curve ist, so ergiebt sich u 
den Formeln (13) und (15) noch der Satz, dass, wenn m und 
reell sind, D L positiv ist, und folglich die Wurzeln dl 
Gleichung (14) alle drei reell sind. 

Drückt man die Discriminante 7), durch die CoefEcMq 
P, Q, R der Gleichung (14) aus, so fliesst aus der Formel (lö) 
das Resultat, dass man das Quadrat der Covariante K als 
rationale Function der Covarianten /, A, J ausdrücken 
Der Ausdruck wird ziemlich complicirt und soll hier nicht 
verfolgt werden. 

Um aber die biquadratische Gleichung zu bilden, vi 
m und r abhängen, ist es nöthig, auf die Invarianten der 
Formen dritter Ordnung näher einzugeben. 



j. 106. Invarianten der Curve dritter Ordnung. 405 

§. 108. 

Die Invarianten der Gurve dritter Ordnung und die 

biquadratische Gleichung. 

Alle Curven dritter Ordnung, deren Gleichung in der cano- 
dschen Form durch dieselben Grössen 2 tfl * V\ #2 #s linear dar- 
stellt werden kann, haben dieselben Punkte zu Wendepunkten, 
eispielsweise also die Curven /— und d = 0, und allgemeiner 
He Curven der Schaar 

l) F=A/+6M = 0, 

A, fi beliebige Parameter sind. Alle Curven dieser Schaar 
hneiden sich in neun festen Punkten, und eine solche Schaar 
ird ein Curvenbtischel genannt Die neun festen Punkte, die 
r alle Curven des Büschels die Wendepunkte sind, heissen die 
randpunkte. Bilden wir von der Form F die Hesse'sche 
?terminante, so wird auch diese Form linear durch 2 tf* und 
y s y 3 ausgedrückt und kann daher nach §. 107, (7) und (8) 
ch linear durch / und 4 ausgedrückt werden, d. h. wir erhalten 
le Form desselben Büschels. 

Wir setzen demnach diese Determinante 

»rin L und M binäre Formen S 1 ^ Grades von A, ft sind. 

Wenn wir eine beliebige lineare Transformation auf die 
iriablen x anwenden, so ist, wegen der Invarianteneigenschaft 
r Function d 

1 Am (»i b ) = r 2 4x,nr* O, a), 

d daraus folgt, dass die Coefficienten der einzelnen Potenzen 
d Producte von A, (i Covarianten der ursprünglichen Form 
d, und die Coefficienten L, M von / und 4 in diesen Aus- 
icken, die rational von den Coefficienten a der Form / ab- 
Qgen, sind daher Invarianten dieser Form. Wir haben darin 

Mittel, diese Invarianten thatsächlich zu berechnen. 

Bezeichnen wir nämlich mit a,-, -4,, Bi die Coefficienten der 
zelnen Potenzen und Producte der Variablen x in /, d und 
a , so ergiebt sich aus (2) ein System von zehn Gleichungen: 

Leu + MAi = B u 
•aus L und M bestimmt werden können. Man erhält, wenn 
zwei verschiedene Indices sind, 



406 Zwölfter Abschnitt. 

. L{aiA* — a k A 4 ) = BiA„ - B k A« 

w MimA* — a*Ai) = — B iak + &o,. 

Daraus schliesst man noch, dass L, M gauze Functionen 
der Coefficienten a t - sind. Denn in (4) sind die rechten Seite« 
ganze Functionen, und wenn also L oder M, in der einfachsten 
Gestalt dargestellt, noch einen Nenner hätten, so miissteii d« 
sämmtlichen Determinanten a<Ak — 0*-^, welches ganze Func- 
tionen 4 taB Grades der a sind, einen gemeinschaftlichen Theils 
haben, Dass dies aber nicht möglich ist, kann man an irg^iti 
einem speciellen Falle nachweisen, z. B. an der Form 

/ = $x* («s* + fixf) + dx* -f- bx*, 
deren Hesse'sche Form: 

— ß* (ax 3 + ax,) xt — «* (ßx, + ö.r,) x; 
ist. Hier kommen unter den «.in — a*Ai z. B. die beiden Fune- 
tionen a a /3», 6 S « S vor, die keinen gemeinschaftlichen Theiler 
haben. 

Um d^p für die canoniBche Form zu berechnen, hat man 
in §. 107, (3): 

/(, »i 

durch h (X — 6 nUp), m X -+- (h* -f- 2 m») ^ 

zu ersetzen, und man findet so: 

Ji„ = ~ h(X — 6m* p) [wtA + (A» + 2m»)H a 2»? 

+ (Äi(A_6»V) 1 +2[*A + (A' + 2m W }jr lMi 

woraus nach §. 107, (7), (8) mit Rücksicht auf (2) nach einige 
einfachen Rechnungen folgt: 

L = — 2A'ft (Ä s — m») m — Äp s (A s — 20Ä i »»a— Sm'J 
(Bj _|_a^«» (*■-«•")«, 

Jfcf = A»-j-12A(*a»«(/*a — »»*) -f- 2 ft» (A« — 20A*m* 
Man bekommt also auf diese Weise nur zwei Invi 
vom 4'™ und 6"" Grade, nämlich in der canonischen Form: 
(6) m (Ä< — «(>). J.« — 20Ä»m' — 8m». 

Das Gewicht dieser Invarianten ist (nach Bd. 1, §. 66, 
gleichfalls 4 und 6, und wenn wir sie also in der allgem 
Form mit S und T bezeichnen und h = 1 setzen, so findet 
m (1 — m»J = r*S, 

1 — 20 w» a — 8 m« = r« T. 



(7) 



.§• 106. Invarianten der Curve dritter Ordnung. 407 

Für L und M erhält man aus (5) die Darstellung: 

L = — 2Sk*ii— TA^ + 8 5 2 ^ 
M= A» + 12 Skii* + 2 T(iK 

Die Functionen S und T vom 4 ten und ö* 6 * Grade sind zuerst 
.Ton Aronhold berechnet worden. Wir wollen die langen Aus- 
qrucke nicht hierher setzen, betrachten aber diese beiden Grössen 
als bekannt und gegeben. 

Aus (7) lässt sich eine biquadratische Gleichung ableiten 
-für das Verhältniss m a : r 3 . Man findet nämlich daraus: 

tn* — m* = r*m*S 

(9) m« — 2m 5 + m» = r*S 2 

r& — 20m 5 — 8 m» = r*m*T. 

Wenn man daraus m 9 und m* eliminirt, so findet man 

; (10) 27 m* + 18 Sm*r* -f Tm*r* — S 2 r* = 0. 

Diese Gleichung erhält eine einfachere Gestalt durch die 
' Substitution 

Sie wird dann 
(12) ** -f 6 S* 2 _j_ j* _ 3 gj = o. 

Diese biquadratische Gleichung hat die Eigenschaft, dass 
ihre erste Invariante ^4 = ist, und dass ihre Discriminante 
(Bd. I, §. 52) 
? (13) D f = — 27 (Z 7 * + 64 S*)* = — 27 D 2 , 

.also stets negativ ist. Die Grösse D = T 2 + 64 S 8 erhält für 
die canonische Form nach (6) den Ausdruck: 

(14) Ä3(j>3 + 8m») s , 

Und kann also nicht verschwinden, so lange die Curve / keinen 
jtingulären Punkt hat Sie ist, wie die Gradvergleichung in Ver- 
Jbindung mit der im §. 103 bewiesenen Irreducibilität zeigt, die 
Discriminante der Form /. 

Aus (13) ergiebt sich nun, dass die biquadratische Glei- 

g (12) bei reellen Curven / eine negative Discriminante, und 

lieh (Bd. I, §. 84) zwei reelle und zwei conjugirt imaginäre 

nrzeln hat, und weil das Product aller vier Wurzeln — 3S 2 

[ iMgativ ist, so ist von den reellen Wurzeln eine positiv, 

«ine negativ. 



408 



Zwölfter Abschnitt. 



Aus z kann man mit Hülfe von (11) und der ersten Glei- 
chung (7) die beiden Grössen m und r berechnen. Man erhält *a 

27 J 



(15) m" = 



:t,s 



mr 1 = -. 



r 6 = ; 



"95 4-*«' (9S + -I-' 

und hier könnte, wie man aus (12) schliesst, wenn um 
z* = — 9 S setzt, 9 S -\- g* nur dann verschwinden, wenn cot 
weder S oder ü Null ist. Damit sind die Coefticienten P , Q, E 
der cubischen Gleichung §. 107. (Ü) eindeutig durch s und 
bekannte Grössen bestimmt, und für die reelle positive Wund 
wird m und r reell, und folglich auch ;/„ y lt t/j reell 

Eine leichte Ausnahme bildet der Fall S = 0, in dem eis 
Wurzel der Gleichung (Vi) verschwindet, und die zweite tm 
Wurzel — J/T wird, und für die zugehörigen Werthe von m im 
r<' erhält man aus (7) und (11) 



:>:tl 



- 0, 1 ; 



- T 



■ 21 



je nachdem also T positiv oder negativ ist, fällt der erste c 
der zweite Werth von r reell aus, und im Wesentlichen bleil 
Alles wie vorher. 

Es ergieht sich hieraus der Satz: 

Jede reelle terniire cubische Form mit nicht ver- 
schwindender Disci-i min ante kann durch eine 
Transformation auf die reelle canonische Form gebn 
werden. 

Man kann jetzt leicht die Coordinaten der Wendepuul 
dem canonischen Coordinatensystemc augeben. Man erhal 
wenn man in der Gleichung 

Vi + V» + V» + SMftftfc = 
je einmal (/,, (/„ y i = setzt. Da eine der nicht verschwind« 
Coordinaten = 1 gesetzt werden kann, so findet man, < 
eine imaginäre dritte Einheitswnrzel ist, die folgenden W« 
der Coordinaten (y t , y 3 , j/ s ) : 

(0, 1,-1), (0, 1 ( — e), (0, 1, — **), 
(16) (- 1, 0, 1), (- s, 0, 1), (- f«, 0, 1), 

(1, — 1, 0), (1, — a, 0), (1, — ««, 0), 
und es folgt daraus, dass immer drei der Inflexionspuukte 
reell und sechs imaginär sind. 



Invarianten der Curve dritter Ordnung. 409 

i der Tabelle (16) liegen je drei in einer Zeile stehende 
3 auf einer Geraden, nämlich auf den Geraden 

Vi = 0, y % = 0, & = 0. 

3 ist danach leicht, auch die übrigen Tripel von Punkten 
nenzustellen, die auf einer geraden Linie liegen, und damit 
zwölf Linien zu bestimmen. Man hat dabei nur immer 
Punkte zusammenzustellen, deren Coordinaten eine ver- 
dende Determinante geben. Man kann diese zwölf Linien 
iv Arten in Tripel anordnen, so dass in jedem Tripel alle 
[nüexionspunkte vorkommen. Das erste dieser Tripel wird 
m Zeilen von (16) gebildet. Die drei anderen lauten so: 

(0,1,-1), (-1,0,1), (1,-1,0), 
(0, 1, -£), (-e,0, 1), (1,-6,0), 
(0, 1, — £*), (— £*, 0, 1), (1, — £*, 0), 

(0, 1,-1), (— £,0, l), (l, —s\ 0), 

(-1,0, 1), (1, -£,0), (0,1,-6«), 

(1, - 1, 0), (0, 1, — £), (- £2, 0, 1), 

(0, 1,-1), (-£S0,1), (1, -£, 0), 

(—1,0, 1), (l,-£>, 0), (0, 1, -£), 

(1,-1, 0), (0, 1, -£*), (— £, 0, 1). 

on den geraden Linien (16) enthält jede einen reellen 
vei conjugirt imaginäre Punkte, und alle drei Linien sind 
Von den Geraden (17) enthält die erste die drei reellen 
b und ist reell, während die beiden anderen conjugirt 
lär sind. In (18) und (19) sind alle drei Linien imaginär, 
war sind die Linien von (18) conjugirt zu den Linien 

9) - 

ine noch übersichtlichere Bezeichnung ist folgende. Wenn 
r\ je ein volles Restsystem nach dem Modul 3 durch- 
, etwa 0, 1, 2, und zwei nach dem Modul 3 congruente 
t als nicht verschieden angesehen werden, so giebt es neun 
nationen (£, r\\ die wir als Bezeichnung für die neun 
^punkte benutzen können. Setzen wir fest, dass (£, rj) und 
conjugirt imaginäre Wendepunkte, also (0, 0), (1, 1), (2, 2) 
•ei reellen bedeuten, so erhalten wir aus (16) bis (19) 
de Tabelle, in der wieder die in einer Zeile stehenden 
jpunkte auf einer geraden Linie liegen: 



■ 



(20) 



(0, 0)(1,2> (2,1) (0,0) (1, l)(ä,2) 

(1, 1) (2,0) (0, 2) (1,2) (2, 0) (0, i) 

(2, 2) (0, 1) (1, 0) (2, 1) (0, 2) (1. 0) 

(0, 0) (2, 0) (1, 0) (0, 0) (0, 2) 10, 1) 

(1, 1) (0, 1) (2, 1) (1, II (1,01 (1.2) 

(2, 2) (1,2) ,0,2) (2, 2) (2, 1) ,2. n, 



Man sieht hieraus, dass drei Wendepunkte (g,, »j,), (J 
(£» iji) dann und nur dann auf einer geraden Linie liegen, 
die beiden Congruenzen 

(21) t + A-t- I, 

erfüllt sind. 

Man kann die Bezeichnung der vier Systeme von g> 
Linien auch aus dem einen Schema 

(0, 0) (1,2) (2, 1) 

(l. 1) (2,0) (0,2) 

(3,2) (0, 1) 11,0) 
ableiten, wenn man die Zeilen, die Colonnen und die 
den positiven und negativen Gliedern der Determitiantenlii 
entsprechenden Comhinationen aufstellt. 



Tripelgleichungen. 

Das System der neun Wendepunkte hat die Eigeu 
dass man aus zwei beliebigen von ibnen einen ganz best) 
dritten auf rationalem Wege ableiten kann. Dies drück 
als eine Eigenschaft der Gleichung 9 ,en Grades aus, von d 
Bestimmung der Wendepunkte abhängt, die z. B. die Ab* 
dieser Punkte zu Wurzeln bat. Wir stellen folgende 
tion auf: 

Eine Gleichung ohne gleiche Wurzeln heissi 
Tripelgleichung, wenn je zwei ihrer Wurzeln eine i 
bestimmen, so dass jede Wurzel eines solchen Tri 
rational durch die beiden anderen ausgedrückt wt 
kann, uud zwar so, dass mau in einer Gleichung 
(1) x s = 0(,r 1 .x 2 j, 



§. 109. Tripelgleichungen. 411 

in der eine festgehaltene rationale Function bedeutet, 
für £„ x,, x z die Wurzeln irgend eines Tripels in be- 
liebiger Reihenfolge setzen kann 1 ). 

Die Gleichung, von der die Wendepunkte abhängen, ist eine 
Tripelgleichung 9 ien Grades. Es giebt aber auch Tripelgleichungen 
Ton anderem, z. B. vom 7*** Grade, zu denen die im vorigen 
Abschnitte betrachteten gehören 8 ). 

Wir wollen hier nur auf die Tripelgleichungen 9** Grades 
eingehen, und zunächst zeigen, wie sich aus der Tripeleigenschaft 
die Bezeichnung und Anordnung der Wurzeln ableiten lässt, die 
wir im vorigen Paragraphen für die Wendepunkte kennen gelernt 
haben. 

Jede der neun Wurzeln kommt in vier Tripeln vor, und im 
Ganzen existiren daher 4.9:3 = 12 verschiedene Tripel. Nehmen 
wir ein beliebiges von diesen Tripeln und bezeichnen dessen 
Wurzeln mit 

(0, 0) (1, 2) (2, 1). 

Dann sei (1, 1) eine beliebige vierte Wurzel. Diese bestimmt 
mit den drei ersten zunächst drei Tripel, die wir mit 

(1, 1) (0, 0) (2, 2), (1, l) (1, 2) (1, 0), (1, 1) (2, 1) (0, 1) 

bezeichnen, und es bleiben noch zwei Wurzeln übrig, die das 
vierte Tripel mit (1, l) bilden, und das wir nun mit 

(1, 1) (2, 0) (0, 2) 
bezeichnen. 

Wir suchen nun das durch (0, 0), (2, 0) bestimmte Tripel. 
In diesem können keine Wurzeln vorkommen, die mit einer der 
fceiden Wurzeln (0, 0), (2, 0) in einem der schon bestimmten Tripel 
vorkommen, also nicht 

(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2), (0, 2), 

und es bleibt für die dritte Wurzel dieses Tripels nur (0, 1) 
oder (1, 0) übrig, und dieselben beiden Wurzeln bleiben auch nur 



l ) Die Tripelgleichungen 9*ea Grades sind zuerst behandelt von 
Hesse in der Abhandlung: „Algebraische Auflösung derjenigen Gleichung 
)*■ Grades etc. u in Crelle's Journal, Bd. 34 (1847), gesammelte Werke, 
l 137. 

«) Vgl. Not her, Mathem. Annalen, Bd. 15 (1879): „Ueber die Glei- 
hangen 8*** Grades und ihr Auftreten in der Theorie der Curven vierter 
trdnung." 



412 Zwölfter Abschnitt. §. linj 

übrig für das durch (0, 0) (0, 2) bestimmte Tripel. Da wir aber 
noch (0, 2) mit (2, 0) vertauschen können, so beschränken wir 
die Allgemeinheit nicht, wenn wir die zwei weiteren Tripel 

(0, 0) (2, 0) (1, 0), (0, 0) (0, 2) (0, 1) 

annehmen. Nun bestimmen wir die Tripel, die (1, 0) enthalte, 
von denen zwei schon bekannt sind. Die beiden ander« 
müssen die Wurzeln (2, 2), (0, 1), (0, 2), (2, 1) enthalten. Da aber; 
(0, 1) (1, 0) (0, 2) und (0, 1) (1, 0) (2, 1) keine Tripel sind [wel 
(0, 1) (0, 2) das Tripel (0, 0) (0, 2) (0, 1) und (0, 1) (2, 1) du 
Tripel (1, 1) (2, 1) (0, 1) bestimmt], so haben wir die weiter» 
Tripel 

(2, 2) (0, 1) (1, 0), (1, 0) (0, 2) (2, 1). 
Ebenso ergiebt sich 

(0, 1) (2, 0) (1, 2). 

Endlich bilden wir noch je ein (0, 2) und (2, 0) enthaltend*. 
Tripel 

(0, 2) (1, 2) (2, 2), (2, 0) (2, 1) (2, 2), 

womit alle zwölf Tripel, und damit die Anordnung §. 108, (20) 
bestimmt sind. 

§• ho. 

Die Gruppe der Tripelgleichungen. 

Es soll nun die Galois'sche Gruppe P der Tripelgleichungei s 
bestimmt werden. Zunächst ist klar, dass in dieser Gruppe nur : 
solche Permutationen vorkommen, bei denen jedes Tripel wieder; 
in ein Tripel übergeht. Denn nehmen wir an, die Wurzeln ein« 
Tripels # x , x 2 , x 3 gehen durch eine Permutation in y^Vvh 
über, so folgt, da diese Permutation auf die Gleichung (1) §. 1W 
anwendbar ist. 

Vi = ® (3/a, Sfa)> 
und folglich ist y x die dritte Wurzel des durch y„ y 8 bestimmten 
Tripels. 

Gehen wir nun zu der Bezeichnung für die Wurzeln: 

(1) * = & ri) 

über, so ergiebt sich aus der Zusammenstellung der Tripel in 
den §§. 108 und 109, dass drei Wurzeln 

(2) x x = (£i, i?i), #j = (£ 2 , q a ), sj = (g 8 , qj) 



&. 110. Gruppe der Tripelgleichungen. 413 

immer dann und nur dann ein Tripel bilden, wenn 

Nennen wir eine Permutationsgruppe der (£, 17), deren Sub- 
stitutionen alle der vollständigen linearen Congruenzgruppe für 
den Modul 3 angehören (§. 94), eine lineare Gruppe, so gilt 
der Satz: 

1. Die Gruppe P einer Tripelgleichung ist immer 
linear. 

Mach §. 93 lässt sich jede Permutation der Grössen (£, 17) 
überhaupt in der Form darstellen: 

(4) r = »(fcij), q' = *(fc"ij) (mod3), 

worin g>, ty ganze, ganzzahlige Functionen der Variablen £, r\ 
sind, deren Grad in Bezug auf keine der Variablen den Werth 2 
übersteigt Ordnen wir diese Functionen nach 17, so können 
wir setzen: 

[5) p = An* + Bn + c % n' = A'n* + B*n + c; 

vorin A, 2?, C, A\ B\ C ganze Functionen von £, höchstens 
rom 2**° Grade sind. Wir wollen in den Gleichungen (4) die 
Variable § festhalten und t\ = 0, 1, 2 setzen, d. h. wir wenden 

[5) auf das Tripel (£, 0) (£, 1) (£, 2) an. Die entsprechenden 
& Vih (£i Vt), (& ^3) müssen dann den Relationen (3) genügen, 
ftko: 

ii = c, ni = c, 

Ü = A + B+C, t?2 = AI + B' + C, 
P . | 3 ' = ^_B + c, tf = 4' — B' + C\ 

bnd daraus folgt, dass A und 4' für jedes £ congruent mit Null 
|em müssen. 

Ebenso kann man schliessen, dass in den Substitutionen (4) 
kein Glied mit £ 2 vorkommen kann, und dass daher diese Sub- 
Ktutionen die Form haben müssen: 

17' = m' £?? -\- a! I -f V t\ + d 

enn man aber diese Substitutionen auf das Tripel (0, 0) (1, 1) (2, 2) 
endet, und die Summe der entsprechenden £' und rf gleich 
setzt, so folgt, dass m = m' = sein muss, und dass also 
e Permutation der Gruppe P in der Form 









414 Zwölfter Abschnitt i IM 

jj = a! £ + i i) + c 
enthalten sein muss, wie behauptet war. 

2, Umgekehrt gehen durch jede lineare Substitution 
von der Form (6) drei Grössen (£, ij) eines Tripeh 
in drei (£', t;') über, die gleichfalls ein Tripel 
bilden. 

Denn aus (6) folgt für irgend drei Zahlenpaare (£,, t;,). 
& 1.). fei 9i)- 

K + K+ßE«'(fc + fe4- W + * (fl. + n. + 1.) , mod J 

also wenn £, -j- | s -|~ |j und tj, -)- fa -f- ijj mit Null congrucat 
ist, so gilt dasselbe von den linken Seiten von (7). 

Hieraus lässt sich beweisen , dass jede Gleichung d*™ Grad«, 
deren Galois'sche Gruppe P in der vollständigen linearen Con- 
gruenzgruppe enthalten ist, eine Tripelgleichung ist, wenn noch 
die weitere Bedingung hinzukommt, dass durch die Gruppe P 
irgend zwei gegebene Wurzeln in zwei andere gleichfalls beliebi| 
gegebene Wurzeln übergehen, oder, was damit gleicbbedeuteuj 
ist, wenn P zweifach transitiv ist. 

Denn wenn P aus lauter linearen Substitutionen besteht, 
so reducirt sich P durch Adjunction zweier beliebiger Wurzln 
:•? = (£„ t] t ), #» = (£}, )ji) auf eine Gruppe P,, die nicht nur r,,/,. 
sondern auch die dritte Wurzel x 3 = (| s , ij 3 ) des durch x,. ^ 
bestimmten Tripels ungeändert lässt. und folglich gehört x^ dem 
neuen Rationalitätsbereiche an, und mithin ist x, rational dnrri 
x-,, x t ausdrückbar in der Form 
(8) x* = ® (Xt> *,)■ 

Wenn nun die Gruppe P zweifach transitiv ist, so giebt es eint 
Permutation in P, durch die jTj, x 3 in zwei beliebige ändert] 
Wurzeln •/,, y t übergehen, und durch die folglich auch .< m fl 
dritte Wurzel des Tripels t/„ i/ a , y 3 übergeht, und diese Penno- 
tation ist auf (8) anwendbar. Also ist auch 
y, -== (ft, •/,)• 

Wir sprechen dies als Satz aus: 

3. Jede Gleichung 9"" 1 Grades, deren Grupp< 
und zweifach transitiv ist, ist eine Tripel* 
g 1 e i c h u n g. 



I. 110. Gruppe der Tripelgleichungen. 415 

Durch die Permutationen einer zweifach transitiven linearen 
Gruppe kann jedes Tripel in jedes andere, und zwar in beliebiger 
Anordnung, übergeführt werden. 

Die Voraussetzung der zweifachen Transitivität kann auch 
M ausgedrückt werden, dass alle die Permutationen aus P, die 
eine Wurzel ungeändert lassen, die übrigen noch transitiv mit 
einander verbinden. Bezeichnen wir mit P die in P enthaltene 
Gruppe, durch deren Permutationen eine der Wurzeln, x , un- 
geändert bleibt, so muss P in Bezug auf die anderen Wurzeln 
noch transitiv sein. Ist aber die Gruppe P nur einfach transitiv, 
so ist P nicht mehr transitiv, d. h. nach Adjunction von x 
wrfillt die Gleichung für die übrigen acht Wurzeln in mehrere 
Factoren. Wenn die Gruppe P überhaupt transitiv ist; so kann 
hierbei x$ jede beliebige der Wurzeln sein; denn wenn ic eine 
Permutation von P ist, durch die x in x L übergeht, so bleibt 
durch P t = n~ 1 P n die Wurzel x x ungeändert, und wenn P 
für acht Wurzeln intransitiv ist, so muss auch P 1 für acht 
Wurzeln intransitiv sein, da sich die Permutationen von P x von 
denen von P nur durch die Bezeichnung der Wurzeln unter- 
scheiden (Bd. I, §. 160, 4.). 

Die einfach transitiven unter den linearen Gruppen haben 
einen specielleren Charakter als die Gruppe der Tripelgleichungen. 

Wir haben im §. 94 eine Zerlegung der allgemeinen linearen 
Congruenzgruppe für den Modul 3 kennen gelernt, an der wir 
Üese Verhältnisse übersehen können. 

Die Abel'sche Gruppe Q, die aus den Substitutionen 

[*) ? = { + «, v ' = V + ß (mod3) 

besteht, ist gewiss nur einfach transitiv; denn wenn eine Wurzel 
Inrch (9) ungeändert bleiben soll, so muss a = 0, ß = sein 
md alle Wurzeln bleiben ungeändert Jede Wurzel ist rational 
hrch jede andere ausdrückbar. 

Suchen wir nun in der Gruppe P die Gruppe P der Sub- 
ktutionen auf, durch die (0, 0) ungeändert bleibt, so enthält P 
ttr homogene Substitutionen und ist also der grösste gemein- 
fehaftliche Theiler von P und der homogenen Congruenzgruppe S, 
lud es ist P = P Q. 

Bilden wir für 5 die Compositionsreihe (§. 94): 

O, Oj, Sj, o 3 , o 4 , 




416 Zwölfter Abschnitt. 

so ist &, = ( ' \ , ( ' I , und durch S, gelten 

zeln (1, 1J, (2, 2) nur in einander über. Durch S, Q kann 
Tripel (0, 0) (1, 1) (2, 2) zwar jede Anordnung seiner Wui 
erfahren. Es kann aber nur noch in die beiden anderen Ti 
(1, 0) (2, 1) (0, 2); (0, 1) (1, 2) (2, 0) übergehen. S t Q ist 
einfach transitiv und ist überdies impri 

Durch die Gruppe S a , die aus S t unter Ilinzunal 
Substitution 

(-1:1 

entsteht, kann (1, 1), (2, 2) noch in (0, 2), (0, 1), aber nicl 
(2, 0), (1, 0) oder in (1, 2), (2, 1) übergehen. Also ist auch 
Gruppe SiQ noch nicht zweifach transitiv, wohl aber ist 
primitiv. Nehmen wir aber, um S ä zu bilden, noch die 

stitution 

0, 1\ 



reu Ti 
.ahne 



' 0, 1\ 

V-i,») 



hinzu, so geht (1, 1), (2, 2) in (0, 2), (0, 1) und in (1, 2), (2, 
(2, 0), (1, 0) über. Also ist die Gruppe S, Q zweifach 
und folglich auch S, Q und SQ. Es fangen also erat 
die Tripelgleichungen an. Die Gleichungen mit engeren G 
sind noch keine eigentlichen Tripelgleichungen. 

Wir können noch andere in SQ enthaltene lineare C 
bilden, z. B. wenn wir mit S' die cyklisclie Gruppe 3"" 

bezeichnen, die Gruppe 27"™ Grades S' Q = Q S'. Dn 
Gruppe S' geht (1,1) (2,2) in (1, 1) (2,2), (1,2) (2, 1), (1. 
über, während (0, 1) (0, 2) nicht daraus eutsteht Also i 
dies nicht die Gruppe einer Tripelgleichung. 

Die Gruppe P„ ist die Gruppe einer biquadratische 
chung, durch deren Wurzeln die vier Complexe §. 108, | 
stimmt werden, also im Falle der Wendepunkte der Com > 
Ordnung, die Gruppe der Gleichung §. 108, (12). 

In dem Ii.'itiiii.rilitiitsluT.jich der Coefficientw der 
der Curve dritter Ordnung hat diese hiquadratisc.ie Gl 
keinen Affect, weil sie sonst reducibel sein oder die zu der 
8""' Grades gehörige cuhische Resolveote [Bd. I, §. H 
oder (18)] eine rationale Wurzel haben müsste, was beid 



111. Realitätsverh&ltnisse. 417 

sr Fall ist. In diesem Rationalitätsbereich ist also die Gruppe 
sr Gleichung, von der die Wendepunkte abhängen, die all- 
emeine lineare. Nach §. 108, (13) reducirt sie sich aber 
.urch Adjunction von V — 3 auf die Gruppe S^ Q. 

§. 111. 
Realitätsverhältnisse der Tripelgleichungen. 

Wenn der Rationalitätsbereich reell ist, so können wir über 
Ke Realität der Wurzeln einer Tripelgleichung 9 Un Grades einige 
lügemeine Schlüsse machen. Wenn in diesem Falle nämlich in 
nnern Tripel zwei reelle Wurzeln vorkommen, so muss, wie aus 
ler Gleichung x l = (x u x t ) folgt, auch die dritte Wurzel reell 
qm. Wenn also überhaupt eine imaginäre Wurzel vorhanden 
it, so muss in jedem der vier Tripel, dem diese Wurzel an- 
;ehört, mindestens noch eine zweite imaginäre Wurzel vor- 
lommen , und folglich ist die Anzahl der imaginären Wurzeln 
tuidestens gleich 5, oder, da die Zahl der imaginären Wurzeln 
trade sein muss, gleich 6. Zwei reelle oder zwei conjugirt 
üginäre Wurzeln a^, a? 2 gehören immer einem Tripel an, dessen 
litte Wurzel reell ist; dies ergiebt sich aus der Gleichung: 

x % = ®{x x , x 2 ) = @(x 2 , x x ). 

Wir wollen demnach ein Tripel, was zwei reelle oder zwei 
mjugirt imaginäre Wurzeln enthält, ein reelles Tripel nennen. 
Tenn in einem Tripel imaginäre Wurzeln vorkommen, so bilden 
ich die conjugirt imaginären Wurzeln ein Tripel, und zwei 
liehe Tripel sollen conjugirt imaginäre Tripel heissen. 

Es giebt dann drei Möglichkeiten: 

1. Lauter reelle Wurzeln. 

2. Eine reelle und acht imaginäre Wurzeln. 

In diesem Falle müssen die vier Paare conjugirt imaginärer 
farzeln vier Tripel bestimmen, die alle dieselbe reelle Wurzel 
■ dritte enthalten. Bezeichnen wir diese reelle Wurzel mit 
\ 0), so müssen 

(1,2) (2,1), (1,1) (2, 2), (1,0) (2,0), (0,1) (0,2) 
t vier Paare conjugirter Wurzeln sein. 

3. Drei reelle und sechs imaginäre Wurzeln. 
Die drei reellen Wurzeln müssen hier ein Tripel bilden. 

ihmen wir für die reellen Wurzeln 

Weber, Algebra. II. 27 



418 Zwölfter AbBchnitt. 

(1) (0,0) (1, 1)(2, 2), 

so können in den beiden Reihen 

,„, (1, 2) (0, -') fl, 0), 

(2,1) (2,0) (0,1), 
conjugirt imaginäre Wurzeln nicht in derselben Reihe toi 
kommen, weil sonst die dritte Wurzel der betreffenden Reih 
reell wäre. 

Es ist zu zeigen, dass die durch die conjugirt en Paare ■ 
stimmten drei reellen Tripel zusammen alle drei reellen Punkt 
enthalten müssen. 

Nehmen wir nämlich an, unter den drei Tripeln 

(0, 0) (1, 2) (2, 1), (ü, 0) (2, 0) (1, 0), (0, 0) (0, 1) (0, 2) 
kommen zwei reelle vor, so muss auch das dritte reell sein. d. h. 
es müssen 

(1,2) (2,1), (2,0) (1,0), (0,1) (0,2) 
eonjugirte Paare sein. Dann aber bilden die drei WutmU 
(1, 1) (2, 0) (0, 2) ein Tripel, deren eonjugirte (1, 1) (l. 0} ffl 
kein Tripel bilden, was unmöglich ist. Jede der drei nv^m 
Wurzeln (0, 0), (1, 1), (2, 2) kommt also ausser in (1| no'.li m 
einem und nur in einem reellen Tripel vor, dessen beide anderen 
Wurzeln conjugirt imaginär sind, und der dritte Fall führt also n 
der Anordnung der reellen und imaginären Wurzeln, die wir M 
den Wendepunkten der Curve dritter Ordnung kennen gelernt haben. 

Dass aber auch die Fälle 1. und 2. vorkommen kotin«] 
lehrt folgende Betrachtung: Aus einer allgemeinen Gleichung 
9" n Grades erhält man eine Tripelgleichung durch Adjunetwi 
einer zu der linearen Gruppe SQ gehörigen Function. Eint' 
solche Function ist z. B.: 

v = (0,0) (1,1) (2,2) + (0,0)(1,2) (2,1) + (0,0) ( I 

+ (0,0) (0,1) (0,2) + (1, 1) (1,2) (1,0) -f- (1,1) (2, Ij fO.ll 

+ (1,1) (0,2) (2,0| -f (1,2) (0, 1) (2,0) + (2,2) ! 

+ (2,2) (1,2) (0,2) + (2,2) (0,1) (1,0) + (M) (0,2) (I "■ 
und diese Function ist reell in den Fällen 1., 2., 3. Also 
auch der erweiterte Rationalitätsbereich, in dem unser'- QUilliH 
eine Tripelgleichung ist, reelL 



» 



Dreizehnter Abschnitt. 



>ie Doppeltangenten einer Curve vierter Ordnung. 



§. 112. 

Anzahl der Doppeltangenten einer Curve 

vierter Ordnung. 

Ein geometrisches Problem, das wegen seiner mannigfachen 
^Ziehungen zu anderen Gebieten von besonderer Bedeutung ist, 
18 zugleich in ähnlicher Weise, wie das Problem der Wende- 
rokte der Curven dritter Ordnung, merkwürdige algebraische 
erhältnisse bietet, ist das der Doppeltangenten der Curven 
erter Ordnung. 

Unter einer Doppeltangente einer Curve versteht man, 
ie schon im §. 103 bemerkt ist, eine gerade Linie, die die 
nrve in zwei verschiedenen Punkten berührt Bei Curven von 
iedrigerer als der vierten Ordnung können Doppeltangenten 
icht auftreten. 

Bei den Curven vierter Ordnung hat eine Doppeltangente 
isser den Berührungspunkten keinen Punkt mit der Curve 
smein. In besonderen Fällen können die beiden Berührungs- 
lokte auch zusammenfallen. Dann haben wir Linien mit vier- 
inktiger Berührung. 

Die Bestimmung der Doppeltangenten wird als algebraisches 
roblem von einer gewissen algebraischen Gleichung abhängen, 
ren Grad gleich der Anzahl der Doppeltangenten ist, und die 
ite Frage ist die nach dem Grade dieser Gleichung, also nach 
r Anzahl der Doppeltangenten. Wir beschränken uns hier auf 
> Betrachtung von Curven vierter Ordnung, obwohl der Weg, 
a wir gehen, auch auf Curven höherer Ordnung anwendbar 

27* 



420 Dreizehnter Abschnitt. 

ist. Wir setzen aueli voraus, dass die Curve vierter Ordnung 
frei von singulären Punkten sei 1 ). 

Es möge jetzt /"(a;,, x t , x s ) oder kürzer f(x) eine ternäre 
Form 4 Un Grades sein, die, gleich Null gesetzt, eine Curve vierter 
Ordnung ohne singulären Punkt darstellt, die wir die Curve / 



Setzen wir in der Gleichung 

(1) /(*,,* a ,a- s ) = 

an Stelle der Variablen Bj, x„ x s Ausdrücke von der Form 

3 t -Hy,, x 1 ~! r ty 1 , *s + ^ 3 . 
so ergieht sich eine Gleichung 4 ,eD Grades in Bezug auf (: 

(2) /te + (j)=0, 

deren Wurzeln, wenn (x) und (>/) zwei feste Punkte sind, b 
x -4- ty eingesetzt, die Coordinaten der Schnittpunkte der Ver- 
bindungslinie der Punkte (x), (y), die wir als die Linie (/. j 
bezeichnen wollen, mit der Curve / geben. 

Es werde nun die Function / (x -J- ty) nach Potenzen t 
geordnet Dies giebt (nach Bd. I, g. 66): 
(S) /(* + **) = 

worin die P, (a:, y) die Polaren von / (x) sind , also honn 

') Jaoobi, „Ueber die Anzahl der Doppel langen len ebene 
braisoher Curven", Crelle's Journal, Bd. 40 (1860). Clebsch " 
zu Jacobi's Beweis für die Anzahl der Doppeltangenten", ebend., 
(1864). Au» der ziemlich umfassenden Literatur über die Theori« 
Doppeltengenton einer Curve vierter Ordnung Bind die folgenden äch 
hervorzuheben. Zunächst mehrere Arbeiten von Hesse 
Journal, Bd. 41, 49, 52. (1865, 1866, Gesammelte Werke, S. 319, ! 
Ferner Steiner, Eigenschaften der Curven vierter Ordnung r 
ihrer Doppeltangenten, Crelle's Journal, Bd. 49. (1852, GeaammelteW 
Bd. 2, S. 605.) Aronhold, Monatsber. d. Berl. Akademie 1664. 
„lieber die Doppcltangenteu einer ebenen Curve 4'™ Grades", Math. Ann 
Bd. 1 (1868). Cayley, Crelle's Journal, Bd. 68 (1868) (C«llected | 
vol. VII, p. 123). Auch das oben citirte Werk von Salmon iat biet h 
vorzugeben. In neuerer Zeit wurde die Theorie der Doppellangt 
Zusammenhange mit der Theorie der Abel'schen Functionen i 
gebildet. Riemann, Gesammelte mathematische Werke (2. Aufl. 1 
XXXI, aus dem Nachlass. Weber, Theorie der Abel'achen Fune 
vom Geschlecht 3, Berlin 1876. Frobeniua, Crelle's Journal, I 
103. Die algebraische Seite der Frage ist in zwei Abhaudlungeu: 
Math. Annalen, Bd. 15 nnd Weber, ebend., Bd. 23 behandelt. 



Anzahl der Doppeltangenten. 421 

tionen v 161 Ordnung in Bezug auf j/, und (4 — v) Ut Ordnung 
tzug auf x. Es ist nämlich 

-Po (*. V) = f (* )> 

P* (*, y) = -J- 2 xtf fr,), 

Wenn (a) auf der Curve / liegt, so wird P = 0, und eine 
;el der Gleichung (2) verschwindet. Nehmen wir ausser- 
noch (y) auf der Tangente im Punkte (x) an, so ist auch 
•, y) = 0, und es verschwinden zwei Wurzeln von (2). Die 
n übrigen werden nach (3) durch die quadratische Gleichung 

6P 3 -f 4*P 8 + * 2 P 4 = 

nmt. Wenn diese Gleichung zwei gleiche Wurzeln hat, so 
die Linie (#, y) noch einen zweiten Berührungspunkt mit 
Jurve / haben, d. h. sie wird Doppeltangente sein. Die Be- 
ng hierfür ist aber die, dass die Discriminante der Glei- 
* (5) verschwindet, oder dass 

J R(*, 2 /) = 2P 3 2 -3P 4 P 2 

i Null sei. Hierin ist jR (x, y) eine in Bezug auf jedes der 
n Systeme (x) und (y) homogene Function, und zwar für 
vom 2 ten , für die y vom 6 ten Grade. Es ist aber noch zu 
rken, dass die Gleichung R = auch dann erfüllt ist, wenn 
in beliebiger Punkt der Curve ist, und (y) mit (#) zu- 
tenfallt, weil dann 

P 2 {x, x) = P 3 (s, x) = P 4 (*, x)=f(x) = 

Sonst aber wird jfö nur dann verschwinden, wenn die Linie 
eine Doppeltangente ist. Wir stellen also den Satz auf: 

. Die Gleichung R(x, y) = ist, wenn (x) ein Punkt 
der Curve / und (y) ein von (x) verschiedener 
Punkt der Tangente in (x) ist, die nothwendige 
und hinreichende Bedingung dafür, dass (x) ein 
Berührungspunkt einer Doppeltangente sei. 

Is kommt nun darauf an, aus dieser Bedingung eine andere 
leiten, die nur die x allein enthält, und die für keii& 



L 



422 Dreizehnter Aliscbnitt. S, 111 

linderen Punkte als die Berührungspunkte der Doppeltangent r. 
befriedigt iat. 

Die Variablen y genügen der Tangentengleichung 

(7) !/,/>,) + i/a/'OM + *f<&> = 0- 

Bezeichnen wir niit &, , b a , b K irgend drei willkürliche kon- 
stanten, und Betzen 

(Sj b x = 6, ar, + 6, X, + 6 3 z 3 , 

so dass b t — die Gleichung einer willkürlichen geraden Unie ] 
ist, so können wir zu (7) noch die Gleichung 

(») V<A + Mi + M 3 = t> 

hinzunehmen, also (>/) als den Schnittpunkt der Tangente in <z) I 

inil der beliebigen geraden Linie b m auffassen. Dann erhalten *ir I 

y > = b t /'(x,)-b i f'(x,), 

* = *,/<*)-*,/'(*). 

und hierdurch ist die Bedingung (7) identisch befriedigt, Dun-Ii 
diese Substitution geht B (x, y) in eine homogene Function 
20"™ Grades der x und 6**" Grades der 6 über, die wir mit 
D(x, b) bezeichnen wollen. Diese Function D(x, b) ?eraohwteH 
aber ausser in den Berührungspunkten der Doppeltan'-' 
in den vier Schnittpunkten der Geraden b x mit der Curve /, «all 
dort Xi'.Xj-.Xt = j/| :j/a : J/i i*t. Diese Bedingung rauss nun noch ] 
so umgeformt werden, dass sie von den b unabhängig wird. 

Gehen wir von dem Punkte (y) zu einem beliebigen udOB 
Punkte der Tangente über, so können wir dies dadurch erreichen, I 
dass wir y durch px -\- i.y ersetzen, worin A, /* zwei willkürliche 1 
Parameter bedeuten. Dadurch geht/(i -\- ty) in 

/[(l + pl) X + 1!;,] = (1 + (.()</(•« + r . i( 
über, und die Entwickelung (3) ergiebt, wenn wir 

P„ (x, y), P, (*, //), P, («, p* -4- Ay) 
gleich Null setzen: 

= 6(»P,(a- 1 ^* + ^) + 4(»P 1 (a: 1 (»a: + ij) + (»P i (*,|i* + Jly), | 

also, wenn wir beiderseits nach Potenzen von ( ordnen: 



112. 



Anzahl der Doppeltangenten. 



423 



P 9 (z,px+Xy) = X*P 2 (x,y), 

Psfrpx + Xy) = 3A'ft P 2 (x,y) + X*P 3 (x,y), 

Pt(x,px+Xy) = 6A«fft>P 1 (af f y) + 4A»fftP,(af 1 y) + A*P 4 (a? 1 y) l 

;Wid hieraus erhält man nach (6): 

11) JR {x, px + Xy) = X*R (x, y). 

Diese Formel gilt aber nicht identisch, sondern nur unter 
Voraussetzung, dass (x) ein Punkt der Curve sei, also dass 

(x) = ist. 

Der Punkt (px -f- Xy) kann ein ganz beliebiger Punkt der 

'angente in (x) sein, und daher können wir, wenn a h a 2 , 03 
n willkürliche Grössen sind, über ft, X so verfugen, dass 

P*i + *& = ««/' (#3) — <hf to), 

12) (ix t -f Xy % = 03 /' (*,) — % /' (a?,), 

px z + Ay s = ax /' (x 2 ) — <h f (x x ) 

mrd. Dann ist (11 x + *y) der Schnittpunkt der Tangente mit 
Geraden a x = 0, wenn 

13) a x = a x x x -|- «a#j -f- 03^3 

ist Dadurch geht R (x, px -\- Xy) in D (#, a) über. 
Um nun A und ft zu bestimmen, multipliciren wir die Glei- 
tgen (10) und (12) mit Oj, 02, a s , sodann (12) mit 6 n b 2 , 6 3 
addiren jedesmal. Dadurch erhalten wir mit Rücksicht auf 
= 0: 

a v = — f*6* = 2 ± «i 69/' (a*) 

daraus 

Xb x = a x . 

Hiernach lässt sich die Gleichung (11) so darstellen: 

D (x, a) _ D (x, b) 



<14) 



a% 



b% 



id zeigt in dieser Form, dass der Quotient D (x, a) : a x von 
1 willkürlichen Grössen a unabhängig ist. Die Gleichung (14) 
aber keine Identität, sondern sie ist nur befriedigt, so lange 

(x) = ist. Wir können aber eine Identität daraus herleiten, 
in wir annehmen, dass f(x) irreducibel sei (oder wenigstens 

inen mehrfach zählenden Factor enthält). Es ist nämlich die 

Arm 26 itcn Grades 

b%D{x,a) - a« x D{x,b) 



4-24 Dreizehnter Abachnili 

gleich Null für alle der Gleichung f(x) = genügenden Werl 
von (x), und folglich muss sie durch /(x) theilbar sein, fl 
können also, wenn wir mit <&(.r, a, b) eine Form 22" eu Urad 
, setzen: 



(15) b°I)(x, a) — d&D(x, b) = /(x)tf (x, u, b). 

Denken wir uns in (15) für einen Augenblick ein cet 
Coordinatcnsystem eingeführt, in dem die Linien a*, b x zwei Ai 
sind, von denen wir voraussetzen, dass sie sich nicht tof i 
Curve / schneiden, so folgt aus der Vergleichung der recht 
und linken Seite der identischen Gleichung (15), das? in <P h 
Glied vorkommen kann, was nicht entweder mit a* oder mit 
multiplicirt ist, und folglich hat «P die Form 

* (x, a, b) = öS <P t (x) — b% *! (x), 
worin <P,, * a Formen !6 ter Ordnung sind. Demnach erhält i 
identische Gleichung (15) die Form 

M[2>(*, a) + /(x)«,(*)] = ai[D(x, b) + /(*)»,<*» 
und sie zeigt, dass Dfx, u) +/fx)«P,(x) durch «2 Uteübil 
Es existirt also eine Form 14 l " n Grades %(z, a. &), so dass 
„„. D(x, a) . ,. . . *i i./'. o, t>) 

(Iß) ~~aS = x(a: ' a ' 6) ~ ^ ^ ■ 

Setzen wir hierin für die a und b irgend speciclk', i, 
rationale Werthe c, d, und bezeichnen x( x i c < **)( was dann 
noch von j: und von den Coefh' deuten der Form f(x) abbat 
ist, mit %(x), so folgt: 

. $, (x, c, d) 



und wenn wir dies von (16) subtrahiren und die Itelal 

für b = c benutzen: 

(17) ,(* o, 6) -[(<) = /(.,) >/'(.>, 

worin *P"(x) eine Function ist, die jedenfalls keinen 

Nenner enthalten kann, als ein Product von Potenzen ■ 

und c x . Da aber/(x) nicht durch a x uud c c theilbar ist, so i 

*P(x) eine ganze Function sein, und (16) erglebt, wenn wir 

ö(jj eine neue Form von x (vom Grade 16) bezeichnei 



\ TOI 



[dehnen: 



113. Die Steiner'schen Complexe. 425 

Diese Gleichung zeigt aber, dass die Curve 14 ten Grades: 

19) % (*) = 0, 

ie von den a gänzlich unabhängig ist, durch die Berührungs- 
unkte der Doppeltangenten, aber durch keinen anderen Punkt 
er Curve f(x) hindurchgeht 

Die Function %(x) ist rational von den Coefficienten der 
fleichung f(x) abhängig. Es giebt unendlich viele verschiedene 
sicher Curven, unter denen sich auch Covarianten von f(x) 
nden. Man kann sie, wie Hesse nachgewiesen hat, in einfacher 
feise durch Determinanten ausdrücken. 

Hier ziehen wir daraus den Schluss: 

2. Eine Curve vierter Ordnung ohne singulären 
Punkt hat 28 Doppeltangenten. 

Einem Bedenken gegen diesen Schluss ist aber noch zu 
egegnen. Es wäre denkbar, dass die Curve % die Curve / be- 
ührt, oder dass die Curve / durch singulare Punkte der Curve % 
indurchgeht. Dann würde sich die Anzahl der Schnittpunkte 
nd möglicherweise auch die Anzahl der Doppeltangenten ver- 
lindern, so dass unsere Schlussweise eigentlich nur lehrt, dass 
ine Curve vierter Ordnung nicht mehr als 28 Doppeltangenten 
aben kann. Dies Bedenken wird sich aber durch die folgenden 
etrachtungen von selbst dadurch erledigen, dass wir Formen der 
tirvengleichung kennen lernen werden, bei denen die Existenz 
►n 28 verschiedenen Doppeltangenten ersichtlich ist. 



§. 113. 
Die Steiner'schen Complexe. 

Wenn x x = die Gleichung irgend einer Doppeltangente 
r Curve vierter Ordnung / = ist, die wir kurz die Doppel- 
ngente a\ nennen, so muss, wenn man x x = setzt, / in ein 
ladrat übergehen. Daraus ergiebt sich, dass / von der Form 
in muss: 

) f = Xl V— t(2, 

>rin V eine cubische, u eine quadratische Form ist. Der 
mction / kann aber auf dreifach unendlich viele Arten die 
;stalt (1) gegeben werden. Denn bedeutet p eine beliebige 



geb 

und 

der 
die 

aus 



426 Dreizehnter Abschnitt, g II 

lineare Function, die drei willkürliche Constanten enthält, -•■ 
folgt aus (1): 

/ = a-, (K + 2j>« + **) - (« + jix,)», 

was wieder von der Form (1) ist. 

Ist nun i/i = die Gleichung einer zweiten von x, ver- 
schiedenen Doppeltangente, so können wir die Const;mten inj 
(und zwar noch auf unendlich viele verschiedene Arten) « 
wählen, dass der Kegelschnitt h -\- yx t = durch die beiden 
Berührungspunkte von y l geht, und wir können daher annehmen. 
dass schon in der Form (1) die Function m so gewählt sei. Dann 
muss in denselben Punkten auch die cubische Form V ver- 
schwinden. 

Aber noch mehr: Da die Linie j/, = Doppelten 
soll, so muss, wenn wir #,, y, und irgend eine dritte daron 
unabhängige lineare Function z als Variable einführen, in Jen 
Berührungspunkten 

/'(z,) = 0, /'W = o 
sein, und daraus folgt nach (1): 

V (*,) = 0, V (*) = 0, 

d. h. die Curve dritter Ordnung V = wird von der Linie i^ — 
in den Berührungspunkten mit/ berührt, und dies ist nur mög- 
lieh, wenn F zerfällt und die Function y t als TheiKr eafbfl 
Hiernach erbalten wir eine neue Gestalt der Function /: 

(2) f=x 1 , Jl v-u\ 

worin w, v Functionen zweiten Grades sind. 

Sind x t , iji irgend beliebige lineare, m, v quadratische Formen 
von drei Variablen, so stellt die durch (2) bestimmte Function /. 
gleich Null gesetzt, eine Curve vierter Ordnung dar, von der i, 
und i/ L zwei Doppeltangenten sind. 

Sind umgekehrt x, und »/, zwei beliebige Dopj>< 1 

r Curve vierter Ordnung / = 0, so kann / auf die Form (i) ' 
gebracht werden. 

Denken wir uns die Coefticienten von x t und ;/, als vaniM 
und lassen diese Grössen so variiren, dass *, und y, sich auf 
der Curve / schneiden, so wird ein Doppelpunkt eintreten, und 
die Doppeltangenten, arten aus in zwei von dem Doppelpunk» 
auslaufende Tangeuten. 



. 113. Die Steiner'schen Complexe. 427 

Fallen die Doppeltangenten in eine Linie zusammen, so treten 
zwei Doppelpunkte auf. 

Dagegen können sehr wohl, ohne dass singulare Punkte ent- 
stehen, die beiden Berührungspunkte einer Doppeltangente zu- 
sammenfallen, und so die Doppeltangente in eine vierpunktig 
berührende Tangente übergehen. Dies tritt ein, wenn die Linie 
s, den Kegelschnitt u berührt 

Auch die Form (2) ist noch mit Beibehaltung von x u y x auf 
unendlich viele Arten herzustellen. 

Nehmen wir, um dies einzusehen, an, es sei 

/ ' = *i 2/i *> — «* a = #i 2/i *! — u*, . 
so folgt die identische Gleichung : 

(3) x x y x (v — v x ) = (w — u x ) (u + u x ). 

Wenn nun u — ttj durch a^, u-\-u x durch y x theilbar wäre, 
so würde im Schnittpunkte von y x und x x auch u und folglich / 
verschwinden. Dieser Schnittpunkt würde auf der Curve / liegen, 
was, so lange die Curve keinen singulären Punkt hat, nicht 
möglich ist. Es muss also einer der beiden Factoren u — u x , 
«-f-% in (3) durch x x y x theilbar sein. Da das Vorzeichen von 
«! noch nicht bestimmt ist, so können wir annehmen, es sei 
* — u x durch Xj y x theilbar, und also bis auf einen constanten 
Factor mit x 1 y x identisch. Es wird dann, wenn X ein solcher 
Factor ist, 

und die Function / erhält die Form: 

(*) / = *iffi + 2 Au + A'xiSJi) — (ii + Iziyi)*- 

Umgekehrt sind für jedes beliebige X die Formeln (2) und 

(4) mit einander identisch. 

Wenn wir nun X so bestimmen können, dass die quadratische 
Function v -[- 2 Xu -f- X 2 x x y x in zwei lineare Factoren zerfällt, 
*o erhält, wenn wir u -f- Xx l y 1 = u x setzen, / nach (4) die 
Gestalt 
}) f = x l y l Xi y 2 — uf, 

ind diese Form zeigt, dass # 2 , y 2 zwei weitere Doppel- 
angenten sind, und dass die acht Berührungspunkte der 
•oppeltangenten .r^ y x , .r 2 , y 2 auf einem Kegelschnitte u x = 
3gen. 



428 Dreizehnter Abschnitt §. Hl 

Nun ist die nothwendige und hinreichende Bedingung dafäi; 
dass eine ternäre quadratische Form in zwei lineare Factor» 
zerfalle, die, dass die Determinante der quadratischen Form yct-^j 
schwinde (Bd. I, §. 62). ; 

Drücken wir die Formen u, v durch x x , y 1 und irgend eine 
dritte Variable y aus, und bezeichnen die Coefficienten in t? und 
u mit a,- k , b ik , so dass 2a ss , 2b n die Coefficienten von x^ 
werden, so erhalten wir die Bedingung für das Zerfallen toi 
v -\- 2 Xu -f- X^x l y 1 in der Form: 

| a n -\-2Xb n , a 12 -f 2A6 12 , a 13 -{-2Xb l3 

(6) a 2l + QXb 2l ,a 2 < t + 2Xb 22 > a 23 + 2^6,34-1^ =0, 

a S i + 2 ^ ft 3i, «32 + 2A63 2 + ^ 2 i 033 + 2^653 j 

und dies ist eine Gleichung 5 ton Grades in Bezug auf A, die um 
also fünf Zerlegungen giebt: 

#2 2/21 #5 J/3, #4 2/4, #6 2/5i #6 06- 

Ueber die Coefficienten in / lässt sich, wie (6) zeigt, so ter- 
fügen, dass alle die so bestimmten Functionen a\t/ t von einander 
verschieden sind, und daraus folgt, wie oben gezeigt, dass se 
verschieden bleiben, so lange die Curve / keine singulären Punkte 
hat. Es gilt also der folgende Satz: 

1. Zu jedem Paare von Doppeltangenten x x y x ge- 
hören fünf weitere Paare #,•*/,• von der Art, dass 
die acht Berührungspunkte von x 1 y 1 Xiy% auf 
einem Kegelschnitte liegen. 

Die sechs Paare von Doppeltangenten, die auf diese Weise 
bestimmt sind: 

#1 2/li *2 2/21 *3 2/31 *4 2/41 #> 2/5, *6 2/6, 

wollen wir einen Steiner'schen Complex nennen 1 ). 

Betrachten wir die Paare x Y y xi # 2 2/*i ^s 2/s eines solchen a 
Complexes, und setzen '\ 

f = #i 2/i * 2 2/2 — «** = #i 2/i *3 2/3 — *?, 
so folgt daraus die Identität 

•'i 2/i (*2 2/2 — •* s 2/3) = («1 — Wa) Oi + "2)1 



') Es ist dafür bisher gewöhnlich der Ausdruck Steiner'i«« 6 
Gruppe gebraucht. Da aber das Wort „Gruppe" in der Algebra «■• 
ganz bestimmte andere Bedeutung hat, so ziehen wir es vor, diesen Ab 1 * 
druck hier zu vermeiden. 



§. 113. Die Steiner'schen Complexe. 429 

und daraus wie oben 

Ux — u, = hx 1 y l 

€1 , „ _ ^2 »2 — #3 #3 

worin % eine Constante bedeutet, also 
und danach wird 

(7) if=4*iy l x i y* - (hx lVl + 2»*^**)". 

Dieser Gleichungsform können wir eine elegantere Gestalt 
geben, wenn wir 

durch 

X\ ) *4>2 ) *^8 

ersetzen. Dann bedeuten die neuen x u # s , a; 8 , gleich Null gesetzt, 
dieselben Linien wie die ursprünglichen, da sich ja beide nur 
durch einen constanten Factor unterscheiden, und es ergiebt 
ach aus (7): 

(8) — 4/ = (x 1 y l + x 7 y 2 — x 3 y^ — 4a? 1 t/ 1 ^«/ 2 

= ^i 3 yi a + ^ 2 ^ + ^ 2 y 3 2 

— 2x 2 y 2 x z y 3 — 2# 1 t/ 1 #jt/ 2 — 2 #, y x # 8 y s , 

und die Gleichung / = kann auch in der eleganten irratio- 
nalen Form 

*i2/i + SaJ/a — x 3 y s = — 2 Vx x y x x. 2 y 2 
oder 

(9) Va?i Vi + V# 2 2/a + V*sSfe = 

dargestellt werden. Aus (9) können wir wieder rückwärts die 
Form (8) herleiten. Weil aber (9) ganz symmetrisch ist, so 
können wir die drei Paare vertauschen und erhalten z. B. auch 

4x 2 y 2 x s y 3 = (— x x y x + x 2 y 2 -f x 3 y^\ 

woraus zu ersehen ist, dass auch die Berührungspunkte von 
hVi&iyz auf einem Kegelschnitte liegen, und dass in dem Com- 
plex, den man aus x 2 y 2 erhält, nicht nur das Paar x x y x , sondern 
auch das Paar x z y A und folglich alle Paare #,t/» vorkommen, 
iass also dieser Complex von dem aus x Y y x abgeleiteten über- 
laupt nicht verschieden ist. Wir haben also den Satz: 



i 



430 Dreizehnter Abschnitt. g. HS. 

2. Die Paare eines Steiner'schen Complexes haben 
die Eigenschaft, dass die acht Berührungspunkte 
von irgend zweien dieser Paare auf einem Kegel- 
schnitte liegen und dasB man immer denselben 
Complex erhält, von welchem der sechs Paare 
man ausgehen mag. 

Hieraus ergiebt sich, dass drei Doppeltangenten eines 
Steiner'schen Complexes, wie x t , y lt ar 5 , von denen zwei ein 
Paar des Complexes bilden, ihre sechs Berührungspunkte auf 
einem Kegelschnitte haben. Dagegen giebt es wieder Systeme 
von drei Doppeltangeuten (Tripel), deren sechs Berührungspunkte 
nicht auf einem Kegelschnitte liegen. 

Nach einer von Frobenius eingeführten Bezeichnung bilden 
drei Doppeltangenten, wie x„ y„ x Jt deren Berührungspunkte anf 
einem Kegelschnitte liegen, ein syzygetisches Tripel. Drei 
Doppeltangenten, deren sechs Berührungspunkte nicht auf einen 
Kegelschnitte liegen, bilden ein azygetiscb.es Tripel. Ent- 
sprechend wollen wir vier Doppeltangenten, deren acht Berüh- 
rungspunkte auf einem Kegelschnitte liegen, ein syzygetisches 
Quadrupel, und irgend ein System von Doppeltangentea, «n 
denen je drei azygetisch sind, ein azygetisches System nennen. 

Hier gilt nun der folgende wichtige Satz: 

3. Drei Doppeltangenten, die in einem Stein e r 'scbeu 
Complexe vorkommen, so dass keine zwei von 
ihnen ein Paar bilden, wie #,, x,, j- 3 , sind immer 
azygetisch. 

Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich eiufach aus der 
Gleichungsform (9). Aus ihr ersieht man zunächst, dass die (Ina 
Linien x„ a;„ x s sich nicht in einem Punkte schneiden; deun ein 
solcher Schnittpunkt würde auf der Curvc / liegen und öte 
daher ein singulärer Punkt. Wir können also as,, x», Jj all 
Coordinateu einführen und demnach 

y 1 =a l x l +«,*, + «, I), 

,j 2 = ß l x l 4-A*i + A*. 

J. = 7i«i + Y**» + Vr>Xs 
setzen. Hierin kann keine der drei Constanten a,, ß^, y, ver- 
schwinden. Denn wenn z. B. «, = ist, so schneiden sich nach 
(9) die Linien x a , at 3 , f/i auf der Curve /, und dieser Schnittpunkt 
müsste ein singulärer Punkt sein. 



§. 114. Complexpaare und Complextripel. 431 

Nach der Gleichung (9) ergeben sich aber die Coordinaten 
der Berührungspunkte von x x , x 2 , x l aus den folgenden drei 
Paaren von Gleichungen, von denen jedes Paar zwei Berührungs- 
punkte giebt: 

x x = 0, x % (ß 2 x 2 + ß z X; t ) — 3% (y 2 x 2 + 7*2*) = 0, 

x t = 0, äs (V% x s + Yi x i) — x i ( a s *3 + *i*i) = °i 

«3 = 0, X x (CC 1 X 1 + OjiTj) — X % {ß x X x -f ft**) = 0. 

Sollen nun diese sechs Punkte auf einem Kegelschnitte 
<p = liegen, so muss q> 9 von einem constanten Factor A ab- 
gesehen, für #! = in den linken Theil der zweiten Gleichung 

4J68 ersten Paares sc, (fts* + ß& x s) — x s (?* x 2 -j- ys^s) über- 
gehen. Bezeichnen wir also mit a n a 2 , a* die Coefficienten von 
je,', a£, x* in 9, so muss 

<h = *i ft » «3 = — *i y» 
(10) 05 = Ä 2 y 3 , ai = — A^ 

A4 = A 3 a x , a 2 = — A s /3 2 

sein, und hierin sind h l1 A 2 , A 3 drei Constanten. 
Aus (10) folgt aber: 

ä 2 = — A 8 , A3 = — A n A x = — 7* a , 

und dies wäre nur möglich, wenn h x = A 2 = A 3 = wäre. 

Dies ist aber nur dann der Fall, wenn 04, a 2 , a 3 verschwinden, 
wenn also der Kegelschnitt q> durch die Schnittpunkte der drei 
Geraden ^,^,a^ geht. Er soll aber durch die Berührungs- 
punkte dieser drei Doppeltangenten gehen, die sicher von ihren 
drei Schnittpunkten verschieden sind. Also ist unsere Annahme 
als unmöglich nachgewiesen und der Satz 3. bewiesen. 

§. 114. 
Complexpaare und Complextripel. 

Die Sätze des vorigen Paragraphen geben ein vorzügliches 
flülfsmittel, um die mannigfachen geometrischen und algebraischen 
Beziehungen der Doppeltangenten zu erforschen und darzustellen. 
Wir beschränken uns hier auf das, was für die Erreichung unseres 
Hauptzieles, nämlich der Bestimmung der Galois 'sehen Gruppe 
des Problems, erforderlich ist. 

Wir gehen von einem beliebig herausgegriffenen Steiner 5 - 
sehen Complexe aus: 

l) *lj/l, #22/2, *3#M #4*/4, #5*/5, #62/6- 



432 Dreizehnter Abschnitt. 

Die Form der Gleichung §. 113, (5) zeigt dann, dass in dem 
durch das Paar x l x i hestimmten Complexe das Put 
in dem durch #,t/ a bestimmten Complexe das PttT 
kommen muss. 

Wir betrachten also neben (1) die zwei weiteren Comphip; 

(2) x 1 x i , &&, . . . 

(3) Xyll,, iCjJI,, ... 

Jeder der beiden Complexe (2), (3) enthält ausser den schon 
bekannten noch acht weitere Doppeltaugenten, und diese müssen 
alle von den j,, #,■ verschieden sein, weil, wenn z. B. x, in (2) 
vorkäme, x l x 1 x s syzygetisch wäre, was dem Satze 3., fg. 113) 
widerspricht. Ebenso können die beiden Complexe (Jl und M 
ausser x t , x 3 , y u y 3 keine gemeinsame Doppeltangente enthalten. 
Denn wenn etwa z in beiden vorkäme, so wären x^x^t iiju-Ii 
(2) syzygetisch, nach (3) azygetisch, waB ein Widerspruch ist. 
Daraus folgt: 

4. In den drei Complexen (1), (2), (3) zusammen- 
genommen kommen alle 28 Doppeltangenten Tor. 

Hieraus folgt, dass jede Doppeltangente, die mit irgend 
einem Paare x l y, ein syzygetisclies Tripel bildet, in dem Com- 
plexe j-, y l vorkommen muss, dass also jedes syzygetische Tripel 
durch eine bestimmte weitere Doppeltangente zu einem syzygeti- 
schen Quadrupel ergänzt wird, und dass folglich ein Kegelschnitt 
der durch die Berührungspunkte von drei Doppettangentac M 
durchgeht, die Curve / in den Berührungspunkten einer vierten 
Doppeltangente schneidet. 

Zwei Paare eines Complexes bilden immer ein Byiygatäflbi 
Quadrupel, und wie man ein solches Quadrupel auch 
Paare theilen mag, beide Paare gehören immer demselben Com- 
plexe an. 

Da man aus 28 Dingen 14.27 Paare bilden kann, da jede* 
Paar von Doppeltangenten einen Complex bestimmt und in jedem 
Complexe sechs Paare vorkommen, so ist die C-esammtzahl ita 
Complexe 14.27:6 = 63. 

5. Es giebt 63 Stein er'sche Complexe. 

Wenn wir aus den Paaren des Complexes (1) statt j-.i/i.j-,* 
irgend ein anderes Paar von Paaren herausgreifen, so könne 
wir daraus nach dem Schema von (2) und (3) jedesmal zwi 



■3 



114. Complexpaare and Complextripel. 433 

eue Complexe bilden. Da es 15 solcher Paare von Paaren giebt, 
o erhalten wir 30 neue Complexe vom Typus (2), (3), die alle 
a gleicher Weise aus dem Complexe (1) abgeleitet sind, und die 
die unter einander verschieden sind. 

Nehmen wir nun irgend eine von den in (2) und (3) neu 
hinzutretenden Doppeltangenten z x , so erhalten wir zwei neue 
Complexe, wenn wir von den beiden Paaren x x z x , y x z 1 ausgehen, 
und da wir z x auf 16 verschiedene Arten wählen können, so 
ergeben sich so 32 neue Complexe, womit die Gesammtzahl aller 
Complexe erschöpft ist. Es muss aber noch die Vertheilung der 
Doppeltangenten auf die Complexe x x z x , y x z x genauer untersucht 
icrden. 

Wir können, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, da 
vir nötigenfalls x x mit y x vertauschen können, die Annahme 
machen, dass z x in dem Complexe (2) und darin in dem Paare 
Vi vorkomme. 

Dann erhalten wir die beiden Complexe : 

(4) x x z Xy x 2 z 2 , . . . 

(5) 2/i*i, y**%, • • • 
Wir betrachten jetzt die drei Complexe: 

( TC ) X X Z X , Xo Zn , • • • 

{ 2ij X x X 2 , Z\ Z 2 , • • • 

(4a) #i#2i x i e ii • • •> 

die nach dem Satze 4. alle Doppeltangenten enthalten müssen, 
Gunter also auch #3, t/ 3 . Diese kommen aber nicht in (2) vor, 
^d ebenso können nicht beide in (4) oder beide in (4 a) vor- 
kommen, da sonst x x , x 3 , y s azygetisch sein müssten, während 
•e doch [nach (1)] syzygetisch sind. Da wir eventuell x z und y 8 
to der Bezeichnung vertauschen dürfen, so können wir annehmen, 
^88 3j in (4) vorkomme, und zwar in einem Paare x z z z . 

Dann kann, da z x z 2 z$ azygetisch sind, z$ nicht in dem 
Komplexe (2) vorkommen und muss folglich in (3) enthalten sein. 

Nun haben wir die beiden Complexe: 

(4) X 2 ^21 %:\ ~3 1 • • • 

(4 DJ #2 %Z 1 ^2 ^3 1 • • • 1 

od da x 2 x i y 3 y z ein syzygetisches Quadrupel sind, so enthält 
ar Complex (4 b) auch das Paar t/ 2 i/ 3 , und folglich sind auch 
$iZ % z z ein syzygetisches Quadrupel. Daraus folgt weiter, dass 

Weber, Algebra. II. 28 



434 Dreizehnter Abschnitt. g. II" 

j/,r a und i/ ä s B in denselben Complex gehören. Da man dieselbe 
Betrachtung wie für Zji/. auch für die Paare x,jf i , * s j/ s , J<ft 
durchführen kann, so lassen sich hiernach die Complexe (4), ii| 
vollständig bilden, und sie erhalten den Ausdruck: 

(4) as,*i, XjS t , x s a 3 , x^i, XtB*, x,,;,- 

(5) sMn ft^i &**.• y«*i. ys*»i *y.;-v 

Hierin bilden #, g a ein Paar des Complexe» (2J und ..- 
die ein azygetisches System bilden, kommen alle in dem Ol ■ 
plex (3) vor, in dem keine zwei gepaart sind. 

Da wir, wie vorhin gezeigt, nach dem Typus (2i. (3 
aus dem willkürlich angenommenen Complex (1) alle überhaupt 
existirenden Complexe ableiten können, so ergiebt sich der SaG: 

6. Irgend zwei Complexe haben entweder ein sm- 
getisches Quadrupel oder einazygetisches System 
von sechs Doppeltangenten gemein. 

Zwei Complexe, die ein Byzygetisches Quadrupel gemein 
haben, wollen wir ein syzygetisches Complexpaar nennen. 
Zu jedem solchen Paare gieht es einen dritten Complex, der 
dasselbe Quadrupel enthält. Drei solche Complexe nennen wir 
ein syzygetisches Complextripel [z. B. (1), (2), (3)]. 

Ebenso nennen wir zwei Complexe der zweiten Art, iL h. 
solche, die sechs azygetische Elemente gemein haben, ein azy- 
getisches Complexpaar. 

Jedes azygetische Complexpaar wird gleichfalls durch eine» 
bestimmten Complex, der mit jedem der beiden Complexe cnt 
azygetisches Paar bildet, zu einem Tripel ergänzt [wie (1), (4), läi^ 
Ein solches nennen wir ein azygetisches Complextripel. 

In einem syzyge tischen Tripel kommen alle 28 Doppel« 
tangenten vor, in einem azygeti sehen nur 18. 

§. 115. 
Die Aronhold'schen Siebener-Systerae. 

Von besonderer Wichtigkeit sind die azygetisdu;. 
von sieben Doppeltangenten, die zuerst von Aronhold betrachte 
sind, und die daher Aronhold'sche Siebener-System 
heissen. Wir nennen sie auch vollständige Siebener 
Systeme oder kurz vollständige Systeme. 



115. Vollständige Systeme. 435 

Dass es solche Systeme giebt, zeigen die Zusammenstellungen 
les vorigen Paragraphen. Denn wenn 

jx #iyi> ^2^2» ^3^3» #4^4» ^öi ^6 2/6 

X v Z l , £3 £* , # 3 Z 3 y #4 Z± , a?5 £ 5 , x$ z 6 

an azygetisches Complexpaar ist, so ist 

Xu a?2, a?3, #4, #5, y 6 , z 6 

an vollständiges Siebener -System (weil in dem Complexe y e z 6 
keines der x vorkommt). Es wird sich zeigen, dass keine azy- 
getUchen Systeme von mehr als sieben Elementen bestehen. Es 
plt zunächst der Satz: 

7. Irgend sechs Elemente eines vollständigen 
Systems kommen in einem und nur in einem 
Complexe vor. 

Wir beweisen zunächst den zweiten Theil der Behauptung, 
1 L wir beweisen, dass, wenn 

X\, Xfy #3, X+j #s, X$ y Xj 

ein vollständiges System ist, x li ar 2 , x s , x K , x b , # 6 nicht in zwei 
rerochiedenen Coraplexen vorkommen können. Nehmen wir an, 
68 sei dies möglich, so müssen die beiden Complexe ein azy- 
jetisches Paar wie (1) bilden. In dem syzygetischen Tripel 

#1*11 y*#2i #3*31 #4^4 1 J/5^5i J/t>*6 

yiJ/ai *i*2> #i#2> • • • 

2/1*2» 2/2*11 . . • 

aussen die Doppeltangenten # 3 , # 4 , x b , # 6 , x 7 vorkommen, und 
a sie weder im ersten noch im zweiten dieser Complexe vor- 
ommen, so müssen sie im dritten vorkommen. Da in diesem 
omplexe aber nur noch vier Paare übrig sind, so müssen 
indestens zwei von den # s , . . ., x 7 ein Paar darin bilden. Das 
t aber nicht möglich, da dieses Paar sonst mit einem der 
)rigen x ein syzygetisches Tripel bilden würde. 

Um nachzuweisen, dass die Doppeltangenten x^x^x^x^x^Xs 
imer in einem Complexe vorkommen, nehmen wir zwei beliebige 
n ihnen, x x x^ heraus und wählen ein in dem Complexe x x x^ 
rkommendes anderes Paar j/it/j, was auf fünf Arten möglich 
. Daraus bilden wir das syzygetische Complextripel 

28* 



(2) (3) «j y, , x 3 y a , . . ., 

?) Xito, %|Tii ■• ■, 
welches fünf verschiedene solcher Tripel repräsentirt In 
y} müssen nun x s , £,, a: s , ar ( , ;r 7 vorkommen, und zwi 
zwei von ihnen gepaart. Wir zeigen nun zunächst, d 
diese fünf x nicht zu zwei und drei auf die beiden C 
ß), y) vertheilen können, sondern nur zu eins und vier. 
• nämlich an, die Complexe 0), y) seien so zusuramei 

ß) «iSit *»»i. 49hi **&, *iSf», 

y) x,y 3 , x t y lt x 6 y s , x,y 7 , 
so können wir noch den Complex 

S) x 6 x 7 , y t y 7 , ■ ■ ., 
betrachten, der mit ß) zusammen ein syzygetisches Pi 
weil weder s t noch y t in S) vorkommt, das Paar 
azygetisch sein kann. Es müssen also ß) und Ö) ein syzyi 
Quadrupel gemein haben, und da in zwei Paaren von ß 
destens ein von x s x 7 verschiedenes x vorkommt, so muss 
x auch in 6) vorkomme.!!, was unmöglich ist, weil kei 
x it x-, syzygetisch ist. Es bleibt also für ß), y) nur 
sammensetzung übrig, wie die folgende: 

ß) Xr Vi. x t y a , x„y 3 , x i y tt «jj/j, x t y t 
Y) ^tj/i. *»»i. «ht/rt ■ 
Dass wir gerade diese Annahme machen, und : 
sechs x in y) aufnehmen, ist keine Beschränkung, da wi 
nöthig, ^j mit i/ a vertauschen können. 

Wenn wir nun unter Festhaltung von x,x, an Ste 
y,y 3 die anderen Paare von (2) a) treten lassen, so b* 
wir fünf Complexhildungen vom Typus (3). Zwei solche Co 
hildungen können sieb aber nur dadurch unterscheiden, 
Stelle von x 1 jedesmal ein anderes der Elemente x^, x v x 
tritt, und alle diese Möglichkeiten müssen auch vorkomm 
wir sonst zwei verschiedene Complexe erhalten wurden, 
selben sechs Elemente des vollständigen Systems der 
halten, was nicht möglich ist, wie wir bewiesen haben. I 
können wir annehmen, dass die in dem Complexe (3) 
kommenden x,, j-„ x„ x t> x b , x B irgend welche sechs E 
des vollständigen Systems seien, was bewiesen werden 



(») 



§.116. Cayley's Bezeichnung der Doppeltangenten. 437 



§. 116. 
Die Hesse-Cayley'sche Bezeichnung der Doppel- 
tangenten. 

Der Satz 7. des vorigen Paragraphen führt zu einer Be- 
ll.' xeichnung8weise für die Doppeltangenten, durch die eine sehr 
; übersichtliche Darstellung aller dieser Verhältnisse möglich ist, 
: die von Cayley (im Anschluss an Hesse) ausgebildet ist. 

Wir legen ein vollständiges Siebener-System 

zo Grunde, dessen Elemente wir einfach durch die Ziffern 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7 bezeichnen. Wir sondern eine beliebige Doppeltangente, 
etwa *!, dieses Systems aus, und bilden den Complex, der die 
übrigen sechs enthält: 

(1) x % y 2 , #3 jr 8 , #42/4, x b y 6 , x 6 y e , x 7 y 7 . 

Die Doppeltangente y 9 ist dann durch das gewählte x x und 
\ durch x* völlig bestimmt und kann daher durch [1 2] bezeichnet 
: werden. Ebenso bezeichnen wir y s durch [1 3] u. s. f. Die 
Doppeltangenten [1 2], [1 3], . . ., [1 7] sind hierdurch voll- 
, standig bestimmt und von einander verschieden. Aus dieser Be- 
stimmung geht auch hervor, was man allgemein unter [fi v] zu 
verstehen hat, wenn ft, v zwei verschiedene Ziffern aus der Reihe 
\ 1 bis 7 bedeuten. 

Es ist nun zunächst zu zeigen, dass [[i v] = [v [i] ist. Es 

i genügt, wenn wir nachweisen, dass [1 2] = [2 1] ist. Dazu 

j bauchen wir nur den Complex zu bilden, der x u x A , # 4 , x b , x 6 , x 7 

enthält, und der mit (1) ein azygetisches Paar bildet. Er muss 

also von der Gestalt sein: 

(2) X[ y 2 , x^Zi, x± z± , x b z b , x 6 z 6 , x 7 z 7 , 

HdcL demnach ist y 2 auch durch [2 1] zu bezeichnen, w. z. b. w. 
Die z in (2) sind von den y in (1) verschieden, und da z. B. 
^ = [2 3] ist, so folgt, dass allgemein zwei [[i v], die nicht in 
beiden Ziffern ft, v übereinstimmen, von einander verschieden 
lind. Da man aus sieben Ziffern einundzwanzig Paare bilden 
fcann, so erhält man auf diese Weise alle Doppeltangenten und 
ede nur einmal. 



Aus dieser Darstellungs weise ergiebt sich auch. 
azygetischen Systeme von mehr als sieben Doppel tangentm 
existiren; denn fügen wir zu den Bieben x noch eine beliebig« 
weitere Doppeltangente, für die wir bei der Gleicht" 
der Ziffern 1 bis 7 etwa y, = [1 2] wählen können, so ist j^u 
ein syzygetisches Tripel. 

Es ist zweckmassig, eine achte Ziffer 8 einzuführen, and n 
Elemente des ursprünglichen Siebener- Systems nicht ilun.'h ■ 
einfachen Ziffern, sondern durch die Paare 

[1 8], [3 8], [3 8], [4 8], [5 8], [6 8], [7 8] 
zu bezeichnen, wobei dann auch gelten soll, dass [1 8] = [S I] o-U 
ist. Dann werden alle 28 Doppeltangenten übereinstimmend 
durch die Paare [u v) bezeichnet, in denen f* und v zwei ver- 
schiedene Ziffern der Reihe 1 bis 8 bedeuten. 

Dabei ist es für die Uebersichtlicbkeit sehr förderlich, wenn 
man eine anschauliche Bezeichnung anwendet 1 ). Man deutet 
eine Doppeltangente |f* v] durch einen einfachen Strich ( an, an 
dessen Enden man sich die beiden Ziffern *i, v gesetzt denk*. 
Dann bedeuten zwei Striche ohne gemeinsamen Punkt |[ zwri 
Doppeltangenten, in deren Bezeichnung ff* vj keine gemeinschaft- 
liche Ziffer vorkommt, und zwei von einem Punkte auslaufend* 
Striche, Vi zw ci Doppeltangenten, die in ihren Symbolen [/* v) 
eine gemeinschaftliche Ziffer haben. Hiernach sind die cour 
plicirteren Zeichen, die wir nachher anwenden, von selbst ver- 
ständlich. Für ein Tripel von Doppelten genten haben wir z. R 
folgende fünf Zeichen ||| f-|. A' ^- VI- 

Es soll jetzt zunächst untersucht werden, wie sieh in dnad 
Bezeichnungsweise die azygetischen und die syzygetischon Tripel 
unterscheiden. 

Dabei ist zu beachten, dass nach der bis jetzt gegebene» 
Erklärung die Ziffer 8 eine besondere Stelle einnimmt, während 
die Ziffern 1 bis 7 vollständig gleichartig auftreten und belieb« 
permutirt werden können. 

Wir leiten aus den beiden Complexen (1). (2) noch die l r- 
gänzung zu einem azygetischen Complextripel her, nämlich: 

*l&i *.l!/*i #*#4i -Po.'/:,- x itft* J "-!';- 

(3) Xtyt, x 3 e ly x t e t , x s g 6 , x e z s , 

*i*n Vi**. y*z t , y^s- y«*«i 



1 ) Nach Cayley; vergl. Öalmon, „Higher jilaoe curvee' 




116. Cayley's Bezeichnung der Doppeltangenten. 439 

ad gehen nun die einzelnen Zeichen für die Doppeltangenten- 
ripel durch. 

Wir beginnen mit dem Zeichen V, für welches wir mit 
tücksicht auf die Ausnahmestellung der Ziffer 8 drei Typen zu 
«trachten haben: 

[1 8] [2 8] [3 8] = x 1 x 9 x t , 
» [15] [16] [1 7] = t, 6 y 6 y 7 , 

[16] [17] [18] = y,^ h 
ind der Anblick der drei Complexe (4) zeigt (nach dem Satze 
5. 113, 3.), dass alle diese Tripel azygetisch sind. 

Zweitens betrachten wir das Zeichen \/|, für welches vier 
Typen zu berücksichtigen sind: 

[8 3] [8 4] [1 2] = x z x 4 yi, 
{) [8 4] [14] [2 3] =x^m % , 

u [12] [13] [4 8] = y a t, 3 tf 4 , . 

[14] [15] [8 8] = j 4 fcii, 
und auch diese Tripel sind azygetisch. 
Für das Zeichen ^ ist zu betrachten: 

f6 [18] [2 8] [12] = x l x % y» 

[) [12] [13] [2 3] = y 2 y 3 *3, 

Ke sich gleichfalls als azygetisch erweisen, weil y 2 in dem Com- 
plexe (3), der die Paare x x x 2 , t/ 3 z z enthält, nicht vorkommt. 
Für das Zeichen 1 1 1 giebt es zwei Typen : 

(7i [13] [2 4] [5 8] = &* 4 * 6 , 

U [13] [2 4] [5 6J = y, z, [5 6]. 

Betrachten wir das syzygetische Complextripel 

Vi %l 1 Vi #3 ? • • • • ? 

8 ) 2/3J/41 *3*4, #3*4 . ., 

Vz #3 > Vi Z \ > • • • • 1 

n dem alle Doppeltangenten vorkommen müssen, so finden wir 
5 8] und [5 6] nicht in den beiden letzten Complexen von (8), weil 

**,[5 8] = [13] [23] [58], y z y<[b8] = [13J [14] [58], 
' Ä*,[ö6] = LI 3] [23] [5 6J, y.y 4 L5 6] = [13] [14] [56], 
is Zeichen \/| haben und daher azygetisch sind. Folglich 
mmen [5 8] und [5 6] im ersten der Complexe (8) vor, und 
? beiden Tripel (7) sind syzygetisch. 

Endlich haben wir das Zeichen [~~| zu betrachten, das wieder 
$i Typen giebt: 



440 Dreizehnter Abschnitt, g, 11': 

[12] [2 3] [3 4] = ;/,,-, [3 4] 
(10) [1 2] [2 3] [3 8] =!,,:.., C, 

[1 8] [8 2] [2 3] = T^XtMy 
Auch diese Tripel sind syzygetisch, was für die beiden letzten 
unmittelbar aus dem Complextripel (3) zu ersehen ist, und dir , 
das erste aus dem syzygetisch en Complextripel 

yi*»i ^x,, ... . 

.'/j^l. *J*1 

y»j" 3 , ** ^n • ■ - ■■> 

folgt, von denen die beiden letzten [3 4] nicht enthalten, »■«! 
[/jar,[34] und i/ 8 j- 3 [3 4] beide das Zeichen \J\ liabeu. 

Hier ist aber die Ausnahmestellung der Ziffer 8 
verschwunden, und wir kommen zu dem Resultate: 

Unter den Tripeln der Doppeltangent' 

die mit den Zeichen 

im. n 

syzygetisch, und die mit den Zeichen 

V, A- VI 

azygetisch. 

Hieraus erhält man sehr leicht die Zeichen für sammtli 
syzygetische und azygetiscbe Quadrupel: 

Die Quadrupel von Doppeltangenten m 
Zeichen 

INI. D 

sind syzygetisch, und die mit den Zeichen 

W, Ah VI, VV 

azygetisch. 

Alle übrigen Quadrupel sind weder syzygetisch noch i 



Hiernach ist es leicht, die Zeichen für sämmtliche ' 
ständige Siebener-Systeme zu bilden. 

Ein solches Zeichen muss aus sieben Strichen bestehen, 
nicht mehr als acht Endpunkte haben können und die eine t 
bilden, aus der sich keine der beiden Figuren |||. |~~) ablu 
lässt. Daraus folgt zunächst, dass diese Figur aus nicht mehi 
zwei getrennten Tbeilen bestehen kann, weil sonst die Figi 
darin enthalten wäre, und dass kein Theil mehr als ein Centr 



§. 116. Gayley's Bezeichnung der Doppeltangenten. 441 

haben kann , von dem mehrere Striche auslaufen , ausser wenn 
dieser Theil das Dreieck ^ ist, weil sonst die Figur |""| vor- 
* kommen würde. 

Wenn nun die Figur eintheilig ist, so muss sie ein sieben - 
strahliger Stern jfc sein, und da man jede der acht Ziffern als 
Mittelpunkt wählen kann, so sind dies acht Möglichkeiten, von 
denen eine die oben betrachtete Annahme ist: 

[1 8] [2 8] [3 8] [4 8] [5 8] [6 8] [7 8]. 

Ist aber die Figur zweitheilig, so ist zunächst auszuschliessen, 
, dass der eine Theil aus einem oder aus zwei Strichen oder einem 
dreistrahligen Sterne besteht; denn in diesen Fällen müsste der 
, andere Theil ein Stern mit sechs, fünf oder vier Strahlen sein. 
Dazu aber bleiben von den acht Ziffern nicht mehr genug übrig. 
Es bleibt also nur noch übrig, dass der eine Theil ein Dreieck, 
der andere ein vierstrahliger Stern ist, ^ ^, und diese An- 
nahme ist auch in der That immer zulässig. Ein Repräsentant 
eines solchen Systems ist: 

[1 2] [1 3] [2 3] [4 5] [4 6] [4 7] [4 8]. 

Das Dreieck kann man auf 8.7.6:2.3 = 56 verschiedene 
Arten wählen, und zu jedem Dreieck giebt es noch fünf Möglich- 
keiten, den vierstrahligen Stern anzunehmen, da man jeden der 
übrigen fünf Punkte zum Centrum machen kann. Die Anzahl 
dieser Bestimmungen ist daher 280, und wir kommen zu folgen- 
dem Resultate: 

Es giebt im Ganzen 288 Aronhold'sche Systeme, 
deren Zeichen eine der beiden Gestalten hat 

Aus diesen Zeichen darf man aber nicht etwa schliessen, 
dass diese Siebener- Systeme in zwei verschiedene Arten zer- 
fallen. Der Unterschied der beiden Figuren liegt nur in der 
Bezeichnung. In der That können wir ja von einem ganz be- 
liebigen der vollständigen Siebener -Systeme ausgehen, um die 
Bezeichnung abzuleiten. 

Hiernach findet man leicht die Bezeichnung für die Steine r'- 
Jchen Complexe, die nach einem der beiden folgenden Typen zu 
uilden sind: 

[1 2] [3 4], [1 3] [2 4], [1 4] [2 3], [5 6] [7 8], [5 7] [6 8], [5 8] [6 7], 
[1 7] [1 8], [2 7] [2 8], [3 7] [3 8], [4 7] [4 8], [5 7] [5 8], [6 7] [6 8 . 



Rationale Bestimmung der Curve aus einem voll- 
ständigen Siebener-Systeme. 

Die grosse Bedeutung der Aronhold'schen Systeme für das 
Problem der Doppeltangenten spricht sich in folgenden Heiden 
Sätzen aus: 

I. Ist bei einer Curve vierter Ordnung ein tuII- I 
ständiges Siebener-System gegeben, so können I 
daraus alle übrigen Doppeltangenten rational I 
bestimmt werden. 
II, Sind sieben beliebige gerade Linien in einer I 
Ebene gegeben, so kann man im Allgemeinen 
d. h. wenn gewisse rationale Functionen *ne 1 
den Coefficienten in den Gleichungen dieser 1 
Geraden nicht verschwinden, auf rationalen 1 
Wege die Gleichung einer Curve vierter Ord- 
nung ohne singulären Punkt bestimmen, für 
die die gegebenen sieben Linien ein Aronhold- I 
sches System bilden. 
Um den ersten Satz zu beweisen, würde es hei der voll- ] 
kommenen Gleichberechtigung der Ziffern 1 Ins 7 genügen, dif | 
Bestimmung von einer achten Doppeltangente aus einem gege- 1 
benen vollständigen Systeme durchzuführen. Wir bestimmen aber j 
besser gleichzeitig drei. Es sei also jetzt 

(1) £ u X 7 , 2j, X 4 , X 6 , X 6 , X-, 

ein als bekannt vorausgesetztes vollständiges Siebener -System. 
Wir denken uns die drei Steiuer'schen Complexe gebildet, in I 
denen je sechs der Doppeltangenten (1), mit Ausschluss zuerst I 
von Xj, dann von #,, zuletzt von x. enthalten sind. 

Die darin neu hinzutretenden 15 Doppeltangenten bezeiclinea I 
wir mit dem Buchstaben f und erhalten diese drei Complexe \ 
[nach §. 116, (1), (2)] in der Gestalt: 

a=jls, ^i t , »«£„, »iJj,, *„£„,, a-,!,, 

(2) «ife, *,&, J-»|, a , ;»,&,, x,Ut* *r&» 
»i6*. a:*li. **lu, **&*, «s£«, 'tItj, 



. 117. Rationale Bestimmung der Curve. 443 

nid nach der Bezeichnung des §.116 ist 

& = [2 3], fc = [3 1], U = [1 2], £ 41 = [14], ... 

Aus (2) ergiebt sich noch ein Steiner'scher Complex, der 
mit jedem der Complexe (2) ein syzygetisches Paar bildet: 

(3) x x g x , x^ g a , # 3 g 3 , ... 

und dieser Complex enthält keine der Doppeltangenten £ 4 ,#5,# 6 ,:r 7 . 
Indem wir nun die gesuchten Functionen £ l9 £ 3 , £ 3 mit den 
geeigneten constanten Factoren multiplicirt annehmen, können 
wir die Gleichung der Curve vierter Ordnung nach §. 113, (9) in 
die Form 

setzen, und also die rationale Function /, die, gleich Null gesetzt, 
die Gleichung der Curve giebt, in jeder der drei mit einander 
identischen Formen 

(5) f=4x,&X3g z — tt 1 * = 4ffig 8 ai£i — ^2 = 4a; 1 £ 1 ^£ 2 — w s 2 , 
annehmen, worin 

Ui = — #1 ll + X 2 & + #s Ss 

(6) tt 8 = # 1 & — #2 £ 2 + #3 £3 

t*3 = X t g x -j- X 3 £ 2 #3 I3 

gesetzt ist. Nun bilden [nach (2)] auch a^Ss^&i e i n syzy- 
getisches Quadrupel, und folglich können wir, wenn über einen 
constanten Factor in £ 41 verfügt wird, / auch in der Form dar- 
stellen : 

(7) /= 4*i&34*« — v\ 

worin v eine quadratische Form ist. Hieraus und aus der ersten 
Darstellung in (5) ergiebt sich aber die Identität 

±%%ii (# 8 Sa — ^£41) = (*i—v) («x -f v), 

rad daraus schliessen wir, dass einer der beiden Factoren rechts 
lurch 2^ £ 3 theilbar sein muss [§. 113, (3)]- Nehmen wir an, es 
ei dies t*j — v, was durch Verfügung über das Vorzeichen von v 
rreicht werden kann, so folgt, dass ein von Null verschiedener 
onstanter Factor A 2 existiren muss, so dass 

«1 — v = 2A 1 # 2 £ 3 , 

ti t + v = U x *t* — X *h ), 

oraus 



444 Dreizehnter Abschnitt. §. 117. 

folgt. Ersetzen wir hierin u x durch seinen Ausdruck aus (6), so 
ergiebt sich 

#4 &i = x% £s — K (— Zl £1 + *% & + #3 &) + Ai**s&- 

Solcher Gleichungen erhalten wir zunächst drei, wenn wir 
die Indices 1, 2, 3 cyklisch vertauschen und an Stelle der un- 
bekannten Constanten k v drei Constanten A lf A,, A3 setzen: 

S4&1 = *8& — *i (— ^lll + *l£fl + ^li) + ****&, 
(8) S4&2 = ^1 5s — ^3 ( *i£i — *a£a + *s&) + V^&i' 

a^&a = *i& — *s ( *i& + *a& — a%6») + *i**i&- 
Um die Constanten A^ A 2 , A 8 zu bestimmen, dividiren wir 
die beiden letzten dieser Gleichungen mit A 9 und A, und addiren. 
Dadurch folgt die identische Gleichung 

*x (- 2& + *3 1, + J) + & (*,* + f|)- 

Da nun x t , x„ £ x (nach (2) und §.113, 3.) azygetäsch sind, und 
folglich nicht durch einen Punkt gehen können, so muss die Linie 

X i x s + ?± = 

durch den Schnitt von x x und x A gehen, und folglich ist x 4 aus 

x x und ^-iX z -\- -~ linear zusammengesetzt. Nun aber können 

A3 

wir x\ linear durch x x , x 2 , x z ausdrücken, etwa in der Form 

(10) # 4 = a x x x -\~ a^x % -|- a s # 3 , 

und darin sind Oj, 03, 03 als bekannt zu betrachten, und keine 
dieser Constanten kann verschwinden. Es ist also A, A, = a 3 : 
und wenn wir eine neue Constante J^ einfuhren, so ist 

(11) A a = h x a 3 , T - = Äj a a , 

A 3 

und die Gleichung (9) ergiebt die Identität: 

Mi (^ + ^-*i«i) = *i (-*» ( 2 + 01*1) €1 + ^ + £}j 

Daraus schliesst man weiter, wenn ^ eine neue Constante 11 



§. 117. 



Rationale Bestimmung der Curve. 



445 



k lX < = -\ (2 + a.K) & + k + ^, 



«2 



«3 



(12) 



fe + ^ = *i*i+£*i. 



a, 



*8 



*i 



Wenn man hierin die Ziffern 1, 2, 3 cyklisch vertauscht, so 
ergeben sich aus (8) drei solche Systeme; zunächst: 



Mi = — K (2 + <h K) & + 



M i Ss_ 



(13) 



fc,a: 4 - ^ 



Ä, (2 + o, Ä,) |, + 



I» 



<h 



61 | M 






Da diese drei Ausdrücke für # 4 mit einander identisch sein 
müssen, so folgt: 

_ K (2 + Oi *i) _ 1 _ 1 

also fcj = &s und ebenso £, = £]. Es sind also A4, fc 2 , & 3 einander 
gleich und wir setzen dafür k. Dann folgt weiter 

aiK (2 + aA) + 1 = (a^ + l)t = 0, 
also A^ = — 1, und ebenso 



K = 



— 1 



Ä 2 = 



— 1 



*.= 



1 



•8 



Demnach liefern die Formeln (13) übereinstimmend: 



K X± - — 



k 



■ fe2 1 68 



oder 
(H) 



(h 



a z 



t 
Je (a 2 x x -f a $ x 2 + 03X3) = f- -f b2 



(15) 



Aus (11) aber folgt noch: 

«2 



a, 



1 63 

a 2 "■ a 3 



*i = - 



03 



öi 



1 ^3 1 ^1 



Aus (12) ergeben sich dann ferner die drei Relationen: 

&42 £»3 Sl 1 1 

1 Y~ — ~ r A a i ^1 » 

Arn Afi t*! 



lil 



_ *il _ li 2 . — ^3 _l_ h n r 



446 


Dreizehnter Abschnitt. 


Daraus durch Addition mit Rücksicht auf (14): 


fc+ 


-jf + TT — ~ *(»i*i + <h*t + «,'ik 


und folglich: 






y- = f| — '(».i. + ».*.). 


(16) 


|1=& — 4(0,3-, + a,x,). 




fel=|L — t(a,x, +o,x,). 



Unbekannt ist in diesen Formeln noch die Constante 
Diese bestimmen wir aus der Bemerkung, dass wir das gan 
bisher betrachtete Formelsystem vervierfachen können, indt 
wir an Stelle von x t treten lassen x t , x iy x €l x?. 

Der Formel (10) entsprechend wollen wir diese vier Fun 
tionen linear durch .r,,3-„^ 8 ausdrücken in der Weise: 

X t = H ( ,,J, 4" OfcllFi 4" OgX,, 

x e = ag rl Xj 4- a M' r s + *%**»* 
*r = <It,i*i + ai,j*j + Bt,s^>i 
worin die Coeffieienten a als bekannt anzusehen sind. 
bekommen wir aus (14) vier Relationen, wenn wir an i 
k vier verschiedene Constanten k t , k a , k tt k-, treten lassen: 



(17) 






K (<»«.. ffi+a*,»*j + «<.**») : 



°*, 






(18) 



.c*.>*i+*.^+^«o = ^+^+i. 



*e (ai,i^i + B ,a^B4-' I «.sJ'i) - 
fr, (a 7 ,i j:, 4-«j,s3-a + a7,siCa) " 



-S- + -2L+J ■ 
«8,i Oe.» «m 



und nun sind die Constanten k so zu bestimmen, dass i 
vier Gleichungen die eine aus den drei anderen folgt. ] 
Bedingungen dafür kann man in symmetrischer Weise dadu: 
bilden, dass man vier Factoren l t , },,, l s , l, einfuhrt, deren V 
hältnisse man aus den Gleichungen bestimmt: 

(19) -^- 4- — 4- — 4- — = 0, i = 1, 2, i 



Hi 



2, 3, 



j. 118. Gruppe des Doppeltangentenproblems. 447 

und die dann auch den drei Gleichungen 

(20) M4«M + M5ÖM + M6aM + ^ «7,1 = 0, »=1,2,3 

genügen müssen, woraus die Verhältnisse der h bestimmt sind. 
Ein gemeinschaftlicher Factor der vier Grössen Je bleibt der 
Natur der Sache nach unbestimmt und kann beliebig angenommen 
werden. Hiernach können aus den Gleichungen (18) die Func- 
tionen |j, £ s , | 8 rational bestimmt werden, und durch (16) sind 
dann auch die Functionen £<<, £ 5t -, £ 6t -, £ 7>t - bestimmt. 

Es fehlen noch sechs Doppeltangenten, die man durch geeig- 
nete Permutationen unter den Functionen des Systemes (1) 
erhalten kann. Damit ist der an die Spitze gestellte Satz I. 
bewiesen. 



Um auch die Richtigkeit des Satzes II. einzusehen, braucht 
man nur unsere Analyse rückwärts zu verfolgen, indem man die 
Coefficienten a*,< als unabhängige Variable ansieht Dann sind 
durch die Gleichungen (18), (19), (20) die Functionen &, g 2 , £ s 
rational durch diese a*,< bestimmt, und aus (16) und (17) erhält 
man sodann £ 4t -, £ 6t -, £ 6t -, £ 7t -, # 4 , x 6 , x 6 , Xj. 

Durch Substitution der £ n £ a , £ 3 in die Gleichung (4) erhält 
man die Gleichung einer Curve vierter Ordnung, deren Coeffi- 
cienten rationale Functionen der a*, t - sind, und die Discriminante 
dieser Gleichung kann nicht identisch verschwinden, weil man 
tungekehrt, wie wir gesehen haben, aus der Gleichung einer 
Curve vierter Ordnung ohne singulären Punkt ein Gleichungs- 
Bystem (18), (19), (20) ableiten kann. 

Aus den Gleichungen (18), (16) folgen dann auch die For- 
meln (7), und die daraus durch Vertauschung von 4 mit 5, 6, 7 
' iervorgehenden, woraus zu schliessen ist, dass # 4 , # 6 , x 6 , x 7 zu- 
tammen mit x x , # 2 , x 3 ein vollständiges Siebener-System bilden. 

§. 118. 

Die Galois'sche Gruppe des Doppeltangenten- 
problems. 

Die Sätze, die wir abgeleitet haben, sind ausreichend, um 
die Galois'sche Gruppe der algebraischen Gleichung zu be- 
stimmen, von der die Doppeltangenten abhängen. Wir be- 
trachten hierbei als Rationalitätsbereich den Körper, der aus 



448 Dreizehnter Abschnitt. S- Uft) 

allen rationalen Functionen der 14 Verhältnisse der 
Coefficienten einer allgemeinen ternären Form 4 "" Gra- 
des besteht, worin diese Coefficienten als unabhängige 
Variable gelten. Die Gleichung 28"™ Grades können wir UM 
dann etwa in der Weise gebildet denken, dass wir als Unbekannte 
die Abscissen der Schnittpunkte der Doppeltangenten mit einer 
beliebigen festen geraden Linie L betrachteu. Durch die Wurzeln 
| dieser Gleichung, die wir die Doppeltangentengleichung 
nennen, sind dann die Doppeltangenten rational darstellbar. 

Benutzt man ein Cartesisches Coordinatensystem z, y, 
dessen x-A.xs die Linie L ist, so erhält die Gleichung einer 
Doppeltangente die Gestalt 

(i) ii ■=«&>- o, 

und die Doppeltangentengleichung kann gebildet werden, »enn 
F (.r, y) = die Gleichung der Curve vierter Ordnung ist, iii- 
dem man die Bedingungen aufsucht, dass die Function vgn x 
4 tD " Grades, F[x, & (x — Q], ein vollständiges Qundrat sei. Dia 
giebt zwei Gleichungen zwischen f und ®, aus denen mau durch 
Elimination von die Doppeltangentengleichung erhält. I'a m 
jedem £ nur ein Werth von gehört (so lange sich nicht zw« 
Duppeltungenteu auf der Linie L schneiden), so kann 8 rational 
durch | ausgedrückt werden, und zwar in einer Form 

(2) e = v (i), 

die für jedes zusammengehörige Paar |, © gilt. 

Die Wurzeln der Doppeltangentengleichung ordnen sich | 
ebenso, wie die entsprechenden Doppel tan gen teil in Comple» J 
Siebener-Systeme u. s. w. Wir bezeichnen diese Wurzeln eben» 
wie die Doppeltangenten in §. 116 durch das Symbol [ifc], w»ria 
i, k die Paare der Ziffern 1 bis 8 durchlaufen und [ik] = [*i]**l 

Betrachten wir irgend zwei von den Doppeltangenten, j>.f 
als bekannt, so können wir auf rationalem Wege die Gleichung 
u — eines Kegelschnittes daraus ableiten, der durch die vi*| 
Berührungspunkte dieser Doppel tan genten geht, und wir könnet J 
also die Gleichung §. 113, (2) 

f = pqv — u* 
in rationaler Form aufstellen. Dann giebt es nach §. 113, (6) 
unter der Kegelschnittschaar 

v + 2JU-)- Jl*p? = 



118. Gruppe .des DoppeltangentenproblemB. 449 

üf, die in ein Linienpaar zerfallen, und wenn wir das Product 

Iden, erstreckt über die fünf Wurzeln der Gleichung 5.**° Grades, 
m der k abhängt [§. 113, (6)], so ist dies Product gleichfalls 
itional durch die Coefficienten von / und von p, q ausdrückbar. 
fies Product ist aber eine Form 10** Grades, die in zehn lineare 
actoren zerfällt, die mit pq zusammen einen St ein er 'sehen 
omplex bilden. 

Die Coefficienten in O können nun auch rational durch die 
eiden den j), q entsprechenden Wurzeln | a , £ 9 der Doppel- 
angentengleichung ausgedrückt werden, und wenn wir dann die 
ibscissen der Schnittpunkte der Linie L mit O = aufsuchen, 
o erhalten wir eine Gleichung 10 ton Grades für £ 

2 (In &*Ö = Q, 

eren Wurzeln die zehn mit ^^ 2 syzygetischen Wurzeln sind, 
edeutet & eine von diesen, so ist also 

*({,, &, W = o, 

od es folgt daraus der Satz: 

1. Es giebt eine rationale Function von drei 
Variablen X (&, £ 2 , | 3 ), die verschwindet, wenn 
£i £a & irgend ein syzygetisches Tripel von 
Wurzeln der Doppeltangentengleichung ist, und 
die nicht verschwindet, wenn & f a £ 3 ein azy- 
getisches Tripel ist. 

Nach §.117 können durch ein vollständiges Siebener-System 
t Wurzeln: 

) bli fe2> fe3i b4> 56? feßi fc7 

le Wurzeln rational ausgedrückt werden, und zwar in der 
eise, dass z. B. 

I Sl2 == ^ (bl> 62 I 53 i feil §51 b(M fei) 

ie Wurzel wird, wo ÜP" eine rationale Function bedeutet, die sich 
ht ändert, wenn & und | 2 vertauscht oder wenn £ 3 , f 4 , § 5 , f 6 , £ 7 
iebig permutirt werden. Wird aber in (5) bei festgehaltener 
action l F an Stelle von | x , £ 2 ein anderes Paar £,-, £ k gesetzt, 
erhält man eine andere Wurzel | lk . Die Wurzeln (4) sind 
h mit [18],..., [7 8] und £ tk mit [i k] zu bezeichnen. 

Veber, Algebra, n. 29 



450 Dreizehnler Abschnitt. §. IUL 

Durch jede Permutation der Wurzeln (4) wird nach (5) da» 

ganze System der Wurzeln [i };] eine gewisse Permutation er- 
fahren. 

Ersetzt man aber das vollständige Siebener- System (4) durch 
ein anderes, so ergiebt die Formel (5) eine bestimmte ändert 
Wurzel, und das ganze System der Wurzeln [i k] wird einer 
zweiten Permutation unterworfen. 

Es ist dann zunächst leicht zu beweisen: 
2. Die Permutationsgruppe P der Wurzeln der 
Doppeltangentengleichung, die man erhält, wenn 
man in (4) und (5) an Stelle von £,, g„ . . ., £, all» 
vollständigen Systeme, jedes in jeder beliebigen 
Ordnung, setzt, ist die Galois'sche Gruppe der 
Doppeltangentengleichung. 
Um dies nachzuweisen, haben wir zweierlei zu zeigen: 

a) Jede Permutation x der Wurzeln der Doppel- 
tangentengleichung, die auf alle rationalen 
Gleichungen zwischen diesen Wurzeln anwendbar 
ist, gehört zu P. 

Dies ergiebt sich so : Wenn n auf alle rationalen Gleichungen 
zwischen den Wurzeln anwendbar ist, so gilt dasselbe von den 
Potenzen von jr. Nach 1. kann niemals durch re ein syzygeti! 
Tripel in ein azygetisches oder umgekehrt übergeführt 
denn n ist, wenn |, £ 3 g 3 ein syzygetiscbes Tripel ist, ai 
Gleichung (3) anwendbar; alßo kann ^ f, | s nicht ii 
getiscb.es Tripel übergehen. Und auch das Umgekehrte ist 
möglich, weil sonst durch n~ 1 ein syzygetisch.es in ein azygel 
Tripel übergeführt würde. Daher geht auch durch sr irgent 
vollständiges Siebener-System wieder in ein solches Syst» 
irgend welcher Anordnung über, und wenn man dann ji ai 
Gleichungen von der Form (5) anwendet, so ergiebt sich 
Permutation der £,-, &*, die zu P gehört. 

b) Jede rationale Gleichung zwischen den Wu 
der Doppeltangentengleichung gestattet 
Permutationen der Gruppe P. 

Eine rationale Relation zwischen den Wurzeln hat die 

(6) <C (S„ ...,£„ {, o, ...) = 0> 

worin 3> eine rationale Function ist und a, . . . die Verhältnis 



119. Darstellung der Gruppe. 451 

er Coefficienten von / bedeuten. Hierin kann man durch (5) 
ie £ ll9 £i 3 , . . . rational durch £ ly £ 2 ', . . ., £ 7 ausdrücken, und 
ach §. 117, IL, nachdem die Gurre / durch ein vollständiges 
iebener -System ihrer Doppeltangenten rational bestimmt ist 
issen sich dann die a rational (mit nur numerischen Coeffi- 
ienten) durch die sieben Grössenpaare (2) 

bl» ®1> bÄi ®2> • • •> b7* ®7 

usdrücken. Da diese aber ganz beliebig gegeben sein können, 
3 mus8 die Gleichung (6) durch diese Substitutionen in eine 
lentität übergehen. Die Gleichung (6) muss also auch richtig 
leiben, wenn man darin die &, £ 2 > • • •* ii durch ein anderes 
iebener -System oder auch durch dasselbe in anderer Ordnung 
rsetzt, und gleichzeitig unter den £ 13 , ... die durch die For~ 
lel (5) vorgeschriebene Permutation vornimmt, d. h. wenn man 
nter den Wurzeln der Doppeltangentengleichung eine Per- 
mtation der Gruppe P ausfuhrt. 



§. 119. 
Darstellung der Gruppe. 

Der Grad der Gruppe P ist sofort anzugeben. Da es 288 
Dllständige Siebener -Systeme giebt, und da die Elemente eines 
riehen Systemes auf 77 (7) Arten permutirt werden können, so 
t der Grad der Gruppe: 

288 77 (7) = 36 77 (8) = 1 451 520. 

Bei der Bildung der Permutationen der Wurzeln benutzen 
ir zweierlei Bezeichnung. Zunächst 

l) bl) b2i • • '1 %T> b**? 

orin i, h von 1 bis 7 geht, und die einheitliche Bezeichnung 
i], wobei *, h von 1 bis 8 geht, und wobei £i, £»* • • • durch 
.8], [2 8], ... zu bezeichnen sind. 

Wenn wir nun zwei Ziffern aus der Reihe 1, 2, . . ., 7 per- 
utiren, z. B. 1 mit 2, so geht ^ in | a über, und nach der 
efinition §.116 bleibt £ 12 ungeändert, £ 13 geht in £ 23 über u. s. f. 

Wenn wir also in der Reihe der Wurzeln [ik] die Ziffern 
bis 7 beliebig permutiren, so erhalten wir lauter Permutationen 
ir Gruppe P. 

29* 



452 DraiEehnter Abschnitt. ;;. II' 1 - 

Nun haben wir im §. 116 gesehen, dass bei der Anordnung 
in syzygetische und azygetische Tripel und in Folgfl di 
in Complexe und vollständige Systeme die Ziffer 8 tnü M 
übrigen Ziffern 1 bis 7 vollständig gleichberechtigt auftritt, und 
da die Zuordnung der Wurzel §,* zu dem Paare £,-£* [durcb 
die Formel §. 118, (5)] nach §. 116 nur von dieser Anordnung 
abhängt, so können wir auch die Ziffern 1, 2, . . ., 7, 8 penn»- 
tiren, ohne dass wir aus der Gruppe P herauskommen. Es ist 
also in P ein Theiler enthalten, der mit der symmetriscki) 
Gruppe der Permutationen von acht Elementen isomorph ist, der 
also den Index 36 hat und den wir mit S bezeichnen wollen. I 

Um die noch fehlenden l'erniutationen von P zu bestimmen. 1 
lassen wir an Stelle des Sieben er- System es £,, . . ., J t ein neos I 
vom Typus ^ -isj, treten, etwa so: 

/[18J, [28], [3 8j, [48|, [B8|,[68], [7 8]\ 
W \[23j, [31], [12], [48], [58], [68], \1 &))' 

und bezeichnen die hierdurch 'bedingte Permutation in doppelter 
Weise mit 

(3) %,*M = &*,W 
indem wir festsetzen, dass /7 u , , UsUl und H,*,*, s, * , daasel! 
bedeuten sollen, wenn ß ll ß J ,ß i ,ß 4 irgend eine Permutation n 
M » «ai a 3i K 4 ist, oder wenn «„ a. } , «,, «„ ß t , j5 a , ß,, 
alle acht Ziffern umfassen. 

Durch dies Zeichen ist die Vertauschung (2) eindeutig t» 
zeichnet und die Anzahl der verschiedenen Permutationen dies*/ 
Art beträgt genau 35, so dass wir die ganze Gruppe P <1 
die Nebengruppen so darstellen können: 

(4) P = S+ £&'/7 aiH , aj0l , 
worin « lt «.,, k,, k, alle Systeme von vier Ziffern aus der 
1, 2, . . ., 8 durchlaufen, wobei eine beliebigt; Ziffer, z. B. tt, =■ 
festgehalten werden kann. 

Um den Eintiuss von IJ h9ttiS auf irgend eine Wurzel 
zu erkennen, genügt es, die drei Wurzeln [1 '2] [1 4] [4 S[ 
betrachten, weil 1, 2, 3 einerseits, 4, 5, 6, 7 andererseits 
gleichartig in n lt j T3|8 vorkommen. 

Diese Vertausch un gen erhält man einfach aus der Bem< 
dass [1 2], jl 4] nach §. 116 die in dem Complex 

(5) [283[12],[38][13],[48][14],[58][15],t68][161,p8]g 



§.119. Darstellung der Gruppe. 453 

mit [2 8] und [4 8] verbundenen Wurzeln sind , und dass ebenso 
[45] die mit [5 8] verbundene Wurzel in dem Complexe 

;6) [1 8] [1 4], [2 8] [2 4], [3 8] [3 4], [5 8] [5 4], [6 8] [6 4], [7 8] [7 4] 

st Durch die Vertauschung (2) gehen aber die Complexe (5) 
ind (6) in folgende über, wie man leicht aus der Darstellung 
[er Complexe im §. 116 findet [der Complex (5) bleibt als Ganzes 
ingeändert] : 

[3 1] [3 8], [2 1] [2 8], [4 8] [1 4], [5 8] [5 1], [6 8] [6 1], [7 8] [7 1] 
[2 3] [1 4], [3 1] [2 4], [1 2] [3 4], [5 8] [6 7], [6 8] [5 7], [7 8] [5 6], 

oraus man folgende durch üi, 2,3,8 bewirkte Vertauschungen 
rhält: 

[12], [14], [4 5] 

> [3 8], [1 4], [6 7]. 

Aus (2) und (7) lässt sich nun folgende allgemeine und ein- 
che Regel ableiten: 

3. Bedeuten a n o,, a 3 , a 4 , ß x , ß 2 , /3 3 , /3 4 zusammen alle 
acht Ziffern, so hat man, um den Einfluss von 

auf irgend eine Wurzel [ft v] zu bestimmen, zu 
unterscheiden, ob ft, v beide unter den u oder 
beide unter den /3, oder ob die Ziffer fi unter 
den a, v unter den ß vorkommt. In den ersten 
Fällen geht [ft v] in [jx' 1/] über, wenn p, v, ft', v' 
entweder alle a oder alle ß bedeuten; im dritten 
Falle bleibt [ft v] ungeändert. 

In allen Fällen sind die Permutationen J7 ai a 8 a 3 a f nur vom 
01 Grade, fuhren also bei einmaliger Wiederholung zur Iden- 
&t zurück. 

Damit ist die Gruppe P vollständig bestimmt und dar- 
stellt, und um die Gesetze der Composition in P festzustellen, 
ad nur noch wenige Formeln nöthig, die sich aus der oben 
ifgestellten Regel leicht ergeben. Dabei ist zu bemerken, dass 
an zwei von einander verschiedene der Permutationen Tl ax<HazUA 
uner so annehmen kann, dass sie im Index zwei oder drei 
Sern gemein haben, da man, wenn sie nur eine Ziffer gemein 
ben, für den Index der einen seine Ergänzung nehmen kann. 

Es möge nun 

ö= / 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\ 

W ««, «3, «4, «6, «6, «71 «8/ 




irgend eine Permutation der acht Ziffern sein, und (a, ß) 
Transposition der beiden Ziffern a und ß, also ein Element 
S bedeuten. Dann ist 

(8) iI 1|Vll fl = tf 77», „,„,„,, 

(9) ^.M,* "i.M,* = 1. 

(10) J7i,s,m J7 lia , a , 6 = (4, 5) J7 l>s , s , (1 
(U) ZT,,,,,,, J7 M , M = (1, 2) (3, 4) (5, $) (7,8) /7,,>.:,k. 

Man beweist diese Formeln leicht nach der Regel 3. 
man die einzelnen Fälle durchgeht, wobei natürlich nur eine 
ganz kleine Zahl von Typen zu betrachten sind; so geht z.B. 
[14] durch IT htiS:i in [2 3], dies durch /2i,s, M in [1 5] über, nnÜ 
[1 5]' wird durch TT li3iSit nicht mehr geändert, folglich bewirkt 

(12) fijAM &Um OiAW 

die Vertauschung von [14] mit [15] in Uebereinstimmung mit 
der Formel (10). Ebenso leicht erkennt man, dass z. B. [1 
durch (12) nicht geändert wird. 



Einfachheit der Gruppe des Doppeltangenteii 
Problems. 

Die Darstellung der Gruppe P, die wir im vorigen Para- 
graphen entwickelt haben, liefert uns nuu einen ganz einfachen 
Beweis dafür, dass diese Gruppe keinen Normaltheiler hat, 
also nach unserer früher gebrauchten Ausdrucksweise einfach 
ist, woraus dann folgt, dass die Gruppe nicht durch Adjuaction 
von Irratio nah täten mit kleinerer Gruppe, also beispielswei* 
nicht durch cyklische Gleichungen erniedrigt werden kann. 

Wir stellen P in der Form (4), §. 119, dar: 

(1) P= S+ -ES/7„„ „„„„„,, 
worin S die ganze Gruppe aller Permutationen von acht Zifft 
ist. Die Gruppe S hat einen Normaltheiler S' vom Index i 
nämlich die alternirende Gruppe der acht Ziffern, die ihrersänl 
einfach ist, und jeder Normaltheiler von S, der nicht aus drfl 
einzigen identischen Permutation besteht, muss die ganze Groppe 
8' enthalten. Wir setzen 

(2) S= 8' + S'\ 



Mm 

des i 




JO. Einfachheit der Gruppe. 455 

in S" = S'6 ist, wenn 6 irgend eine Permutation der zweiten 
, z. B. eine Transposition bedeutet 

Wir nehmen jetzt an, es sei Q ein Normaltheiler von P, der 
it aus der einzigen identischen Substitution besteht. 
Der grösste gemeinschaftliche Theiler von Q und S ist dann 
Normaltheiler von S, und muss daher, wenn er nicht die 
i tische Gruppe ist, die Gruppe S' enthalten. Daraus folgt: 

1. Wenn Q eine nicht identische Permutation aus S 
enthält, so enthält Q die ganze Gruppe S'. 

Wir beweisen sodann, dass Q, wenn es die Gruppe S' ent- 
, mit P identisch sein muss. 

Wenn nämlich Q die ganze Gruppe S' enthält, so enthält 
ls Normaltheiler von P auch, wenn (4, 5, 6) ein dreigliedriger 
lus aus S' ist [nach §. 119, (8), (10)]: 

#1,2,8,6 ( 5 i 4 > 6 ) #1,2,8,6 = (5, 4, 6) #1,2,8,4 #1,2,8,5 

= (5, 4, 6) (4, 5) 77 M , M , 
folglich auch 

S # (4,5)ff lfW = S"Hi fW . 
Ist nun 

6= /l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\ 
V«!, Oj, Os, « 4 , a 6 , a 6 , 07, ccj 

Permutation aus S, in der «i, «a, «3, « 4 beliebig gegeben 
, so kann man die Anordnung der a 5 , a 6 , 07, a 8 noch so 
len, dass <J nach Belieben zu S' oder zu S" gehört. Wählt 

6 in S' und beachtet, dass dann S" = S"ö— 1 ist, so ergiebt 

dass auch 

) enthalten sein muss. Nun ist aber auch 

M (3,5)(4,6)77 1|3 , M = (3,5)(4,6)# w ,6#i, a ,M 

= (3, 5) (4, 6) (1, 2) (3, 4) (5, 6) (7, 8) 77^,8 
= (1,2)(3,6)(4,5)(7,8)# 1 , 2 , 7 , 8 , 

da (1, 2) (3, 6) (4, 5) (7, 8) zu S' gehört, so enthält Q auch 
1,2,7,81 und folglich, wie oben, alle S'# ai ,a 8l tt 8 ,a 4 , also auch 
STTa^a^a^a^ und mithin auch 

O#o„a t ,o 3l a 4 #ai,a a ,a 3 ,a 4 = £>, 

Q umfasst die ganze Gruppe P. Daraus folgt in Ver- 
mg mit 1.: 



456 



Dr. 



r Abschnitt. 



2. Wenn ein Norm altheil er Q von P ausser tat 
identischen Permutation noch irgend eine Per- 
mutation mit S gemein hat, su ist Q mit V 
identisch. 

Es kann nun ferner die Frage sein, ob Q eine Permutatioa 
aus einer der Nehengruppcn von (1), also ein Element von der 
Form tfJ7i,i,3,t enthalten kann, ohne mit P identisch zu sein, 
Ist zunächst ff sss 1, enthält also Q das Element n t ,i,s.o ^ ecl " 
hält es als Norumltheiler von P auch ulle anderen /T 0] , so .,; 
wie aus der Formel §,119, (8) zu ersehen ist, und damit auch 
J7i,s,s r (^i,:!,3,6rti,a,5 T « = (4,Ö), und ist also nach 2. mit I' nlcutisr!;. 

Ist aber fl von 1 verschieden, so kann man ein Zü£sapi 
«, ß, beide unter den 1, 2, 3, 4 oder beide unter den ö, 6, 7, s, 
so wählen, daas die Transposition 

ff («, ß)6-* = («', d') 
von («, ß) verschieden ist. Denn nimmt man zunächst iür 
eine durch tf- 1 veränderte Ziffer, so ist «' von « verscl 
(Bd. I, §. 160, 4.), wählt man dann für ß eine Ziffer, die 
o"~ l nicht in « übergeht, und die mit k zugleich in der 
oder in der zweiten Hälfte der acht Ziffern vorkommt, die 
immer existirt, v. r eil nur eine Ziffer durch ff -1 in a übergel 
ist («', ß') von («, ß) verschieden. Dann folgt aber, dass in 
Gruppe Q das Element («, ß) ff n,, äiM («, ß), und folglich 
[nach §. 119, (8), (9j] 

C«,^)«i7,,„,,(a, ) 3)iT ] ,,, !) , ( ff-» = («,/J)<f(« T /3)ff-»= B («,ft(rf,j 
vorkommt, und dies ist eine von der Identität verschiedene l'cf- 
mutation aus S. Damit ist also bewiesen: 

3. Die Gruppe P der Doppeltangentengleicbung i«' 
einfach. 

Als specielle Anwendung können wir hervorheben, & 
Gruppe P unter den 28 Wurzeln der Doppel tangentengleit 
nur Pormutationen der ersten Art bewirken kann, und 
folglich die Discriminante dieser Gleichung 
Quadrat ist. 

Bezeichnen wir nämlich für den Augenblick mit 
Gruppe aller Pormutationen der 28 Wurzeln und mit A 
darin als Normaltheiler enthaltene alternirende Gruppe, so 
der grosste gemeinschaftliche Theiler von A und P ein Ni 



120. Einfachheit der Gruppe. 457 

eiler von P und muss also mit P identisch sein; d. h. P ist 

A enthalten. 

Wenn man die Gruppe der Permutationen aufsucht, die 
ne der Wurzeln der Doppeltangentengleichung, etwa [1 2], 
igeändert lassen, so findet man eine Gruppe, die für die übrigen 
T Wurzeln noch transitiv ist l ). 

Um dies nachzuweisen, genügt es, zu zeigen, dass durch die 
ennutatdonen dieser Gruppe irgend eine Wurzel, etwa [1 3], in 
de andere (mit Ausnahme von [1 2]) übergehen kann. Nun 
sht aber [1 3] durch Permutationen der Gruppe S, durch die 

2 ungeändert bleiben, in [14],..., [1 8] über; ebenso [2 3] in 
S 4], . . ., [2 8]. Es bleibt also noch zu zeigen, dass man [1 3] 
ich in [2 3] und in [4 5] überfuhren kann. Dies zeigt aber 
er Anblick der drei folgenden vollständigen Siebener -Systeme: 

[1 2] [1 3] [1 4] [1 5] [1 6] [1 7] [1 8], 
[1 2] [2 3] [2 4] [2 5] [2 6] [2 7] [2 8], 
[1 2] [4 5] [3 4] [3 5] [1 6] [1 7] [1 8]. 

Die Gruppe P ist hiernach zweifach transitiv. Sie kann 
)er nicht mehr als zweifach transitiv sein. Denn lässt man 
rei Wurzeln ungeändert, so kann eine mit diesen beiden syzy- 
itische Wurzel nicht in eine azygetische übergeführt werden, 
nrch Adjunction von zwei Wurzeln wird die Doppeltangenten- 
eichung reducibel. Es löst sich ein Factor 10 ten Grades ab, 
ssen Wurzeln mit den beiden gegebenen einen Stein er'schen 
3mplex bilden (die Function X im Satze 1., §. 118). 

Unter den Divisoren der Gruppe P ist besonders die 
ruppe S vom Index 36 bemerkenswerte Diese Gruppe ist noch 
ansitiv, weil durch sie [1 2] in jede beliebige Wurzel [x k] 
)ergeführt werden kann. Sie ist aber nur noch einfach tran- 
üv, weil bei festgehaltenem [1 2] die Wurzel [1 3] nicht mehr 
[4 5] übergehen kann. 

Durch Adjunction einer Wurzel einer Gleichung 36 8ten Grades 
rd also die Gruppe der Doppeltangentengleichung auf die 
•nppe einer allgemeinen Gleichung 8 ten Grades reducirt. 



l ) Diese Gruppe ist nach einem geometrischen Satze von Geiser 
morph mit der Gruppe der Gleichung 27 *t en Grades, von der die Lösung 
Problems der 27 Geraden auf einer Fläche dritter Ordnung abhängt. 
tthem. Annalen, Bd. I.) 



458 Dreizehnter Abschnitt. g. 121. 

Setzt man z. B. 

», = [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18], 
und definirt entsprechend v it v,, . . ., p g , so ist jede syni metrisch 
Function dieser acht Grössen, z. B. 

U = «i + V, + V, -f- V t + «, -\- V, + % + "ll 
Wurzel einer Gleichung 36" en Grades, Adjungirt man den j 
Problem die Grösse u, so werden die t»i, b», . . ., « s die Wurzeln 
einer Gleichung 8"" 1 Grades, die keinen Affect hat. 



§. 121. 
Realität der Doppeltangenten. 

Wir wollen noch die Frage erörtern, wie sich bei ( 
reellen Curve vierter Ordnung ohne singulären Punkt die Dopf 
tangenten in Bezug auf ihre Realität verbalten können, 
nehmen also jetzt die Coefncienten der Gleichung der ( 
vierter Ordnung reell an, d. h. wir setzen einen reellen i 
nalitätsbereich voraus. 

Wenn dann eine Doppeltangente | imaginär ist, so 
auch die conjugirte Gerade £' Doppeltangente sein. 

Wenn wir in einer rationalen Gleichung zwischen 
Wurzeln der Doppeltangenteugleiehung jede imaginäre War 
durch die conjugirte ersetzen, so entsteht wieder eine rieht 
Gleichung. Es folgt daraus, dass zu syzygetisehen oder i 
getischen Systemen von Doppeltangenten conjugirte System' ■ : 
selben Charakters gehören, die man erhält, wenn man über» 
durch — i ersetzt. 

Ein St einer 'scher Complex C geht daher durch Ueberg 
von i zu — i in einen Steiner'schen Complex C über, und ' 
unterscheiden zwei Fälle: 

Ist C mit C identisch, so nennen wir C = C einen reell 
Complex. 

Ist aber C von C verschieden, so bilden sie ein conjugirt 
Complexpaar. 

Die Paare eines reellen Complexes bestehen entweder « 
zwei reellen Doppeltangenten oder es sind conjugirte Paare & 
oder sie enthalten zwei nicht conjugirte imaginäre Dopj 
tangenten §, i\. Im letzteren Falle muss dann im Complex • 



121. Realität der Doppeltangenten. 459 

& aus den conjugirten Doppeltangenten £', rf gebildete Paar 
»rkommen. Zwei solche Paare (£, q), (£', 1/) wollen wir ein 
»njugirtes Doppelpaar nennen. 

Niemals kommt in einem reellen Complexe eine reelle 
r urzel x mit einer imaginären £ gepaart vor, weil sonst neben 
3m Paare (#, £) auch das conjugirte Paar (#, £*) in demselben 
omplexe vorkommen müsste, was unmöglich ist, da diese beiden 
aare ein gemeinschaftliches Element x enthalten würden. 

Ein Aronhold'sches Siebener -System 8 geht durch Ver- 
tuschung aller seiner Elemente mit den conjugirten in ein eben- 
)lche8 System S' über, und wir nennen ein solches System 
Bell, wenn S mit S' identisch ist Ein reelles Siebener-System 
lthält daher zu jeder in ihm vorkommenden Wurzel £ die con- 
igirte |', und muss folglich wenigstens eine, immer aber eine 
ngerade Anzahl von reellen Doppeltangenten enthalten. 

Wir leiten jetzt der Reihe nach die Hauptsätze ab: 

1. Es können nicht alle Doppeltangenten ima- 
ginär sein. 

Es sei nämlich £, £' ein conjugirtes Paar und q eine dritte 
aaginäre Doppeltangente, so dass die drei £, £', 77 azygetisch 
nd. (Dies wäre sicher möglich, wenn alle Doppeltangenten 
naginär wären.) Ist 17' zu 17 conjugirt, so haben wir die beiden 
sygetischen Tripel: 

Da hiernach in dem durch das Paar £17 bestimmten Steiner' - 
hen Complexe £' nicht vorkommt, so ist dieser Complex 
laginär. 

Wir stellen ihn mit seinem conjugirten Complexe zusammen : 

x !) I ?Ji li*h, £2^ fs^a, ^4^4, hVb 

] 2) rv.Kflti ßflii *•*'*«*', kaJ, 

dem wir unter £, rfc die zu £,-, ^ conjugirten Elemente ver- 
dien, so dass, falls & reell ist, $ = £»• zu setzen ist, und am- 
ikehrt auch aus £J = £,- folgt, dass £,- reell ist. 

Es sind nun zwei Möglichkeiten zu unterscheiden. Wenn 
ratens die Complexe 1), 2) ein syzygetisches Paar bilden (§. 114), 
haben sie vier syzygetische Elemente gemein. Darunter können 
;, *1, £', 17' nicht vorkommen, und wir beschränken daher die 
Mlgemeinheit nicht, wenn wir annehmen, es seien &, ij n £ a , ij a 



460 Dreizehnter Abs 

die gemeinschaftlichen Elemente. Diese können in ihn» G- 
sammtheit aber nicht verschieden sein von I,', »;,', ü, i?;, da äs 
Uebergang zu den accentuirten Buchstaben, d. h. zu den cm- 
jugirt imaginären Grössen, wodurch 1) in 2) übergeht, überaß 
gestattet ist. 

Nun ist die Annahme |[ = jjJ ausgeschlossen, weil daran» 
|,' = % folgen würde und 1) von 2) nicht ver*ehieilen wiire, 

Ist £, *=* |i) B0 ist £, reell. 

Ist aber £, = £j, £ 2 — |J, so ist % = iji, also i;, ree'l 
und davon ist die Annahme |, = tjJ, £,' = t] 2 , | s c= fj iiitiit 
wesentlich verschieden. 

Dieser Fall führt also immer auf eine reelle Doppeltangente. 

Wenn aber zweitens das Complexpaar 1), 2) azygetiicb , 
ist, bo enthält jedes Paar des einen Coniplexea ein Elementi 
was auch im anderen Complexe vorkommt, und ein Element, 
was im anderen nicht vorkommt. Kommt also etwa »j im Co* 
plexe 2) vor, so können wir, ohne Beeintriichtiguiii; der All- 
gemeinheit ij = iji, ij' = % annehmen, und erhalten folgende 
Paare in 1) und 2) 

Wenn ferner jj a in 1) und 2) vorkommt, so kann ij, nicht 
gleich £i sein, weil sonst 1) das Paar £, £i enthielte und folglich I 
reell wäre. 

Wenn tj, = rjl ist, ao ist ij s reell. Ist aber jj, gleich eines I 
Element der drei letzten Paare von 2), so können wir es OH 
Beschränkung = yi annehmen, also ij 3 = t]$, tj, = rji 

Dann sind aber nach dem Satze §. 113, 3. sowohl >,. »».'ii 
als ri, i/, t}., azygetisch. Die beiden Paare ijt?j, ij'tjj bestimmen 
zwei Complexe, deren zweiter weder *j noch jj a enthält, und iÜil 
daher ein Byzygetisches Paar bilden. Damit sind wir sul ■& 
erste Annahme zurückgeführt, und unser Satz 1. ist '■ 

Es giebt also immer mindestens zwei reell' 
tangenten. 

2. Es giebt immer mindestens ein System von vi«l 
reellen syzygetischen Doppeltangenten. 

Beim Beweise dieses Satzes gehen wir ans von einem M a 
1. immer existireuden reellen Paare xy, und betrachten den 
reellen Complex, der durch dies Paar bestimmt ist. D;t die aM 



&. 121. Realität der Doppeltangenten. 461 

jngirten Doppelpaare je zwei Paare sind, so muss unter den 
sechs Paaren dieses Complexes entweder ein zweites reelles Paar 
vorkommen, und dann trifft der Satz 2. zu, oder er muss ein 
conjugirtes Paar ||' enthalten. 

Im letzteren Falle betrachten wir das durch diese beiden 
Paare bestimmte syzygetische Complextripel, in dem alle 28 Doppel- 
tangenten Torkommen (§. 114, 4.): 

i) *y, «', 

2) *|, yt\ Ixiu 

3) *r, yt, liijl, 

von denen die beiden letzten conjugirt imaginär sind, und folg- 
lich, da sie ausser x, y, f , g' kein gemeinschaftliches Element 
haben, nur noch imaginäre Paare enthalten, von denen wir eins, 
£i4i, nebst dem dazu conjugirten ^{rji mit aufgeführt haben. 

Es genügt demnach, wenn wir die Existenz von einer weiteren 
reellen Doppeltangente beweisen können. Denn diese muss dann 
in 1) vorkommen und muss in diesem Complexe zu einem reellen 
Paare gehören. 

Jetzt bilden wir noch die beiden conjugirten Complexe: 

5) x*i, r,;, 

in denen y gewiss nicht vorkommt, da sonst x, £, y azygetisch 
' wen (§. 113, 3.). Aus demselben Grunde kommt £ nicht in 5) 
nnd {' nicht in 4) vor. 

Wenn nun zunächst die Complexe 4) und 5) syzygetisch 
sind, so muss & in 5) und gi in 4) vorkommen, und wenn 4) 
das Paar pg[ enthält, so muss in 5) das Paar p^ t vorkommen. 
& ist also p mit seinem conjugirten Elemente identisch, d. h. 
reell. 

Wenn zweitens die Complexe 4) und 5) azygetisch sind, so 
kommen &, { nicht in 5) vor, und es muss r\ x in 5) enthalten 
•ein. Wenn 7\ x in 5) mit einem imaginären Elemente £2 gepaart 
ist, und wenn in 4) noch ein weiteres imaginäres Paar | s i? 3 vor- 
kommt, so setzen sich diese Complexe in folgender Weise fort: 

4) s£n £ih, &iji\ Isflsi &174 

5) *!i, l'iji, laijn Isijs, £3 fli, 

worin auch rj 4 imaginär ist, und durch die accentuirten Buch- 
ataben immer die conjugirten Elemente zu den unaccentuirten 



462 



■ U>« 



verstanden sind. Die beiden Complexe enthalten dann nur noch 
je ein Paar £ s »; 5 , Ib'Jb, die ein gemeinschaftliches Element ent- 
halten müssen. Es kann aber nicht | s = jjä sein, weil sonst 
auch & = ij s , und mitbin beide Paare identisch wären. AI« 
muss £ s = |b (oder i;., = y£) sein; d. h. eine dieser beiden Doppel- 
tangenten ist reell, und damit ist unser Satz 2. bewiesen. 
3, Wenn ausser den vier reellen Doppeltangeoten 
*» Vi Pi 9i deren Existenz der Satz 2. behaupte!. 
noch eine weitere vorhanden ist, so existiren 
acht reelle Doppeltangenten, die in 
Steiner'Bchen Complexe vier Paare bilden. 
Wir bilden das reelle syzygetische Complextripel, in Je« 
alle Doppeltangenten vorkommen müssen: 

1) xy, pq, 

2) xp, yq, 

3) xq, yp. 
Ist eine fünfte reelle Doppeltangente r vorhanden, so köui 

wir annehmen, sie komme im Complexe 1) vor. Dann e 
dieser Complex ein drittes reelles Paar rs enthalten, und < 
weder ein viertes reelles Paar, in welchem Falle der Satt 1 
Bcbon zutrifft, oder ein conjugirtes Paar pp'. 

Enthält der Complex 2) nicht lauter reelle Doppeltangentf: 
ein Fall, in dem gleichfalls der Satz 3. zutreffen würde, so b 
in 2) ein imaginäres Paar £tj vorkommen, und danach betrachW 
wir also die folgenden Complexe: 

1) xy, pq, rs, pp', 

2) xp, yq, 
i) xr, ys. 

Die beiden Complexe 2), 4) sini 
r in 2) nicht vorkommt [weil es in 1) vorkommt]. FolgHc 
kann 4) auch nur eine der beiden t, ij enthalten, und I 
können, da der Complex 4) reell ist, |, ij nicht conjugirt s 
Es ergiebt sich daraus für 2) und 4) je ein conjugirtes Dop] 
paar, und wir haben: 

2) xp, yq, |jj, |'V, 

4) xr, ys, H, 6' f, 
worin £, £' wieder ein Paar conjugirter Doppeltangenten be- 
deutet. 



*i. 



I aber azygetisch, da t B 






Realität der Doppeltangenten. 463 

an bilden wir den sowohl mit 2) als mit 4) syzygetischen 
i Complex 

5) *ft VV', tV, 

eines der Elemente x, y, p, q, r, s enthalten kann, und 
die beiden conjugirt imaginären Complexe 

6) #£, pn, rt 

7) *{\ Pfl'i rft 

), 6), 7) bilden ein azygetisches Tripel, y, g, s kommen 
und 7) nicht vor, denn sonst müssten sie mit je zweien 
, jj, r azygetisch sein, was nach 2) und 4) unmöglich ist 
also jeder der Complexe 6), 7) azygetisch mit dem Com- 
1), und es muss also eine und nur eine der beiden Doppel- 
iten p, q' in 6) vorkommen; ist dies q, so ist q' in 7) ent- 
. Ist q ö ein Paar von 6), so ist ö von seinem conjugirten 
schieden , weil sonst 6 q' in 7) und folglich q q* in 5) Tor- 
en müsste, was nicht der Fall ist. Also haben wir, wenn 
«rei weitere conjugirt imaginäre Doppeltangenten sind, die 
exe: 

6) *£i py, r£, q ö, 6'x 

7) *g\ py', rt\ Q'tf, *r'. 

t tk das letzte Paar des Complexes 6), so kommt das 
'k' in 7) vor, und diese beiden Paare müssen ein gemein- 
Element enthalten. Da aber k nicht gleich t' sein kann, 
onst beide Paare identisch wären , so muss t = t' (oder 
', was nicht wesentlich verschieden ist) sein; es ist also 
, und es wird: 

6) *!i PV, r£, q <J, ö'r, tk 

7) **', py\ ri\ Q'6\ ö< tk'. 

stzt kehren wir zu dem syzygetischen Complextripel 1),2),3) 
. Da wir aus 6) schliessen, dass xpt und xrt azygetisch 
so kann t weder in 2) noch in 3) vorkommen, und muss 
. 1) enthalten sein. Da aber 1) ein reeller Complex ist, 
ss darin t mit einer reellen Doppeltangente u gepaart 
nen, und der Complex 1) wird 

zy, JP«i rs, tu, 
h unser Satz 3. bewiesen ist. 



464 



r Abselm 



4. Wenn in einem Complexe fünf reelle Paare ro 
kommen, so sind alle Doppeltangenten rcelL 

Gehen wir aus von einem Com pl exe mit fiinf reellen Paar 

i) #ii/n XiVi, *»&, s,y„ ^sj/i, 

und nehmen zunächst an, dass ausser dem letzten Paare die» 
Complexes noch eine imaginäre Doppeltangente £ existire, ilai 
ist auch eine conjugirte Doppel tan geilte |' vorhanden, und ä> 
durch das Paar ||' bestimmte reelle Complex 2) ist mit ! 
syzygetiseh [weil £ und £' nicht in 1) vorkommen]. Die vi 
gemeinschaftliehen Elemente von 1) und 2) müssen aber ree 
sein, weil 2) als reeller Complex keine reelle DoppeltaugeW 
mit einer imaginären gepaart enthalten kann. 
Es sei also 

2) ttf, X t X u >h!l- : - 
und daraus leiten wir die zwei Complexe her: 

3) ic, g , x, |\ 

4) %ft Mi 
die mit einander syzygetiseh sind, und mithin ausser den * 
angegebenen kein Element gemein haben. Sie sind aber z 
conjugirt, und daher kann in 3) ausser x u x, keine reelle Do[ 
tangente vorkommen. Nun sind aber 1) und 3) azygetisch, 
| in 1) nicht vorkommt; mithin muss aus jedem Paare ' 
ein Element in 3) vorkommen. Also enthält 3) ausser /,.' 
noch reelle Elemente, wodurch sieh ein Widerspruch ergiebt 

Wir schliessen daraus, dass die beiden Complexe, die ( 
die Paare a - , .r a , .r, y, bestimmt sind und mit 1) ein syiygetl 
Complextripel ausmachen, nur reelle Elemente enthalte 

Lassen wir einen dieser Complexe, etwa J", .r„ an Stellt 
1) treten und wiederholen dann unseren Schluss, so ergieht 
dass überhaupt alle Doppeltangenten, also auch dir; UM I 
Paares von 1), reell sein müssen. 

5. Wenn mehr aU acht reelle Doppeltangeut*i| 
vorhanden sind, so giebt es sechzehn, die in 
einem syzygetischen Complextripel je vier reell 
Paare bilden. 

Nehmen wir mehr als acht reelle Doppeltangenten an. 
können wir nach den Sätzen 3., 4. folgendes syzygetische Compli 
tripel zusammenstellen: 



121. Realität der Doppeltangenten. 465 







1) 


XiVi, 


#2^21 


x zyii 






2) 


CC\ 3>2 • 


S/lSfo, 


*l #2i 






3) 


^1^21 


^S/li 




rorin die #,-, 


Vu 


z f reell sind. 






Damit verbinden 


wir den 


Compl 


ex 








4) x 


i *i » a 


'2 #2i 



kr mit 1) azygetisch ist, und daher aus den Paaren x 8 y s , x i y i 
je ein und nur ein Element enthalten kann, etwa x 3 und x 4 . 
Da aber 4) ein reeller Complex ist, so muss es zwei weitere 
reelle Doppeltangenten * 3 , * 4 geben, so dass der Complex 4) sich 
so fortsetzt: 

4) X x *,, #2*2» #3*3* ^4#*5 

?j und z K kommen nicht in 2) und auch nicht in 1) vor, und 
nässen also in 3) enthalten sein. 

Sie können auch in 3) nicht gepaart vorkommen, weil 
Ei, £ S) z k azygetisch sind. Hieraus schliessen wir, wenn £ 3 , tf 4 zwei 
reitere reelle Doppeltangenten sind, auf folgende Zusammen- 
letzung des Gomplexes 3): 

Betrachtet man nun an Stelle des Complexes 4) den Complex 

5) x x # 3 , 2/2 ^3 , 

kann man genau ebenso auf ein viertes reelles Paar u x u 2 im 
lomplex 2) schliessen, und damit ist 5. bewiesen. 

Fassen wir das Ergebniss zusammen, so erkennen wir, dass 

1 Bezug auf die Realität der Doppeltangenten einer reellen 
urve vierter Ordnung nur vier Fälle möglich sind: 

1) Vier reelle syzygetische Doppeltangenten. 

2) Acht reelle Doppeltangenten, und zwar vier Paare 
eines Steiner'schen Complexes. 

3) Sechzehn reelle Doppeltangenten, die in einem 
syzygetischen Compl extripel je vier reelle Paare bilden. 

4) Achtundzwanzig reelle Doppeltangenten. 



Weber, Algebr». IL 30 



ehnter Abschnitt. 



§. 122. 
Beweis der Existenz der vier Fälle. 

Wir haben im vorigen Paragraphen zunächst nur bewiesen, 
dasB es keine anderen als die Fälle 1), 2), 3), 4) geben kann. 
Dass diese vier Fälle aber wirklich alle möglich sind, ist jetzt 
auch leicht zu zeigen, auf Grund des Satzes §. 117, nach den 
man aus sieben beliebig gegebenen geraden Linien auf ratio- 
nalem Wege eine Curve vierter Ordnung ableiten kann, für 
die die gegebenen Linien ein Aronbold'sches System bilden, 
aus dem sich alle Doppeltangenten rational ableiten bissen. 

Unter den sieben gegebenen geraden Linien können ftncn 
imaginäre vorkommen, und als Bedingung der Realität der Cur» 
(d. b. der Coefricienten in ihrer üleichung) ergiebt sich die, dt» 
das System, was man erhält, wenn man jede imaginäre Gerade 
durch ihre conjugirte ersetzt, wieder ein Aronbold'sches System 
der selben Curve ist. Denn dann ändern sich die Coefliriento 
nicht, wenn i durch — i ersetzt wird. 

Die Curve wird also gewiss reell, wenn in dem gegeben« 
Sieben er -Systeme zu jeder imaginären Geraden die conjugirte 
vorkommt; dann bilden sie ein reelles Siebener-System. 

Ein solches reelles System kann nun enthalten: 

1) eine reelle, drei Paar conjugirt imaginäre Geraden; 

2) drei reelle und zwei Paar conjugirt imaginäre Geraden, 

3) fünf reelle und ein Paar conjugirt imaginäre Geraden; 

4) sieben reelle Geraden. 

Wir werden sehen, dass diese vier Annahmen in derselben 
Ordnung zu den im vorigen Paragraphen aufgezählten vier Fülle» 
führen. 

Dieser Nachweis wird sehr einfach, wenn man sich derj 
Rezeichnungs weise der Doppeltangenten, die wir im §. 116 dar- 
gelegt haben, bedient, nach der wir die Stein er 'scheu Com- 
plexe unmittelbar aus der Bezeichnung bilden können. 

1) Im ersten Falle bezeichnen wir die gegeb< n 
Geraden mit 

0, 1, 1', 2, 2', 3, 3', 
setzen als reell voraus, 1 mit 1', 2 mit 2', 3 mit 8* conjugirt 



Realität der Doppeltangenten. 467 

är. Die übrigen 21 Doppeltangenten werden dann durch 
ichen [0 1], [0 1'], [1 1'], . . . bezeichnet 
ich der Vorschrift des §. 116 erhalten wir die beiden 
len Steiner'schen Complexe: 

[0 1], l'[l 1'], 2 [1 2], 2'[1 2'], 3 [1 3], 3'[1 3'] 

i [0 1'], 1 [1 rj, 2 [1'2], 2'[1'2'], 3 [1'3], 3'[1'3']. 

sr zu (1) conjugirte Complex muss die Elemente 0, 1, 2, 2', 3, 3' 
en, und ist also nach §. 115, 7. mit (1') identisch, der 
echs Elemente gleichfalls enthält 
iraus folgt, dass [1 1'] reell ist, und dass 

[0 1] [0 1'] 
[1 2 ] [1' 2'] 
[12'] [1'2] 

irte Paare sind. Da man in dieser Betrachtung 1 mit 2 
vertauschen kann, so folgt, dass 0, [1 1'], [2 2'], [3 3'] 
nd alle übrigen Doppeltangenten imaginär sind, 
ich §.116 können wir leicht einen Steiner'schen Complex 
der die vier reellen Doppeltangenten enthält: 

l'J, [2 2'] [3 3'], 1 [0 1'], l'[0 1], [2 3] [2' 3'], [2 3'] [2'3], 

noch zu sehen ist, dass dieser Complex ausser den reellen 
zwei conjugirte Paare und ein conjugirtes Doppelpaar 

i. 

es ist also der Fall 1) des vorigen Paragraphen. 
Es seien die sieben gegebenen Geraden: 

0, 1, 2, 3, 3', 4, 4', 

irin 0, 1, 2 reell, 3 zu 3' und 4 zu 4' conjugirt. Wir 
drei Complexe: 

1 [0 1], 2 [0 2], 3 [0 3], 3'[0 3'], 4 [0 4], 4'[0 4'], 
[0 3], 1 [1 3], 2 [2 3], 3'[3 3'], 4 |3 4], 4' [3 4'], 
[0 3'J, 1 [1 3'], 2 [2 3'], 3 [3 3'], 4 [3' 4], 4'[3'4']. 

>r zu (0) conjugirte Complex enthält 1, 2, 3, 3', 4, 4' und 

jlich mit (0) identisch, d. h. der Complex (0) ist reell. 

folgt, dass [0 1], [0 2J reell, [0 3] mit [0 3'] und [0 4] 

4*] conjugirt ist. Ferner ergiebt sich auf die gleiche 

dass (3), (3') conjugirte Complexe sind, und dass also 

•eell, [3 4] mit [3'4'J, [3 4'] mit [3' 4] conjugirt imaginär 

Da man 0, 1, 2 beliebig vertauschen darf, und ebenso 3 

so erhalten wir folgende Zusammenstellung: 

80* 



468 Dreizehnter Abschnitt §. 18. 

Reelle Doppeltangenten: 
0, 1, 2, [1 2], [2 0], [Ol], [3 3'], [4 4]. 

Conjugirte Paare: 

3 4 [0 3] [0 4] [1 3] [1 4] [2 3] [2 4] [3 4] [3 4'] 
3' 4' [0 3'] [0 4'] [1 3'] [1 4'] [2 3'] [2 4'] [3' 4'] [3' 4} 

Der Stein er'scbe Complex, der vier reelle Paare enthÜ, 
ist hier 

[1 2], 1 [2 0], 2 [0 1], [3 3'] [4 4'], [3 4] [SU*], [3 4'] [3'4], 

und er enthält noch zwei conjugirte Paare. Dies ist also der 
Fall 2) des §. 121, 

3) Es seien die gegebenen Linien: 

0, 1, 2, 3, 4, 5, 5', 

und davon 0, 1, 2, 3, 4 reell, 5 und 5' conjugirt imaginär. Die 
Betrachtung der drei Complexe: 

(0) 1 [1 0], 2 [2 0], 3 [3 0], 4 [4 0], 5 [5 0], 5'[5'0], 
(5) LO 5], 1 [1 5], 2 [2 5], 3 [3 5], 4 [4 5], 5'[5'5], 
(5') [0 5'], 1 LI 5'], 2 [2 5'], 3 [3 5'], 4 [4 5'], 5 [5 5'], 

Ton denen der erste reell, die beiden anderen conjugirt imaginär 
sind, und der durch Vertauschung von 0, 1, 2, 3, 4 aus (0) ab- 
geleiteten giebt, genau wie oben, folgendes Resultat: 

Reelle Doppeltangenten: 

0, 1, 2, 3, 4, [Ol], [0 2], [0 3], 
[0 4], [1 2], [1 31, [1 4], L2 3], [2 4], [3 4], [5 5']. 

Conjugirte Paare: 

5, [0 5], [15J, [2 5], [3 5], [4 5], 
5', [0 5'], [1 5'], [2 5'], [3 5'], [4 5'], 

und wir finden ein syzygetisches Complextripel : 

0, 1, [0 2] [1 2], fO 3] f 1 3], [0 4] [1 4 ], [0 5] [1 5 ], [0 o*) [1 5% 

2, 3, [0 2] [0 3], [1 2] [1 3], [4 2] [4 3 ], [2 5] [3 5 ], [2 b 1 ] [3 tf} 

[Ol], [2 3], [0 2] [13], L0 3J[12J, 4 [5 5'], 5 [4 5'], 5' [45} 

von denen jeder Complex noch vier reelle Paare und ein ima- 
ginäres Doppelpaar enthält. Solcher Tripel aber lassen sich nock 
mehrere bilden, da man 0, 1, 2, 3, 4 beliebig vertauschen darf 
Dies ist der dritte Fall von §. 121. 



$. 122. Realität der Doppeltangenten. 469 

4) Dass endlich, wenn wir alle Elemente des gegebenen 
Siebener-Systeraes reell voraussetzen, auch alle übrigen Doppel- 
tangenten reell ausfallen, ist eine unmittelbare Folge der ratio- 
nalen Darstellung (§. 117). 

Hiermit ist gezeigt, dass die vier Fälle des vorigen Para- 
graphen wirklich alle vorkommen können. Ob die hier be- 
sprochene Erzeugungsweise die einzig mögliche ist, mit anderen 
Worten, ob bei jeder reellen Curve vierter Ordnung ein reelles 
Aronhold'scbes System existirt, diese Frage müssen wir unent- 
schieden lassen. 

Auch ist hier noch darauf hinzuweisen, dass aus der Realität 
einer Doppeltangente noch keineswegs die Realität der Berüh- 
rungspunkte folgt, weil diese Berührungspunkte wieder von einer 
quadratischen Gleichung abhängen. Die reellen Doppeltangenten 
zerfallen also wieder in zwei Arten, solche mit reellen und solche 
mit imaginären Berührungspunkten. Welche Fälle hier zu unter- 
scheiden sind, diese Frage erörtern wir nicht weiter 1 ). 



l ) Vergl. über die ganze Frage von der Realität der Doppeltangenten 
om geometrischen Gesichtspunkte: Zeuthen, „Sur les differentes formes 
es eourbes planes du qnatrieme ordre". Mathem. Ann., Bd. VII (1873). 



Vierzehnter Abschnitt. 
Allgemeine Theorie der Gleichung fünften Grades. 



Fragestellung. 

Wir haben im §. 60 gesehen , dass es über die Frage i 
der Galois' sehen Gruppe einer algebraischen Gleichung i 
ein weiter gehendes Problem giebt, nämlich die Frage nach t 
linearen Substitutionsgruppe von möglichst geringer Dimension 
zahl, auf deren Formen problera die gegebene Gleichung zur 
führbar ist. Bei den ine taey Mischen Gleichungen, insbesone 
also auch bei den allgemeinen Gleichungen 3*™ und 4"™ C 
iat diese Dimensionenzahl gleich 1, wodurch eben 
ist, dass diese Gleichungen durch Radicale lösbar sind, 
zunächst zu untersuchenden Gleichungen sind dann die 
5 " n Grade , und es wird sich zeigen , dass die Lösung der i 
gemeinen Gleichung 5'™ Grades auf eine binäre ÜBMH I 
stitutionsgruppe, nämlich auf das Ikosai' der prob lern führt. 
Damit im Zusammenhange steht aber noch eine andere Fr» 
Die allgemeine Gleichung h % ™ Grades enthält fünf ( 
cienten, die als unabhängige Variable betrachtet werden köi 
und folglich ist die Wurzel einer solchen Gleichung e 
braische Function von fünf Variablen. Nun kann man i 
schon durch die einfachen linearen Substitutionen die Zahl d 
Variablen vermindern. Durch Tschirnhausen-Transt'oni 
z. B. auf die Jerrard'sche Form, kann man die Gleichung » 
nur von ebnem variablen Coefficienten (einem Parameter): 
machen, unil man kann also, durch Vermittelung i 
Gleichungen, die den 5" ,ü Grad nicht erreichen, die Wurzel I 




. 123. Fragestellung. 471 

dlgemeinen Gleichung 5 ten Grades von einer algebraischen Func- 
ioo von einer Variablen abhängig machen. 

Die Frage, auf die wir hier geführt werden, ist also die, wie 
nan die Lösung einer algebraischen Gleichung, deren Coeffi- 
ienten von einer gewissen Anzahl von Variablen abhängen, auf 
ine Gleichung mit einer möglichst geringen Anzahl von Para- 
netern, und insbesondere, unter welchen Umständen und mit 
«reichen Hülfsmitteln man sie auf Gleichungen mit nur einem 
'arameter zurückfuhren kann. 

Wir stellen uns demnach jetzt die Frage, unter welchen 
oraussetzungen bei einer allgemeinen Gleichung n 1 " 1 Grades 
iesolventen mit nur einem Parameter existiren. 

Es sei# , %•• .i#n-i ein System von n unabhängigen Variablen, 

1) t* = O (rr , 04, . . ., x n - x ) 

ine rationale Function dieser Variablen, die durch die Permuta- 
ionen der alternirenden Gruppe der n Buchstaben x in 
ie von einander verschiedenen Functionen 

bergeht, worin v gleich oder kleiner als der Grad der alter- 
irenden Gruppe sein kann, und e sei eine Function der Variablen 
, die durch die alternirende Gruppe ungeändert bleibt. Es 
agt sich: wann besteht eine rationale Gleichung v*® 11 Grades 
i Bezug auf u, 

i) F{u % z) = 0, 

e durch die v Functionen (2) identisch befriedigt wird? 
ie Coefficienten in (3) müssen von den x unabhängig und 
so reine Zahlen sein. Eine Beschränkung des Rationalitäts- 
ireiches im Gebiete der Zahlen lassen wir einstweilen nicht 
ntreten. 

Die Gleichung (3) ist, wenn v > 1 ist, eine Resolvente der 
leichung n ten Grades, deren Wurzeln die x sind, die nur von dem 
nen Parameter z abhängt. Dieser Parameter ist durch die 
mmetri8chen Grundfunctionen und durch das Differenzen- 
oduct der Variablen #, also nach Adjunction der Quadrat- 
rzel aus der Discriminante rational durch die Coefficienten 
• Gleichung n ten Grades mit den Wurzeln x darstellbar. Den 
1 v = 1 schliessen wir aus. 




472 Vierzehnter Abschnitt. 

§. 134. 
Satz von Liiroth. 

Es ist zunächst folgender Hülfssatz zu beweisen 1 ): 

1. Ist tt, u t , Ug, . - ., ttv i ein System rationale! I'nni- 

tionen einer Variableu (, so giebt es eine ratio- 
nale Function der m, (*,, . . ., «,_i: 

# = Z(«, «i «.~i) 

von der Art, dass w, «,, . . ., u»_i rational durch 9 
allein ausgedrückt werden können. 
Um ihn zu beweisen, setzen wir 

m « = *<*> u 9i(t) u - g'-'W 

V ' *(Ö' J *,(*)""' " _1 *r-:((j' 

uud verstehen unter y((), <M ( ) ganze Functionen von ( ohne 
gemeinschaftlichen Theiler; ebenso unter <Pi(t), tf», (() u. 8, i j 
Ausserdem dürfen wir noch voraussetzen, dass von den Functionen 
«, m, , . . ., «,_i keine eine Constaute sei. Wir führen neben 
der Variablen ( eine zweite Variable r ein und setzen : 

(<i\ v — S^El i, — 9>l -( r ) „ _ <t>< i\*< 

*<*)' ' *iW ""' *»_,(«) 

Nun bilden wir die ganzen Functionen der beiden Variable 
t, t, deren keine identisch verschwindet: 

tp (t) M> (t) — <p fr) <K0 = * M = -« (r,<), 



(3) 



i 



Betrachten wir sie als Functionen von (, so venchwiaM 
sie alle, wenn ( = t wird, und sie haben also einen grosste« 
gemeinschaftlichen Theiler, der in Bezug auf ( miml' 
ersten Grade ist, und vom (t" B Grade sein möge: 
(4) S = M(t, «> 

Diese Function B iBt auch in Bezug auf t rational. undJ 
wenn man sie so einrichtet, dass r nicht im Nenner und nicbtl 
in einem überflüssigen Factor vorkommt, so kann R(i,t) bfl M 
Vertauschung von t und r höchstens sein Vorzeichen Ander». I 
Denn die Functionen (3) sind, auch als Functionen der beiden 



') Liirot.li, Mathematische Anualeu, Bi). 9; Netto, ebenda, Bd. 



.124. Satz von Lüroth. 473 

Variablen t, t betrachtet, durch R(t, t), und da sie alternirend 
ind, durch jR(t, t) theilbar (Bd. I, §. 20). Es ist also R (t, t) 
urch R (t, t) theilbar, und umgekehrt, und folglich unterscheiden 
ich beide nur durch einen constanten Factor, der = + 1 sein 
Hiss, weil die nochmalige Vertauschung von t mit t die ursprüng- 
iche Function wieder herstellt. 

Es lässt sich noch beweisen, dass keine der Functionen (3) 
bei unbestimmtem r) als Function von t betrachtet, einen Factor 
lebrfach enthält, und dass in Folge dessen auch R(t, r) durch 
ein Quadrat theilbar ist. Angenommen nämlich, es hätten 

(t,%) = qp (0*(r) — q>(t)t (t) 
#(*,*) = qp'(0*(r) — <p(t)1>'(t) 

Is Functionen von t einen gemeinsamen Theiler P, so müsste P 
ach Theiler von 

1>>(t)0 _ t (t)& = [ 9 (Q^ (t) _ ftf)^ (*)]*(*) 

sin. Es wäre daher P Theiler von <p (t) #' (t) — ^ (t) <jp' (f), und 
onnte also von x unabhängig angenommen werden. 

Nehmen wir nun zwei Werthe r n x % von r so an, dass 
*(*n x \) von Null verschieden wird, so ist nach (3) 

<&&*i)9>(*2) — <&(*,**)9>(*i) = »(0*(*ii*i). 

Darin ist die linke Seite durch P theilbar, und also ist 
ich <p(t) und folglich ^(0 durch P theilbar, was der Voraus- 
ttzung widerspricht, dass diese beiden Functionen ohne gemein- 
:haftlichen Theiler sein sollen. 

Daraus folgt beiläufig, dass R(t, r) = — Ji(r, t) sein muss, 
i R durch t — r, aber nicht durch (t — r) 2 theilbar ist. 

Um die Function R(t,t) zu bilden, kann man den grössten 
jmeinschaftlichen Theiler der Functionen <jp Ä (t) — v h tyh (t) auf- 
ichen, woraus folgt, dass ü(£, r), abgesehen von einem von t 
rabhängigen Factor, rational durch i;, y x , . . ., v*—i dargestellt 
ärden kann. Sind also a und b irgend zwei feste numerische 
erthe, so ist 

. R(a,r) 

le rationale Function von v, v n . . ., #„__!. Dabei ist, wenn £ 
le neue Variable bedeutet, 

R(a,£) -*«(&,*) = X 

Bezug auf | vom fi ten Grade. 



474 Vierzehnter Abschnitt §. 121 

Ist x ein willkürlicher Werth, so mögen die Wurzeln der 
Gleichung B(t,t) = 
(7) t = r, < r", . . . 

sein, so dass für jeden Index h 

O h (r, x\ O h {%' x), O h (r", x), . . . 
verschwinden. 

Sind x\ z" irgend zwei dieser Wurzeln, so folgt aus (3): 

Vh^ ) *ä (t) — q>h(*) **(*' ) = ° 
<Ph(*")1>h(r) - 9*00 **(*") = 0, 

und daraus, da tyh(t) und qp*(r) nicht zugleich verschwind« 

können, 

d. h. es ist, wenn t/, r" irgend zwei Grössen (7) sind, 

h « r") = 0. 

Daraus folgt, dass die n Functionen <£*(*, r / ), von einem 
von £ unabhängigen Factor abgesehen, den nämlichen grössten 
gemeinschaftlichen Theiler haben , wie die Functionen <P k (* , *)• 
Das Gleiche gilt für die Functionen <P* (J, r") u. 8. £, oder die 
Gleichungen 

B(t 1 x) = 0, B(t,x f ) = 0, B(t, t") = 0, ... 
haben alle dieselben Wurzeln. Daraus folgt nach (5): 

E(q,r) _ J?(q,r / ) _ B (q, x") _ 
~ B(b,x) — B(b, x 1 ) ~ B(b, x") ~ ' "' 
und mithin sind nach (6) die ft Werthe 

die Wurzeln der Gleichung X = 0. Andererseits folgt aus 
h (x\ x) = 0, <D h (r", x) = 0, ...: 

t , _ y»(*) _ ?_* oo _ <Ph (*") _ 1 v y*w 

* ♦* (r; ft (r') ^ (r") " ' p - «* (r) ' 

und es kann folglich v h als symmetrische Function der Wuneln 
von (6) rational durch die Coefficienten dieser Gleichung, <Lk 
rational durch fr dargestellt werden. Vertauscht man wieder i 
mit r, so erhält man nach (1) und (2) Ausdrücke von der Fora 

(8) U =/(»), f*! =/x (*), . . ., Wv-l =/,-!(^) 

worin /, /i, ..., /»-n Z rationale Functionen bedeuten. Dies 
aber sollte bewiesen werden. 



125. Resolventen mit einem Parameter. 475 

§. 125. 
Resolventen mit einem Parameter. 

Wir kehren jetzt zu unseren anfänglichen Voraussetzungen 
(§. 123) zurück, und bezeichnen mit t*, Wj, . . ., t* r -i ein System 
rationaler Functionen von a? , x u . . ., a?„-ii die durch die Per- 
mutationen der alternirenden Gruppe aus einer von ihnen hervor- 
gehen und Wurzeln der Gleichung 
: 0) . F(u, z) = 

sind, worin z eine rationale Function der x ist, die durch die 
Permutationen der alternirenden Gruppe ungeändert bleibt 

Wir beweisen folgenden zweiten Hülfssatz: 

2. Wenn die rationale Function W(u, u l7 . . ., w y _ a ) 
identisch verschwindet, wenn für die 

gewisse rationale Functionen einer Variablen t 

(2) *k=9h{t) 

gesetzt werden, und wenn durch diese Substitu- 
tion z nicht von t unabhängig wird, so ver- 
schwindet W identisch auch als Function der 
unabhängigen Variablen a? , x u . . ., x y - x . 
Die Galois'sche Gruppe der Gleichung (1) in dem Körper 
der rationalen Functionen von z wird aus gewissen Permutationen 
der Wurzeln t*, ti|, . . ., w y _ x bestehen. Führen wir diese Per- 
mutationen in der Function W aus, und bilden das Product 

aller so erhaltenen Functionen, so ergiebt sich eine rationale 
Function / (z) von z. Wenn nun einer der Factoren des Pro- 
: ductes (3) nach der Substitution (2) identisch verschwindet, und 
J ist nicht von t unabhängig, so muss f(z) identisch gleich Null 
lern, und folglich muss einer der Factoren des Productes (3) 
fach als Function der x identisch verschwinden. Wenn aber 
"einer dieser Factoren identisch gleich Null ist, so verschwinden 
auch alle anderen Factoren, weil man in jeder rationalen Glei- 
chung zwischen den u alle Permutationen der Galois'schen 
(huppe ausfuhren kann. Damit ist der Satz 2. bewiesen. 

Dieser Satz giebt nun mit dem im vorigen Paragraphen 
bewiesenen Satze 1. zusammengenommen das folgende Resultat: 

't 

\ 



476 



.■iiniiT Abschnitt. 



W 



(5) 



3. Sind «, m„ . . .. «»_! die Wurzeln ein 
Parameter s abhängigen Gleichung (I) 
sind «, «i, . . ,, «,_„ z rationale Functione 
unabhängigen Variablen j- , r, . .... x 
kann man 

setzen, worin/,/i, . . -,/,_i rationale Funct 
von & sind und 

* = l(tt, II,, . . ., M,_j = tt> (Xr,, X, Jb-0 

eine rationale Function der m, oder i 

x ist 

Nach dem Satze I. nämlich können wir zunächst, we 
i , ä|, . . ., x„ — ! durch rationale Functionen einer Vati 
ersetzen, so dass z nicht von ( unabhängig wird, die Funi 
W), durch die Formeln (4), (5) darstellen. Die Relatiotn-n 

,.,=/, (#;=/, [!(«,„, „._,)! 

sind dann in Bezug auf t identisch befriedigt, und 

nach dem Satze 2. auch in den Variablen x identisc 

w. z. b. w. 

4. Wenn von zwei Variablen #, & { jede eine 
nalc Function der anderen ist, so sind sie li 
Functionen von einander. 

Zum Beweise nehmen wir an, es sei 

und verstehen unter y, ty zwei ganze Functionen ohne 
samen Theiler, ebenso unter <p,, ty l . Ordnen wir die zw 
Gleichungen (6) in der Form tp, (&) — #, V, (») = 
Potenzen von &, so mag sie die Gestalt annehmen: 

«„#"*+ «tÖ™- 1 H (- «„_!# -j- <i„ = U. 

worin die Coefticienten a t , «!,..., ü m ganze lineare 
tionen von &, sind. Substituiren wir darin für & ( 
aus der ersten Gleichung (6), so folgt die in Bezug auf i 
tische Gleichung 

a„9>"-}- a,<p m - 1 * -[ \- a„_i9i*"-' -+- a M *- = 

Hiernach muss a ni" 1 durch i/j theilbar sein, und 
und * relativ prim vorausgesetzt sind, so muss a^ 



(6) 



§. 126. Resolventen mit einem Parameter. 477 

theilbar, also ^ constant oder linear sein. Ebenso schliessen 
wir, dass q> constant oder linear sein inuss, und da nicht beide 
Functionen constant sein können, so ist nach (6) der Satz 4. 
bewiesen. 

Diesen Satz wenden wir auf die in 3. vorkommende Func- 
tion & an. Wenn wir mit den Variablen x irgend eine Per- 
nrotation der alternirenden Gruppe vornehmen, so erfahren die 
Functionen u, t4 19 . . ., !**_! gleichfalls eine Permutation. Nach 
(5) geht # durch diese Permutation in eine andere Function ^ 
über, die nach (4) rational durch -fr darstellbar ist Ebenso ist 
Aber auch # rational durch O x darstellbar, da man -fr in dem 
Satze 3. durch &i ersetzen kann, und auch # aus ^ durch eine 
Permutation der alternirenden Gruppe entsteht. Es sind also 
£ und #1 nach 4. lineare Functionen von einander. Daraus 
ergiebt sich das folgende Resultat: 

5. Wenn bei einer allgemeinen Gleichung n ton 
Grades eine Resolvente mit einem Parameter 
besteht, so giebt es eine rationale Function <& 
von n Variablen x, die durch jede Permutation 
der Variablen x der alternirenden Gruppe in eine 
lineare Function von sich selbst, 

übergeht, worin a, ft, c, d Constante, d. h. Zahlen 
sind. 

§. 126* 
Gruppe der Resolventen mit einem Parameter. 

Die Function fr, die im Satze 5. des vorigen Paragraphen 
forkommt, ist nach dem Satze 3. selbst die Wurzel einer Resol- 
vente mit einem Parameter ®{&, z) = 0. Diese Gleichung 
ist, da jede Wurzel rational durch jede andere ausdrückbar ist, 
eine Normalgleichung, und ihre Galois'sche Gruppe ist iso- 
morph mit der Gruppe der linearen Substitutionen % (&) des 
Satzes 5. Da man nun in der identischen Gleichung <&(&,#) = 
alle Permutationen der alternirenden Gruppe A der Variablen x 
losfuhren kann, wodurch sich z nicht ändert, während # in jede 
indere Wurzel von <2> übergeht, so ist die Gruppe der linearen 



478 Vierzehnter Abschnitt. §.13 

Substitutionen %(&), d. h. die Galois'sche Gruppe der Gleichun 
*, mit der altemirenden Permutationsgruppe von « Ziffern (ein 
oder mehrstufig) isomorph. Die Gruppe der linearen Substitut 
tionen x (*) rnoge mit L bezeichnet sein. Sie muss, da sie 
endlich ist, mit einer der im neunten Abschnitte betrachteten 
Polyedergruppen identisch sein. 

Zur Vereinfachung machen wir nun von dem in §. 67, 2. 
bewiesenen Satze Gebrauch, nach dem sich die Gruppe L » 
transformiren lässt, dass eine beliebige der nicht identischen 
Substitutionen von L eine Multiplication wird. Eine Transforma- 
tion der Gruppe L ist aber gleichbedeutend damit, dass für t 
eine lineare Function von & gesetzt wird, der dieselbe Eigen- 
schaft wie der ursprünglichen Function O zukommt. 

Bezeichnen wir also mit &„ die Function der Variabu» 
#oi z t , • ■ -i fl?n — i, die aus ■& durch Anwendung der Permutation« 
hervorgeht, so können wir & so wählen, dass für eine bestimmt', 
aber beliebige Permutation ä 



wird. Wendet man n wiederholt an, so folgt 
&„, = «»#, #„* = «afr, . . ., 
und wenn also p der Grad der Permutation n ist, so ist * >.•::■■ 
j>"° Einheitswurzel. 

Ist zunächst n = 3, so besteht die alternirende Gruppe am 
den Potenzen der cyklischen Permutation y = (0, 1, 2). Wir 
können annehmen, dass die der Permutation entsprach 
stitution );(#) multiplicativ sei, dass also & r = £# sei, worin I 
eine dritte Einheitswurzel ist. fr 3 ist daher eine alterniremk 
(oder symmetrische) Function. Als Resolvente mit einem Pari- 
meter erhalten wir also die reine Gleichung 

#» = », 
wo z eine alternirende Function ist. Wir können etwa für 9 
die Lagrange'sche IteBolvente x„ -f- ex t -f- e 3 x t nehmen, und 
erhalten die bekannte Reduction der cubisclien Gleichung ■ 
eine reine Gleichung (Bd. I, §, 166). 

Wir gehen zu dem Falle n = 4 über, in dem die alWfr> 
nirende Gruppe A die Permutationen 

1, «, = (0, 1) (2, 3), «, = (0, 2) (1, 3), «, = (0, 3) (1, 2) 
enthält, die eine Vierergruppe B bilden; ausserdem 




126. Resolventen mit einem Parameter. 479 

A noch acht cykliscbe Permutationen von je drei Ziffern 
= (0, 1, 2) . . . vor, und A kann so dargestellt werden : 

A = B + By + By*. 

Je eine Permutation a und eine Permutation y können als 
rzeugende der Gruppe betrachtet werden. Denn ist etwa 

y = (0, 1, 2), «x = (0, 1) (2, 3), 

\ ist 

) *ir«i = r' = (o, 3, i), 

id aus (0, 1, 2), (0, 3, 1) kann die ganze Gruppe A abgeleitet 
irden (Bd. I, §. 160, 8.). 

Ebenso kann man y und y 1 als erzeugende Permutationen 
n A auffassen. Insbesondere ist 
) . y'yy 1 = a x . 

Wir wählen # so, dass der Permutation y eine Multiplication 
' entspricht, in der, da y vom Grade 3 ist, £ eine dritte Ein- 
tswurzel bedeutet Wir setzen 



& = 



«K^o, a?ii #*, #s) 



d verstehen unter 9, ^ zwei ganze Functionen der vier 
riablen x ohne gemeinschaftlichen Theiler. 
Aus der identischen Gleichung 

<Py _ £ <P_ 
5t dann, dass 

1 muss, worin a x , a a gleichfalls dritte Einheitswurzeln sind. 

Wir wenden eine der Permutationen a auf # an, und er- 
ten aus fr a = x(^) : 

* 

Da nun 9, ^, also auch ay-\-bty und c<p -j- d^i und 
nso 9?«, $a ohne gemeinsamen Theiler sind, so muss in der 
ntität (5) der Zähler dem Zähler und der Nenner dem 
iner, wenigstens bis auf einen constanten Factor, gleich sein* 
sen constanten Factor können wir in die Constanten a, 6, c, d 
rechnen und erhalten 

<p a = aq) -f- bi\ xp a = cq> -\- dil>. 



480 Vierzehnter Abschnitt. 

Nehmen wir hierin a. = a, und a = a„ an , und setzen rar 
Abkürzung 9„ ( = <p,, ft5 ai = 9,, so können wir aus den beiden 
Gleichungen 

9i = 0] 9J -f- 61 Vi <Pa = "sV 4~ ^3 ^ 
V eliminiren und erhalten eine Gleichung von der Form: 

(7) h <p + /t! oi! -f- kj tp 3 = 0, 

worin A, A,, A, Constanten sind, unter denen wenigstens im 
von Null verschieden sind. Auf die identische Gleichung (1) 
können wir nun die Permutationen « n w, anwenden, und ■ 
halten, da ^«j — a a « l = 03, «ia, = 1, etja, = 1 bt, 

Aqj -f~ '•iVi "I" ^2 Vi == ''* 

Aoj, -f- A,a> -4- A,gi s = I A,, 
''9 , 2 4" ^ifs 4~ Aj^p = 1 — A-», 

woraus durch Moltiplication mit den daneben stehenden Flu 

toren und Addition: 

(8) (h* + Ä» - V)» + 2AA.V, = 0. 

Wenn also A und A, von Null verschieden sind. H UM 
scheiden sich 9? und (j^ nur durch einen constanten Factor (da 
= 41 sein muss, da a, vom 2" n Grade ist). Ist aber h oder 
A, = 0, so folgt aus (7) tp t = ± <p a oder ip = ± (pj, und dif 
Anwendung von u t auf die erste Gleichung giebt q> = ~ tp,. El 
findet also jedenfalls eine der Relationen statt: 

(9) <p = + ip„ ip = + q> 3 , (p = ± <p 
Da man nun ebensowohl y, «, als y, a.„ als auch 

erzeugende Elemente der Gruppe A betrachten kann. n Ngfl 
dies Resultat, zusammengenommen mit (4), den Satz 

1. Die Function q> bat die Eigenschaft, sich dmck 
alle I'ermutationen der alternirenden Grupp< 
um einen constanten Factor zu ändern. 
Ganz derselbe Schluss ist aber auch auf V anwendbar, und 
also auch auf den Quotienten & beider Functionen. Es Ht 
sonach für jede Permutatiou ji der alternireuden Gruppe 

(10) »,= s». 

Hierin ist, wenn ir zu den cyklischon Permntationu j 
gehört, t eine dritte Einheitswurzel. Daraus ist aber ferner fln 
schliessen, weil alle Permutationen % aus y, y' ztt&anj 



§. 126. Resolventen mit einem Parameter. 481 

werden können, dass die in (10) vorkommende Constante immer 
eine dritte Einheitswurzel ist. Wenn it zu den a gehört, so ist 
i zugleich eine zweite Einheitswurzel und muss also = 1 sein. 
Daraus folgern wir den Satz: 

2. Die Function # bleibt bei den Permutationen der 
Vierergruppe A ungeändert. 

Die dritte Potenz von & gestattet die Permutationen der 
alternirenden Gruppe und # ist daher die Wurzel einer reinen 
cubiscben Gleichung # 3 = z. Dies ist also die Resolvente 
$(&,*) = 0, die in diesem Falle eine Partialresolvente ist. 

Aus diesen Betrachtungen ergiebt sich nun ohne Schwierig- 
keit der folgende Satz, dessen Beweis das Ziel dieser ganzen 
Betrachtungen ist : 

3. Eine allgemeine Gleichung von höherem als 
4 ten Grade hat keine Resolventen mit einem 
Parameter. 

Denn ist n grösser als 4, so können wir, wenn wir & als 
Function von je vieren der Variablen x betrachten, den Satz 2. 
anwenden. Es folgt dann, dass fr ungeändert bleibt, wenn unter 
den Variablen irgend ein Paar von Transpositionen vorgenommen 
wird. Da man nun aus Transpositionspaaren die ganze alter- 
nirende Gruppe zusammensetzen kann (Bd. I, §. 160, 9.), so folgt, 
dass & überhaupt durch die alternirende Gruppe ungeändert 
bleibt, also eine alternirende oder eine symmetrische Function 
ist &(&, z) = reducirt sich auf die Identität # = z und ist 
keine Resolvente. 

Es sei noch bemerkt, dass, wenn man an Stelle der alter- 
nirenden Gruppe die symmetrische treten lässt, dieser Satz 

: & fortiori gilt. 

Den Satz, dessen Beweis wir hier entwickelt haben, hat 

tsnerst Kronecker ausgesprochen, ohne einen Beweis dafür zu 

:?eröffentlichen. Der erste Beweis ist von F. Klein gegeben, der 

dann von Gordan noch vereinfacht ist 1 ). 



*) F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder. Der Beweis von 
(Gordan, dem unsere Darstellung in den Grundzügen folgt, findet sich in 
Bd. 29 der Mathematischen Annalen (1887). 

Weber, Algebra. IL 3^ 



Vierzehnter Abschnitt. 



§. 127. 

Die Ikosaiidergleichung 



1 



Das Resultat dieser Betrachtungen ist zunächst, sofern et 
die allgemeinen Gleichungen von höherem als dem 4*™ Grade 
betrifft, ein negatives. Es gelingt nicht, durch rationale Reaol- 
ventenbildung die allgemeine Gleichung b Un Grades auf eine 
Gleichung mit einem Parameter zu reduciren. Wollen wir 
gleichwohl dies Ziel noch nicht aufgeben, so bleibt nichts übrig, 
als dass wir die Variablen ar P , x lt . . ., ;r„— i nicht mehr als völlig 
unabhängige Variable auffassen, dass wir zwischen ihnen gewisse 
Gleichungen bestehen lassen. Wir haben es freilich dann nicht 
mehr mit der allgemeinen Gleichung des betreffenden Grades 
zu thun, sondern mit einer speci eueren, bei der die Coefticienten 
nicht unabhängig von einander sind, und es stellt sich die zweite 
Frage ein, wie und durch welche irrationale Functionen ach 
die allgemeine Gleichung auf diese specielle zurückführen lasst. 
Gelingt dies durch Gleichungen niedrigeren Grades, z. B. dorcl 
Quadratwurzeln, bo wird immerhin eine Reduction des Problems 
erreicht sein. 

Wir nehmen also jetzt an, dass die Variablen z a , x„ . . ., a^_i 
durch eine beliebige Anzahl von Relationen 
(1) A(x a , £„ . . ., x n -i) = 0, B(x , x k»_0 = 0, . . . 



mit einander verknüpft se: 
Functionen der x sind, di 
liiiiifiigkeit so beschaffen 



bestimi 



, worin die A, B, ... rationale 
an Anzahl und gegenseitiger Ab- 
I, dass die Werthe der x nicht 
numerisch festgelegt, sondern noch variabel sind. Ausserdem 

legen wir eine Permutationsgruppe 31 der x , ;r, x m ~i M 

Grunde, und betrachten die Functionen der x, die die Permo- 
tationen von 9t gestatten, und nur diese als rational, so dass 51 
die Galois'sche Gruppe der Gleichung ist, deren Wurzeln die 
#0, x u . . ., x n —i sind. Die Relationen (1) müssen dann i« 
beschaffen sein, dass auch sie die Permutationen 1 
gestatten. 

Wir fragen unter diesen Voraussetzungen nach der Möglich- 
keit, zwei rationale Functionen w, z von x„, 
bestimmen, dass zwischen ihnen eine Gleichung 
(2) F(u, z) = 




J127. 



Ikosaedergleichung. 



483 



besteht, die für alle den Relationen (1) genügenden Werthe der 
x befriedigt ist und worin z, immer mit Rücksicht auf die Rela- 
tionen (1), ungeändert bleibt, wenn die x den Permutationen 
der Gruppe 91 unterworfen werden. Die Function u soll dadurch 
in v verschiedene Functionen 

(3) W, Wj, . . ., Uy«! 

ibergehen, so dass die Grössen (3) die Wurzeln der Gleichung (2) 
and, und wenn v > 1 ist, (2) eine Resolvente der Gleichung für 
de« ist 

In dieser Allgemeinheit haben wir für die Lösung der Frage 
Iris jetzt noch keinen Angriffspunkt Wir fügen daher eine 
'weitere beschränkende Voraussetzung hinzu, nämlich: Es soll 
möglich sein, für die x h rationale Functionen einer 
Tariablen t 

(*) *k = <ph (0 

iu setzen, so dass die Relationen (1) identisch be- 
friedigt sind, und dass zugleich z nicht von t un- 
abhängig wird 1 ). 

Um gleich hier ein Beispiel anzuführen, mit dem wir uns 
spater noch eingehend beschäftigen werden, erwähnen wir den 
fall von fünf Variablen x , x x , x 2 , x s , # 4 , die den Bedingungen 

(5) Ex = 0, Zx* = 

genügen, und die also die Wurzeln einer Hauptgleichung 
5* Grades sind (Bd. I, §. 60). Dass die Voraussetzung, die wir 
gemacht haben, in diesem Falle zutrifft, zeigt die Darstellung in 
IL lg. 80, (4): 

y = tsF + h(a 2 F l + «x JF t + «oJi), 

las, wenn die dort angeführten Bestimmungen getroffen sind, 
Ar die x gesetzt, den Bedingungen (5) für alle Werthe des Ver- 
^tnisses t = t 2 : t s genügt. 



') Betrachtet man die x und die u als Coordinaten je eines Punktes 
JTnnd ü in einem Räume von n und v Dimensionen, so bestimmen die 
i Sektionen (1) für x eine Mannigfaltigkeit von weniger als n Dimensionen, 
federn Punkte X entspricht ein Punkt ü, und der Gesammtheit der X 
eh (2) eine Mannigfaltigkeit der U von einer Dimension (eine Curve). 
e-vaiere Voraussetzung ist die, dass dies eine sogenannte rationale oder 
Ütticnraale Curve oder (in der Sprache der Functionentheorie) eine Curve 
Geschlecht Null sei. 

31* 



484 



Vierzehnter Abschnitt. 



§. 1». 



Auch wie die allgemeine Gleichung 5** Grades auf eine 
diesen Voraussetzungen entsprechende transformirt werden kau, 
ist dort gezeigt. 

Unter der Voraussetzung (4) hat das Bestehen der Beb- 
tionen (1) keinen Einfluss auf die Schlüsse des §. 125, und ik 
haben dann die folgenden Sätze. 

Es sei # , a?i, . . ., z n -i ein System von Variablen, das dct 
Relationen A = 0, B = 0, . . . unterworfen, aber sonst unab- 
hängig ist, und es sei 21 eine Permutationsgruppe der x, dem 
Permutationen die Functionen A, 1?, . . . ungeändert lassen. 

Soll die Gleichung, deren Wurzeln die Grössen* 
sind, eine Resolvente 

(6) F (w, z) = 

besitzen, die ausser numerischen Coefficienten nir 
einen Parameter enthält, der eine durch die Gruppe li 
ungeänderte Function der x ist, so muss eine Function 
& der Variablen ar , . . ., a:„— i existiren, die durch die; 
Permutationen a von 31 (mit Rücksicht auf die Relational! 
A = 0, B = 0, . . .) lineare Substitutionen erleidet 

_ qfr + b 
cfr + d' 

worin a, 6, c, d numerische Coefficienten sind Dil- 
Wurzeln der Gleichung (6) sind rational durch # am 
drückbar, und folglich ist auch # Wurzel einer Glei 
chung mit einem Parameter 

(8) O (#, z) = 0. 

Ist (6) eine Totalresolvente , was immer eintritt, wenn & 
Gruppe 21 einfach ist, so können auch die x rational durch • 
und die zur Gruppe 21 gehörigen Functionen ausgedrückt werde* 

Bis hierher findet also vollständige Uebereinstimmung oft 
den Resultaten des §. 125 statt. 

Die Beschränkung aber, auf die wir im §. 126 gestosei 
sind, wird hier nicht mehr nothwendig eintreten, weil jetzt nid* 
mehr, wie im Falle völlig unabhängiger Variablen, aus der] 
Gleichheit zweier gebrochener Functionen auf die Ueberein- 
stimmung von Zähler und Nenner geschlossen werden kann. 

Die linearen Substitutionen (7) bilden eine mit 9 (ein* 
oder mehrstufig) isomorphe Gruppe P, dje mit einer unserer' 



(7) 



frn = 



J. 127. Ikosaedergleiohung. 485 

Polyedergruppen identisch sein muss. Wir wollen hier nur 
den interessantesten Fall eingehender behandeln, dass P die 
Ikosaedergruppe ist, die wir überdies ohne Beschränkung der 
Allgemeinheit in der Normalform (§. 74) annehmen können. 

Für diese Gruppe haben wir in §. 76 die drei Grundformen 
abgeleitet. Bezeichnen wir die Variablen dieser Grundformen mit 
lii yn so sind es die drei homogenen Functionen 12* 611 , 20 8ten 
imd 30 rt« Grades: 

/ (y) = ** (jff + nrfitf - y\°) 

H(t,) = - fff - y? + 228 (tftf - y?y?) - 494 tfy» 

u T(y) = y? + # + *** (ftvi-tirt) 

- 10005 (yfy^ + ^O, 
machen denen noch die Relation 

(10) T* + J?3 = 1728 p 
besteht 

Wenn wir in dem Quotienten T* : / 5 für das Verhältniss 
h:y, einen der 60 Werthe fr a setzen, die aus fr durch die Iko- 
taedersubstitutionen entstehen, so erhält dieser Quotient immer 
denselben Werth, der sich also rational durch die Coefficienten 
der Gleichung (8), d. h. rational durch z ausdrücken lässt. Wir 
können ihn geradezu gleich z setzen, und erhalten für die Re- 
eoWente (8) die Form 

(11) T* — zf> = 0, 
was wegen (10) mit 

H* — (1728 — z)p = 

gleichbedeutend ist Diese Gleichung ist in Bezug auf y x , y 9 
homogen und vom 60 8ten Grade, und wenn wir y 2 = 1 setzen, 
so sind ihre 60 Wurzeln y x = #«. Es ist die Ikosaeder- 
gleichung, die schon im §. 76 definirt war, und die also aus- 
führlich, in der Form (11) geschrieben, so lautet: 

(frso _[_ 522 #" — 10005 #20 _ 10005 #io — 522 #* + 1)» 

= z&* (fl^-f 11 # 5 — 1)\ 

Das Problem, wie wir es also jetzt gefasst haben, kommt auf 
he Frage hinaus: 

Welche Gleichungen lassen sich durch die Iko- 
aedergleichung lösen? 



486 Vierzehnter Abschn 

§. 128. 

Die Reaolventen der Ikosaedergleickuug. 

Die Formulirung des Problems, die wir am Scbluss da 
vorigen Paragraphen gegeben haben, führt uns auf die Fnp 
nach den verschiedenen Resolventen der Ikosaedergleiclii 
Jedem Theiler der Ikosaedergruppe entspricht eine solche 
vente, deren Grad gleich dem Index des Thcilers, also 
ein Theiler von 60 ist. Nun enthält die Ikosaedergruppe 

1) Tetraedergruppen (§. 72) : Resolventen 5 Wn Grades 

2) Diedergruppen 2> s (§. 71): „ 6*« „ 

3) Diedergruppen D t : „ 10*« v 

4) Cyklische Gruppen C b : „ 12"" „ 

5) Vierergruppen D t : „ lÖ 1 ™ - 

6) Cyklische Gruppen C 3 : „ 20'™ „ 

7) Cyklische Gruppen C a : „ 30"*" „ 

Da die Ikosaedergruppe einfach ist. sind alle diese Glei- 
chungen Totalresolventen von einander; wir beschränk» 
unB hier auf die Betrachtung der wichtigsten unter ihnen. 

Die Resolventen niedrigsten, nämlich 5'™ Grades sind die 
zu der Tetraedergruppe gehörigen. 

Um sie zu finden, müssen wir eine Function von fr suchet, 
die durch die Substitutionen der Tetraedergruppe ungeändert 
bleibt, während sie in der Ikosaedergruppe fünfwerthig ist 

Wir nehmen die Ikosaedergruppe in der in §. 74, (22) auf- 
gestellten Normatform, und nehmen die darin enthaltene Tetrv 
edergruppe Q (§. 75) heraus, die wir über der Vierergruppe | 
<1) 1, *, l, *Z 

construirt haben, worin, wenn e eine imaginäre fünfte Einheiia- 
wurzel ist, i/i und % die Bedeutung haben: 

(2) *:«:= ~. x w = ^±f , « = t + «-•• 

Setzen wir &(x) = ex, so wird die ganze Ikosaedergruppe 

O) p = q + Q@ + q& + <?©> + ye«, 

und 

(4) & = ©-*<>»* 

sind die zu Q conjugirten Tetraedergruppen. 



§. 128. Resolventen der Ikosaedergleichung. 487 

Nun haben wir im §. 72 zwei Formen / und H vom 6*** und 
8** Grade kennen gelernt, die durch die Tetraedersubstitutionen, 
wenn sie homogen und mit der Determinante 1 genommen 
-werden, absolut ungeändert bleiben. Diese Formen können wir 
freilich nicht geradezu in der Form anwenden, wie sie dort 
gegeben sind, weil dort die Tetraedergruppe in anderer Gestalt 
vorausgesetzt war. Wir finden aber die erste dieser Formen sehr 
einfach, wenn wir uns erinnern, dass ihre Wurzeln die zwei- 
maligen Pole der Tetraedergruppe waren, also die Wurzeln der 
drei Gleichungen 

a? = ^(s), x = %(x)< x = i\>%(x) 
oder 

&*-|-l=0, x % — 2a>x — 1 = 0, ©#» -f- 2# — o = 0, 
und man erhält also mit Benutzung der Relation 

©* -j- CO =r 1 

E" die Gleichung für die zweizähligen Pole: 

(a?» + 1) (x* + 2x* — 6a?» — 2x -f 1) = 0. 

Daher wird die gesuchte Tetraederform 6 ten Grades in den 
homogenen Variablen x u x % : 

(5) t(xi,x % )=xf-\-2zfx 9 — 5x}x% — bx?x£ — 2x 1 x$-\-x£. 

Die zweite Tetraederform, die wir suchen, ist die Hesse 'sehe 
' Determinante hiervon. 

Setzen wir 
*■ cd (x x , x 9 ) = — p [V'{x x , x l ) V'ix* xj — [<"(*„ #,)]»}, 

so ergiebt eine einfache Rechnung: 

(6) ä(x»x i ) = — (x* + x*)+(x 7 l x 2 —x 1 xl) — 7(x«x* + x*x«) 

Wir führen noch die drei Ikosaederformen 12 t6n , 20 ,ten und 
3Q*an Grades an, die ja auch durch die Tetraedersubstitutionen 
ungeändert bleiben (§. 76): 

(7) /(*!,*») = a^(4° + lla^ 5 — 4°), 

[8) i3 (*i, *2> = — Of + *f) + 228 (rr* 6 # 2 5 — x* x\«) - 494 a* a* , 

9) T(afi,a%) = (x? + xf) + f>22(xfx* — x*x?) 

— 10005 (sf4° + 4° 4°). 



488 Vierzehnter Abschnitt. §. 128. 

Bilden wir aus diesen invarianten Formen des Tetraeden 
Functionen von x 1 : x % und setzen & = x x : x 2 , so ergeben sich 
Functionen, die durch die linearen gebrochenen Tetraeder- 
substitutionen ungeändert bleiben, und die daher Wurzeln toi 
Resolventen 5 ten Grades der Ikosaed ergleich ung sind. Die Uro» 
saedergleichung selbst erhält man in zwei Formen, wenn man 

(10) m = zf\ T* = z x p>, z -f #, = 1728 

setzt, und die Resolventen hängen rational von z ab. 

Bezeichnen wir für den Augenblick mit q> (x t , x % ) irgend 
eine absolut invariante Form des Tetraeders, so geht diese Fora 
durch irgend eine der Substitutionen Q® in 

(11) 9>. = <p (ß~~ a *i, s 2 # a ) 
über, und diese Function bleibt ungeändert durch die Sub- 
stitutionen der Gruppe &~~ l Q&. 

Daraus ergiebt sich, dass jede symmetrische Func- 
tion der fünf Formen <p e eine Invariante der Ikosaeder- 
gruppe ist, und daher nach dem Sätze §. 77 durch die 
Grundformen/, 17, T ausgedrückt werden kann. 

Dieser Satz gestattet eine verhältnissmässig leichte Berech- 
nung der Resolventen. 

Die einfachsten Functionen, die wir als Wurzeln von Resol- 
venten verwenden können, sind 

(12) r = 7' U= T v IT 

Bemerken wir zunächst, dass die symmetrischen Grund- 
functionen der fünf Functionen t s Ikosaederinvarianten der Gnde 
6, 12, 18, 30 sind, so folgt aus den Sätzen in §. 77, da die Grad- 
zahlen 6, 18 unter diesen Invarianten nicht vorkommen, eine 
Gleichung von der Form 

(13) P -f afP -f b/H -f cT= 0, 

worin a, b, c Zahlencoefficienten sind. Um sie zu bestimmen, 
bezeichnen wir mit S(<p) die Summe der fünf Functionen qptin 
(11) und mit 77 (qp) ihr Product, und erhalten aus den Newton ! - 
schen Formeln (Bd. I, §. 46): 

(14) af= -\S(i% bp = ±a*f>-\S(t*) y cT = -IJ(t). 

In den Summen S(<p) haben nur solche Glieder a%a% einen 
von Null verschiedenen Coefficienten , in denen h — h durch 5 
theilbar ist. Man erhält also a, b, c durch Gleichsetzen der 



. 129. HauptreBolvente 5*«» Grades. , 489 

Joefficienten von tfj 1 ^, x**x£, z\° auf beiden Seiten der Glei- 
lumgen (14) nnd findet so die Relation 

15) P — 10 fP + 45 fH — T = 0, 
»der auch 

16) P (** — 10 fP -f 45/a)a — T* = 0. 

Aus (16) und (15) ergeben sich nun nach (10) und (12) die 
31eichungen ö*** Grades für r und für u 

17) r (r* — 10 r -f 45)* = # 2 , 
r, ft . 10 1*3 . 45 u 1 n 

Die letzte dieser Gleichungen geht durch die Substitution 

. :i9) * = -Wi> *> = 27y 

in die Form 

[20) y* _|_ 15^4 _ lOyy» -f 3y 2 = 

ober, die wir bereits im §. 81 des ersten Bandes als eine Normal- 
form der Gleichung 5**° Grades kennen gelernt haben. 



§- 129. 
Die Hauptresolvente fünften Grades. 

Wenn man die Functionen w, v gleichzeitig benutzt, so kann 
man eine Schaar von Resolventen ableiten, die die Form der 
Hauptgleichung ö*«* Grades haben und sich direct mit einer 
lfcliebig gegebenen Hauptgleichung 5 ten Grades in Ueberein- 
«timmung bringen lassen 1 ). 

Da es beim Ikosaeder keine Invarianten ß* 611 , 14 ten , Iß** 1 , 
22«t«n oder 28 8ten Grades giebt, so müssen die Functionen S(<5), 
£(<©), 5>(<ö J ), /S($ci> a ), S(Pg> 2 ) verschwinden, und wenn wir also 

(1) T= aö -f ßtä 

setzen, so werden auch die Functionen 

s(Y), s(r») 

nr beliebige Werthe der Parameter a, ß verschwinden, und 
kraus ergiebt sich eine identische Gleichung von der Form 



l ) Kiepert, Göttinger Nachrichten 1878. Cr eile's Journal, Bd. 87. 
lein, Ikosaeder, S. 106. 



490 Vierzehnter Abschnitt. %. 1 

(2) r* + 5aP + 6bY+c = 0, 
worin a, b, c homogene Functionen 3" n , 4 1 ™, 5" n Grades von e. 
bedeuten, deren Coefficienten Ikosaederin Varianten sind. 

Die Function c können wir leicht aus der Formel bestimme 

c = — n(m) ji(« + fit). 

Es ist nämlich nach (15) des vorigen Paragraphen für ein 
unbestimmtes X 

X» _ 10/la -f- 45/U - T = nß — f), 
also wenn man 1 = — a : ß setzt 

n(» + jjq = « s - io/«i/M + 45/tc/J« + r^, 

und ferner ergiebt sich ohne Weiteres durch Vergleichung eine* 
Gliedes [§. 128, (6), (8)] 

77(10) = — W, 
also 

(3) c os H*(b* — IO/«>0» + 4bf*uß* + r^). 
Die Coefficienten a, & berechnet man wohl am einfachst« 

mit Hülfe der Newton'schen Formeln (Bd. I, §. 46): 

- loa = 8 (tt6 -\- ß(i)' 

— 20 6 = S(«d 4- (3(0)'. 
indem man die Formeln anwendet, die sich nach kurzer Rech- 
nung durch Vergleichung je eines Gliedes der rechten und linken 
Seite ergeben: 

S(rä») = — 3.5.8/*, 8{t rä>) = — 5 T, 
ff («■*>) = —5.72/», S(P&) = — 8.5/r, 
S(ü*) = 4.5/5 S(f'tä*) = — 5.12/*H, 

S(W) = — 6HT, S(f*w*) = — 4.5.27/*Ä 

So findet sich: 

(4) a = 8/»«» + Ta"/* + 72 faß* ■+ /T?» 

(5) 6 = — /ffa« + 18f'HK»fi* -f .ffr«j3a + Wf*Hß*. 
Um daraus die Resolvente der Ikosnedergleichung zu er- 
halten, müssen wir statt w und t die Functionen m, v [§. 128, (12)] 
einführen. 

Setzen wir, indem wir mit A, (i irgend zwei unbestimmt« 
Grössen bezeichnen, 



I 



§. 129. HanptreBolvente 5*n Grades. 491 

so folgt nach (1) und §. 128, (12): 

4J) T = Xv + f^vt*, 

und wenn wir, wie in §. 128 

<8) jr = * p =JSl ' * + *i = 1728 

«eisen, so gehen die Ausdrücke (3), (4), (5) in folgende über: 

72X(i* -{- p* 



az = 8** + X*p -f 



*i 



<9) ft , = _^ + — ^ +Afi8 + 27g 

^ ■ */ 

lind F ist die Wurzel der Gleichung 

(io) r» + 5a r» + 56 r + c = o. 

Biese Gleichung hat die Form einer Hauptgleichung 5 tMI Grades, 
f und sie kann jede Hauptgleichung darstellen, wenn wir a, 6, c 

beliebig annehmen können. Man hat also, wenn a, 6, c beliebig 

gegeben angenommen werden, aus (9) die drei Grössen A, jt, *! 
£ (vnd ß = 1728 — e x ) zu bestimmen, und es ist eine sehr merk- 

, wurdige Eigentümlichkeit dieses Gleich ungssystemes, dass sich 

«fieee Unbekannten rational durch die gegebenen Grössen a, 6, c 
l vnd die Quadratwurzel aus der Discriminante der Gleichung (10) 

««drücken lassen. 

Um dies nachzuweisen, leiten wir aus (9) zunächst einfachere 

Gleichungen ab. 

Wenn wir die zweite von ihnen mit X multipliciren und zur 

dritten addiren, so folgt 

(») H (Xb + c) = n*a, 

und wenn wir die dritte mit A, die zweite mit fi 2 : z x multipli- 
ciren und subtrahiren 

m .(x._e,)_(„_,g. 

Ebenso ergiebt sich aus der ersten und zweiten 



«* + 8& = A , + 216 * 2 f + 9 hML + 



216 p* 



(i z x ' z x ' zl 

Diese Gleichung ergiebt, wenn man beiderseits zum Quadrat 
erhebt: 



492 Vierzehnter Abschnitt. §. 12 

+ 2,2160 A3+ /81 + *M\ l . , 
, 18.216 , t . 216»it« 



g; ei 



und wenn man dies abzieht von der aus der ersten Gleichung (' 
abgeleiteten Formel 

27 a»** = 1728 X« + 2.216 l'p + 27 (l + — — \ Hp 
. 2.2160 ,, . , n _ /2 , 72»\ ,. A 

, 18.216 , t . 27 u« 

+ -TS— * P* + -rV-. 



*i «i 



(14) 27 a» — f^(al + 8ft)» = Ac— C_6, 



so folgt mit Rücksicht auf (8): 

(") <["« — i^)"} = (»-'-&' 

Daraus folgt weiter durch Vergleichung mit (12) 

?\(aX + 8by = Xc- ^ 

und wenn man hieraus durch (11) das Verhältniss fi* : ^ eli 
nirt, so ergiebt sich die quadratische Gleichung für k: 

(15) A 2 (a< + a&c — 6») — A (lla*6 — ac* + 26*c) 

— 27a 3 c + 64a 2 6* — ic» = 0. 

Die Di8criminante dieser quadratischen Gleichung ist 

z/ = (11 a*b — ac* -f 2 6 2 c) 2 

-f 4 (a* + a&c — 6») (27a 3 c — 64a*6» + 6c*) 
= a 2 (108 a 5 c — 135 a 4 6 2 -f- 90a»6c» 
— 320a6*c-f- 256 6* + c*). 

In §. 80 des ersten Bandes ist die Discriminante D 
Hauptgleichung ö* * Grades abgeleitet Wenn man in der « 
gefundenen Formel (3) 

a = 1, a 8 = 5 o, a 4 = 5 6, a b = c 

einsetzt, so findet sich 

D = 55 (108 a*c — 135 a*6 2 + 90 a*bc* 
— 320a6*c -f 256 6^ + ^ 
so dass sich 



f. 13a Resolventen 6*en Grades. 493 

(16) 5>^ = a»2) 

ergiebt, und man aus (15) für k den Ausdruck 



, 11 q3& -ac»4-2 b*c -f y, 5 a Vy B 2> 
— 2 (a* + a&c — 6*) 

erhält, in dem die Quadratwurzel beide Vorzeichen haben kann. 
Man sieht, dass ausser der Quadratwurzel aus der Dis- 
criminante, die rational durch die Wurzeln ausdrückbar ist, noch 
Vb darin vorkommt. 

Hat man X berechnet, so erhält man aus (11) das Ver- 
Mltniss z x : (i* und aus (12) die letzte Unbekannte z rational 
durch X dargestellt 

§. 130. 
Resolventen sechsten Grades. 

Dm die Resolventen ö* 6 * Grades der Ikosaedergleichung zu 
finden, gehen wir von einer der in der Ikosaedergruppe ent- 
haltenen Diedergruppen D b aus (§. 128, 2.). Die Darstellung 
der Ikosaedergruppe [§. 74, (20)] giebt uns unmittelbar die Zer- 
legung in die Nebengruppen; ist 

(1) <}=&, ® r *, r = 0, 1, 2, 3, 4 

die Diedergruppe, von der wir ausgehen, so erhalten wir die volle 
Ikosaedergruppe 

(2) P = Q + Qz + Qz® + Qz® 2 + Qz® 3 + Qz®'- 

Ist dann Um eine Function, die durch die Substitutionen 
Ton Q ungeändert bleibt und durcb 

Z» l®-> l®\ Z@ 8 > %®' 

m Oo, U u U» Di, üi 

fibergeht, so sind die U<*, CT , E/i, U 2 , t/3, ü 4 die Wurzeln einer 
Besolvente 6 1 " 1 Grades. (Ueber die Bezeichnung U» vgl. §. 81.) 
Um die Galois'sche Gruppe dieser Gleichung 6 ten Grades 
zu erhalten, haben wir den Einfluss zu untersuchen, den die 
Anwendung der Ikosaedersubstitutionen auf das System der 
Nebengruppen (2) hat. Es genügt dazu, die Substitutionen 
0, ^, 2 zu betrachten. Es ist aber, wenn wir die Reihenfolge 
der Nebengruppen in (2) beachten, nach §. 74, (23), (25): 



494 Vier««lii.t.r A 

ps = e + e«e + e«e" + ei» + «z* + er 

P* = 9 + Qz + e*®. + «*»' + «ie'+«i8 

Pz=e« + « + e*® + e«®'+ «*»■ + ' 

und daraus folgt, dass sich die Indices von U folgende™« 
vertauschen: 



0, 1, 



8) 
+) 

I) 

Bezeichnen wir 
nach dem Modul 5, 



1 



1 



□ Index allgemein mit £, and nehmen { 
dass zwei nach dem Modal 5 congruen' 

Zahlen als nicht verschieden gelten, so können wir diese \ 

tausch ungen so darstellen: 



= (£,« + 1). 



= Ö. 



s folgt aher, dj 
Grades mit dt 



ss die Gruppe unserer Glßi- 
r Congruenzgruppe L,, (§. t 



Dar 
chung tj 
übereinsti 

Um zur Bildung von Resolventen 6 1 ™ Grades zu ge' 
müssen wir ähnlich wie bei den Resolventen 5 1 ™ Grades 

Wir haben schon im §. 71 die Grundformen der 
gruppen kennen gelernt. Wir stellen sie jetzt in der 

ip l = x l x % , tp, = x} + »ar s s , ip 3 = *i — **?■ 

Nehmen wir ® und ip mit der Determinante 1, also 

so ändern sich die Grundformen 9,, y,, <p, in folgender We 




9i 



9* 



¥>s 






®) Vi — <Pi — 9>3 

V) — 9>i — '¥« »*»■ 
Es sind also ip*, y s \ $>, 4 , gj a y s absolut invariant, und wenn 
daher, wie im §. 128, unter/, H, T die Ikosaederin Varianten 
so können wir folgende Functionen als Wurzeln vod 
Insolventen 6"" Grades einführen: 

<Pi& fi_ fi 9t 9°a H 
/« ' H' H' T 



. 190. Resolventen 6*«» Grades. 495 

Um die Ausdrücke für die übrigen Wurzeln zu erhalten, 
DU88 der Einfluss der mit der Determinante 1 genommenen Sub- 
stitutionen S r % auf die Functionen <p„ qp 2 , qp 8 untersucht werden, 
ffir wollen dies nur für die Function <p x durchführen, die zu 
ier einfachsten Resolvente 6*° Grades führt. 

Wenn wir in <p x die Substitution % in der Form §. 74, (26) 
inwenden, also x u x t durch 

x x , x 9 x x x % 

€ — «-» "■ a*— a- a ' ä' — a- a — s — s~ L 
ersetzen, so geht <p x in 

"^~" X-t "~" *| Xf ~"J~ Xn 

V5 
iber. Wir setzen demnach 

3) Wm = 5 <p x 2 = 5 fl^a?/, 

tnd erhalten durch Anwendung der Substitutionen %@ r daraus 
He fünf weiteren Formen 

4) t*V = (s r # 2 -f- Xi x % — e- r xf)*. 

Nun sind die symmetrischen Functionen der sechs Formen w 
Variante Ikosaederformen , und danach kann man leicht die 
oefficienten der Gleichung bilden, deren Wurzeln die w sind. 

Wir erhalten durch Vergleichung der Grade und je eines 
oefficienten für die Potenzsummen der w 

?(«?) = (>, S(w*) = Q, S(w*) = 30f, S(m?*) = 0, S(w*)= — 5H, 

id so das Product aller sechs u? 

n(w) = 5/', 

d demnach ergiebt sich nach den Newton'schen Formeln 
cL I, §. 46) für w die Gleichung: 

i u>« — 10/u;s + Hw -f 5/a = 0. 

Setzen wir also 

TT — J^E — m 

/* ' * ~ P ' 

folgt hieraus die Gleichung 6*** Grades für U: 

U* — lOjer U* + z* E7-f 5** = o 

Resolvente ö*® 11 Grades der Ikosaedergleichung. 
Setzen wir nach (3) und (4) 

Vtffm = Vö x x x 2 

VttV = B r ' Xl -\- Xi X} — £"~" r # 2 2 > 



496 Vierzehnter Abschnitt. §. ISO. 

so ergeben sich daraus die folgenden Relationen: 

V^ = Vwo+ Vüh-\- Vw*+ Vw~*+ V^, 
(9) o = VüTo + **Vw x -f- «* Vw~ t -f s Vws + «3 y^ i% 

#2 KWoo 

und in den Gleichungen (9), (10) können, da sie homogen sind, 
an Stelle der w auch die U gesetzt werden. 

Auf die Gleichungen ö* 4 " 1 Grades, deren Wurzeln den Rela- 
tionen (9) genügen, hat zuerst Jacobi hingewiesen; man nennt 
sie daher Jacobi'sche Gleichungen 6 ten Grades 1 ). 

Diese Resolventen bilden die Grundlage für die Auflösung 
der Gleichungen 5 ten Grades durch transcendente Function«, 
auf die wir an einer anderen Stelle zurückkommen werden. 



*) Suite des notices eur les fonotions elliptiques. Crelle's Jonml, 
Bd. HI (1828); Werke, Bd. I, S. 261. 



Fünfzehnter Abschnitt. 

m linearer ternärer Substitutionen. 



§. 131. 
äre lineare Substitutionsgruppe vom 

168 8ten Grade. 

ige nach der Gesammtheit aller möglichen endlichen 
nearer Substitutionen von mehreren, insbesondere 
Irei und vier Dimensionen, ist von C. Jordan be- 
t, ähnlich wie es für die binären Substitutionen 
3ine endliche Anzahl von Typen solcher Gruppen auf- 
1 ). Diese allgemeinen Untersuchungen können wir 
^erfolgen, wir begnügen uns, ein Beispiel einer ter- 
pe ausführlicher zu betrachten, 
i Abschnitte über die Congruenzgruppen (§. 82) haben 
ihe einfacher Gruppen kennen gelernt, von denen 
,te, vom Grade 60, als isomorph mit der Ikosaeder- 
esen hat. Wir wollen nun die nächste dieser einfachen 
>m Grade 168 betrachten, die wir mit L 7 bezeichnet 
versuchen, eine mit dieser imorphe, ternäre, lineare 
isgruppe mit der Determinante 1 zu construiren. 
ührt uns das Theorem §. 88, L, wenn wir vier Ele- 
o, aufsuchen, die bei der Gomposition den Bedin- 
jes Theorems genügen. 
)llen zunächst eine Substitution r in der Normalform 

Ai, 0, 0^ 

T = [ 0, £ 2 , 
\0, 0, * 3 



rdan, Memoire sur les equations differentielles lineaires ä 
ibrique. Crelle's Journal für Mathematik, Bd. 84 (1878). Sor 
ion des groupes d'ordre fini etc. Atti della R. Accademia di 
VIII (1879). Valentiner, Kjob. Skrift (6) V (1889). 

pebra. U. 32 



Fünfsi 



' Abs, 




Per 

zus; 



und darin müssen, da z vom 7 lcn Grade sein soll, 

siebente Einheitswurzeln sein, die der Bedingung 

(8) E.E,*, = 1 

genügen. 

Nun wollen wir die Substitution % so zu bestimmen suchen, 
dass die Bedingung %x = t*x oder, was damit gleichbedeutend ist, 

(3) t% = t^ 
erfüllt ist. Nehmen wir % in der Form 

'«li «!• «A 

Vi, y*. Yif 

an, so ergiebt die Bedingung (3) 

'«,£,, Ct 2 E„ CtjfA /«[ *i'. K s £./, Otj *j \ 

7»e S i ft^i/ Wi- y« e i s ' r» e »v 

Da nun «,, p*„ yi nicht alle drei verschwinden können, so 
muss f, 9 mit einer der drei Grössen *,, e, , e s übereinstimmen. 
Wäre e, = e, g , also s Y =s 1, und folglich nach (2) e, = ej-', so 
könnten weder e, noch e s = 1 sein, weil sonst t die identisch« 
Substitution wäre. Es miisste also ß t = y t = «, = «, ^= and 
ej 1 = c 3 , e* = 1 sein, was unmöglich ist. Es bleiben daher nacb 
(2) noch zwei mögliche Annahmen übrig: 

E, = E, 1} = i», « a = £', 

e, =z £ , e 3 = t t, ( s = e*, 
worin E eine imaginäre siebente Einheitswurzel ist, and 
beiden Annahmen führen zu zwei verschiedenen Gruppen, A 
ganz gleichartig gebaut, übrigens auch isomorph sind. Wir i 
folgen hier die erste Annahme weiter, setzen also 

/e, 0, 0\ /0, 0, 1, /0, 1, 0\ 

(4) r = 0, e», , Z = 1, 0, , Z * = 0- 0. 1 . 3 

\0, 0, £*/ \o, 1, 0/ \1, 0, 0/ 

Dass wir die nicht verschwindenden Grössen a 3 , 0,, y, g 
gesetzt haben, ist keine Beschränkung, da wir jede andere A 
nähme durch eine Transformation der ganzen Gruppe 
einer Multiplication darauf zurückführen können. 

Die Bedeutung von % in dieser Form ist die einer cykJ 
Permutation der Variablen. Die Substitutionen t, % i 
zusammen eine Gruppe tv%* vom 21 ,len Grade. 



-$. 131. 



Ternäre Substitutionsgruppe. 



499 



Dm nun o zu bestimmen, bedienen wir uns der Relation 
\ "und erhalten, wenn 



i 



G> 



gesetzt wird, 



r 
i. 



L 
I 

L 



mko 



Ai ft» A 



Ai Ai A 

'A» Ai A 

= i tu r* r$ 

,«11 Ä 2i «8, 



«1 = A = ?2 = «, 

«2 = A = y 8 = A 
«3 = A = ?i = y> 



^md co erhält also die Form 



(£*> 




i 



«i A y 

© = [ 0, y, a 

y> «, £ y 

Drücken wir die Bedingung aus, dass co vom 2 ten Grade 
soll, so ergeben sich die Relationen 

« a + ß % 4- y 2 == i 

/Jy -f- ya -f- aß = 0. 
Aus (6) folgt (a -\- ß -\- y) 8 = 1, und wenn man die Deter- 
Ännante von o gleich 1 setzt, so erhält man mit Benutzung von (6) 

-f ß -f- y)3 = _ 1, folglich 

« + /* + y = — i. 

Aus (6) und (7) leiten wir noch die Relationen ab: 
8) a = ßy — a 2 , ß = yu. — ß\ y = a ß — y* 

Iß) «3 -f /J3 -f y3 _ 3 a y = — 1, 

n denen die letztere, die man aus 

(* + /* 4- y) 8 ^ 3(/Jy + y« + «/J) (a + + y) = - 1 

t, den negativen Werth der Determinante von o darstellt. 
Endlich bilden wir noch nach den Relationen [§. 88, (15)] 

8 = xt s G)z\ 03 = ^rar 2 : 
ya 2 , aa*, \ /y*», a, ßs» 

O) » = [ a, /»€*, y€* , 0- 1 = «€, /Ja», y 

/3a», y, aa ) \ß, ys\ ae^ 

32* 



500 Fünfzehnter Abschnitt. > . IS. 

Wenn wir nun die Bedingung aufsuchen, dass 8* = 1 wini. 
so haben wir 3 = -a zu setzen. Bilden wir also ® ! und &-'■ 
nach (10), so kann man zuerst versuchen, die Uebereinstinraung 
herzustellen , indem man eine der drei Zahlen a, ß, j>, etwa j. 
gleich setzt; dann muas aber nach (6) und (7) noch eine zweite, 
etwa fJ, gleich 0, und die dritte « gleich — 1 sein. Dann wird 
aber @ a nicht mit &~ a übereinstimmend. Also sind alle drei 
Grössen «, ß, y von Null verschieden. Setzen wir nun das zweite 
und dritte Glied der ersten Zeile in den aus (10) abgeleiteten 
Substitutionen 0* und 0-' einander gleich, so ergiebt sieb, wenn 
die Factoren y und a abgeworfen werden: 

«(« - e-») = ß(ir* — 1), }■(*' - 1) = ß(t> - 
oder 

„( ß i _ ß-«) = ß {t < _ E -.j, tfe* _ e-t) = ß( t _ ; - M . 
und hieraus, wenn h einen unbestimmten Factor bedeutet: 
a = h(t* — f-*) 

(11) ^ = *(*«-£-») 

Der Factor h wird nach (7) aus der Gleichung 

(12) — 1 = ä(e + ** + i l — e-> — £-» — t-*) 
bestimmt, und es ergiebt sich nach Bd. I, §. 179: 



(.» 


) 




"-7? 


V- 


f" 






Das Vorzeichen von VT hängt von 


der Wahl 


von t ab 


ist. 


positiv, wenn 


z, B. 




ä« 






genommen wird. 


h = 

Dann erhält 


man für 


«. ß, r- 






— 2 sit 

"" VT 


8* 

7 


= - 


2™^ 

VT 


y = — 


. . 2w 
2 sin y 




Aus (11) um 


(12) ergeben 


sich noch die Formeln 






sc 


+ UH 


+ Y^ 


= 1 








«(- 


> + <s e - 


+. r r- 


= 1, 




(14 


) 


« 


+ u<- 


+ *■■ 


= 








• 


+ 1»« 


+ ?*- 


= 0. 

















§. 131. 



Ternäre Substitutionsgruppe. 



501 



und o, /J, y sind die Wurzeln der cubischen Gleichung 

«8 _|- «2 _ i _ o. 

Man kann nun nach §. 88, (15) 

(15) ©» = z*a>z*% 

leteen, und daraus erhält man leicht nach (4) und (5) 

(16) ©* = [ ys-s 



CCB 



-9 



«, 0«-* 

/»«i y 

Vergleicht man dies mit dem Resultate, was man erhält, 
wenn man aus (10) direct ® a bildet, so ergiebt sich: 

a = tfs-i + ßie +y 3 «- 2 , a = ßy -j-yae* -f-a/Jr" 1 

(17) ß = ««a-^/^-f-y 2 «-- 8 , ß = ßr e * 4-y« +«/** 

y = a 2 £ 2 + /S a « 8 4-y a «~" 9 , 7 = /5y£- 8 + yaa- a -j-«A 

and die Vergleichung mit dem aus (10) gebildeten ®~ a ergiebt 
ein ganz ähnliches Formelsystem, das aus (17) hervorgeht, wenn 
£ mit f -1 vertauscht wird, nämlich: 

a = «*£ -f /S**- 1 -f y 2 « 2 , a = ßy + yar* 2 + a/J« 
= a*« -j- Z* 9 *"" 8 + y 9 * 8 ' ß = ßy*~~* + y« 4- uße- 1 

y = «*6- a -j- ß* s ~* 4- y 2£2 i y = ßy* 8 4- y«* 2 4- «0- 

Damit aber hierin kein Cirkelschluss liege, ist zu zeigen, 
dass die Relationen (17) in Folge der Bestimmungen (11), (12) 
wirklich erfüllt sind, denn dann erst ist das Bestehen der Rela- 
; tion (15) und die Gleichheit von ® 2 mit ö~ 2 nachgewiesen. Es 
genagt dazu, zwei dieser Relationen, etwa 

a = a 2 «- 1 + ß*e 4- yn~ 2 
a = ßy 4" y af2 4~ a ß B ~ x i 
abzuleiten; denn hat man diese nachgewiesen, so kann man darin 
f mit «— * vertauschen, wodurch a, 0, y nicht geändert werden, 
and sodann £ mit s 2 und £ 4 , wodurch a, 0, y in y, a, und in 
0, y, a tibergehen; und daher erhält man das ganze Formel - 
System (17). 

Diese beiden Relationen ergeben sich aber durch eine ein- 
fache Rechnung nach (11), (12) in der Form: 

(£4- £ 2 4" « 4 — f- 1 — £- 2 — 6- 4 ) (« 4 — £~ 4 ) 

== £- J (£ 4 — £- 4 )* 4- £(£« — £~ a ) 2 4- £- 2 (£ — fi" 1 ) 2 
= (£ — r- 1 ) (f 2 — £~ a ) -f £2 ( £ __ £ -l) ( £ 4 _ £-4) 

-j- £-1 ( £ 2 _ £-3) ( £ 4 _ £-4j. 



diesen Formeln ergiebt sich leicht nach (5), 



(18) 






(8). (14) 
ß ".\ 



Hiernach ist es nun sehr einfach, die charakteristischen Rela- 
tionen des Theorems I., g. 88 für unsere Gruppe durch wirkliebe 
Ausrechnung zu bestätigen, und damit ist also eine teraäre Gruppe 
leS"*" Grades hergestellt"). 

Die einzigen irrationalen Zahlen, die in den Substitutionen 
der so bestimmten Gruppe vorkommen, sind siebente Einheit»« 
wurzeln. Dritte Einheitswurzeln fehlen darin. Demnach kann 
auch, da alle Determinanten = 1 sind, ausser der Identität kein« 
Aehnlichkeitssuhstitution darin vorkommen. Wir haben es also 
mit einer reinen Gruppe zu thun (§. 59). Dies ist um so 
bemerkenswerther, weil, abgesehen von einigen trivialen Fallen, 
zu denen gewisse cyklische Gruppen und die Permutationsgruppen 
gehören, die hier betrachtete ternäre Gruppe 168* 1 ™ Grades die 
einzige bisher bekannte Gruppe ist, die diese Eigenschaft hat. 



§. 132. 
Pole und Axen der temären Gruppen. 

Wir wollen uns jetzt der Kürze halber einer geometrischen 

Ausdrucks weise bedienen, indem wir die Variablen z, . s. . .<■, Ül 
Dreieckscoordinaten eines Punktes x in einer Ebene betrachten, 
obwohl auch imaginäre Werthe von ,r,, x, , x^ zulässig sein sollen. 
Bedeutet A eine ternäre lineare Substitution mit der Deter* 
minante 1, und ist 

(1) ÖO = ■*«. 

') Vergl. F. Klein, „lieber die Trans In rmation siebenter Ordaug 
der elliptischen Functionen", „lieber die Aullöaung gewiuei 
vom 7<™ und 8'«> Grade". Mathem. Annaleu, Bd. U n. 15. KI 
Vorlesungen ülier Modul - Functionen . Bd. I, dritter Abschnitt, (.'»pitei TU. 
Gordan, „lieber Gleiehuugen T' eu Graden mit einer Gruppe VOO IIV« >»fc- 
stitutionen". Mathem. Antillen, Bd. 20, 26. 



t 



§. 132. Pole und Axen. 503 

so sind yi,y 2> t/ 8 die Coordinaten eines zweiten Punktes (y), bezogen 
auf dasselbe Coordinatensystem , der aus (x) durch die Substitu- 
tion A abgeleitet ist 

Wenn x eine gerade Linie durchläuft, so durchläuft auch y 
sine gerade Linie, und wenn die Gleichungen dieser beiden Linien 

(2) «*!&! + u % x % -f 1*3*3 = 0, v^ + v 2 y % + i? 3 y 3 = 

sind, so ergiebt sich durch Einsetzen von (1) in (2), dass 
«!, u„ t*3 mit t>!, t> 2 , v 3 durch die transponirte Substitution 

fon A: 

(u) = A l (v) 

zusammenhängen (§. 41, 10.). Es wird also durch A nicht nur 
; ans jedem Punkte ein Punkt, sondern auch aus jeder geraden 
Linie eine gerade Linie abgeleitet 

Die durch (1) ausgedrückte Beziehung der Punkte y zu den 
Punkten x kann als eine Abbildung der Ebene in sich 
- selbst bezeichnet werden, wobei jedem Punkte ein bestimmter 
■ anderer Punkt und jeder geraden Linie eine gerade Linie ent- 
: spricht Der Punkt y heisst das Bild des Punktes x und die 
gerade Linie v das Bild der geraden Linie u. Hat man die 
Bilder zweier Punkte, so ist die Verbindungslinie dieser Bilder 
das Bild der Verbindungslinie der beiden Originalpunkte. 
Bedeutet S eine zweite ternäre lineare Substitution und 

A' = S~ l AS 

die aus A durch S transformirte Substitution, so ist 

(y') = A'{af) 

ichbedeutend mit 

(y) = A (x), 

(y) = S(n (*) = £(*') 

itzt wird. Statt nun durch S eine Abbildung zu definiren, 

in man auch eine Coordinaten transformation darunter 

$hen, indem man unter x\, x' 2 , a/ 3 die Coordinaten des 

iktes (x) in einem neuen, durch S bestimmten Coordinaten- 

le versteht Dann wird der Zusammenhang zwischen den 

m Punkten #, y ebenso wie durch A auch durch die trans- 

üirte Substitution A! ausgedrückt, und die Transformation der 

ititutionen ist also gleichbedeutend mit der Transformation 

Coordinatensystems. Die Composition der transformirten 



;,l)4 Fünfzehnter Abnolinitt. 

Sulistitutimicti geschieht, wie wir schon früher gesehen ha Wo. 
ebenso wie die der ursprünglichen, und es entsteht also duni 
Transformation aus jeder Gruppe eine isomorphe Gruppe. 

Wir haben schon früher ($. 42) allgemein als Pole n 
linearen Substitution A solche Punkte definirt, die bei der Ab. 
bildung durch A sich selbst entsprechen. 

Nehmen wir A in der Form an: 

:ß, y 

, ß", V' 

. ß"- y" 

so erhalten wir als Bedingung für einen Pol x: 

kx, = * Xj + ß Xh -+- y BS, t 
(3) lx% = ei 2, 4- ß' Zi 4- / x-v 

lx s = tt'xi + ß"x t 4- y""k 
für e nen passend bestimmten Coeffieienten l. Durch ElüaiM- 
tion von x t , x t , x$ erhält man hieraus die chankterütüal 
Gleichung für die Substitution A; 

« - 1, /i, , 

(i) A= u', ß' — A, / —0. 

ß", ■/'->■ 
Es giebt daher im Allgemeinen drei Pole der SuhstitH' 
tion A. Die drei Verbindungslinien dieser Pole sind Ji 
gleichfalls ihre eigenen Bilder, jedoch so, dass auf jeder du 
drei Geraden nur zwei Punkte liegen, die auf sich selbst 
gebildet sind. Die Bilder der übrigen Punkte sind in der Li 
verschoben. Diese Linien wollen wir die Axen der Substit«' 
tion A nennen. 

Es können nun aber besondere Fälle eintreten, die Im 
zuheben sind. Es können zwei oder selbst alle drei Pol 
einen Punkt zusammenfallen, wie das Beispiel 
«00 
f «' a 



zeigt, worin es', a", ß" von Null verschieden sind. Hier fi 
zwei, oder wenn « = 1 ist, alle drei Pole in einen ! 
zusammen. 

Wichtiger noch ist ein anderer besonderer Fall , 
der, dass unendlich viele Punkte ihre eigenen Bilder sind, fffl 



S» 182. 



Pole und Axeo. 



505 



wir von dem Falle absehen, dass alle Punkte ihre eigenen Bilder 
and, der nur bei den Aehnlichkeitssubstitutionen vorkommt, so 
müssen die Punkte, die ihre eigenen Bilder sind, wenn ihrer 
unendlich viele sind, auf einer geraden Linie liegen; denn es 
kann dieser Fall nur dann eintreten, wenn für eine Wurzel von 
(4) die drei Gleichungen (3) aus einer von ihnen folgen, oder, 
was dasselbe ist, wenn mit A zugleich die sämmtlichen ersten 
ünterdeterminanten verschwinden. Eine solche gerade Linie 
wollen wir eine Hauptaxe der Substitution A nennen. Aber 
nur gewisse besondere Substitutionen besitzen Hauptaxen. Eine 
Substitution mit einer Hauptaxe hat ausser dieser noch einen 
Pol, der in besonderen Fällen auch in die Hauptaxe hinein- 
fallen kann. 

Legen wir, um diese Verhältnisse zu übersehen, die Haupt- 
axe in die Linie x x = 0, so muss, wenn x 1 = ist, y l = 0, 
y, : y s = x 2 : z$ sein. Daraus ergiebt sich 

Vi = «*i, 

V% = dx x + ßx 2 , 

y % = u ll x l 4- 0«s. 

Den ausser der Hauptaxe existirenden Pol erhalten wir, wenn 
wir y x = a#!, y 2 = ax 2 , y 3 = «tf 3 setzen; dann ergiebt sich 

iß — «)*« + «'«t = 0, (ß — a)x 3 + a"x x = 0, 

und dieser Punkt wird dann und nur dann in die Linie x x = 
fallen, wenn ß = a ist Dieser Fall kann bei endlichen Gruppen 
nicht eintreten (vergl. §. 45). 

Wenn ein von der Hauptaxe verschiedener Pol existirt, so 
können wir diesen in die Ecke x 2 = 0, x % = legen, und die 
Substitution erhält die Form 

Vi = «#i, 2/2 = ßz 2 , y 3 = ßx*, 

Wo a von ß verschieden ist. 

Eine gerade Linie u x x x -\- u 2 x 2 -\- u 2 x z = ist bei dieser 
Substitution dann und nur dann ihr eigenes Bild, wenn entweder 
H = ti 8 = oder u x = ist. 

Wenn also eine Substitution einen Pol und eine 

i Hauptaxe hat, so bleiben ausser dieser alle geraden 
Linien und nur die ungeändert, die durch den Pol 
gehen. 



506 



Fünfzehn 



r Äbech: 



Es ist noch zu bemerken, dass, wenn drei getrennte PA 
vorhanden Bind, diese nicht in eine gerade Linie fallen können, 
ohne dasB die Linie zur Hauptaxe wird. Denn wenn eine gerade 
Linie ihr eigenes Bild ist, so können, wenn sich die Linie nicht 
Punkt für Punkt selbst entspricht, nur zwei Punkte auf ihr 
liegen, die ihr eigenes Bild sind. 

Fassen wir dies Alles zusammen, so linden wir folgende 
Arten von ternären linearen Substitutionen, wobei zusammen- 
fallende Pole nur einmal mitgezählt sind: 

1. Substitutionen mit drei Polen, 

2. „ .. zwei Polen, 

3. „ „ einem Pol, 

4. „ „ einer Hauptaxe 

und einem Pol, 

5. „ „ einer Hauptaxe. 

Als letzter Fall würde noch die Aehnlichkeitssuhstitntiou 
aufzuzählen sein, für den jeder beliebige Punkt sein eigenes 
Bild ist. 

Die Art der Substitution bleibt erhalten bei jeder Trans- 
formation. 

Wenn ein Punkt ungeändert bleibt durch eine Substitu- 
tion A, so bleibt er auch bei jeder Wiederholung von A, also bei 
A', A a , . . ., ungeändert Die Pole von A finden sich daher immer 
unter den Punkten, die bei der Abbildung durch A 2 ihre eigenen 
Bilder sind. Es kann aber wohl der Fall eintreten, dass z. B. A 
drei Pole hat, während eine Potenz, A", eine Hauptaxe besitzt 
Dann müssen zwei der Pole von A auf der Hauptaxe von J 1 
liegen, und der dritte Pol von A ist der einzelne Pol von jl*. 
Ist nämlich A eine Substitution mit drei Polen , so können «ir 
sie, indem wir die Pole in die Ecken des Coordinntendreiecto 
legen, in die Normalform 

/et, 0, 
A = ( 0, ß, 

\0, 0, 

setzen, worin «, ß, y von einander verschieden sind. Ist nia 1 
ß k = y*, also ri von y um eine k im Einheitswurzel als Factor l 
unterschieden, so hat A* die Linie x^ = zur Rma$ 
die gegenüberliegende Ecke des Coordinatendreieeks zum Pol. 



eis 




£. 133. Anwendung auf die Gruppe G lw . 507 

Ist A von endlichem Grade ft, so sind a, /3, y fi te Einheits- 
wurzeln. Ist J* die niedrigste Potenz von A, die eine Hauptaxe 
hat, so muss ß : y primitive fc te und zugleich ft to Einheitswurzel 
jein, und folglich muss h ein echter Theiler von p sein; wenn"! 
relativ prim zu p ist, so hat J.* dieselben drei Pole wie A. 



§. 133. 
Anwendung auf die Gruppe 6r 168 . Siebenzählige Pole. 

Wir wollen nun die Pole und Axen der Substitutionen unserer 
Gruppe 6r 168 aufsuchen. 

Diese Arbeit wird wesentlich dadurch erleichtert, dass uns 
aus der Betrachtung der Congruenzgruppe L 7 die Grade und 
Cykeln der Gruppe schon bekannt sind (§. 84). Danach giebt es 
j) 1 — 1 = 48 Elemente 7** Grades A 7 , l / 4 p(p — 3) (p-f- 1) = 56 
Elemente 3*** Grades A z und l Up(p — l) 2 = 63 Elemente 4 ton 
oder 2** Grades A+, A 2 in Cr 168 . 

Die Elemente A 7 ordnen sich (mit Zuziehung der identischen 
Substitution) in acht Cykeln von sieben Gliedern, die A 3 in 
28 Cykeln von drei Gliedern und die A 4 und A* in 21 Cykeln 
Ton vier Gliedern. Jeder dieser letzteren Cykeln enthält ein 
Element A+ und zwei Elemente^, und wenn wir also zusammen- 
fassen, so erhalten wir: 

48 Elemente 7 ten Grades 
56 „ 3*- „ 

42 „ 4*" „ 

21 2** „ 

Wenn ein Punkt durch v Substitutionen der Gruppe (die 
identische eingeschlossen) ungeändert bleibt, so wollen wir einen 
wichen Punkt einen v-zähligen Pol nennen (§. 68). 

Für die Feststellung der Pole und Axen genügt die Betrach- 
tung je eines Cyklus, da aus diesem die anderen durch Trans- 
formation abgeleitet sind (§. 85). 

Nehmen wir die Substitution l* 11 Grades r [§. 131, (4)], so 
finden wir die Ecken des Coordinatendreiecks als drei getrennte 
Pole. Alle Potenzen von r, deren Exponenten nicht durch 7 
heilbar sind, haben dieselben drei Pole. 

Durch Anwendung der Substitutionen %, %* gehen diese Pole 
rklisch in einander über; wendet man aber die Substitutionen 



Fünfzehn 



r Abu 



0, 0», 0\ w, ö®, a&', a& s an, die in §. 131, (5), 
(18) vollständig gebildet sind, so geht das ganze Coonlinaten- 
dreieck in ein völlig davon verschiedenes über (z. B. durch e> m 
das Dreieck mit den Kckcoordinaten a, ß, y\ ß, y. a; y, a, ßi, 
und daraus ist zu schliessen, dasa diese Pole nicht mehr aii 
siebenzählig sind. Es giebt acht Tripel solcher siebenzähüger 
Pole, die alle von einander verschieden sind, und jeder von ihnen 
kann in jeden anderen durch eine Substitution der Gruppe G !a I 
transformirt werden. 

Wir haben also den Satz: 

1. Es giebt 24 siebenzählige Pole, die sich, den acht | 
sieb engliedr ige u Cykeln entsprechend, in acil 
Tripel t heilen. Jeder dieser '24 Punkte bann I 
in jeden anderen durch Substitutionen 
Gruppe G 10li transformirt werden. 



Die Hauptaxen. 

Wir gehen zur Betrachtung der Substitutionen 4'™ und 'l m 
Grades über, als deren Repräsentanten wir und 0* wählen- I 
Nach §. 131, (10) und §. 132 haben wir für » die cubiseh* | 
Gleichung zu lösen: 

| yi* — A, ae», ß 

(1) | «, 06« — A, j»e> =0, 
| /»«», j-, «f - '■ 

die entwickelt so lautet: 

(2) tf~»(M + fji +ye*) 

— *[>«(«» - ßy) + e»(/l" — y*) + i«(jr» - «jty 

+ a» + /J» -j- y» — 3«p> = 0. 

Diese Gleichung reducirt sich aber mit Benutzung der F 

tionen (8), (9), (14) des §. 131 auf 

(t) A* — A* + A — 1 = 0, 

und hat die Wurzeln 

A = 1, A = ± i, 
und daraus lassen sich die Coordinaten der drei Pole berechn 
die sich als rationale Functionen von s und i ergeben. 



j. 184. Hauptaxen. 509 

Für die Pole von ö 2 erhalten wir nach §. 131, (16) zunächst 
die cubische Gleichung 

| — A, y&'\ «£ 2 
y«- 8 , a— A, /Sa- 1 = 0, 
«£— 2 , /Sa, y — k 

die nach den Relationen zwischen a, /S, y leicht in die Form 

(4) (k + l) 2 (i - 1) = 

gebracht wird und daher eine Doppelwurzel k = — 1 und eine 
einfache Wurzel k = 1 hat Setzen wir den Werth k = — 1 
in die Gleichungen ein, durch die der ungeänderte Punkt be- 
stimmt wird [§. 132, (3)], so ergiebt sich: 

(ß + \)x x + ys*x 2 + «£ 2 x 3 = 0, 
ye-*x x + (« + 1)*, + /Jf 1 ^ = 0, 
as-*x l -|- /8*£* + (y + 1)^3 = 0. 
Diese drei Gleichungen reduciren sich alle auf die eine, die 
man z. B. aus der ersten durch Multiplication mit ß und An- 
wendung von §. 131, (8) ableitet: 

(5) ayxt -f- ßyt*x 2 + «0* a #3 = 0, 

und die eine gerade Linie darstellt. Diese Linie ist also eine 
Hauptaxe. 

Solcher Hauptaxen erhalten wir 21. da wir 21 Substitutionen 
2** Grades haben. 

Man kann die Functionen, die, gleich Null gesetzt, die 
21 Hauptaxen darstellen, aus (5) leicht bilden, wenn man die 
Function 

(6) A = ayx x -\- ßy&x 2 + aße*x 3 

durch die Substitutionen z r , fx, r^ 2 transformirt (r = 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6). Man erhält also die 21 Functionen: 

A hr = aye r x x -f- yße 2r + *x 2 + aßs ir + *x 3 , 

(7) A 2 \ r = ßye r + *x x + aße 2r + *x 2 + ays' r x z , 
A %T — aße' + tXi -j- ayt* r x 2 + ßye* r + *x 3 , 

ms denen leicht zu ersehen ist, dass die 21 Hauptaxen wirklich 
Ue von einander verschieden sind. 
Wir fassen dies so zusammen: 

2. Es gehören 21 verschiedene Hauptaxen zu der 
Gruppe Gr 168 , von denen jede in jede andere 
durch Substitutionen der Gruppe transformirt 
werden kann. 



510 Fünfzehnter Abschnitt. §. 134. 

Da es nur 21 llauptaxen giebt, bo musB jede von ihnen 
durch aclit Substitutionen uti geändert bleiben, und diese acht 
Substitutionen bilden eine Gruppe. Um diese Gruppe za er- 
mitteln, wenden wir auf den in (6) dargestellten Ausdruck A 
die Substitution a [§■ 131, (5)] an, und dadurch geht er über in 

(8) y(a* + fi*s* + aflt*)xL + fl(ay + yH\+ aH*)x, 

+ tt (y*-\-ßy i sJ r ßU*)x s . 

Nach §. 131, (14) und (8) ist aber 
«*-f- /S'e« + aße* = a a -j- ß(aE* -f ße*) — afl — ßy = — a. 
und wenn man die drei Coüfticienten des Ausdrucks (8) in dieser 
Weise umformt, so ergiebt sich 

— uyx, — ßyt*z% — «Pe'Xs, 
d. h. A ändert durch Anwendung der Substitution et sein Vor- 
zeichen, und die Hauptaxe A bleibt also durch die Substitution o 
unge ändert. 

Da A ausserdem durch die Substitution © ungeämlert bleibt. 
weil zwei Pole von & auf A liegen, so haben wir die ganie 
Gruppe 8 lon Grades, durch die A ungeändert bleibt, die wir die 
Gruppe von A nennen und mit G a bezeichnen, in der Form 

(9) g>" ©\ 

Unter diesen acht Substitutionen Bind nur zwei, nämlich 
die identische und ® 3 , die alle Punkte der Linie A ungeändert 
lassen, liei den anderen bleiben nur je zwei Punkte in Kn.be. 
Denn berechnet man auf dem hier eingeschlagenen Wege aua 
§. 131, (5), (16) die Hauptaxen von m, a>&, w© a , o»', so erhält | 
man, in der Bezeichnung (7), 

i,,„ -4 s ,o, Aa,„ At it , 
die alle von der Hauptaxe A ii0 von ® s verschieden sind. 

Die Substitution 0* hat ausser der Hauptaxe A noch t 
isolirten Pol, den wir erhalten, wenn wir die Wurzel A — 1 i 
cubiachen Gleichung (4) wählen. Dann ergeben sich für I 
Coordinaten dieses Poles die Gleichungen 

(ß — 1)*, + y* l Xi + «*'£| — 0, 
yt~ i x l + (a— l)x, -f ßG-*x s = 0, 
«£-**, + ß*&, + (y — l)* s = 0, 
und daraus erhält man: 

(10) x, : x, : x 3 = uyt' : ßyt : aßt*. 



j. 134. Hauptaxen. 511 

Solcher Punkte giebt es 21. Den Punkt (10) bezeichnen wir 
fiur den Augenblick mit a. Der Punkt a bleibt nun nicht nur 
durch 8, sondern auch, wie eine Rechnung auf Grund der Formeln 
§. 131, (11) zeigt, durch o, und folglich durch die ganze 
Gruppe G a ungeändert, und ist also ein mindestens achtzähliger 
PoL Da er aber durch 21 Substitutionen in 21 verschiedene 
Lagen gebracht werden kann, so ist er auch nicht mehr als 
achtzählig. Da er durch die Substitutionen 2 ten Grades a>, 0a>, 
#Mo, s cd ungeändert bleibt, und da die Pole dieser Substitu- 
tionen auf A liegen (weil A durch sie ungeändert bleibt), wäh- 
lend a nicht auf A liegt, so müssen die Hauptaxen dieser vier 
Substitutionen a>, @o, ® 2 a>, 0*a) durch den Punkt a gehen. 

Die Pole der vier Substitutionen cd, ®a>, ® a o, ® 8 ai, die wir 
4i, o,, Os, a 4 nennen wollen, sind als Bilder des Punktes a gleich- 
falls achtzählige Pole, und müssen, wie a, Pole von Substitutionen 
vierter Ordnung sein, die jedenfalls alle von und ® 8 ver- 
achieden sind, weil sonst ® a einer jener vier Substitutionen gleich 
«ein mÜ8ste, was nicht der Fall ist. Durch cd bleiben nur zwei 
Punkte der Axe A, nämlich die Pole von cd und von 0*cd, un- 
geändert 

Betrachten wir nun die beiden anderen Pole Cj, c 2 der Sub- 
stitution 0. Diese Punkte liegen gleichfalls auf der Hauptaxe A, 
sind aber von den Punkten a^, a 2 , Os, a 4 verschieden, weil diese, 
'wie schon bemerkt, nicht unter den Polen von vorkommen. 
Mun ist cd0cd = 0, also 

a>0(x) = &co(x), 

^nd wenn nun (x) = 0{x) ist, so ist auch 

cd(x) = 0cd{x)\ 

i h. wenn (x) die Coordinaten eines Poles von sind, so haben 
h'e a>(x) die gleiche Bedeutung. Durch die Transformation a> 
tehen also die Pole von nur in einander über. Der Pol a 
leibt ungeändert durch cd; c x und c 9 dagegen können nicht un- 
sändert bleiben, weil sie unter den Polen von cd nicht vor- 
)mmen, und müssen also in einander übergehen. 
Wir haben also folgende Uebersicht: 

Ungeändert durch cd und 2 cd auf A nur die Punkte 04, a 3 
„ „ 0(0 „ 03o „ A „ „ „ a„ a< 



512 



Fiinfzehnti 



Ein von diesen sechs verschiedener Punkt x von A gebl 
nur durch die Substitutionen 1 und ® a in sich selbst über und 
kann daher ein zweizahliger Pol genannt werden. Dum gill 
der Satz : 

3, Ein zweizäh liger Pol geht durch die aus ©und 
& abgeleitete Gruppe 8"" Grades in Tier ver- 
schiedene Lagen über. 

Ist nämlich x ein zweizähliger Pol, und geht x durch a 
in x" t durch & in x" über, so sind nicht nur x" und x" von i, 
sondern sie sind auch unter einander verschieden, weil, wenn U 
identisch wären, x durch ra0 ;l ungeändert bliebe. Durcb o8 
geht dann x in eine vierte Lage x"' über, und x"' ist sowohl 
von x' als von z" verschieden, weil sonst x durch co8is=9 
oder durch roß® -1 = w ungeändert bliebe. Da X durch «' 
ungeändert bleibt, so geht x durch & 1 in x" , durch ©*ra =a& 
in x\ durch ra@ a in x"' über. 

Da wir auf jeder Hauptaxe zwei Punkte e x , e» haben, 10 
giebt es im Ganzen 42, und jeder von ihnen kann in jeden an- 
deren durch Substitutionen der Gruppe übergeführt werden. 
Daraus folgt, dass diese Pole nicht mehr als vierzählig huI 
Daher der Satz: 

4. Es giebt 21 achtzählige und 42 vierzählige Pole. . 
Auf jeder Hauptaxe liegen vier achtzählisc uu! 
zwei vierzählige Pole. Durch jeden acht/ ■ 
Pol gehen vier Hanptaxen. Jeder achtzählig« 
Pol kann in jeden anderen achtzähligen und jeder 
vierzählige Pol in jeden anderen vierzehnten 
Pol übergeführt werden. 

CWir wenden unB nun zur Betrachtung der SubstitutioMB 
dritter Ordnung und ihrer Pole, und wählen als Repräsentanten 
einer solchen Substitution 



§. 135. 
Die drei- und sechszähligen Pole. 




$. 135. Drei- und sechszählige Pole. 513 

deren Pole man ans 

erhält Es folgt daraus A s = 1; also ist iL eine dritte Einheits- 
wurzel, und wenn daher q eine imaginäre dritte Einheitswurzel 
bedeutet, so ergeben sich die drei Pole: 

(1) «1 = 9^1 = P a ^ 8 , 

Zwischen diesen drei Polen besteht aber ein wesentlicher 
Unterschied. Wenden wir nämlich die Substitution cd darauf an, 
80 bleibt der erste von ihneti ungeändert. Er ist also mindestens 
sechszahlig und gehört zu den Substitutionen 

Die beiden anderen Pole, nämlich 

(2) x x = qx % = p 2 a: 3 , a?i = q 2 x 3 = p# 3 , 

gehen durch die Substitution a> in einander über, und wir können 
nachweisen, dass sie durch jede andere Substitution der Gruppe, 
ausser %, %*, verändert werden, dass sie also nur dreizählig sind. 
Bezeichnen wir für den Augenblick die beiden Punkte (2) mit 
% und %\ so können wir zunächst sagen, dass alle Substitutionen 
aus (? 168 , welche it ungeändert lassen, eine Gruppe G„ bilden 
müssen, und zwar einen Theiler von 6? 168 ; die Gruppe G n ent- 
hält ihrerseits die cyklische Gruppe 1, %, % 2 . 

Ist 6 irgend eine Substitution von G n , so kommt also it 
unter den Polen von tf vor. Daraus folgt, dass tf weder vom 
7** noch vom 4 ien Grade sein kann. Denn die Coordinaten der 
Pole von diesen zwei Graden sind rationale Functionen von £, i, 
während die Coordinaten von % die davon unabhänge Irratio- 
nalität q enthalten (Bd. I, §. 174). Dass aber auch nicht vom 
2** Grade sein kann, ergiebt sich daraus, dass n auf keiner der 
Bauptaxen liegt. Denn läge es auf einer Hauptaxe, so müsste, 
teil q nicht rational durch £ ausgedrückt werden kann, wie aus 
2) mittelst der Gleichung 

1 + 9 + 9' = 
?zuleiten ist, nach §. 134, (7) eine der 21 Relationen bestehen: 

a = ßE~ 3r + * = y«- r + 1 , 
a = ße* r + * =ye Sr + 1 , 

Weber, Algfcbr*. EL ^ 



fj 14 Fünfzehnter ALschniti 

von denen offenbar keine möglich ist. Die Gruppe G« enthält 
also ausser der identischen nur Substitutionen 3"" Grades, und 
der Grad von (5* muss eine Potenz von 3 sein. Da aber 1 
nicht durch 9 tbeilbar ist, so muss der Grad von G, gleich 3 
sein. Hieraus folgt: 

5. Es giebt 56 dreizählige Pole, die zu je zweien 
zu derselben Substitution gehören, und sich 
danach in 28 Paare ordnen. Jeder dieser Pule 
kann durch Substitutionen der Gruppe G ti , 
jeden anderen transformirt werden. 

Setzen wir 

(3j T=x 1 +x i +x l , 

so ist T = die Gleichung der Verbindungslinie der PanfcV I 
jr, n'. Die Function T bleibt durch % ungeändert und wechselt I 
durch (o ihr Vorzeichen. Sie geht aber durch die 28 Substitu- I 
tionen ®'V in 28 verschiedene Functionen T,_ r über, die wir J 
mit Hülfe der Formeln des §. 131, (11), (14) leicht so 3ant«Qfl 
können : 

2'„.r = f«! -f" t 3r X., -f- t lr X tt 

Ali,, = ßU^- Xi 4" &*• + »**, -j- y» 8»+" X» 

h 2i, r = *»«»+'*, -|- r'm+i'zt + 0* «» + •'*», 
A T 3 , r = y* £*+'*, -j- ßi£*+* r x 3 -f «P*+ tr *i, 

und diese stellen, gleich Null gesetzt, 28 verschiedene gerade 
Linien dar, die alle aus einer von ihnen durch Substitutionen 
der Gruppe ableitbar sind. 

Auf der Linie T liegen die drei Punkte mit den CoordinatöO 

ay: ßy : ßa, 

ßa:ay: ßy, 

ßy.ßa.ay, 
die aus (10), §. 134 durch die Substitutionen t~*. t-'x. t~'X' 
hervorgehen und also zu den achtzäliligen Polen gehören. 

6. Auf jeder Linie / liegen drei achtzählige und 
zwei dreizählige Pole. 

Es bleibt noch der dritte Pol ic a der Substitution % m ' 1 den 
Co ordinalen 

x, = x. t = x, 
zu untersuchen, von dem wir schon nachgewiesen haben, das» er 
durch die sechs Substitutionen 






w 



136. Configuration der Gruppe Cr 168 . 515 

) 1, %, %\ *, <»& &Z 2 

geändert bleibt. Es fragt sich nun, ob dieser Pol nicht mehr 

3 sechszählig ist 

Wenn es ausser (5) noch andere Substitutionen giebt, die 
m Pol ä unverändert lassen, so müssen diese nothwendig vom 
m Grade sein, da sr weder ein vierzähliger noch ein sieben - 
hliger Pol ist, und weil ferner der Grad der zu it gehörigen 
rappe nicht durch 9 theilbar sein kann. 

Nun liegt der Punkt it auf den drei Hauptaxen der Sub- 
itutionen 2 Uai Grades cd, a>%, &%*. Giebt es noch eine weitere 
ibstitution 2 ten Grades, durch die n ungeändert bleibt, so muss 
> auf der Hauptaxe dieser Substitution liegen. 

Setzen wir aber in den Gleichungen der Hauptaxen [§. 134, (7)] 
, = Xt = #3, so ist jede dieser drei Gleichungen nur für einen 
ferth von r befriedigt; also kann n nicht auf mehr als dreien 
er Hauptaxen liegen, und n ist sechszählig. 

Daraus der Satz: 

7. Es giebt 42 sechszählige Pole, die alle aus einem 
von ihnen durch Substitutionen der Gruppe ab- 
leitbar sind. Durch jeden dieser Pole gehen drei 
Hauptaxen der Gruppe. 

Der Pol ji liegt auf keiner der Linien T,, r . Dies lässt sich 
eicht zeigen, wenn man in den Ausdrücken (4) x x = x 2 = # 3 , 
md dann für a a , ß\ y 2 ihre Ausdrücke durch e setzt. Man 
ieht dann leicht (mit Anwendung der Irreducibilität der Kreis- 
heüangsgleichung), dass von diesen Ausdrücken keiner ver- 
chwindet. 

§. 136. 
Die Configuration der Gruppe 6r 168 . 

Die Gesammtheit der geraden Linien und Punkte, die wir 
i den vorangegangenen Paragraphen betrachtet haben, wollen 
ir die Configuration der Gruppe Cr 168 nennen. Das Wort 
it hier dieselbe Bedeutung, in der es in neuerer Zeit in der 
eometrie gebraucht wird 1 ). 



*) Der Ausdruck ist von Reye eingeführt: „Geometrie der Lage." 
I, 2. Aufl. (1876). 



.516 Fünfzehnter Abschnitt §. 136. 

Wir beschreiben diese Configuration im Folgenden etwas 
näher, ohne etwas Neues hinzuzufügen, nur um die Satze der 
letzten Paragraphen anschaulicher und übersichtlicher hervor- 
treten zu lassen. 

Wir haben in dieser Configuration: 

21 Linien A (die Hauptaxen), 

21 Punkte a (die achtzähligen Pole), 

28 Linien T, 

28 Punkte t (die sechszähligen Pole). 

Das ganze System geht durch 168 Substitutionen der Gruppe 
in sich selbst über. 

Auf jeder Linie A liegen vier Punkte o. 
Durch jeden Punkt a gehen vier Linien A. 
Auf jeder Linie T liegen drei Punkte o. 
Durch jeden Punkt t gehen drei Linien A. 

Die Punkte a und t bilden zusammen das toll- 
ständige System aller Schnittpunkte der Linien 1 

Denn 21 gerade Linien schneiden sich in 210 Punkten, and 
von diesen fallen drei oder sechs zusammen, wenn drei oder 
vier dieser Linien durch einen Punkt gehen. Es ist aber 
210 = 21 . 6 + 28 . 3. 

Auf jeder Linie A liegen vier Punkte t 

Denn da durch jeden Punkt t drei Linien A gehen, und 
auf jeder Linie A gleich viele Punkte t liegen müssen (weil jede 
Linie A in jede andere transformirbar ist), so ist, wenn x die 
Anzahl dieser Punkte ist, x . 21 : 3 = 28, also x = 4 Ebenso 
schliesst man: 

Durch jeden Punkt a gehen vier Linien T. 

Keiner der Punkte t liegt auf einer Linie T. 
Bezeichnen wir die v- zähligen Pole mit P,, so haben *k 
also folgende Systeme von Polen: 

21 achtzählige Pole P 8 , 
28 sechszählige „ P 6 , 
42 vierzählige „ P 4 , 
56 dreizählige „ P 3 , 
24 siebenzählige „ P 7 , 
unendlich viele zweizählige Pole P f . 



§. 137. Invariantencurven der Grappe (r 168 . 517 

Die P, sind alle von P 4 , P 6 , P 8 verschiedene Punkte der 
Hauptaxen; von den Punkten P 4 liegen je zwei auf einer Linie A\ 
tob den Punkten P s liegen je zwei auf einer Linie T; die Punkte 
P 7 liegen nicht auf den Linien A (dass sie auch nicht auf T 
liegen, wird sich später ergeben). 

Das System der Axen ist genau entsprechend dem System 
der Pole. Jede gerade Linie, die durch einen achtzähligen Pol 
geht, ist eine Axe (darunter die Hauptaxen, vier Linien T und 
zwei Verbindungslinien des P g mit P 4 ). Demnach könnte man 
die P 8 passend die Hauptpole nennen und die durch sie gehen- 
den Axen mit A s , A^ A„ A 2 bezeichnen. 

Hervorzuheben sind ferner die 28 Paare von Verbindungs- 
linien eines P 6 mit den beiden zugehörigen P 8 , die wir mit A 3 
bezeichnen können; und endlich die 24 Verbindungslinien je 
zweier zusammengehöriger P 7 , als deren Repräsentanten die 
Seiten des Goordinatendreiecks zu betrachten sind, die mit A 7 
bezeichnet werden können. 

* 

§. 137. 
Invariantencurven der Gruppe G iei . 

Eine Form ft* 611 Grades <p (x x , x 2 , %$) wird durch die Sub- 
stitutionen der Gruppe 6r 168 im Allgemeinen in 168 verschiedene 
Formen übergehen. Bei besonderen Formen q> kann diese 
Zahl sich aber verringern , und dann bilden die Substitutionen, 
durch die q> ungeändert bleibt, eine in 6r 168 enthaltene Gruppe 
G\ deren Grad ein Theiler von 168 sein muss. Die Anzahl der 
Formen, in die q> übergeht, ist der Index des Theilers G\ und 
jede dieser verschiedenen Formen <p bleibt durch eine mit G' 
conjugirte Gruppe ungeändert. Die Form <p ist eine absolute 
Invariante der Gruppe G'. 

Die Gleichung <p = stellt eine auf das Coordinatendreieck 
*ii x * x * bezogene Curve dar, und diese Curve wird eben durch 
die Substitutionen von 6r 168 auf andere Curven abgebildet. Sind 
die 168 Bildcurven nicht alle von einander verschieden, so bleibt 
die Function <p durch die Substitutionen einer Gruppe G" un- 
geändert oder ändert sich nur um einen constanten Factor, ist 
üso relative Invariante von G". Eine gerade Linie bleibt nur 
ann durch andere als die identische Substitution ungeändert, 



518 Fünfzehnter Abschnit 

wenn sie zu den im vorigen Paragraphen beschriebenen Ai»n 
gehört 

Alle Eigenschaften und Beziehungen zwischen Punkten, Lidim 
und Curven, die durch lineare Transformation unzerstörbar sind 
(die sogenannten projectiven Eigenschaften der Geometrie), bleib« 
in den Bildern erhalten. Wenn also z. B. eine gerade Licie 
Tangente oder Wende tan gen te oder Doppeltangente einer Cnrre 
ist, so stehen alle Bilder der geraden Linie in derselben Be- 
ziehung zu den Bildern der Curve. Ebenso wenn ein PunH 
Doppelpunkt, Wendepunkt, Rückkehrpunkt, Berührungspunkt 
einer Doppeltangente u. s. w. ist. 

Unter den Formen <p sind unä nun vor Allem die von 
Wichtigkeit, die bei der ganzen Gruppe ungeändert bleiben, die 
Invarianten, deren es hier, da die Gruppe einfach ist, nur absolute 
giebt (§. 65). Ist (a:,, x 3 , x$) eine solche Form, so soll die 
durch die Gleichung * = dargestellte Curve eine invarianle 
Curve der Gruppe heissen. Es giebt 168 Abbildungen der Eu™ 
auf sich selbst, bei denen alle Punkte der Curve in Punkte der- 
selben Curve übergehen. Liegt irgeud ein Puokt auf dieser 
Curve, so liegen auch alle seine Bildpunkte darauf. 

Im Allgemeinen ist die Zahl der so mit einander verbundenen j 
Punkte der Curve 168, jedenfalls nicht grösser. Ist sie kleiner, 
so müssen die Punkte Pole sein, und die Anzahl der Bildpuukte 
ist ein Theiler von 168 (nämlich 24 für die P„ 21 l'iir die /'., 
28 für die P e , 42 für die P 41 56 für die P a nnd M flb fti 
System zusammengehöriger P } ). Wenn ein Pol von einer d 
Arten auf der Curve liegt, so liegen alle Pole von derselben A 
darauf. 



Die erste Invariante der Gruppe G tsi um 
Grundcurve. 

Um nun die Invarianten unserer Gruppe zu bilden, socb 
wir Formen der drei Variablen ar n a^, z$ auf, die durcl An- 
wendung der drei Substitutionen #, *> ro (§■ 131) ungeistf 
bleiben. Dies genügt, da die ganze Gruppe sich aus diesen drei 
Substitutionen zusammensetzen lässt (§. 88). Nun ist % eint 
cyklische Vertauschung der drei Variablen x it x?, z 3 , und 1 
bedeutet die Substitution 



f. 138. Die Gruodcurve. 519 



(Xn x^ x$ \ 
ex t , £ 2 # a , a*xj 



Wenn also in einer Invariante ein Glied a% #** xfy vorkommt, 
rorin hy, A a , A3 ganze nicht negative Zahlen sind, so verlangt die 
^Veränderlichkeit durch r, dass 

l) h x -f 2A 2 + 4A3 = (mod 7), 

nd die Un Veränderlichkeit durch %, dass neben diesem einen 
rliede noch die zwei entsprechenden 

xtyxfrxfy, xfyx*£xfy 

1 der Function vorkommen, wenn nicht Aj = A, = A, ist Dazu 
ommt noch die Bedingung der Unveränderlichkeit durch 01. Wir 
rollen nun sehen, wie wir diesen Forderungen genügen können, 
nd zwar zunächst so, dass die Ordnung m der Invariante, d. h. 
ie Summe Aj -f- Aj -(- ^ möglichst klein wird. 

Die Bedingung (1) kann offenbar nicht erfüllt sein, wenn 
» < 3 ist. Ist diese Summe = 3, so muss h x = A, = A3 = 1 
ein; aber das Product x 1 x i x s ist offenbar nicht unverändert 
iurch m. Der kleinste Werth, der in Betracht kommt, ist also 
» = 4, und es sind also alle nicht negativen Lösungen von 

K + *2 + h = *» 
A, -f 2Aj -h 4A 3 = (mod 7) 

lufzusuchen. Eliminiren wir A 1? so folgt 

A a -+- 3 A 3 = 3 (mod 7), 

lfid daraus ergeben sich die einzig möglichen Lösungen : 

A 8 = 0, A a = 3, h x = 1, 
A 3 = 1, Aa = 0, A x = 3, 
A 3 = 3, A 2 = 1, A x = 0, 

nd folglich die einzige durch % und x ungeänderte Form 
*■ Grades 

7 / (Xi, X%, X^) = #j #3 -|- # 2 Äj -j- X% X%. 

Dm den Eintiuss der Substitution cd auf die Function / zu 
Öfen, setzen wir 

Si = «yi + ßy% + ?ys 
z* = ßyi + ry* + «ys 



520 Fünfzehnter Abschnitt. §. 198. 

worin die Coefficienten a, ß, y die in §. 131 festgesetzte Be- 
deutung haben, und nehmen an, dass durch (3) die Trans- 
formation 1 
(4) F (jfo y„ y 3 ) = / (*u s», *a) 

geleistet werde. Wir bilden die zweiten Ableitungen von F Dich 
Vu &) Vz m ^ Bücksicht auf (3) und auf die Formeln 

V« /" (*i, *i) = *i *3> Vt /" («t. **) = ** *n Ve /" (*ti*s) = ** 
V 3 /" (*., *.) = */i Vs /" (*3, *i) = *l Vs f" (*i,*i) = 4 

Daraus ergiebt sich: 

Vs-F" (l/aiys) = 2^x 3 ßy + aa^^ay + 2z i x % aß 

+ xi{ßy + « a ) + *i'(*r + 8 ) + **(«/> ir 1 )- 

Da nun die Auflösungen des Systems (3) von derselben Form 
sind (y x = ax x -f- ß x t + y^3? • • •)> so erhält man hieraus: 

*/ € F' (y 1 ,y l )—yiy s = 
XiXzi* 2 — a/3 — y 2 ) + *,*! (ß* — ßy — a*) + x 9 x 3 (y'— /J*-«r), 

Vi ^ <*»*)-** = 

«2 (0t + ay - y») + x 2 2 (y* + aß - a 2 ) + * 3 '(a» + 0y - fr 

Die Coefficienten auf der rechten Seite dieser GleichuDgen, 
(a 2 — aß — y 2 ), . . ., ergeben sich aber aus den Werthen ton 
«i A 7 [§• 131, (11)] als verschwindend, und wir erhalten also, 
wenn wir noch eine cy kusche Vertauschung der #, die eine 
cyklische Vertauschung der y zur Folge hat, anwenden: 

Ve F" (y x , y l ) = y l y z , Ve F" (y 2 , y 2 ) = y 2 y x , Ve F" (y 3 , y,) = » fr 

V 3 *"' (y a , ys) = y 3 2 > Vs F» (y., *) = yi 2 , Vi *"' <*i *) = # 

Demnach ergiebt sich nach dem Euler'schen Satze [Bd. I 
§. 19, (6)]: 

f (jfir yn ys) = y'ys + vivi + ys 3 y«> 

und damit ist nachgewiesen , dass die Function / (x^ £,, Sj) fc 
der That eine Invariante unserer Gruppe 6r ]66 ist. Es ist, ab- 
gesehen von einem willkürlich beizufügenden constanten Factor, 
die einzige Invariante 4 ter Ordnung. 

Die Gleichung 
(5) / (x u Xt, x z ) = . 



138. Die Grundcurve. 521 

deutet, wenn x x , x % , x z Goordinaten in der Ebene sind, eine 
arve vierter Ordnung, die wir die Grundcurve der Gruppe 
ler die Gurve / nennen wollen, und es giebt 168 Abbildungen 
ix Ebene auf sieb selbst, bei denen jedem Punkte dieser Gurve 
n Punkt der Gurve entspricht. 

Die gerade Linie ^ = schneidet die Curve in drei zu- 
immenfallenden Punkten bei x z = und in einem vierten davon 
streunten Punkte bei x 2 = 0. Die Eckpunkte des Goordinaten- 
reiecks sind also Wendepunkte der Gurve, und die Seiten 
nd die Wendetangenten. Bezeichnen wir die Seiten des Goordi- 
atendreiecks mit 1, 2, 3, und die gegenüberliegenden Ecken 
urch dieselben Ziffern, so ist die Seite 1 Wendetangente im 
'unkte 2, die Seite 2 Wendetangente im Punkte 3 und die Seite 3 
Vendetangente im Punkte 1. 

Wir untersuchen nun die Lage der Pole und Axen in Bezug 
,uf die Grundcurve. Da die Eckpunkte des Coordinatendreiecks 
ii den siebenzähligen Polen gehören, so schliessen wir zunächst, 
lass alle siebenzähligen Pole P 7 auf der Grundcurve 
iegen. Es sind, wie die Eckpunkte selbst, alles Wendepunkte 
ler Gurve, und diese ordnen sich in acht Wendepunktsdreiecke. 

Die dreizähligen Pole P 3 liegen gleichfalls auf der 
irundeurve; denn setzt man 

X a = QX l , Xs = Q*Xi, 

der 

Xi = Q 2 Xi, X s — QX t , 

forin q eine cubische Einheitswurzel ist, so reducirt sich 

f (*i, 3* x s) auf 

1 + q + q* = 0. 

Um die Schnittpunkte ihrer Verbindungslinie 

T = X l + X 2 + X Z = 

mit der Grundcurve zu finden, setzt man x z = — x x — # 2 , wo- 
durch / (x u x % , x 3 ) = in 

l i(«l+^)-^^l+(3 ; l+ a; 2) 8;r 2 = ( X l + X l X 2 + X D 2 = 

SWgeht Da die linke Seite ein Quadrat ist, so fallen die vier 
Schnittpunkte zweimal zu zweien zusammen, und es folgt, dass 
<& Linie T eine Doppeltangente der Grundcurve ist. 

Die 28 Linien T sind Doppeltangenten der Grund- 
eurye; ihre Berührungspunkte sind die 56 Pole P 3 . 



5Ü2 



Fünfzehn 



r Absi 



Hieraus folgt beiläufig, daas die Punkte P- nicht auf den 
Linien T liegen, da eine Doppeltangcnte ausser den Berührung- 
punkten keinen weiteren Schnittpunkt mit der Curve haben kann. 

Die sechs- und achtzähligen Pole liegen nicht auf 
der Grundcurve. 

Für die Punkte P t ist dies unmittelbar einzusehen, wenn 
man [nach §. 135, (1)] x L = x t = x% = 1 setzt, wodarcii 
/ (x t , x t , x 3 ) = 3 wird, also nicht verschwindet. Um dasselbe 
für die P s nachzuweisen, setzt man nach §. 134 (10): 

?, =«^£ 4 , x t = ßye, x 3 = txßt a , 
wodurch, da aßy = $ ist [§. 131, (14)], 

/ (■,, m» x 3 ) = i («V -f ßW + y*ß*) 
wird. Setzt man darin [nach §. 131, (8)]: 

a* = ußy — «', ß* = aßy — ß% y* = aßy — y* 
so erhält man 

(6) /(X^Xt.X,) = lußffr + p+rt—tfjfifi : 

Aus §. 181, (6), (7) aber folgt 

« a + ß* + >" = 1- 

«V + p*'* a + y*ß 3 = — 2«ßy (« + ß 4- r) = 

und daher ist 

/<*,,*,,*,) = -£ 

von Null verschieden. 

Die sämmtlichen Schnittpunkte der 21 Hauptaxei 
einander sind die Pole P„ und P g , und folglich schneiden i 
niemals zwei Hauptaxen auf der Grundcurve. Die Schnittpui 
der Hauptaxen mit der Grundcurve können also nur viera 
oder zweizeilige Pole sein. Um darüber zu entscheiden, 
wir folgende Erwägung an. Wenn unter den Schnittpunkten & 
Hauptaxe A mit der Grundcurve ein P^ vorkommt, so sind » 
vier Schnittpunkte von einander verschieden und sind 
zählige Pole. Wenn aber ein P 4 auf A und / liegt, so 1 
auch der zweite auf A liegende P, auf /, und es kann keil 
anderen Schnittpunkt von A auf / geben, weil ein solcher t 
P s wäre und vier weitere P 3 zur Folge hätte. Die vier Schnil 
punkte von A und / müssen also paarweise zusammenfallen uri 
A ist eine Doppeltangente. Nun haben wir aber gesehen, dtf 



$. 139. Die höheren Invarianten. 523 

fie 28 Linien T Doppeltangenten sind, und eine Curve vierter 
Ordnung kann nicht mehr als 28 Doppeltangenten haben. Daher 
ist die Annahme unzulässig, und es folgt, dass die Schnittpunkte 
der Grundcurve mit den Hauptaxen zweizählige Pole sind. 

Bezeichnen wir also die besonderen zweizähligen Pole, die 
auf der Curve / liegen, mit P 2 , so haben wir folgende aus- 
gezeichnete Punktsysteme: 

24 P 7 , 56 P 8 , 84 P, auf der Curve /, 

21 P 8 , 42 P 4 , 28" P 6 nicht auf der Curve /. 

Alle anderen Punkte der Curve / gehen durch die Sub- 
stitutionen der Gruppe in 168 verschiedene Punkte über. 

Daraus geht noch unmittelbar hervor, dass die Curve / 
keinen Doppelpunkt haben und also um so weniger in Curven 
niedrigeren Grades zerfallen kann. Denn angenommen, sie hätte 
einen Doppelpunkt, so müssten auch alle seine Bildpunkte 
Doppelpunkte sein, und weil eine Curve vierter Ordnung, auch 
wenn sie zerfällt, nicht mehr als sechs Doppelpunkte haben 
kann, wenn sie nicht unendlich viele Doppelpunkte, d. h. doppelt 
gezahlte Curv entheile hat, so müsste / das Quadrat einer qua- 
dratischen Form sein. Die Wurzel aus / müsste dann auch 
eine Invariante sein, während es doch keine quadratischen 
Inyarianten giebt. 

Man kann übrigens auch leicht direct zeigen, dass die 
Grundcurve keinen Doppelpunkt hat; denn die Bedingungen für 
einen Doppelpunkt sind: 

f(x 1 ) = Sz*xi +x* = 0, 

f (x,) = Sx^x, +# 3 3 = 0, 

/'(*,) = 3*»:* + *»==<>, 

Und diese Gleichungen können nicht anders erfüllt sein, als 

■renn Xj, # a , x s verschwinden. 

Der Kürze wegen wollen wir ein System von Punkten, deren 
[•der in jeden anderen durch Substitutionen der Gruppe trans- 
fermirbar ist, ein System verbundener Punkte nennen. 

§. 139. 
Die höheren Invarianten. 

Weitere Invarianten unserer Gruppe lassen sich nach dem 
btfze 4., §. 55 ableiten, indem wir Covarianten der Form / 
Wen. Wir fassen die in §. 104 allgemein besprochenen 



524 



Fünfzehn 



r Abschnitt. 







(3) 



Covarianten ins Auge, und bilden zunächst die Hesse's 
Covariante 

. ! /"(*!, *i), /"(*!.**). /"(*i.*) 

j f (r„ *,), /" (*„ x t ), /" (*„ x s ) 
die entwickelt die Form erhält 
(2) J = bxfxjx} — XxXf — x t x} 

Auf der Curve d liegen also die Ecken des Coordinateu- 
dreiecks, und folglich liegen alle siebenzähligeu Pole P-, auf J 
und bilden das vollständige System der Schnittpunkte von / 
und J. 

Eine weitere Covariante, und zwar vom 14 tr " Grade, erhalt« 
wir aus §. 104, (3), nämlich die Determinante: 

I /*(*.,*.). /"(*.,*.). f"(^r.,. jfa) 

1 1 /-(%. *■> /"(** ^). /"(*» *>, j'(*») 

9 /"(fl^J!,), f'^.x^ f'(x„x :l ), J'(x t ) 

| ^'fo), J'fa), J'(^), 

Die Determinante C lägst sich aus (3), wenn auch < 
weitläufig, berechnen, und erhält den Ausdruck: 

(4) C = Ex\* — 'dix 1 x i x 3 £x\°x 3 — 260*i i,i, — ' . ■' 

+ 87fi *£«£*," 2x*x* -\- 18 Ex**} 
— ISßxfxjx} Zs\z}, 

worin das Zeichen Z, bedeutet, dass die Summe der drei Gli« 
genommen werden soll, die man aus dem ersten erhält, 
man #,, *,, x % cyklisch vertauscht. Es genügt schon die 1 
nung des ersten Gliedes x\', um zu erkennen, dass die 1 
C= nicht durch die Ecken des Coordinatendreiecks g*b 

Eine vierte Invariante, und zwar vom 21"*° Grade, i 
wir mich §. 104, (4), wenn wir die Functionaldeterminante i 
drei Formen /, ^/, C bilden j 

/'(*,), SM C'M 

(5) *=Ti /'(*■>' -*>')• C '<'' ' 

| />,), ^(1,), C'(*,) | 

die gleichfalls hieraus berechnet werden kann. Wir 
hier nur die drei ersten Glieder an , aus denen man i 



§. 140. Das volle Invariantensystem. 525 

dass auch diese Gurre nicht durch die Ecken des Coordinaten- 
dreiecks geht: 

(6) K= af + a» + zf -j *)• 

§. 140. 
Das volle Invariantensystem. 

Wir können nun nachweisen, dass die Formen /, z/, 6 T , K 
«in volles Invariantensystem der Gruppe sind, d. h. dass alle 
Invarianten der Gruppe als ganze rationale Functionen von diesen 
vier dargestellt werden können. Wir stützen uns dabei auf das 
Theorem von Bezout (Bd. I, §. 55), dass zwei Gurven von der 
«•*■ und n** 1 Ordnung, die mehr als mn Punkte gemeinsam 
laben, einen gemeinsamen Gurventheil haben müssen. Berührungs- 
punkte sind dabei als doppelt oder mehrfach zu zählen. Alle 
Schnittpunkte zweier Invariantencurven bilden entweder ein ver- 
bundenes System, oder sie zerfallen in Systeme verbundener 
Punkte, und alle Punkte eines solchen Systemes sind gleich oft 
sa zahlen. 

Es sei O eine Invariante t» ter Ordnung, die die Function / 
nicht als Factor enthält, und unter den Schnittpunkten der 
Cnrve <b und / mögen ^mal die Pole P 7 , A^mal die Pole P s , 
Aiinal die Pole P 2 vorkommen. Ausserdem sollen noch Ä 4 Systeme 
*on je 168 verbundenen Punkten vorkommen, von denen auch 
(bei Berührung) mehrere Systeme in ein mehrfach gezähltes 
Ä8ammenfallen können. Dann ist die Anzahl aller Schnittpunkte 
kider Curven 

4m = 24 Ä x + 56Ä a -f 84 A 3 + 168 A 4 , 
tond daher 
P) w= 6/h -|- 14Ä, -f 21*3 -f 42Ä 4 , 

toorin Äj, A,, ä 3 , h A nicht negative ganze Zahlen bedeuten, die 
•och nicht alle verschwinden können. Der kleinste Werth, den 
ti haben kann, ist daher 6, und eine Invariantencurve sechster 
Ordnung muss durch die 24 Punkte P 7 gehen, wie wir es von 



] ) Die vollständig ausgerechneten Ausdrücke finden sich in der 
Abhandlung von Gordan: „Uel>er die typische Darstellung der temären 
kfuadratischen Form . / = x£ x t + x£ tf 3 + x a xf [Mathem. Aunalen, 
|L XVII, S. 366 (1880)]. Auch in Klein- Fricke, Modulfunctionen, 
IL I, S. 734. 







526 Fünfzehnter Abacbnitt. 

d schon nachgewiesen haben. Ist d' eine zweite Invariante 
6'" Ordnung, die also auch durch die Punkte P r gehen 
muss, so können wir in d" — ad die Constante a so bestimmen, 
dass die Invarianten curve d' — ad = durch irgend einen 
'25"""' Punkt von / geht. Dann muss aber, wenn d" — ad nicht 
identisch verschwindet, nach dem Uezout'schen Theorem d' — u 
durch / theilbar sein. Der Quotient wäre eine Invariante zweit« 
Orlnung, die nicht existirt, folglich muss d' — ad identisch 
Null sein. 

Ist ft[ = 2, h, = hg = Ä« = 0, so ist m = 12. Eins 
In Varianten curve 12'" Ordnung muss die Curre / in den 
24 Punkten P- berühren, und wenn wir in <P — ad'' die Con- 
stante a passend bestimmen, so ergiebt sich, dass diese Function 
durch / theilbar sein muss. Der Quotient kann als Invariant« 
8"** Ordnung nur von der Form bf- sein, und demnach ist 
von der Form ad* -f- bf 3 . Ebenso können wir schliessen, das 
eine Invariante 18*" Ordnung die Form ad i -\-b df 3 haben mu>i, 

Alle Invarianten 6 1 ", 12 Mr , 18"' Ordnung sind 
also rationale Functionen von d und /. 

Der nächste Werth, den m nach (1) haben kann, ist m = 14 
In diesem Falle ist h 2 = 1, während h^, ft a , ä 4 gleich Null 
Es gehen also alle Invariantencurven 14 1 " Ordnung durch ( 
56 Punkte P s , und diese bilden das vollständige Schnittpunkts j 
einer solchen Invariantencurve mit der Gmndcurve. Dies gilt a 
von der Invariante C. Haben wir eine zweite Invariante '. 
Ordnung 6", so können wir wieder, wie oben, die Consta 
so bestimmen, dass C — aC durch/ theilbar ist. Der Qnot 
ist eine Invariante 10'" Ordnung, und daraus folgt, da ( 
fd keine Invariante 10 to ' Ordnung giebt: 

Jede Invariante 14'« Ordnung ist in der I 
darstellbar: 

a C 4- bf'd, 
worin a, b Constanten sind. Umgekehrt ist jet 
Ausdruck von dieser Form eine Inv 
Ordnung. 

Es kann sodann m nach (1) den Werth 20 haben, uiiml" 
für Ä 1 = A a :=l. Eine Invariante 20"'" Ordnung muss also duroVl 
die Punkte P, und P ä gehen , d. h. durch die 80 Schnittpunkt« 1 






§ 



140. Das volle Invariantengystem. 527 



cm Ton/ mit 4G. Daraus können wir ebenso wie vorhin schliessen, 
«ftUss eine Invariante 20 Bter Ordnung in der Form 

/(a^a + 6/3)-f cGJ 

(darstellbar ist, worin a, 6, c beliebige Constanten sind. Eine 
^unabhängige Invariante 20 8t6r Ordnung giebt es nicht 

Nehmen wir nun an, es seien K 1 und K zwei Invarianten 
1*1» Ordnung; beide müssen nach (1) durch die 84 Punkte P 2 
eo, und folglich kann man a so bestimmen, dass K' — aK durch 
theilbar wird. Der Quotient wäre eine Invariante 17** Ord- 
nung, die nicht existirt, und folglich ist K' mit aK identisch. 

Es giebt also, von einem constanten Factor 
abgesehen, nur eine Invariante 21 8ter Ordnung. 
Nun ist aber das System der 21 Hauptaxen auch eine 
Invariante 21 Bter Ordnung, und daraus ist zu schliessen: 

Die Invariante K zerfällt in 21 lineare Fac- 
toren, die, gleich Null gesetzt, die Hauptaxen 
der Gruppe darstellen. 
Wir können sodann eine Invariante 42 ,ter Ordnung bilden, 
nämlich: 

worin Je eine beliebige Gonstante ist, und diese Gonstante lässt 
flieh so bestimmen, dass die Curve Q durch einen beliebig 
gegebenen Punkt auf / geht, und sie muss dann auch durch alle 
mit diesem verbundenen Punkte hindurchgehen. Also können 
t mir Jfc in Q so bestimmen, dass die Curve Q aus der Curve / ein 
£ Vdiebig gegebenes System verbundener Punkte ausschneidet. 

Ist nun O eine beliebige, durch / nicht theilbare Invariante, 
Äj, A„ ^ mal durch die Pole P 7 , P 8 , P 2 geht und ausserdem 
durch beliebige Systeme /S 2 , S a , . . . verbundener Punkte auf/, 
flie auch theilweise zusammenfallen können, so bilden wir zu- 
nächst nach (2) die Formen Q x , Q?, . . ., die in den Systemen 
ßi, fi*, . . . verschwinden, und dann die Form 

W = O — a^i C^K^ QiQi ... 
Ergeben. 

Die Curve V geht für jeden Werth der Constanten a durch 
fÜe 8ämmtlichen Schnittpunkte von mit /, und wenn wir also 
* so bestimmen, dass W durch irgend einen davon verschiedenen 
inkt von / geht, so ist V durch / theilbar, also 

O = aJ h i C^K^ Q 1 Q 2 1- f0 x . 



528 



Fünfzehnter Abschnitt. 



Darin ist nun O t wieder eine Invariante, aber tob i 
drigerer Ordnung als 0, und durch vollständige IndnctioD m 
hiermit der Satz bewiesen: 

Jede Invariante der Gruppe lässt sich i 
ganze rationale Function der vier fundamei 
talen Invarianten /, d, C, K darstellen. 
Bestimmt man in (2) die Constante k so, dass die Cur 
durch einen der Pole P a gebt, so kann sie durch keinen i 
mit P a verbundenen Punkt der Curve / gehen; denn : 
nicht durch die Punkte P-, P 3 gehen, weil in diesen entweder 
oder C verschwindet, ßie kann aber auch nicht durch t 
Punkt der Grundcurve gehen, der kein Pol ist, 
durch die 168 verbundenen Punkte gehen müsste und i 
durch den Pol P, gehen konnte. Dann kann man aber die C 
staute /» so bestimmen, dass K 2 — hQ durch / theilhar i 

Der Quotient ist eine Invariante von niedrigerer als \ 
42" En , jedenfalls aber von gerader Ordnung, und wenn wir ihn 
also durch die fundamentalen Invarinuten darstellen, * 
darin K nicht vorkommen. Daraus folgt: 

Die Invariante K 1 kann rational durch /. - 
ausgedrückt werden. 
Stellen wir nach diesem Satze K* in der Form dar: 

(3) K* = Zaf4*>C">, 
so können in dieser Summe, in der die a numerische 1 
sind, nur solche Glieder vorkommen, in denen 

2*4-8», + 7*, = 21, 
und indem wir nun abzählen, welche Werthe von v, tv 
kommen können, erhalten wir das Resultat, dass zwischen d« I 
Formen 

R\ J\ C\ f4*C, f*4C\ f*4\ 
f*4*C, f*4* t pC, pA 
eine lineare Relation mit numerischen Goefficienten besteht. 
Stellen wir diese Relation in der Form dar: 

(4) K* = *J+ VC, 

worin 0, W gleichfalls Invarianten sind, so können wir darum 
noch einen geometrischen Schluss ziehen. 

Die Curven d und C schneiden sich sicher nicht auf der 
Curve /, weil die sämmtlicheu Schnittpunkte von d mit f die P., 







140. Das volle Invariantensystem. 529 

ie von C mit / die P 8 sind. Wenn aber J und C gleich 
nd, so ist auch 2T=0, und folglich liegen alle Schnitt- 
linkte von J und C auf den 21 Hauptaxen der Gruppe 1 ). 
Die Relation (3) lässt sich benutzen, um aus einem Aus- 
rucke in den Invarianten alle Potenzen von K, mit Ausnahme 
er ersten, zu eliminiren, und daraus ergiebt sich noch: 

Eine Invariante geraden Grades lässt sich 
rational durch /, z/, C, eine Invariante un- 
geraden Grades als Product von K mit einer 
Invariante geraden Grades darstellen. 



x ) Die Relation (3) ist von Gordan durch die Methoden der Invarianten- 
leorie vollständig berechnet (Mathem. Annalen, Bd. XVII, S. 371). 

Wir wollen die dort gegebene Formel in den von uns gebrauchten 
ichen hier angeben: 

K» = C* — 88/ 2 ^C* + 16 . 63/^0+ 17 . 64 /« 4*C — 256 f C 
+ 27 . GiJ 7 — 128 . 469 f* 4* + 43 . 612/«^ — 2048 / 9 z/. 



eber, Algebra. II. ^4 



Sechzehnter Abschnitt. 

Das Formenproblem der Gruppe 6r 168 und die Theo: 
der Gleichungen siebenten Grades. 



Die Resolventen des Formenproblems. 

Das Formenproblem für die Gruppe 6r 168 (§. 58) liefert 1 
der allgemeinen Theorie zunächst eine Gleichung löS"** 1 Gn 
deren Coefficienten Invarianten sind. Jeder Theiler der Gn 
fuhrt aber zu einer Resolvente niedrigeren Grades, und : 
vom Grade des Index des Theilers. 

Wir wollen hier nur die beiden interessantesten Fälle so! 
Theiler, nämlich die Octaedergruppe 

(1) G u = % x <o"0* 
und die Gruppe 21 8ten Grades 

(2) <*n=«Tt (§• 88) 

betrachten, die uns zu Resolventen 7 ten und 8*** Grades fül 
Was zunächst die Resolventen 7 ten Grades anlangt, so köi 
wir bei ihrer Bildung von den Hauptaxen der Gruppe ausge 
Eine Hauptaxe nämlich bleibt durch die Gruppe m u & u: 
ändert, und geht durch die ganze Gruppe G u in drei 
schiedene Linien über. Es muss also sieben Tripel von Ha 
axen geben, die durch eine Gleichung 7*** Grades bestii 
werden. 

Setzen wir nach §. 134, (7): 

A x = ayx v -|- yßa i x 2 -f" uß&x* 

(3) A 2 = ßye' i x 1 -j- a/3f 2 # a + a 7 x % 

A 3 = aße^Xi -j- a<yx t -f ß?^ x ^ 



141. Die Re8olventen des Formenproblems. 531 

> sind Ai = 0, A* = 0, A s = die Gleichungen von dreien 
ieser Axen. Durch die Substitution % gehen A u A % , A z cyklisch 
\ einander über. Durch die Substitutionen & erleiden die Func- 
ionen A x , A % , A s folgende Vertauschung: 

'Ax, -A 8 , A{ 



(Au -Aj, A z \ 
An — A^ A^f 



rie eine einfache Rechnung zeigt, wenn man die Substitution 
»irklich ausfuhrt und die Formeln des §. 131 benutzt. 

Um den Gang der Rechnung wenigstens anzudeuten, sei 
bemerkt^ dass A x durch die Substitution ® [§. 131, (10)] in 

a (y*«2 _|_ ßy 6 t _|_ ß2 B b) Xl + y (a 2 £ 6 -f /J a -f- aße*) x 2 

+ ß («y + y a * + aa * 8 ) ^s 

ibei^eht Es ist aber nach §. 131, (8), (17), (11): 

y*6* -{- ßye* -f- /J*£* = y 2 £ 2 _|_ a 2 £ a _j_ 02 6 s + aa s 

= a (** + 6-*) = Ä (a — e- 1 ) = y, 

md daher wird der Coefficient von x x gleich ay, wie in ^ und 
benso formt man die übrigen Ausdrücke um. Da sich nun cd 
as 8 und % zusammensetzen lässt (§. 88), so! folgt, dass die 
rossen A x \ A%, A£ durch die Gruppe 6r 24 nur unter einander 
mnutirt werden, und dass demnach ihre symmetrischen Func- 
onen Wurzeln von Resolventen 7 ten Grades sind. 

Die einfachste symmetrische Function dieser Grössen ist die 
imme 

r ) A\ 4" -^2 "t" -^3> 

ad diese wollen wir, mit einem geeigneten numerischen Factor 
ultiplicirt, als die Unbekannte der Resolvente einführen. 

Ordnen wir die Summe (4) nach a? 2 , # 8 , # 3 , so erhalten wir 
ifur einen Ausdruck von der Form 

X (xf + xl -f xl) + (i (x 2 x s -f x 3 x 1 -f x 1 x i ), 

orin nach (3): 

X = («2ya£-l -f /32y2 £ -2 _|_ a 2 02 £ 3) £ 

p = 2a/3y (aa -f 0£- 8 -f y£ 2 ) £. 

Hierbei ist der Factor 6 aus der Klammer gezogen, damit 
r andere Factor durch die Vertauschung von g u nd e 2 unge- 
fert bleibt, und sich daher rational durch V — 7 ausdrücken 
jt (Bd. I, §. 179). 

34* 



532 Sechzehnter Abschnitt §. 141 

Nach den Formeln §. 131, (14) ergiebt sich zunächst sehr 

einfach : 

2« 

* = T' 

und für X erhält man, wenn man die Werthe §. 131, (11) für 

a, 0, y einsetzt, und die Formeln §. 131, (12), (13) benutzt: 

( 5) * — «i±^ 

ü — _ x — V-i 

\~ 2 

Setzt man daher 

AI -\-A*+Aj = U, 
so ergiebt sich 

1_1/ZT7 

(6) z = xl-\-xl + xl ^ (*!«! + a%«i+*i*> 

und diese Function wollen wir als Wurzel der Resolvente 
7t«n Grades einführen. Die übrigen Wurzeln erhält man dar«» 
durch die Substitutionen r r , so dass sie alle in der gemeinschaft- 
lichen Form 

(7) z r = e* r x* + a 4r * 2 2 + e r x* 

1— V^~7 

r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 
enthalten sind. 

Die Coefficienten der Gleichung 7* 611 Grades, deren Wurzel* 
die sieben Grössen z r sind, sind Invarianten unserer Gruppe, 
deren Grad sich leicht angeben lässt. 

Wenn nämlich a v der Coefficient von z 7 ~ 9 in dieser Gleichung 
ist, nachdem der Coefficient der siebenten Potenz auf 1 gebracht 
ist, so ist a v eine Invariante 2v ten Grades. Es muss also zu- 
nächst a x = sein, weil es keine quadratische Invariante giebt. 
Die übrigen Coefficienten sind durch folgende Invariantenver- 
bindungen linear und homogen ausgedrückt: 

a 3 durch /, 

«3 » A 

(8 ) «4 * f\ 

«7 „ C, Zf/* 



§.141. Die Resolventen des Formenproblems. 533 

und es sind also acht numerische Coefficienten zu berechnen, die 
sich durch Vergleichung einiger Glieder in den Ausdrücken der 
o, durch die Wurzeln einerseits, durch die Invarianten (§. 139) 
a ndere rseits finden lassen, und die ausser rationalen Zahlen nur 
V— 7 enthalten können. 

Wir wollen diese Coefficienten zunächst nur unter der Vor- 
aussetzung berechnen, dass / = ist J ). 

Man braucht dann nur die ersten Glieder (mit x^x^ x™x$) 
in den Potenznummern 27 z% und Z z% zu berechnen und die 
Newton'schen Formeln anzuwenden. Der letzte Coefficient 
ergiebt sich aus dem einen Gliede x] A in dem Producte der z r . 
Man findet zunächst 



1— V^l 
E z* = — 3 • 7 • - ^ x\x 2 . . 



10 /y 2 
U/n 



. • • 



£ z« = [6 . 7 + 15 . 7 (-— ^- --)'] *\ 
und daraus die gesuchte Resolvente 

(9) e i - 7 • l ~]~^ Jz* — 7 • -i-^- 7 J**—C = 0. 

Will man diese Gleichung auf eine andere zurückführen, die 
nur von den Verhältnissen der a^, # 2 , x 3 abhängt, so setzt man 

wodurch man aus (9) eine Gleichung erhält, in der nur noch der 
eme Parameter g vorkommt, nämlich 



(11) u* — 7 * 1 1 gu* - 7 5 -+^-IV w _ g 2 = o. 

Macht man dieselbe Substitution in der allgemeinen Resol- 
?ente f in der / nicht = gesetzt ist, so hat man doch einen 
weiteren Parameter 

(12) * = ^ 

anzuführen, und die Coefficienten der Resolvente werden, von 



') Dieser Fall ist darum von besonderem Interesse, weil er, ähnlich 
ie die Ikosaedergleichung , auf die Transformationsgleichungen aus der 
beorie der elliptischen Functionen führt. 



534 



Sechzehnt. 



Abschnitt. 



Dumerisclien Factoren abgesehen, wie sich aus (8) leicht ergieht 
der Iieihe nach 

h, g, h\ hg, (g*, h"), (g', k»g), 
worin (</*, Ä'), (<;', ~h 3 g) lineare homogene Ausdrücke mit numeri- 
schen Coi'fticienten bedeuten. 

Die ltechnung kann ebenso ausgeführt werden, wie in dem 
obigen speciellen Falle. Zur Vereinfachung kann man #,=» 
setzen und erhält immer noch Gleichungen genug zur Bestim- 
mung aller Coefticienten. Man findet so die Co^fncienUii fa 
Reihe nach : 



-7(4 + V ; 

u(a+V- 

_7 5 +V r 



7) ;.', 



-«' + - 



-i\/~- 



'»*'. 



Die Functionen #, h sind gebrochene Invarianten, die 11 

von den Verhältnissen Xi:x 3 :x 3 abhangen, und wir können ]e 
andere Invariante von derselben Eigenschaft rational dur 
g, h ausdrücken. Denn stellen wir eine solche Invariante 1 
Quotienten zweier Formen gleichen Grades ohne gemeinsam 
Theiler dar, so müssen Zähler und Neuner ganze Invariant 
gleichen Grades sein, weil nämlich zwei in einfachster Fol 
dargestellte gebrochene Functionen der Variablen x nur Ja 
einander gleich sein können, wenn Zähler und Nennst eiuz'- 
bis auf constante Factoren einander gleich sind. Hier könn 
nuu Zähler und Nenner nicht von ungeradem Grade sein, » 
sie sonst den gemeinsamen Factor K hätten (§. 140). Also s« 
Zähler und Nenner rational duroh /, C, d darstellbar; und wenn 
ein im Zähler oder im Nenner vorkommendes Glied 
(13) 
und 



1 der Grad von Zähler und N 



(14) 



4a - 



ist, so ist 
-j- 14 c = m. 



IV. II u 



.142. Resolventen 7*n Grades. 535 

Setzen wir nun in (13) 

o ergiebt sich für den Ausdruck (13) mit Benutzung von (14) 

9 h C»g », 



m m 



ind im Zähler und Nenner lässt sich der Factor C u g 7 heben, 
o dass alles rational durch g und h ausgedrückt ist. 

Ebenso wie g, h hängt auch die Function u nur von dem 
ferhältniss der Variablen x 1 :x 2 :x z ab, und es folgt leicht, dass 
ede andere Function von derselben Eigenschaft, die wie u die 
iubstitutionen der Gruppe G u gestattet, rational durch w, g, h 
larstellbar ist. Denn eine solche Function lässt sich zunächst 
>ach den allgemeinen Sätzen des §. 58 als rationale Function 
on u und den Invarianten darstellen, und zwar nur auf eine 
feise als ganze Function von w, die den 6*®° Grad nicht über- 
keigt Die Coefficienten in dieser Darstellung sind Invarianten, 
nd da u nur von den Verhältnissen abhängt, so können auch 
ie Coefficienten nur von den Verhältnissen abhängen, und sind 
aher rational durch 9, h darstellbar. 

§. 142. 

eduction der allgemeinen Resolvente siebenten Grades 

auf die specielle. 

Wir haben im vorigen Paragraphen zwei Formen der Resol- 
mte 7**° Grades des Formenproblems kennen gelernt, von 
*nen die eine, die specielle, für den Fall gilt, dass / = ist, 
h. für den Fall, dass der gesuchte Punkt auf der Grund- 
mre liegt, die allgemeine für den Fall, dass er eine beliebige 
ige hat 

Die Grössen w, g, h wollen wir, wenn sie sich auf den 
inkt (x) beziehen, mit 

Ux — "TT ' g * ~ ~C* ' — "C 5 " 

;eichnen. Die allgemeine Resolvente soll dann mit 

R (wx, g x , K) = Rx = 
eichnet werden, und die specielle geht daraus hervor, wenn 



r 



536 Sechzehnler Abschnitt. 

man h x i= setzt Die Grossen u r , g It h x hängen nur von <l«i 
Variablen x x , x t , x 3 ab. 

Nun lässt sich, wie Klein, a. a. 0. 1 ) bemerkt hat, die Losan 
der allgemeinen Resolvente auf die der speciellen zuriiekfrilira. 
wenn man die Wurzel einer biquadratischen Gleichnj 
adjungirt. 

Um dies nachzuweisen, führen wir neben dem ! 
einen zweiten Punkt (y) ein und bildes die Polare von /: 

(a) /ite y) = vxffa) + a/M + v*f<jh\ 

Wenn wir dann (x) und (y) gleichzeitig derselben Substitu- 
tion der Gruppe G 16 , unterwerfen, so bleibt nicht nur/ fr) tat 
f (y), sondern auch /, (#, y) ungeändert (Bd. I, §. 66). Wir 
nehmen nun den Punkt (.r) beliebig an, verlangen tbt 
Punkte (y), dass er gleichzeitig auf der Grundcurve und auf 
Polaren des Punktes (x) liegen soll, dass also gleichzeitig 
OU / (fa ft, fc) = 0, /, (x, y) = 

sein soll. Dann entsprechen jedem Punkte x vier Punkte y, nfl 
wenn wir für (x) einen mit ihm verbundenen Punkt setzen, so 
geht jeder dieser vier Punkte (y) gleichfalls in einen nrbmufctfl 
Punkt über. Die Function h v ist jetzt = und g ¥ ist eine vi •- 
werthige Function des Punktes (x). Symmetrische Function« 
dieser vier Werthe bleiben ungeändert durch die Substitution« 
von 6r, g8 , und folglich ist g v Wurzel einer biquadralisctei 
Gleichung, deren Coefficienten ratioual von des p ■ ■■■ 
abhängen. Die Wurzel dieser bi quadratischen Gleii 
adjungirt werden. 

Die Function n 9 ist Wurzel der speciellen Resolvente 

(5) -ß («« 9* 0)=B S = 0. 

Wir bezeichnen nun die vier zu demselben x gehSrigi 
y mit y, y', y" 7 y'" und bilden die symmetrische Function dieser 
vier Punkte 

(6) (( - »,) (t - iv) (< - «,.) (1 - »,.•) = * 1 
für ein unbestimmtes t. Diese Function bleibt äug 
allen Substitutionen der Gruppe G M , und ist also r&ti 
<•»! !7n hr ausdrückbar. 

') Mathematische Annalen. Bd. XV, S. 260. 



|.148. Permutationsgruppe 168sten Grades. 537 

Da, wenn wir uns die Bestimmung von x vorbehalten, die 
Gleichung (3) jede beliebige gerade Linie darstellen kann, so 
können wir x so annehmen, dass unter den vier Punkten 
f, y, y", y'" keine zwei verbundenen Punkte vorkommen. Setzen 
wir dann Uy für die unbestimmte Grösse t in (6), so erhalten 
wir eine rationale Gleichung 

(7) W (u y , u x , g, h) = 0, 

und diese Gleichung ist nicht mehr befriedigt, wenn wir für (x) 
und (y) eine Substitution aus 6r 168 machen, durch die u x geändert 
und folglich u y in einen von u y , %, «V'> «V" verschiedenen Werth 
übergeführt wird. 

Die Gleichung (7) hat also, als Gleichung für u x betrachtet, 
nur eine Wurzel mit der allgemeinen Resolvente R x gemein, und 
wenn man den grössten gemeinschaftlichen Theiler von R und 
*P aufsucht, so erhält man u x rational durch u y , g, h ausgedrückt. 
Damit ist die allgemeine Resolvente auf die specielle zurück- 
geführt 



Die Gruppe 6r 1H8 enthält noch einen Theiler 21 8ten Grades 
6ai) der durch die Substitutionen %, x erzeugt wird, und der zu 
einer Resolvente 8 ten Grades Anlass giebt. Als Wurzel dieser 
Resolvente kann man einfach das Product x t x 2 x 3 betrachten. 
Die Coefficienten dieser Resolvente sind Invarianten, die bis zum 
24«t«n Grade ansteigen. Wir wollen hier auf diese Resolvente 
nicht näher eingehen. 

§. 143. 

Permutationsgruppe von sieben Ziffern vom 

Grade 168. 

Da, wie wir gesehen haben, das Formenproblem der ternären 
Substitutionsgruppe 168 8ten Grades eine Resolvente 7** n Grades 
hat, und die Galois'sche Resolvente dieser Gleichung 7 ten Grades 
folglich vom Grade 168 ist, so ergiebt sich daraus, dass in der 
allgemeinen Permutationsgruppe von sieben Ziffern, deren Grad 
[.2.3.4.5.6.7 = 5040 = 168 . 30 ist, ein Theiler vom Grade 168 
tnthalten sein muss. Die Existenz dieses Theilers hat zuerst 



538 Sechzehnter Abschn 

Kronecker erkannt 1 ), und seine nähere Untersuchung ist für 
die allgemeine Theorie der Gleichung 7™ Grades von grosser 
Wichtigkeit. 

Wir können diese Permutationsgruppe dadurch erhalten, 
dasa wir die Permutationen aufsuchen, die durch die Suhstitn- 
tionen der Gruppe G 1B * unter den Grössen ,e , z t , z % , 2 JT f«, ;,„i, 
(§. 141) hervorgerufen werden. Hierbei ist dann in Bezug ad 
die Zusammensetzung zu beachten, dass, wenn die beiden linearen 
Substitutionen £,, £ a die Permutationen jt,, n... bewirken, & 
zusammengesetzte Permutation 3T, jt, durch J^l, hervorgerufen 
wird. Denn nach der Definition erhält man |, f, (j) dadurch, 
dass man auf die Variablen (x) zunächst die Substitution £, und 
auf das Ergebniss die Substitution | a anwendet. Ebenso be- 
deutet 3t, k, die Permutation, die sich ergiebt, wenn man auf 
die sieben Ziffern zuerst n^ und darauf n t anwendet. Wir 
erhalten so, der Gruppe t?, 6S entsprechend, eine Permutations- 
gruppe 16S""" 1 Grades, die wir mit P 1CS bezeichnen, und die« 
beiden Gruppen sind isomorph. 

Da wir z und <a als erzeugende Elemente der Gruppe (i.o 
erkannt haben (§. 88, I.), so genügt es, wenn wir die diesen beiden 
Substitutionen entsprechenden Permutationen bestimmen, um 
daraus die ganze Gruppe P lu abzuleiten. 

Nun geht aber aus der Substitution r die cyklische I'erma- 
tation der sieben Ziffern 

(t) (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) 

hervor, und der Einfiuss von o ergiebt sich aus der ltemerkun?. 
dass ä durch die Substitutionen der Octacdergruppe ^WC 
ungeäudert bleibt. Um also die Aenderung von e r durch u a 
erhalten, haben wir nur den Einfiuss von rar' auf s zu Bnn&dfl 
Dieser Einfiuss aber ergiebt sich unmittelbar aus den Formeln 
§. 88, (15), wonach z. B. or = x i % i m9 s ist, so dass also /, in 
% übergeht u. s. f. Demnach entspricht der Substitution m ■!* 
Permutation 

Man kann die Gruppe P lB * durch die Congruenzgru]>pe W> 



') Kronecker, „Ueber Gleichungen 7">n Grades". Monatsbericht 
der Berliner Akademie 1858. 






§. 148. Permutationsgruppe 168 «»um Grades. 539 

narer linearer Substitutionen für den Modul 2 darstellen, die 
wir im §. 95 untersucht haben 1 ). 

Wir haben zu diesem Zweck die sieben Grössen durch drei 
Iiidices (#!, # a , Xs) zu bezeichnen, die nach dem Modul 2 ge- 
nommen sind und wobei die Gombination (0, 0, 0) ausgeschlossen 
ist Man erhält so die sieben Grössen 

(1) (1, 0, 0), (0, 1,0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1), 
und wenn man die x t , # 2 , # 3 durch die linearen Verbindungen 

(2) ax l -f- bx 2 -j- cx& Oi x x -f- b\ x 2 -f- c x # 3 , a% x l -\- 6 2 #2 ~f" c % x s 
ersetzt, worin die Substitution 

(a , b , c 
«1, 61, Ci 
da, 6 2 > c 2i 

nach dem Modal 2 zu nehmen ist, so erhält man die Permu- 
tationsgruppe P 168 . 

Wenn wir, wie im §. 95, für x die Substitution der Con- 

gruenzgruppe 

/l, 0, 1 

(*) * = \ 1, 0, 

\o, 1, a 

wählen, so können wir die Grössen z so bezeichnen, dass sie 
dnrch Anwendung von x und seinen Wiederholungen cyklisch in 
einander übergehen, wobei wir eine beliebige der Grössen (1) 
ftr i wählen können, etwa so : 

(5) * = (1, 0, 0), * x = (1, 1, 0), z 2 = (1, 1, 1), z 3 = (0, 1, 1), 

* A = (1,0,1), z h = (0,1,0), z 6 = (0,0,1). 

Es ist dann co so zu wählen, dass z , z A , z 6 dadurch ungeändert 
bleiben und z x mit # 2 , z z mit z h vertauscht werden. Dies giebt 

/l, 0, 0^ 

(6) a> =1 0, 1, 

\0, 1, 1. 
and daraus erhält man nach §. 88, (17): 

/l, 0, 0\ /l, 1, 1 

(7 X = 0, 0, 1 , = 0, 1, 

\0, 1, 1/ \0, 1, 1, 



*) Nach einer mündlichen Mittheilung ist dies der Weg, auf dem sie 
Kronecker gebildet hat. 



.echzehnter Abu 



Die beiden erzeugenden I'ermutationen r, o gehören zur 
ersten Art (ßd. I, §. 160), und folglich ist P,,, ein IbeÜei itt 

altetüirenden Permutationsgruppe von sieben Ziffern. 



§■ 1*4- 

Gleichungen siebenten Grades mit einer Gruppe 

168" cn Grades. 

Wir wenden uns jetzt zu der allgemeinen Theorie d« 
gpeoieUen Art von Gleichungen T°" Grades, deren Galois'sche 
Gruppe sich auf P, u5 reducirt. 

Es seien zunächst A , A,, A a , A 3 , A,, A.-„ A 6 beliebige Grossen, ad 

(1J * = (^o, 1» **, h- * t > *s. h) 

eine cyklische Permutation ""'" Grades. Führen wir noch da» 
Transpositionspaar 

(2) o, = (A„ A.) (A„ 1J 

ein, so erzeugen diese beiden Permutationen durch ihre Zu- 
sammensetzungen und Wiederholungen die ganze Gruppe P 1(r 

Setzt man nach §. 88, (17) % und © darauB zusammen, M 
erhält man (da, wie schon oben bemerkt, die ZusnmmeiisetMii: 
der Permutationen in umgekehrter Heibenfolge, wie bei den ^In- 
stitutionen, geschehen inuss) die folgenden Penn utati emen m 
sieben Indices: 

®3 = T fl 0rM = ß u ^ *., l 3 )(X t , Ag), ©=(A„ A,. 1 
x = of :i @i» = (A,, A 4 , A ä ) (A„ *,, A,.), 

Ausdrücke, die sich auch sehr leicht aus §, 143, (Ti ableiwu 
lassen. Man sieht, dass A g durch w, @, 3; und folglich durch H 
ganze in P, 8 , enthaltene Octoedergruppe P äl ungeändert bleibt- 
Es ist leicht, eine Function der sieben Grössen A zu bilden, fi 
zu der Gruppe P 1(] , gehört. 

Man nehme z. U. das Product A A, A 6 , das aus den dura 
a unberührt bleibenden A besteht, und bilde die Summe dtf 
Producte, die sich daraus durch Anwendung der cyklischen P«* 1 
mutation r und ihrer Wiederholungen ergeben: 

(3) = A A t A (i -f- A, A r , A„ -j- A a A, ; A, + A, Ao A, -)- - j 

+ A 6 A,A, + Mi** 



I 



Gleichungen 7*« 1 Grades. 541 

endet man darauf die Substitutionen o und x an, so sieht 
lass v ungeändert bleibt und daher alle Permutationen der 
e P 168 gestattet. 

un ist P 168 Theiler der symmetrischen Permutationsgruppe 
eben Elementen vom Index 30 und Theiler der alterniren- 
ruppe vom Index 15. Folglich ist v Wurzel einer Glei- 
3Qsten Grades, deren Coefficienten symmetrische Functionen 

sind, und Wurzel einer Gleichung Ib*** Grades, deren 
ienten noch das Differenzenproduct der X enthalten. Sind 
die Wurzeln einer Gleichung 7 ten Grades ohne Affect, so 
ie Wurzel einer Resolvente 30 8ten Grades, die durch Adjunc- 
er Quadratwurzel aus der Discriminante in zwei Factoren 
irades zerfällt, 
enn ausser den symmetrischen Functionen der X die 

v dem Rationalitätsbereiche angehört, sei es, dass sie 
>rnherein rational ist, oder dass der Rationalitätsbereich 
Adjunction von v erweitert wird, so sind die k die Wur- 
iner speciellen Gleichung 7 ten Grades, deren Galois'sche 
e vom 168 8ten Grade ist. Was wir nun noch zu be- 

haben, ist, dass sich diese specielle Art von Gleichungen 
rades auf das Formenproblem der Gruppe (? 168 zurück - 

lässt. 

m dies zu erreichen, müssen wir drei rationale Functionen 
2 , X s der Wurzeln k zu bilden suchen, die, wenn die Per- 
onen der Gruppe P 168 ausgeführt werden, die entsprechen- 
aearen Substitutionen der Gruppe 6r 168 erfahren, d. h. die, 
% eine Permutation aus Pi 68 und i die entsprechende 
bution aus 6r 168 ist, durch Ausführung der Permutation % 
X u X 2 , X 3 ) übergehen. 

3tzen wir. diese Functionen X x , X 2 , X 3 für die Variablen in 
Varianten der Gruppe 6r 168 ein, so gehen diese Invarianten 
nctionen der X über, die durch die Permutationen der 
e P 168 ungeändert bleiben , und die folglich dem Ratio- 
sbereiche angehören. Die Berechnung der Werthe der 
onen X x , X 2 , X 3 aus diesen Werthen der Invarianten ist 
äas Formenproblem für die 6r 168 . Irgend eine durch die 
,utionen von 6r 16H veränderte Function der X,, X 2 , X 3 ist 
l einer Resolvente der gegebenen Gleichung 7 ten Grades, 
var, da die Gruppen 6r 16S und P 16S einfach sind, eine 
»solvente. 



542 Sechzehnter Abschnitt. 

Hat man irgend ein System nicht verschwindender Func- 
tionen X,, X,, X 3 , so kann man daher solche Resolventen immer 
bilden. Durch das Formenproblem der Gruppe G 1H ist also 
dann die Gleichung 7 lm Grades mit der Gruppe _P lä , zugleich 
gelöst. 

Um die Lösung dieser Gleichungen 7 1 ™ Grades auf du 
specielle Formenproblem, wie es bei den elliptischen Functionen 
auftritt (mit /= 0), zurückzuführen, ist dann noch eine acce»- 
sorische Gleichung 4*™ Grades zu lösen, so wie wir, um die all- 
gemeine Gleichung 5 tca Grades auf die Ikosaedergleichung zurück- 
zuführen, eine accessorische Quadratwurzel nöthig fandet. 

Alles kommt also jetzt noch darauf an, die Functionen 
X,, X,, X 3 der Wurzeln A diesen Forderungen gemäss zu be- 
stimmen. Um dies zu ermöglichen, müssen wir einige einfache 
Sätze aus der allgemeinen In Varianten theorie benutzen, die wir 
im folgenden Paragraphen, soweit sie für unsere Aufgabe in 
Betracht kommen, alileiten wollen. 



Contragrediente Gruppen. 

Wir haben schon im §. 41 den Begriff der contragredientett 
Transformation erläutert. Sind nämlich 

/o„ b„ eA /<*!, a,,a t 

(1) A = 1 o„ 6 ä , c a , At = 6„ ft„'i, 

\a s , & 3 , c 3 J \Ci, c,, Cj 

zwei zu einander tnmsponirte Substitutionen, sind x,, z t , x, und 
Sn 6a> Is zwe i Reihen von Variablen, die durch die SubstttotioMi 

(2) (V) = A(x), £ = AÜ) 

in zwei neue Reihen von Variablen y„ y„ ;/ s und %, jj„ ij, trans- 
formirt werden, so haben wir diese beiden Reihen von VariiMen 
und ebenso ihre Transformationen contragredient genannt 

Durch die Substitution y = A (x) wird jede Function 
* (a;,, x t , ar s ) der (x) in eine Function der (;/) transformirt, and 
die Bildung der Abgeleiteten ergiebt: 

oder in unserer abgekürzten Schreibweise: 



\, 145. Gontragrediente Gruppen. 543 

/ 8fl> 8<P 8<P \ _ A / 8<P 8<P 8<P \ 
Wi* dx,' dxj — l \dy x ' dy 2 x dyj' 

Dies beweist den Satz: 

1. Die Variablenreihen 

(*, *„ *,) und (^-, — , 8 — j 

sind contragredient. 

Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes lassen sich auch 
die höheren Differentialquotienten nach den x durch die nach 
den y bilden, wofür man folgende Regel erhält: 

2. Um die m* 011 Ableitungen 

durch die Ableitungen nach y auszudrücken, 
ersetze man in dem entwickelten Ausdrucke 

die Producte 

ä«« durch 8^8«! 



also 



^,« durch ^p^, 






da^dx^dxr " Xt ^dtfidy\diß' 

wo unter dem Summenzeichen x, A, ft alle nicht 
negativen der Bedingung x-\-X-{- ft = m genügen- 
den Werthe durchlaufen. 

Die Coefficienten C*\l\l. sind ganze rationale Functionen der 
bstitutionscoefficienten a 19 a 2 , . . . 

Um diese Regel allgemein zu beweisen, braucht man nur 
> Formel (5) für m — 1 statt m als bewiesen anzusehen, und 
t Anwendung der Formel (3) die Ableitung nach einer der 
riablen x zu bilden, und dabei die aus der Definition (4) 
;ende Relation 

^x,i,M — x-M,fi a i "T ü x,2-i ti u «a -f- <y x ^n- t <h 
berücksichtigen. 



544 



Sechzi 



■ Abschn 




Diesen Satz können wir nun auch 
allgemeinem: 

3. Wenn durch die Substitution y = A(x) irgend 
eine Form y(x) in *&(;/) übergeht, wenn irgend 
eine zweite Form i/j{|) durch die trau-: 
Substitution | = A^y) in *P0j) übergeht, so erhält 
man eine neue Transformation durch A, wenn 
man in V(l) und ^(ij) die Vertauscbunge: 



6? KR 



0a?0as*34' 



ch( 




wenn man also, wie man sich auch ausdrücken 
kann, in ty und W die Potenzen und Producta 
der Variablen £, tj durch die entsprechenden 
Ableitungen von <p, <P nach den Variablen /. y 
ersetzt. 
Aus der Compositionsregel der linearen Substitutionen er- 
gieht sich nun sofort der folgende Satz: 

4. Durchläuft A eine Gruppe G, so durchläuft ti 
transponirte Substitution j<, eine Gruppe '■ 
Sind ^, if zwei Elemente ans G und A, 
entsprechenden Elemente aus G t , so sind AB 
und if, Aj entsprechende Elemente. Die Gruppei 
G und G L werden zu einander contragrediul 
genannt. 

Die beiden Gruppen G und G, sind aber nur dann isomorph 
auf einander bezogen, wenn man dem A t nicht das Element A 
sondern das Element A -1 entsprechen lässt; denn dum tflfl 
spricht AiBi dem Elemente A~' B~* = (HA)* 1 . 

Die Invarianten der Gruppe (r, beisseu Contrav:iri;nii<'« 
der Gruppe G. Demnach sind auch die Invarianten tob fl m 
Contravarianten von G t . 

Aus (3) ergieht sich dann der folgende Satz: 

5. Wenn man in einer Contravariante Ton U 
Potenzen und Producte der Variable:: 

die entsprechenden Ableitungen einer Invariante 
ersetzt, so erhalt man wieder eine Invariante 
on 6. 



|.148. Gleichungen 7ten Grades. 545 

Und ebenso: 

6. Wenn man in einer Invariante von G die Potenzen 
und Producte der Variablen durch die ent- 
sprechenden Ableitungen einer Contravariante 
ersetzt, so ergiebt sich wieder eine Contra- 
variante. 

§. 146. 

Lösung der Gleichung siebenten Grades 
mit der Gruppe P 168 durch das Formenproblem der 

Gruppe ff li8 . 

Die lineare Substitutionsgruppe 6r 168 hat die bemerkenswerthe 
Eigenschaft, dass sie mit sich selbst contragredient ist Denn die 
mengenden Substitutionen r, o von 6r 168 (§. 131) bleiben durch 
fransposition ungeändert, und wenn man also irgend eine Sub- 
titotion der Gruppe transponirt, so erhalt man eine Substitution, 
lie gleichfalls in der Gruppe vorkommt. 

Die Contravarianten von G l68 sind also (von der Bezeichnung 
ler Variablen abgesehen) mit ihren Invarianten identisch. 

Die in der Gruppe 6r 168 enthaltene Octaedergruppe 6r 24 , die 
m den Substitutionen % x oP® v besteht, ist aber von ihrer contra- 
redienten Gruppe verschieden; denn es ist z. B. nach §. 88, (17) 

©8 = CÖTCDT 6 , 

tnd die dazu transponirte Substitution 

®* = r 6 o x o 

tat sich nach §. 88, (15) in die Form x%*@ 2 bringen und ist 
ilso nicht in G u enthalten. 

Es sei nun q irgend eine zu der Gruppe P a4 gehörige Func- 
ion der Grössen A , ^, . . ., A 6 (§. 144), z. B. X selbst. Durch 
Se cyklischen Permutationen x* gehe q in q , q x , . . ., q 6 über. 
& den Resolventen 

\) <n r = 2 6 vr Q v , r = 1, 2, . . ., 6 

0,6 

t dann ein System von Functionen gegeben, die sich durch die 
armutationen von P 168 zwar linear, aber nicht ternär sub- 
tuiren; da man ja die q v selbst linear durch die c5 r aus- 
äcken kann. 

Weber, Algebra. II. ^ 



Sechzehnter Abschnitt. §, US. 

Ein System von drei Functionen, die sich terniir substitairea, 
kann mau auf folgende Weise bilden 1 ). 

Wir führen zunächst ein System von Hülfsvariableu x tl x„t, 
ein, die wir den Substitutionen der Gruppe G, £i unterwerfen, 
und daraus bilden wir die zur Gruppe G Si gehörige Function ;, 
mit ihren conjugirten z r [§. 141, (7)J: 

(2) z T = s ir xf + t ,r x£ -\- t r x£ 

~2~~ ( E ~ rx > x * + *^ ,p ^*i + w~ lr x t 3^. I 

Hierzu nehmen wir nun eine Function p der Wurzeln i. 
unserer Gleichung 7 ,eu Grades, die zu der Gruppe P M gdAl 
z. B. eine rationale Function von A„, und die conjugirten Vu-nh* 
von e , p M . . ., p„, und bilden die Summe 

(3) t = eo^ + ei*i + e-i^ + pj*i + p4*4 + ***s-l-?s*(, 

die eine quadratische Function der x ist, deren Coefficienten *oa 
den Wurzeln X r abhängen. 

Diese Function ty ändert Bicb nicht, wenn die 
Variablen (x) einer Substitution der Gruppe G m und 
die Wurzeln i, gleichzeitig der entp rech enden Per- 
mutation aus P iBS unterworfen werden. Denn durch SM 
gleichzeitige Operation werden in der Summe (2) nur ihe Bfll 
manden unter einander vertauscht, also die Summe selbst ob '■ 
geändert. 

Wir können daher «■ als simultane Invariante ds 
Gruppen fl, M und P 1B9 bezeichnen. 

Ordnen wir die Function ii- nach den Variablen i,, x t . x„ 
so ergiebt sich 

(4) * = p l X*-\-p i x*-\-p i x*-\-2q i x,x a -\-2q t x i x l - : 
worin zur Abkürzung 

Pi = 1 e ir Q„ g, = 

(5) jj, = V i"Q n ß = 




'} F. Klein, „Ueber die Auflö»uog gewuser Gleichungen mm i 
und 8*™ Grade'. Matliem, Annalen, Bd. XV (1879). 






§.146. 



Gleichungen 7*«* Grades. 



547 



gesetzt ist, so dass also die p, q Functionen der Wurzeln A r 
and. 

Nun wählen wir drei verschiedene Functionen (> , die den 
Irisher ausgesprochenen Bedingungen genügen, und bezeichnen 
sie mit q , (>o, QÖ» 

Die aus diesen drei Functionen abgeleiteten Formen ty seien 
#> ♦'i ♦"» und deren Coefficienten (5) j>,-, g< ; jpj, g£; jpi', g}\ Dann 
ist nicht nur jede der drei Functionen ^/, ^', ^" eine simultane 
Invariante der Gruppen P 168 , 6r 168 , sondern auch ihre Functional- 
determinante (Bd. I, §. 65): 



<6) 



m 1 
"=8 



dt 


dt 


dt 


daij. ' 


8V 


dx> 


dt' 


dt' 


dt' 


dx^ 


dx,' 


dXi 


dt" 


dt" 


dt" 



dXi 1 dx? dx 3 

Die Determinante *F ist eine Form 3* 811 Grades in den 
Tariablen #, die nach der Bezeichnungsweise Bd. I, §. 17, (4) 
den Ausdruck haben mag: 

(7) V = Si*,^^ 

Die Coefficienten -4ä,i\* sind dann Functionen der Wurzeln A r , 
die linear und homogen von jedem der drei Systeme p r , g' r , Qr 
abhängen. Solche Functionen nennt man trilinear. 

Es bedeute nun &, £ 2 , £ 3 ein System zu (x) contragredienter 
Variablen, so dass die biquadratische Form 

00 / (I. , I., &) = tf Ss + tf & + «J I» 

ß ine Contravariante von 6r 168 ist. Wenn wir nun in (7) 

*«* durch 1=^1^ 
-^setzen, so erhalten wir eine lineare Form 



^1 ll -f" %1 £2 ~h ^3 Isi 



6 -^-"0&8&8& 

ii der die X 2 , X„ X 3 Functionen von k r sind, und L bleibt un- 
geandert, wenn die Wurzeln k r durch irgend eine Permutation 
x der Gruppe P 168 und gleichzeitig die Variablen (£) mit den 
Variablen (x) durch die entsprechende Substitution contra- 
jredient transformirt werden. 

35* 



548 Sechzehnter Abschnitt. §. 147. 

Geht nämlich durch % der Coefficient A^^ in A^ über, 
so ist vermittelst der Transformation (y) = A(x): 

und vermittelst der Substitution £ = A x (rj) besteht die Identität 
/ (In !si ls) = / Oh* ^ai i?a)- Folglich ergiebt sich nach dem 
Satze §. 145, 3.: 

2 A< ** 8% 8*8* = 2 A ^ 8&8&8fe' 

Bedeutet also ?r irgend eine Permutation der Gruppe P 1W , 
durch die Xi, X 2 , X 8 in Y u Y,, Y 8 übergeht, und 

A = Oj, 6 2 , c a 

die entsprechende Substitution aus der Gruppe 6r lw , so haben 
wir zu setzen: 

11 = <h Vi + «2 Vi + «3 1?3, 

12 = &1 fll + *2 ^1 + *3 Vsi 
ls = <a Vi + ^2 *?» + 4* 1f 8 , 

und die Invarianteneigenschaft von L giebt die Relation: 

(10) riih + r 2 i? a + y sVz = x 1 s l + x,| a + x s S3, 

oder entwickelt: 

Ji = ai X 2 -f- 6i X 2 + Cj X 8 , 

(11) r 2 = o, x x -j- ft a ^1 + c % x 8 , 

Ya = a 3 X x -f- 63 X a -|- c z X 8 , 

d. h. die Permutation ?r, auf die Functionen X x , X t1 J s *&• 
gewandt, hat denselben Erfolg, wie die lineare Substitution 
A (X 1? X 2 , X 3 ), und demnach sind die X u X s , X 8 solche Func- 
tionen, wie sie unser Problem verlangt (Schluss des §. 144). 



§. 147. 
Möglichkeit der Bestimmung der Functionen X u X„ Xj. 

Um die Zurückführung der Gleichung 7*** Grades mit der 
Gruppe P l6s auf das Formenproblem der Gruppe G l69 vollständig 
sicher zu stellen, bleibt noch Eines übrig: 



. 147. Bestimmung der Functionen X n X t , X 8 . 54g 

Es handelt sich nämlich noch nm den Nachweis, dass man 
tar 9ot Qo, Qo (§• 146) so verfügen kann, dass die Functionen 
?j, X,, X 8 nicht identisch verschwinden. Dazu müssen wir -die 
tüdungsweise der Grössen X etwas genauer betrachten. 

Setzen .wir in (9) zufolge (8) (§. 146): 

ergiebt sich 

1) %1 = -^2,2,2 + 3-41,1,8? X* = -^8,8,8 + 3-^2,2,1, 

X 9 = -4l,l,l + 3 -48,8,2» 

Nun ist aber ferner nach (4) und (6) (§. 146): 

W = 

\Pl X l J T 28#2 + 32^3» 38^1+^2^2 + 21^81 32 #1 + Ql ^2 + P8 *S 

[ 2 ) Pi*l +38^ +32-^3» 38^1+i>2^J+3i^8) 32^+31^ +1>8^8 

Pl *1 + 3? ^2 + 32 #8, 38 #1 + P2 #2 + 3l'#Sl 32 #1 + 3l X % +P? #8 

Dies lässt sich leicht nach Potenzen und Producten der x 
whien, und wenn wir also die Bezeichnung gebrauchen 

Pi, 3a, 32 



(Pi, 3s, 3a) = 



Pi, 3s, 32 
pü 3s, 3i' 



erhält man 

^1,1,1 = (Pi, 3s, 3a), 3-43,8,2 = (3s, 3i, Ps) + (3a, P2, Ps), 
Am = (3s, Pa, 3i), 3 4i, M = (p u g h q 2 ) + (p u q z , p 3 ), 

Am = (32, flu Ps), 3 Am = (3s, Pa, 3a) + (Pi, Pa, 3i), 
d daraus nach (1): 

^i = (3s, P2, 3i) + (Pi, 3i, 3a) + (Pi, 3s, Ps), 
^2 = (32, «ii Ps) + (3s, Pa, 3 2 ) + (Pn Pa, 3i), 
X 3 = (Pi, 3s, 3a) + (3s, 3i, Ps) + (3a, Pa, Ps). 

Diese Functionen X ly X a , X 3 sind, wie aus dem oben Be- 
bten folgt [§. 146, (5)], trilineare Formen der drei Variablen- 
hen Q ri Q' r , p' r ', deren Coefficienten rational durch die siebente 
a heitswurzel s ausgedrückt werden können. Die Coefficienten 
'Ber Formen sind aber gewiss nicht alle gleich Null Denn 
c h (3) kann man die Grössen p,g so annehmen, dass X a ,X 8 , X 8 
-ht gleich Null werden, und die 21 Grössen p r , q^ Qr lassen 
; h aus §. 146, (5) so bestimmen, dass die 18 Grössen #, q (und 
Werdern die drei Summen £ Q r ) beliebig vorgeschriebene Werthe 



550 Sechzehnter Abschnitt §. 147. 

bekommen. Machen wir dann für die sieben Variablen Q r die 
Substitution 

(4) Q r = ao-f-^i^+^^r 4- a 3^ + a4V + o 5 ^4-a 6 A;, 

deren Determinante als das Product aller Differenzen iL, — A k von 
Null verschieden ist, und substituiren entsprechend • 

8 8 8 

(5) Q r = 2 ö«*n Qr = 2 0>mK, Qr = 2 <£#, 

0,6 0,6 0,6 

so geht dadurch X x in eine trilineare Form der drei Variablen- 
reihen a t , a' a , a a ' über, die nicht identisch verschwinden kann, 
weil ja auch umgekehrt die a„ a«, a« durch die Q r , Qr\ Qr linear 
ausdrückbar sind. Nun kann man für die Variablen a„ a' 8 , a t 
solche rationale Zahlenwerthe annehmen (Bd. I, §. 43), dass die 
Functionen X l9 X 2 , X 3 von Null verschiedene Werthe annehmen, 
und dann stellt (5) eine geeignete Annahme für die Functionen 
Qn Qr, Qr dar 1 ). 



*) Vergl. über die hiermit erledigte Frage: Burckhardt, „Ueber 
einen fundamentalen Satz der Lehre von den endlichen Gruppen linearer 
Substitutionen". Mathem. Annalen, Bd. 42 (1892). 



VIERTES BUCH. 



ALGEBRAISCHE ZAHLEN. 



Siebzehnter Abschnitt 

süilen und Funotionale eines algebraischen Körpers. 



§. 148. 
Definition der algebraischen Zahlen. 

* 

Eine algebraische Gleichung 

F{x) = 0» + ^a*- 1 H h A m - X x + A m = 0, 

in Coefficienten -4 : , J^, . . ., A m rationale Zahlen sind, nennen 
der Kürze wegen eine rationale Gleichung. Sie hat, wie wir 
früheren Abschnitten nachgewiesen haben, immer m oder 
iger, aber injmer wenigstens eine Wurzel. Wie man jeder 
er Wurzeln durch rationale Zahlen, etwa durch Decimal- 
;he oder durch Eettenbrüche, nötigenfalls mit Zuziehung der 

binären Einheit i = V — 1 bis auf jeden beliebigen Grad 
8 kommen kann, d. h. wie man die Werthe der Wurzeln an- 
srnd berechnen kann, ist im zweiten Buche des ersten Bandes 
dgt. 

In den folgenden Betrachtungen soll es sich nun nicht um 
e numerischen Werthe handeln, sondern um die arith- 
ischen Gesetze, denen diese Zahlen unterworfen sind, die 

aus der Definition selbst und nicht aus den numerischen 
•then ableiten lassen. Wir stellen also jetzt folgende Definition 
die Spitze: 

1. Eine Zahl ®, die einer rationalen Gleichung 

F{®) = 

genügt, heisst eine algebraische Zahl. 

Jede algebraische Gleichung mit rationalen Coefficienten 
srt uns solche algebraische Zahlen, die sich also in beliebiger 



554 



Siebzehnter Abnohnit 



Menge angeben lassen. Die Frage, ob es auch nicht ■Igebraiaclu 

Zahlen giebt, wird uns später beschäftigen. 

Eine algebraische Zahl genügt nicht uur einer, sondere 
unendlich vielen rationalen Gleichungen; denn niultiplicirt man 
zwei beliebige Functionen von der Form F(x) mit einander, t" 
erhält man eine Function derselben Form, die für x = & ver- 
schwindet, wenn einer der Factoren diese Eigenschaft hat. 

Unter allen rationalen Gleichungen, denen eine algebraische 
Zahl genügt, ist eine von möglichst niedrigem Grade, f(&) — ü. 
worin f(x) die Form hat: 

(2) f(x) = x" -(- aiX»- 1 -\- a,x n - i ~\ [- a», 

und es kann auch nur eine solche Gleichung geben, wenn wir, 
wie bisher immer, den Cocfncitmten^der höchsten Potenz ftm 
gleich 1 annehmen. 

Denn sind f(x), fx{x) zwei Functionen von der Form (3) 
von gleichem Grade tt, so ist f{x) — fi(x) von niedrigerem ifa 
dem «** B Grade, und wenn sowohl /(©) als fi(&) verschwimlet, 
bo verschwindet auch /(©) — fi{&)\ wenn also diese Differenz 
nicht identisch verschwindet, so genügt © einer Gleichung 
von niedrigerem als dem n m Grade, was gegen die - Vom» 
setzung ist. 

2. Die Function f(z) ist im Körper der rationalen 
Zahlen irreducibel. 

Denn zerfallt f(x) in zwei rationale Factoren /,{*) um: 
f t (x), von denen jeder von niedrigerem Grade ißt als f(x), so 
genügt einer der beiden Gleichungen /, (O) = 0, / S (Ö) = Ö. 
was unserer Voraussetzung widerspricht. 

3. Ist n der Grad der rationalen Gleichung niedrig- 
sten Grades, der die Zahl genügt, so nennet 
wir eine algebraische Zahl n taB Grades. 



§■ 149- 
Ganze algebraische Zahlen. 

Eine algebraische Zahl wird eine ganze a'S* 
braische Zahl genannt, wenn 8ie einer rational* 1 
Gleichung 
(1) 0'" -)- A x 0"— ' H 1- A m -., -f- A m = Q 



Ganze algebraische Zahlen« 555 

gt, deren Coefficienten A x , A 2 , . . ., A^ ganze Zahlen 

Vir bemerken, dass es nach dieser Definition ausreicht, um 
ilgebraische Zahl als ganz zu charakterisiren, wenn unter 
inendlich vielen Gleichungen der Form (1), denen genügt, 
ist, deren Coefficienten ganze Zahlen sind. 
)ie ganzen algebraischen Zahlen umfassen als speciellen 
lie gewöhnlichen ganzen Zahlen, die wir zur Unterscheidung 
e rationale Zahlen nennen. Die positiven ganzen ratio - 
Zahlen nennen wir auch, einem verbreiteten Sprach- 
uche folgend, natürliche Zahlen. 

Jnter ganzen Zahlen schlechtweg verstehen wir dann ganze 
•aische, rationale und irrationale Zahlen. 

. Eine ganze algebraische Zahl, die zugleich 
rational ist, ist nothwendig eine ganze ratio- 
nale Zahl. 

lehmen wir nämlich an, es sei == P : Q ein rationaler 
i, und P, Q ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen 
sr, etwa Q positiv, so ergiebt sich aus (1): 

P* + A t P»- 1 Q + A* P— a Q*-] |- 4» QT = 0, 

laraus ist zu ersehen, dass jeder Primtheiler von Q in P 
Iten sein müsste. Es muss also Q = 1 sein, und = P 
ae ganze rationale Zahl. 

S. Summe, Differenz und Product zweier ganzer 
Zahlen sind wieder ganze Zahlen. 

Jm diesen Hauptsatz zu beweisen, nehmen wir an, es seien 
zwei ganze Zahlen, die den Gleichungen 

oP -|- «l W"" 1 + • • • -f- dfi-i « -f- a>n = 0, 
ß* + b x /J"" 1 H h &,_ 2 ß + h = 

?en, und machen eine der drei Annahmen 

ra = a -f- /3, a — 0, aß. 

Dann setzen wir jtv = m und bezeichnen die m Grössen 

r = 0, 1, . . ., u — 1, 
s = 0, 1, . . ., v — 1 

gend einer Reihenfolge mit co u o 2 , . . ., o m . 



<a m mit Hü!i 



556 Siebzehnter AbaclinitL 

Dann können die Producte wo,, öjoj,, . . ., 

der Gleichungen (2) in die Form gesetzt werdeu: 

6) a r = C r , i f>i -J- Cr, 9 »» -|- * * * -|- Cr, * °«n 

f == 1, 2 »«, 

worin die Coefficienten c, pr ganze rationale Zahlen sind. Wenn 
man aus diesen Gleichungen aber die w,, wj. . . ., o. eümJDirt, 
so folgt: 

Ci,i — ra, c liBl . • -, c J: „ 

c*,i, fa, a — »i ■ ■ -i Cj,, 



= 0, 



was entwickelt die Form erhält: 

ra*" -f- C, «o*-i H 1- C, = 0, 

worin die Oj, C'j, . . ., C„ gleichfalls ganze rationale Zahlen sind. 
Dies aber zeigt, dass a eine ganze Zahl ist, wie bewiesen 
werden sollte. 

3. Ist /(ar) eine im Körper der rationalen Zahlen 
irreducible Function, und ist eine Würzet** 
von /(ar) = eine ganze Zahl, ao sind alle Wur- 
zeln von /(ar) ganze Zahlen. 

Denn wenn eine rationale Function F(x) für isi* 
schwindet, so ist ^(ar) durch f(x) theilhar, und all«' WasA 
von f{x) sind zugleich Wurzeln von F(x) (Bd. t, g, 148, Hj 
Wenn nun a eine ganze Zahl ist, so giebt es eine Function 

F{x) =X" + A l x"- 1 H l-X 

mit ganzzahligen Coefficienten A t , . . ., A„, die für x = « f 8 ** 
schwindet, und F(ar) verschwindet also auch für alle ander« 
Wurzeln von /{ar), die sonach alle ganze Zahlen sind. 

Ist 

f(x) = ar» + a, ar— 1 H h «.. 

so sind die «,, Os, . . ., ß„ durch Multiplication und Addition m» 
den Wurzeln von /(ar) zusammengesetzt und sind also nach 1 
ganze rationale Zahlen. Daraus folgt: 

4. Ist eine ganze algebraische Zahl, 
Gleichung niedrigsten Grades /(©) = [§. 1*8. li'' 
ganzzahlige Coefficienten. 



. 160. Algebraische Körper. 557 

Dasselbe ergiebt sich auch aus dem Gauss'schen Theorem 
M. I, §. 2; denn danach kann eine Function f (x) mit ge- 
rochenen rationalen Coefficienten nicht Theiler eiper Function 
F(x) mit ganzen Coefficienten sein. 

Wir beweisen noch den Satz: 

5. Jede algebraische Zahl lässt sich durch Multi- 
plication mit einer natürlichen Zahl in eine 
ganze algebraische Zahl verwandeln. 

Denn ist 

m + A x m - 1 -] \- A m = 0, 

und sind A l , . . ., A m rationale Zahlen mit dem gemeinsamen 
Kenner o, so erhält man durch Multiplication mit a m : 

(a^ + ^a^^-^ija^oÖf-H \-A m a m =0, 

woraus hervorgeht, dass a® eine ganze Zahl ist. 

§. 150. 
Algebraische Körper. 

Im dreizehnten Abschnitte des ersten Bandes haben wir 
gesehen, wie man aus jeder Wurzel ® einer in irgend einem 
Korper & irreduciblen Gleichung w ten Grades /(©) = einen 
algebraischen Körper &(&) über £1 ableitet. Die aus den n Wur- 
zeln dieser Gleichung abgeleiteten n Körper, die auch zum Theil 
>der alle identisch sein können, haben wir conjugirte Körper 
genannt. 

Bezeichnen wir mit B den Körper der rationalen Zahlen, so 
fiebt also nach unserer Definition jede algebraische Zahl w* 611 
»rades, 0, Anlass zu einem algebraischen Körper R(0) über 12, 
len wir von jetzt an kurz einen algebraischen Zahlkörper n ten 
»rades nennen. Wir haben auch schon früher nachgewiesen 
Bd. I, §. 150), dass man immer einen algebraischen Zahl- 
Körper bestimmen kann, der eine endliche Anzahl be- 
iebig gegebener algebraischer Zahlen enthält 

Dieser Satz wird an dieser Stelle hervorgehoben, um darauf 
inzuweisen, dass die Allgemeinheit einer Betrachtung über 
gend eine endliche Anzahl algebraischer Zahlen dadurch nicht 
•einträchtigt wird, dass man diese Zahlen alle in einem alge- 
aischen Zahlkörper gelegen voraussetzt. 



Jede Zahl to eines solchen Körpers kann als ganze Func- 
tion (p(&) von & mit rationalen Coefticienten dargestellt werden, 
und jeder Zahl et entspricht in jedem der « conjugirten Körner 
eine bestimmte Zahl. Diese conjugirten Zahlen können zum 
Theil einander gleich sein, und wir haben danach primitive norf 
imprimitive Zahlen des Körpers unterschieden. Jede primitiv 
Zahl kann ebenso wie & selbst zur Definition des Körpers ver- 
wandt werden. Bei einer imprimitiven Zahl zerfallen die con- 
jugirten Zahlen in Systeme von gleich vielen unter einander 
gleichen (Bd. I, §. 151). 

Eine symmetrische Function der conjugirten Zahlen ist tn 
rationale Zahl. Unter diesen symmetrischen Functionen nmJ 
zwei von besonderer Wichtigkeit, die Summe und das Product, 
von denen die erste die Spur, die zweite die Norm von a 
genannt wird. Man bezeichnet diese beiden Zahlen durch S(a) 
und N(a). 

Hierbei werden, wenn unter den conjugirten Zahlen dieselben 
Zahlen mehrfach vorkommen, diese gleichen Zahlen so oft in 
die Summe oder das Product aufgenommen, als der I 
Häufigkeit angiebt. 

Da sich in jedem solchen Zahlkörper die vier fundamentalen 
Rechenoperationen ebenso wie im Körper der rationalen Zahlen 
ausführen lassen, so kann man auch die Frage aufwerfen, inwie- 
weit sich die aus der Theorie der rationalen Zahlen bekamen 
arithmetischen Grundgesetze in einem beliebigen algebrni sehen 
Zahlkörper bewähren. Es handelt sich hierbei in erster Linie 
um die Zerlegung der ganzen Zahlen in ihre Primfactoren. 

Da diese Zerlegung mit den Zahlen des algebraisch«) Kör- 
pers selbst im Allgemeinen nicht gelingt, so ist eine Em eitern-..: 
des Rechenmateriales nüthig, um die einfachen Gesetze wieder 
herzustellen, und eine solche Erweiterung ist in verschiedenem 
Sinne möglich. Es müssen sich aber diese verschi 
Weiterungen auf einander zurückführen, oder, genauer gesagt, m 
eine eindeutige Beziehung zu einander setzen lassen. 

Kummer hat zuerst fiir die aus Finheitewurzeln gebildet«* 
algebraischen Zahlen (die Kreist heil ungszahlen) das grosse Pro- 
blem durch die Schöpfung der idealen Zahlen 1 ) gelöst. Ew 



Theorie der idealen Primfactoren 
s Journal, Bd. 35, (1846); Bd. 40, (1800). 



i der compkm 
in LUnw . 



§. 160. Algebraische Körper. 559 

andere ganz allgemeine, keiner Ausnahme unterworfene Lösung 
hat die Aufgabe durch Dedekind gefunden, der als die ein- 
fachsten Elemente der Rechnung die von ihm so genannten 
Ideale 1 ) betrachtet. Einen davon verschiedenen Weg hat Kron- 
ecker*) eingeschlagen. 

Die Theorie von Dedekind ist von ihrem Begründer um- 
fassend und in stets wachsender Einfachheit und Vollkommen- 
heit dargestellt in dem letzten Supplement der drei neuesten 
taflagen von Dirichlet's Vorlesungen über Zahlentheorie. 

Die Theorie Kronecker's ist erst im Jahre 1882 durch die 
Festschrift zu Kummers Jubiläum dem weiteren Kreise der 
dathematiker bekannt geworden. 

Auf einem neuen Wege hat kürzlich Hensel die Theorie 
ler algebraischen Zahlen begründet, der überraschend schnell zu 
inigen der wichtigsten Sätze, namentlich in Bezug auf die Dis- 
ximinanten, führt, die sonst nur auf längeren Umwegen zu be- 
reisen waren. Hensel bedient sich einer Art Reihenentwicke- 
ungen der algebraischen Zahlen, deren zu jeder natürlichen 



er Berliner Akademie 1856. Sur la theorie des nombres complexes com- 
•oses de racines de l'unite et de nombres entiers. Liouville's Journal, 
Id. 16, 1851. 

') Dedekind, in dem letzten Supplement der 2., 3. und 4. Auflage 
on Dirichlet's Vorlesungen über Zahlentheorie (Braunschweig 1871, 
879, 1894). Zu vergleichen ist auch: Sur la theorie des nombres entiers 
Igebriques im Bulletin von Darboux und Hoüel (l^re 8 er. XI, 1877). Ueber 
len Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der höheren 
Kongruenzen (Abhandlungen der Ges. d. Wissensch. in Göttingen, Bd. 23, 
878). Ueber die Discriminanten endlicher Körper (ebend. Bd. 29, 1882). 
Tener die Anzahl der Ideal-Classen in den verschiedenen Ordnungen eines 
ndiichen Körpers (Braunschweig 1877). Festschrift zur Säcularfeier des 
Geburtstages von Gauss. „Zur Theorie der Ideale" und „Ueber die Be- 
kundung der Idealtheorie". Nachrichten d. Ges. d. Wissensch. in Göttingen 
894, 1895. Hierher gehören auch die Abhandlungen von Hubert, „Ueber 
ie Zerlegung der Ideale etc.", Mathem. Annalen, Bd. 44, 1893. „Grund- 
lage einer Theorie der Galois'schen Zahlkörper tf , Göttinger Nachrichten 
394. Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Bericht der Deutschen 
Mathematiker - Vereinigung 1897. Hurwitz, „Zur Theorie der Ideale". 
Jeher einen Fundamentalsatz etc.", Göttinger Nachrichten 1894, 1895. 

*) Kronecker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der alge- 
rischen Grössen. Festschrift zu Kuminer's 5' >j ährigem Doctor- Jubiläum, 
riin 1882. (Auch in Bd. 92 von Cr eile's Journal.) Zu erwähnen sind 
tr noch die Arbeiten von Hensel in den Bänden 101, 103, 105, 111, 113 
i Crelle 'sehen Journals. 



660 Siebzehnter Abschnitt. ij. 151 

Primzahl eine gewisse Anzahl gehören. Hierdurch wird die 
Theorie der algebraischen Zahlen in schöne Uebereiiistimimiiij: 
mit der von Riemann und Weierstraas ausgebildeten Theorie 
der algebraischen Functionen gesetzt 'J. 

§■ IM. 
Ganze Functionen in einem algebraischen Körper. 

Schon im ersten Bande haben wir mehrfach 1 1 
gehabt, ganze Functionen einer beliebigen Anzahl von unab- 
hängigen Veränderlichen einzuführen, und haben auch lim §. 148] 
den Fall erörtert, dass die Coefficienten einem barämmhi 
Körper Sl angehören. Wir machen jetzt die Annahme, ihws 
dieser Körper ein algebraischer Zahlkörper sei und be- 
trachten also .Ausdrücke <p (x, y, z, . . .), die als eine Summe ton 
Gliedern der Form 

aaryz 1 . . . 
dargestellt Bind, worin die Exponenten r, s, t, . . . positive oder 
wenigstens nicht negative ganze Zahlen sind, während die CoeuV 
cienten « Zahlen in £i bedeuten. Einen solchen Ausdruck 
(1) 9 («. ft *,...)= 2 KXryz' . . . 

nennen wir eine ganze Function in £1. Wir nehmen den 
Ausdruck immer so geordnet und zusammengefasst an, das 
dieselbe Comhination der Exponenten r, s, t, . . . nicht twiai 
darin vorkommt, und nennen zwei solche Ausdrücke nur dld 
einander gleich, wenn sie dieselben l'roducte X'yif . . ., uÄ, 
denselben Coefficienten behaftet, enthalten. Eine ganze Func- 
tion wird dann und nur dann gleich Null gesetzt, wenn 
alle ihre Coefficienten Null sind. 

Mehrere ganze Functionen geben durch Addition, Subtrwtwn 
und MüTtiplication immer wieder ganze Functionen. Nach BAL 
§. 43, I. kann man für die Variablen #, y, e, . . . solche nun- 



') Bis jetzt sind darüber erst »wei Noten iu den Göltinger HaotufakM 
von 1897 veröffentlicht: „Tj.biT die Bestimmung der Discrimintiute «in« 
algebraischen Körpers", „Ueuer die Fundamenialjilei buog unii die ium«' 
we«ent!iche» ['isciinuminteuiheiler eiuea a ige brai sehen Köt-pCn," GAS 
nauere KrnnmiäB dieser Untersuchungen, die hoHentli^h bald volktia-hl 
der Oett'irntjii-hk-it übergeben werden, verdanke iüß einer persönlichen M* 
thcümig iles Veifassers. 



.151. Ganze Functionen. 561 

iale Zahlwerthe setzen, dass eine oder eine beliebige Anzahl 
on gegebenen, von Null verschiedenen ganzen Functionen in £1 
ich! verschwindende Zahlwerthe (in Sl) erhalten. Daraus er- 
gebt sich, dass ein Product mehrerer ganzer Functionen 
ur dann verschwindet, wenn einer seiner Factoren 
erschwindet. 

Die Summe r -f- s -f- 1 -| der Exponenten in einem Gliede 

es Ausdrucks (1) heisst der Grad dieses Gliedes, und der 
rösste Werth, den der Grad eines Gliedes mit nicht ver- 
Awindendem Coefficienten in q> annimmt, heisst der Grad der 
'nnction <p. 

Der Grad eines Productes aus zweien oder mehreren ganzen 
unctionen ist gleich der Summe der Grade der einzelnen 
actoren. 

Denn fasst man in jedem der Factoren die Summe der 
lieder höchsten Grades zu einer homogenen Function zusammen, 
) erhält man die Glieder höchsten Grades des Productes, wenn 
tan alle diese homogenen Functionen mit einander multiplicirt. 
fts Product dieser homogenen Functionen kann nach dem oben 
ewiesenen nicht verschwinden, wenn keiner der Factoren ver- 
bindet, und sein Grad ist gleich der Summe der Grade der 
jazelnen Factoren. 

Die Zahlen des Körpers «ß sind unter den Functionen mit 
athalten. Man erhält sie, wenn man entweder den Grad oder 
ie Anzahl der Variabein auf Null heruntersinken lässt. 

Als specielle Fälle sind unter den ganzen Functionen in Sl 
ach die ganzen Functionen im Körper der rationalen 
ahlen B enthalten: 

I) ® (x, y, *, . . .) = 2 aar tf z % . . ., 

orin die Coefficienten a rationale Zahlen sind. 

Wenn diese Coefficienten ganze Zahlen ohne gemein- 
amen Theiler sind, so heisst diese Function eine ursprüng- 
!ehe oder primitive, von denen wir im Bd. I, §. 2 den Satz 
ichgewiesen haben: 

1. Das Product von zwei primitiven Functionen 
ist wieder eine primitive Function. 

Wenn die Coefficienten der Function (2), die wir für den 
igenblick mit 

^0) ^n ttj , . . . 
Weber, Algebra. IL $$ 



562 Siebzehnter Abschnitt. §.151 

bezeichnen wollen, ganze Zahlen mit dem grössten gemeinschift» 
liehen Theiler m sind, so ist, wenn m > 1 ist, & eine imprimitin 
ganze ganzzahlige Function vom Theiler m, und der Theiler 
einer primitiven Function ist = 1. 
Setzen wir 

(3) Oq = me , ein = ro^, Oj = me a , . . ., 

so sind die 6o, e x , e 2 , . . . ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler, 

(4) E {x, y, *,...) = 2Zea?yg? . . . 
ist eine primitive Function und es wird 

O = mE. 

Diese Functionen 4> haben wir im §. 2 des ersten Baute 
betrachtet und haben dort von ihnen den Satz bewiesen: 

2. Der Theiler eines Productes von zwei oder mehr 
ganzen Functionen Q> ist gleich dem Product der 
Theiler der einzelnen Factoren. 



Die ganzen Functionen in & hängen ausser von 
Variablen von einer algebraischen Zahl & ab, enthalten aber 
sonst nur rationale Zahlencoefficienten. Bezeichnen wir eine 
solche Function mit q> (@, rr, t/, *, . . .), so erhalten wir die con- 
jugirten Functionen qp, q> u <p 2 , . . . oder 

(5) 9 (0, £, ft *, • . •), 9> (0n *i ft ** • • •), 9 (®2,#>y,*,. ••)»••• 

wenn wir für @ die sämmtlichen Wurzeln der irreduciblen Gleichung 
f(x)z=Q [§. 148, (2)] einsetzen. Diese conjugirten Functionen 
können auch zum Theil einander gleich sein. 

Sie sind alle einander gleich , wenn <p eine Function in ü 
ist, und es ist umgekehrt <p eine Function in iJ, wenn die con- 
jugirten Functionen alle einander gleich sind ; denn es ist dann, 
wenn wir unter S(<p) die Summe der conjugirten Functionen 
(die Spur) verstehen, 

n<p = S(9>), 

und S((p) ist eine ganze Function, deren Coefficienten symme- 
trische Functionen der n Wurzeln 0, d. h. rationale Zahlen, ani 
Zu den ganzen Functionen in R gehört auch die Norm 
von op, d. h. das Product 

(6) H(<P) = <P<Pi9s • • -i ] 
denn alle Coefficienten dieser Function sind symmetrische 



{.152. Zerlegung ganzer Functionen. 563 

Functionen der @. Diese Function ist theilbar durch q>, und 

wenn wir 

N((p) = <pq>' 

setzen, so sind sowohl <p als qp' ganze Functionen in Sl. Denn 
qp 1 ist als Product <jPi9 2 ... eine ganze Function, und die Coeffi- 
cienten von q>' sind symmetrische Functionen der Wurzeln der 
Gleichung 

x — & ' 

die ihrerseits in & enthalten sind. 

Aus der Definition ergiebt sich, dass die Norm eines Pro- 
iuctes gleich dem Producte der Normen der Factoren ist, dass 
ftlso, wenn qp, ^ Functionen in Sl sind, 

'!) N(<p1>) = N(<p)N(il,) 

st 

§. 152. 
Zerlegung ganzer Functionen in irreducible Factoren. 

3. Unter den ganzen Functionen in & müssen 
reducible und irreducible unterschieden werden, 
von denen die ersten als Product aus mehreren 
ganzen Functionen in Sl darstellbar sind, die 
anderen nicht. Die reduciblen Functionen q> 
lassen sich in eine endliche Anzahl von irredu- 
ciblen Factoren zerlegen, die selbst ganze Func- 
tionen in Q sind, und die irreduciblen Factoren 
von q> sind durch <p selbst bis auf constante Fac- 
toren bestimmt. 

Bei dem Beweis dieses Satzes, den wir in §. 20 des ersten 
andes gegeben haben, ist allerdings nicht von Functionen in 
nem bestimmten Körper &, sondern von ganzen Functionen 
>erhaupt die Rede gewesen, deren Coefficienten irgend welche 
ihlen sein können. Aber schon in §. 148 des ersten Bandes 
t darauf hingewiesen, dass jener Beweis wörtlich wiederholt 
5rden kann unter dem Vorbehalt, dass alle Constanten einem 
liebig gegebenen Rationalitätsbereich angehören. Wir 
ben hierauf nicht noch einmal ein, und nehmen den Satz 3. 
mach als bewiesen an. 

m* 



564 Siebzehnter Abecbnitt. 

Dagegen wollen wir hier auf die Frage zurückkomme 
ein Verfahren kenneu zu lernen, wie man in einem gege 
Falle durch eine endliche Anzahl von Schritten die irrediin 
Factoren einer Function enuittelu, oder die Irreducibilit.it 
stellen kann. 

Wir nehmen zunächst eine ganze Function einer Vari» 
F(x) vom Grade (i, im Körper R der rationalen Zahlen, 
beeinträchtigen dann die Allgemeinheit nicht weiter, wct 
die Coefficienten als ganze Zahlen annehmen. Wolle 
nun F(x) in seine irreduciblen Factoren zerlegen, so genü 
alle Factoren <p(x) von F(x) zu ermitteln, deren Grad i 
grosser als '/ a fi ist, da, wenn F(x) zerlegbar ist, wen 
einer der Factoren einen solchen Grad haben muss. Es se 

(1) F(x) = «>{*) »,(*), 
und darin können wir die Coefficienten von ip(z) und 
gleichfalls ganzzahlig annehmen (nach §. 151, 2.). Ist < 
eine beliebige ganze rationale Zahl, so werden F(r), (p\r) t f { 
auch ganze rationale Zahlen, und es muss F(r) wegen (1) du 
<p(r) theilbar sein. Nehmen wir min v -j- 1 von einander i 
schiedene feste ganze Zahlen r , r n r v . . ., r», so müssen sie! 
Zahlen 

(2) 9>(r„), yfr,), -.., <p(r.) 
unter den Theilern der Zahlen 

(3) *"('.), F (rj Flu) 

finden, und da die Zahlen (3) durch die Function J"~ se!li- 
gehen sind, so giebt es nur eine endliche Anzahl von zuli 
Annahmen für die Zahlen (2). Durch die Werthe (2) bt 
die Function o>(J.) selbst vollkommen bestimmt, etwa * 

/(*) = (x — r.) (x — r,) . . . (x - r.) 
gesetzt wird, durch die Interpolationsformel von Lag 
(Bd. I, §. 15): 



(*> »(«) = 



2u 



(X - r,)/V t ) 



Man erhält so eine endliche Anzahl vun möglichen Bestim 
der Function ip(x), und muss mit jeder dieser Functioi 
Versuch machen, ob sie in F(x) enthalten ist. 

Das liier geschilderte Verfahren ist unter UnutBaA 
auf Functionen in anderen Körpern anwendbar, dann 



(. 151 Zerlegung ganzer Functionen. 565 

renn in den Körpern die Zerlegung der ganzen Grössen in ihre 
Mm&ctoren , ebenso wie bei den ganzen Zahlen, als bestimmt 
vorausgesetzt werden kann. 

Dann treten an Stelle der ganzen Zahlen r , r u . . ., r„ ganze 
irossen dieses Rationalitätsbereiches. Diese Voraussetzung trifft 
kr (nach §. 20 des ersten Bandes) bei den Körpern der ganzen 
Emotionen einer beliebigen Anzahl von Variablen zu. 

Wenn man ^aher die Coefficienten in F(x) nicht als ganze 
iaklen, sondern als ganze Functionen der Variablen y, z, . . . 
nnimmt, so ist das Verfahren anwendbar, und liefert die Zer- 
3gong einer ganzen Function von mehreren Variablen im Körper 
er rationalen Zahlen, wenn man die Zerlegung der Functionen 
on einer kleinen Anzahl von Variablen schon ausgeführt hat. 

Hierauf lässt sich nun die Zerlegung einer ganzen Function 
\ einen beliebigen algebraischen Körper n*** Grades zurück- 
ihren. Nehmen wir an, es sei 

)) (p = <p (©, x, y,z,.. .) 

ine solche Function, und qp n <p s , . . ., <p n die conjugirten Func- 

ionen. Wir bilden die Norm 

ß) N{<p) = 9j 9 a . . . 9> n , 

ie nach §. 151 eine ganze Function in JB ist. Jeder Theiler 
on (p x = q> ist in einem der rationalen Theiler von N(<p) ent- 
alten und umgekehrt muss auch jeder (nicht constante) ratio- 
ale Theiler von N(<p) mit einer der Functionen q> u 9,, . . ., (p n , 
Jid folglich mit jeder von ihnen, einen Theiler gemein haben. 

Ist daher a einer der irreduciblen rationalen Theiler von 
%), so ist der grösste gemeinschaftliche Theiler ^«von a und 
>, der durch rationale Rechnung gefunden wird, ein Theiler von 
> in &. Ist i> von q> verschieden , so handelt es sich nur noch 
m die Zerlegung von ^ , was von niedrigerem Grade ist als q> ; 
enn aber a durch q> theilbar ist, so erhalten wir auf diese 
hise keinen echten Theiler von 9. Dann aber giebt es eine 
anze Function g, so dass 

a = <p%, N((p)N(%) = a n 
rd, und es ist, da a irreducibel ist, N(<p) eine Potenz von a: 
) N(<p) = a\ 

enn jetzt <p = <p* q>" reducibel ist, so muss der Exponent h 
«er Potenz grösser als 1 sein, da sowohl N(<p') als N(<p") 
benzen von a sind. 



566 . Siebzehnter Abschnitt. 

Um aber auch in diesem Falle eine Zerlegung eines mh- 
ciblen <jp zu erhalten, verfahrt man so. 

Wir befreien zunächst rp von allen quadratischen Factoreu, 
was durch rationale Rechnung, nämlich durch Aofteeanng je 
gern ei nscbaftli eben Theiler von xp mit seinen Derivirten, p- 
schient Dann ist die Gleichung (7) für h > 1 offenbar mit 
dann möglieb, wenn unter den conjugirten Functionen qp h g>j,.,,f, 
wenigstens zwei einen gemeinschaftlichen Theiler haben. 

Nun fuhren wir aber noch ein System neuer Variablen, 
£, ij, , .ein, und verstehen unter & die den Körper il lafiniradt 
algebraische Zahl, und unter @ l , @ a , ...,©„ die (von einander 
verschiedenen) conjugirten Werthe. Dann bilden wir die Func- 
tionen 

#i = 9i (* — I ®n y — v ®n ■ • ■)> 

(8) *« = Vi & — E ®*- ? — ®ä< - ■ ■). 

*« = V„ (a; — S ©», y — *i ®„, . ■ .), 
von denen, wie wir gleich noch nachweisen werden, keine zwei 
einen gemeinschaftlichen Theiler haben. Dann ist du 
N(ty) nicht die ft ,a Potenz einer rationalen Function, und wir 
können daher, wenn ip zerlegbar ist, nach der oben angegebenen 
Methode einen echten Theiler von t^ finden. 

Aus jeder Zerlegung von ty erhält man aber eine Zerlegung 
von y, wenn man x, y, . . . durch x -j- g 0, y -\- rj 9, . . . ersetit 
und ebenso erhält man umgekehrt aus einer Zerlegung ww 1 
eine Zerlegung von ty, wenn man x, y, . . . durch I — iK 
y — j]&,... ersetzt, und beide Functionen sind gleichzeitig "'• 
legbar und* unzerlegbar. 

Es bleibt noch zu beweisen, dass keine zwei der Function« 
(8) einen gemeinschaftlichen Theiler haben. Dies ergieht sich 
aus dem folgenden allgemeinen Satze: 

Sind 0(x,y,...), W(x,y,...) irgend zwei gleiche 
oder verschiedene ganze Functionen in irgend 
einem Kationalitätsbereich, und a, b zwei toh 
einander verschiedene Zahlen, so haben die 
Functionen 
W=&(x — a£, y-ar},...), W=W(x— &£, y — b v) 
keinen gemeinschaftlichen Theiler. 
Zum Beweis denken wir uns <P' in seine irreducihlen F« 
toren zerlegt und setzen 



\. 152. Zerlegung ganzer Functionen. 567 

** = n <p toy> . . .1 fcfli . - •)• 

)ie linke und folglich auch die rechte Seite bleiben hier un- 
pandert, wenn man £, 17, . . . gleich setzt und dann x, y durch 
; ~~ a & V — a ^ . - . ersetzt Also ist 

0>' = U<p (x — a£, y — ay, . . ., 0, 0, . . .), 

roraus hervorgeht, dass die irreduciblen Factoren von & auch 
d der Form 

9) <p = <p (x — a& t/ — ari, . . .) 

darstellbar sind. Ebenso sind die irreduciblen Factoren von W 
Q der Form 

10) * = ♦(*- &£, y - 6^,...) 

arstellbar, und wenn a und 6 verschieden sind, kann keine der 
unctionen (9) mit einer der Functionen (10) identisch oder 
ur durch einen constanten Factor verschieden sein. Denn an- 
enommen, es sei für ein constantes A: 

11) <jP = A^, 

> folgt, wenn man £, 77, . . . gleich setzt und die Ergebnisse 
ieser Substitution mit qp , ty bezeichnet, 

2) ao = A rp . 

Durch Bildung des Differentials von (11) aber folgt, wenn 
an danach £, 17, . . . gleich setzt und 

ykdi + Qdn... 

x y 

itd<jp bezeichnet, und entsprechend d^ definirt: 

ad<p = bXdil> , 

as nach (12) nur möglich ist, wenn a = b ist. 

Folglich haben &* und W keinen gemeinschaftlichen Theiler l ). 



l ) Die hier dargelegte Methode der Zerfällung einer ganzen Function 
irreducible Factoren rühit von Kronecker her (§. 4 der auf S. 656 
irten Festschrift, Cr eile's Journal, Bd. 92). Vergl. auch Molk, Sur une 
ion qui comprend celle de la divisibilite et sur la theorie generale de 
mination. Acta mathematica , Bd. 6 (1884). Indem ich diese Betrach- 
gen, die in der ersten Auf läge fehlten, und die allenfalls auch im ersten 
de schon eine Stelle hätten finden können, hier aufnehme, entspreche 
einem mehrfach geäusserten Wunsche. 



§. 163. 

Die Functionale eines algebraischen Körpers fl und 
der erweiterte Körper ß. 

Die Variablen, die in der Theorie der algebraischen Zählen 
verwendet werden , haben nicht die Bedeutung von Zeichen fiir 
veränderliche Zahlenreihen , wie man es aus der Fbnctiooafr 
theorie gewöhnt ist, sondern sie sind lediglich IiechnoafiByaboli 
ohne eine selbständige Bedeutung. Bei den Functionen dies« 
Variablen kommt es eigentlich nur auf die Coefncientensystem« 
an, und die Variablen werden nur dazu benutzt, um die be- 
kannten und geläutigen Regeln der Buchstabenrechnung auf diese 
Coefficienten Systeme anzuwenden. Es ist damit freilich nicht 
ausgeschlossen, dass gelegentlich auch die Zahlen betndfll 
werden, die man erhält, wenn man die Variablen durch gewis« 
Zahlen, z. B. durch rationale Zahlen, ersetzt 

Demnach führen wir in unsere Betrachtungen 
sowohl ganze als gebrochene Functionen von beliebig 
vielen Veränderlichen ein, deren Coefficienten Zahlen 
eines algebraischen Körpers Sl sind, und setzen fest, 
dass mit diesen Functionen so gerechnet wird, wie es 
die Buchstabenrechnung vorschreibt. 

Jede solche Function a kann als Quotient zweier gantfr 
Functionen in ß, 

w ■ = l- 

dargestellt werden, wobei i< immer von Null verschieden ange- 
nommen werden muss. Zwei solche Functionen sind nur dam 
einander gleich: 

iL — !Ei 

* V 

wenn rp^ = tp, ^ ist. Haben die beiden F'unctionen 9, # kein« 
gemeinsamen Theiler, so heisst <p : $ ein irreducibler Broc^ 
Unter den verschiedenen Darstellungen einer Function u -i''' 1 
es eine durch einen irreduciblen Bruch, und diese wollen wir 
die einfachste Darstellung nennen. In ihr sind Zahler 
und Nenner bis auf einen gemeinsamen Factor, der eine be- 
liebige Zahl in Sl sein kann, durch ra selbst völlig bot im; 
Eine solche Function w wollen wir ein Functional dei 



% 153. Funotionale im Körper 42. 569 

Korper 8 Sl nennen. Als specielle Fälle sind darunter die 
ganzen Functionen und die Zahlen selbst enthalten. Bei den 
Zahlen ist j e d e Darstellung als Quotient zweier Zahlen in Sl als 
einfachste Darstellung zu betrachten. 

Auf die Functionale lassen sich die vier Grundrechnungs- 
- arten in demselben Umfange anwenden, wie auf die Zahlen, und 
-4er Inbegriff aller Functionale des Körpers Sl ist daher gleichfalls 
"flin Körper, den wir mit Sl bezeichnen und den Functional- 
körper von ß nennen wollen 1 ). 

Der Functionalkörper ß enthält den Zahlkörper Sl als 
Theiler. 

Ein Functional, dessen Coefficienten rationale Zahlen sind, 
hont ein rationales Functional. Der Inbegriff aller ratio- 
nalen Functionale ist der Functionalkörper JJ des Körpers jR 
der rationalen Zahlen, und der Körper R ist in jedem alge- 
braischen Functionalkörper Sl enthalten. 

Jedes rationale Functional A kann als Quotient zweier 
ganzer Functionen in R dargestellt werden, denen man auch 
ganzzahlige Coefficienten geben kann, indem man Zähler und 
Nenner mit dem Hauptnenner aller Coefficienten multiplicirt. 
Sind in dieser Darstellung Zähler und Nenner imprimitiv, so 
kann man den Theiler herausnehmen und erhält eine Darstellung 
in der Form 

( 2) A = a f {**'»" l = a^ = aE, 

w E % (x,y,z,...) E % 

in der a eine positive, ganze oder gebrochene, rationale Zahl 
ist, während E x , E t primitive Functionen in R sind. Hieraus 
folgt: 



*) Es liegt nahe, die Functionale des Körpers Sl, mit denen wie mit 
den Zahlen in Sl gerechnet wird, geradezu als ideale Zahlen des Kör- 
pers Sl zu bezeichnen. Diese Ausdrucksweise würde sich einerseits an die 
Idealfactoren von Kummer, andererseits an die von Dedekind ein- 
geführten Ideale anschliessen, die zu den Functionalen in einer sehr nahen, 
ipiter zu erörternden Beziehung stehen. So bestechend in mancher Hin- 
sicht eine solche Terminologie wäre, so erweist sie sich doch in anderer 
t&nmcht nicht als zweckmässig, weil dadurch den Functionalen, die doch 
immerhin nur Mittel zum Zweck, nicht selbständig für sich Gegenstand 
unseres Interesses sind, anscheinend eine grössere Bedeutung beigelegt 
würde, als ihnen in Wirklichkeit zukommt. Mit der Einführung dee 
Portes „Functional" folge ich einem Vorschlage von Dedekind. 



570 



Siebzehn 



r Abschnitt. 



1. Man kann jedes rationale Functional il 

Multiplication mit einer primitiven Fancti 
in R in eine ganze Function in li verwandelo. 
und mehrere rationale Functionale lassen lieb 
als Brüche darstellen, deren gemein snuitr 
Nenner eine primitive Function ist. 
Die positive Zahl a und der Quotient E, : E, sind durch J 
vollständig bestimmt. Denn setzen wir a in die Form ein« 
rationalen Bruches ij, : q % und nehmen an, es sei 

IlEl — 'h E 

q 3 £, _ q, E- 3 ' 
so folgt: 

fcff^-E; = q,q\E t E\. 
Hier haben wir also zwei ganze Functionen in R mit gint 
zahligen Coeftidenten, die einander gleich sind und deren 
Theiler, da E x J5' a und E^E^ primitive Functionen sind, q v q\ odo 
q a q\ ist. Folglich ist q,5j = q t q\, und daher auch 

fe-gl * -Ei 

1% </,' % e:/ 

2. Wir nennen die positive rationale Zahl a den 
absoluten Wertli des Functionals A. 

In dem Falle, dass A selbst eine Zahl ist, ist a der ansolnt* 
Werth von A in dem gewöhnlichen Sinne dieses Worte», und 1 
ist = -j- 1 oder = — 1 zu setzen, je nachdem A positiv 
negativ ist. Es ist also E in diesem Falle nichts weiter ab 
Vorzeichen von A. In der weitgehenden Verallgemeinerung 
elementaren Begriffe liegt das Befremdende, was unsere Defini 
dem ersten Blick bietet. Sie wird sich aber in der Folge 
durchaus saebgemäss uud nützlich erweisen. 

Aus §. 151, 2. ergiebt sich der Satz: 

3. Der absolute Werth eines Productes zweier od»! 
mehrerer rationaler Functionale ist gleich d 1 
Produkte der absoluten Werth e der Factoren, 

Ist a ein Functional des Körpers fl, so ist A r (u| ein i 
nales Functional, und die Norm eines Productes oder c 
Quotienten zweier Functionale ist gleich dem Prodnd 
oder dem Quotienten der Normen der Bestandtheib-. 



.153. Functionale in Sl. 571 

4. Wir nennen den absoluten Werth des rationalen 
Functionals N(ca) die absolute Norm N a (&) von 
a> und setzen 

3) N((o) = N a (a>) E(<o). 

fl a (a)) ist immer eine positive rationale Zahl, und JE(ra) 
rt der Quotient zweier primitiver ganzer Functionen. Aus 3. 
olgt, wenn a, ß zwei Functionale in Sl sind, die Formel 

i) N a (*ß) = N a (*)N a (ß), 

der der Satz : 

5. Die absolute Norm eines Productes von Func- 
tionalen in & ist gleich dem Producte der 
absoluten Normen der Factoren. 

Wenn wir alle Coefficienten eines Functionals in Sl durch 
ie entsprechenden Zahlen eines zu Sl conjugirten Körpers Sl x 
•setzen, so erhalten wir ein conjugirtes Functional. Der 
sammte Functionalkörper Sl geht dadurch in einen con- 
lgirten Functionalkörper Sl x über. Da jede Gleichung 
rischen Functionalen des Körpers Sl im Grunde nur die Zu- 
.mmenfassung einer Reihe von Gleichungen zwischen Zahlen des 
orpers Sl ist, so haben wir den Satz (Bd. I, §. 148, II): 

6. Jede Gleichung zwischen Functionalen des Kör- 
pers Sl bleibt richtig, wenn für alle Functionale 
die entsprechenden Elemente eines conjugirten 
Körpers Sl x gesetzt werden. 

Bedeutet t eine in o nicht vorkommende Variable, so hat 
9 Function N(t — o) die Form 

* 

«in die Coefficienten A t rationale Functionale sind, und diese 
inction &(t) verschwindet, wenn & für t gesetzt wird. Es giebt 
er nicht bloss eine solche Function O (t) , die für t = co ver- 
\ windet, sondern beliebig viele, da man jedes 0(t) mit einer 
iebigen Function der gleichen Form multipliciren kann. Auch 
in es vorkommen, dass schon ein Product von weniger als 
factoren von N(t — o) rationale Coefficienten erhält, woraus 
lctionen 0{t) von niedrigerem als dem n ten Grade entspringen, 
für t = cd verschwinden. Daraus folgt: 

7. Es giebt für jedes Functional o des Körpers Sl 
unendlich viele Functionen <&($), die für t = o 





572 Siebzehnter Abecboitt. 

verschwinden, in denen die höchste Polen?, tod I 
den Coefficienten 1 hat, und deren übrige Coeffi- 
cienten in E enthalten sind. 

Wir sagen dann, a ist eine Wurzel der Gleichung 
*(0 = 0. 

Unter den verschiedenen Functionen ${1), dereu Existci.i 
im Satze 7. ausgesprochen ist, giebt es eine und nar eine Fifl 
von möglichst niedrigem Grade. Denn existiren zwei solcW 
Functionen F(t) und F t (t) von gleichem Grade m, BO i«1 £l 
Difi'erenz F(t) — F t (t) in Bezug auf t höchstens vom Qttfi 
m — 1 und verschwindet für ( = a. Dividirt mau durch den 
Coefficienten der höchsten Potenz von (, so erhält man eine 
Function (t>(() von niedrigerem Grade als F(t), die nach der 
Voraussetzung über F(t) nicht existirt. 

Die Function F(t) kann im Körper M nicht in Factoreu 
zerlegt werden, die ganze Functionen von ( sind. Denn zerfiele 
sie in mehrere Factoren derselben Form F t {t), F t (() , so müssta 
einer dieser Factoren, die doch alle von niedrigerem Gaiäi m 
F(t) seihst sind, für t — ta verschwinden, entgegen I1UB0 
Voraussetzung. 

Jede Function <£ (t) des Satzes 7. ist dann durch ififl 
irreducible Function F(t) theilbar, so dass der Quotient 9(t):¥$ 
eine ganze Function von ( in li ist, in der die höchste PoUot t 
von ( den Coefficienten 1 hat. 

Unter den Functionen &(t) findet sich, wie schon bem 
auch die Norm JV(( — a), und folglich ist N{t — ra) durch J 
theilbar. Sind beide Functionen von gleichem Grade, 
N(t — m)= F(t). Ist aber der Grad von F(t) niedriger a 
so verschwindet der Quotient Jf(t — ta) : F(() wenigstens i 
für eines der mit a conjugirten Functiouale, und folglich für I 
alle; folgUch auch für ( = o), und daher ist dieser Quotienl I 
nochmals durch F(t), d. h. N(t — w) ist durch F(ty theilb«. I 
Durch Fortsetzung dieses Schlussverfahrena erkennt m:m. M 
N(t — ra) eine Potenz von F(t) sein inuss, und dass folglich dw 
Grad von F(t) ein Theiler von n ist (Bd. I, §. 151). 

Wir fassen dies noch in dem Satze zusammen: 

Jedes Functional in ß ist die Wurzel einer und 
nur einer irreduciblen Gleichung F(t) = fj in K 
und N(t — ra) ist eine Potenz von F(t), 



. 154. Ganze Functionale. 573 

§. 154. 
Ganze Functionale. 

1. Definition: Ein rationales Functional soll ganz 
genannt werden, wenn sein absoluter Werth eine 
ganze Zahl ist. 

Ein ganzes rationales Functional ist also nach dieser De- 
finition keineswegs nothwendig eine ganze Function der Variablen. 
Ans der Definition ergiebt sich zunächst, dass die Summe, die 
Differenz und das Product von zwei und folglich auch von 
beliebig vielen ganzen rationalen Functionalen wieder ganz sind. 
Flur das Product ist dies eine unmittelbare Folge des Satzes 
§. 153, 3. Um aber den Beweis für die Summe und die Diffe- 
renz zu führen, stellen wir zwei ganze rationale Functionale 
A l} A % so durch gebrochene Functionen dar, dass sie eine primi- 
tive Function als gemeinschaftlichen Nenner erhalten: 

^ i8t TP l TP 

A \A _ a l A l ± a 2 ^2 . 
Al ± A 2 — -g , 

da nun c^, a a ganze Zahlen sind, so ist der Theiler der ganzen 
Function a x E x ^a^ E 2 der absolute Werth von A x + A % . Dieser 
ist eine ganze Zahl, also A x ± A % ein ganzes Functional. 

Für constante rationale Functionale, d. h. für rationale 
Zahlen, giebt die Definition 1. die ganzen rationalen Zahlen. 

Wir stellen ferner, ebenso wie im §. 149 für die Zahlen, 
folgende Definition der ganzen Functionale des Körpers Sl auf. 

2. Definition: Ein Functional co aus Sl heisst 
ganz, wenn es die Wurzel einer Gleichung 

&(t) = t» + A^- 1 + Ait»-* -| \- A m = 

ist, in der die Coefficienten A^ A 2 , . . ., A m ganze 
rationale Functionale sind. 

Functionale, die nicht zu den ganzen gehören, werden wir 
Jelegentlich auch der Kürze wegen als gebrochene Functionale 
Bezeichnen. 

Zur Rechtfertigung dieser Definition beweisen wir zunächst 
ien Satz: 



574 Siebzehnter Abschnitt. §. IBi 

3. Ist co ein ganzes Functional nach der Defini- 
tion 2. und zugleich rational, so ist es ein ganzes 
rationales Functional (nach der Definition \.\ 

Angenommen, es sei o ein gebrochenes rationales Function«!, 
und daher der absolute Werth von co ein rationaler Bruch p:q, 
worin p und q ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Theiler 
sind; dann ist qco ein ganzes rationales Functional, dessen 
absoluter Werth = p, also relativ prim zu q ist. Wenn aber 
andererseits co zugleich ganz im Sinne der Definition 2. ist, so 
können wir 

a m = — (A x o" 1 - 1 -f- A 2 © m -* + . . .) 

setzen, woraus 

(3<o) m = — q[A l (qc*)'»- 1 + A 9 q(qw) m -* -| ] 

folgt. 

Hieraus aber ergiebt sich, dass der absolute Werth p* von 
(qa) m durch q theilbar sein muss, was nur möglich ist, wenn 
q = 1 ist Die Definition 1. ist also in der Definition 2. ah 
Specialfall enthalten. 
Ist 

0(t) = t m + A x «"-i + A t *»- « -\ [-Am 

eine Function von t, in der die Coefficienten A u A %y . . ., A m ge- 
brochene rationale Functionale mit den Variablen x y y, . . ., aber 
von der Variablen t frei sind, so kann man eine Function 
a E(x, y, . . .) bestimmen, in der a den Hauptnenner der absoluten 
Werthe von A x , A 2 , . . . und E(x, y, . . .) eine primitive ganze 
Function bedeutet, so dass 

(1) aE(x, y, . . .) 0(t) = P (*, *, y, . . .) 

selbst eine primitive ganze Function ist (§. 153, 1.). 

Zerfällt 0(t) in zwei Factoren O x {t), ® 9 (t) in JS, ist also 

*(«) = *i(0«b(«). 
so bestimme man hiernach für die beiden Functionen & X1 9 t die 
Factoren a x E u a^E^, so dass 

a x E x & x = P x , a 2 E 2 0>j = P 2 

primitive Functionen werden, und dann ist auch 

(2) a x a. 2 E X E 2 O = P X P % 
eine primitive Function. Aus (1) und (2) folgt: 

(3) (h a 2 E x E 2 P = aEP x P,, 



L Ganze Functionale. 575 

mithin 

a = 0! 64. 

in also